Statistik II Übung 3: Hypothesentests Aktualisiert am

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1 Statistik II Übung 3: Hypothesentests Aktualisiert am Diese Übung beschäftigt sich mit der Anwendung diverser Hypothesentests (zum Beispiel zum Vergleich der Mittelwerte und Verteilungen zweier Stichproben). Verwenden Sie dazu den Datensatz Arbeitsmarktdaten.sav. Bitte bearbeiten Sie Aufgaben 1-5 in Gruppen von bis zu 4 Studierenden (vergessen Sie nicht die Namen!) und reichen Sie die Lösungen VOR der 3. PC Übung ein. 1. Erklären Sie den Unterschied zwischen einem einseitigen und zweiseitigen Hypothesentest. 1seitiger Hypothesentest: linksseitiger Test 1seitiger Hypothesentest: rechtsseitiger Test 2seitiger Hypothesentest: 2. Was versteht man unter einem Konfidenzintervall? Wie wird es gebildet und was sagt es aus?

2 3. Überprüfen Sie anhand des 1-Stichproben t-tests, ob der Mittelwert der Variable befristarbeit (1 falls jemand eine befristete Arbeitsstelle über eine italienische Arbeitsagentur erhalten hat und 0 falls nicht) signifikant verschieden von 0.5 ist. Analysieren > Mittelwerte Vergleich > T-Test bei einer Stichprobe> Testvariable(n): befristarbeit > Testwert: 0.5 > OK Statistik bei einer Stichprobe Standardabweic Standardfehler N Mittelwert hung des Mittelwertes befristarbeit Test bei einer Sichprobe Testwert = % Konfidenzintervall der Mittlere Differenz T df Sig. (2-seitig) Differenz Untere Obere befristarbeit Überprüfen Sie anhand des 2-Stichproben t-tests, ob sich das mittlere Gehalt (siehe Variable Gehalt, welche zeitlich später gemessen wurde als befristarbeit ) in den Gruppen mit befristarbeit =1 und befristarbeit =0 signifikant unterscheidet. Kommentieren Sie auch, ob Gehalt eine signifikant unterschiedliche Varianz in beiden Gruppen aufweist und was dies für den 2-Stichproben t-test bedeutet. Analysieren > Mittelwerte Vergleich > T-Test bei unabhängigen Stichproben > Testvariable(n): Gehalt > Gruppierungsvariable: befristarbeit; Gruppen definieren > Angegebene Werte verwenden: Gruppe1 (1), Gruppe2 (0) > Weiter > OK Gruppenstatistiken befristarbeit N Mittelwert Standardabweic hung Standardfehler des Mittelwertes Gehalt

3 Gehalt Varianzen sind gleich Varianzen sind nicht gleich Test bei unabhängigen Stichproben Levene-Test der Varianzgleichheit T-Test für die Mittelwertgleichheit Sig. (2- Mittlere Standardfehler 95% Konfidenzintervall der Differenz F Signifikanz T df seitig) Differenz der Differenz Untere Obere Regressieren Sie Gehalt auf befristarbeit und vergleichen Sie die Ergebnisse (insbesondere die t- Statistiken und p-werte) mit jenen von Aufgabe 4. Analysieren > Regression > Linear > Abhängige Variable: Gehalt > Unabhängige Variable: befristarbeit > ok Koeffizienten a Standardisierte Nicht standardisierte Koeffizienten Koeffizienten Modell Regressionskoef fizientb Standardfehler Beta T Sig. 1 (Konstante) befristarbeit Überprüfen Sie, ob die Varianz der Variablen Bildung signifikant unterschiedlich ist in den Gruppen mit Training =1 und Training =0. Analysieren > Mittelwerte Vergleich > Einfaktorielle Varianzanalyse (One Way Anova) > Abhängige Variable: Bildung > Faktor: Training (1 0) > Optionen: Test Homogenität der Varianzen > Weiter > Ok Test der Homogenität der Varianzen Bildung Levene-Statistik df1 df2 Signifikanz

4 7. Verwenden Sie den Mann Whitney U-Test um zu überprüfen, ob sich das mittlere Gehalt (siehe Variable Gehalt, welche zeitlich später gemessen wurde als befristarbeit ) in den Gruppen mit befristarbeit =1 und befristarbeit =0 signifikant unterscheidet. Inwiefern unterscheidet sich dieser Test vom t-test? Mann Whitney U-Test ist nichtparametrischer Test basierend Rängen unterstellt keine Normalverteilung Analysieren > Nicht parametrische Tests > Unabhängige Stichproben > Felder > Testfelder: Gehalt > Gruppen: befristarbeit > Einstellungen > Tests anpassen > Mann Whitney U (2 Stichproben) > Ausführen 8. Verwenden Sie den Kolmogorov Smirnov Test um zu überprüfen, ob sich die Verteilungen von (a) Gehalt und (b) Bildung in den Gruppen mit befristarbeit =1 und befristarbeit =0 signifikant voneinander unterscheiden. Analysieren > Nicht parametrische Tests > Unabhängige Stichproben > Felder > Testfelder: Gehalt, Bildung > Gruppen: befristarbeit > Einstellungen > Tests anpassen > Kolmogorov-Smirnov (2 Stichproben) > Ausführen

5 9. Verwenden Sie die einfaktorielle Varianzanalyse, um zu überprüfen, (a) ob sich Gehalt für verschiedene Ausprägungen von Bildung signifikant unterscheidet und (b) falls ja, zwischen welchen Ausprägungen von Bildung signifikante Unterschiede bestehen (verwenden Sie für letztere Analyse die Methode Tamhane s T2 für ungleiche Varianzen für verschiedene Ausprägungen von Bildung ). Analysieren > Mittelwerte Vergleich > Einfaktorielle Varianzanalyse (One Way Anova) > Abhängige Variable: Gehalt > Faktor: Bildung > Post Hoc: (keine Varianzverleichheit angenommen) Tamhane s T2 > Signifikanzniveau =0.05 > Weiter > ok Test der Homogenität der Varianzen Gehalt Levene-Statistik df1 df2 Signifikanz Einfaktorielle ANOVA Gehalt Quadratsumme df Mittel der Quadrate F Signifikanz Zwischen den Gruppen Innerhalb der Gruppen Gesamt Mehrfachvergleiche Abhängige Variable: Gehalt Tamhane Mittlere 95%-Konfidenzintervall (I) Bildung (J) Bildung Differenz (I-J) Standardfehler Signifikanz Untergrenze Obergrenze * * * * * * *. Die Differenz der Mittelwerte ist auf dem Niveau 0.05 signifikant. 10. Generieren Sie neue Variablen für unterschiedliche Ausprägungen von Bildung : geringbild (geringe Bildung; soll 1 sein falls Bildung =0 und 0 sein falls Bildung =1 oder 2), mittlerebild (mittlere Bildung; soll 1 sein falls Bildung =1 und 0 sein falls Bildung =0 oder 2), hohebild (hohe Bildung; soll 1 sein falls Bildung =2 und 0 sein falls Bildung =0 oder 1) Transformieren > Variable berechnen > Zielvariable: geringbild > Numerischer Ausdruck: Bildung=0 Transformieren > Variable berechnen > Zielvariable: mittlerebild > Numerischer Ausdruck: Bildung=1 Transformieren > Variable berechnen > Zielvariable: hohebild > Numerischer Ausdruck: Bildung=2

6 11. Regressieren Sie Gehalt auf mittlerebild und hohebild um zu testen, ob sich das Gehalt für verschiedene Bildungsniveaus signifikant unterscheidet. Analysieren > Regression > Linear > Abhängige Variable: Gehalt > Unabhängige: mittlerebild, hohebild > ok Koeffizienten a Standardisierte Nicht standardisierte Koeffizienten Koeffizienten Modell Regressionskoef fizientb Standardfehler Beta T Sig. 1 (Konstante) mittlerebild hohebild Regressieren Sie Gehalt auf geringbild und mittlerebild um zu testen, ob sich das Gehalt für verschiedene Bildungsniveaus signifikant unterscheidet. Inwiefern unterscheiden sich die Ergebnisse von jenen in Aufgabe 11 bzw stimmen mit jenen überein? Analysieren > Regression > Linear > Abhängige Variable: Gehalt > Unabhängige Variable: geringbild, mittlerebild > ok Koeffizienten a Standardisierte Nicht standardisierte Koeffizienten Koeffizienten Modell Regressionskoef fizientb Standardfehler Beta T Sig. 1 (Konstante) mittlerebild geringbild Warum können Sie Gehalt nicht gleichzeitig (also in der selben Regression) auf geringbild, mittlerebild und hohebild regressieren? Multikollinearität

7 14. Regressieren Sie Gehalt auf geringbild, mittlerebild, Training und befristarbeit und testen Sie anhand des F-tests, ob die Koeffizienten aller Variablen gemeinsam signifikant verschieden von Null sind. Zeigen Sie auch für jeden Koeffizienten das jeweilige 95% Konfidenzintervall. Analysieren > Regression > Linear > Abhängige Variable: Gehalt > Unabhängige Variable: geringbild, mittlerebild, Training, befristarbeit > Statistik: Konfidenzintervalle > Weiter > ok ANOVA a Modell Quadratsumme df Mittel der Quadrate F Sig. 1 Regression b Nicht standardisierte Residuen Gesamt b. Einflußvariablen : (Konstante), Training, befristarbeit, geringbild, mittlerebild Koeffizienten a Nicht standardisierte Koeffizienten Standardisiert e Koeffizienten 95.0% Konfidenzintervalle für B Regressionsk Modell oeffizientb Standardfehler Beta T Sig. Untergrenze Obergrenze 1 (Konstante) mittlerebild geringbild befristarbeit Training Gegeben den Regressionskoeffizienten und den Standardfehler in Aufgabe 14: a. Formulieren Sie die Nullhypothese, dass das Gehalt der hochgebildeten Personen ohne Training und ohne befristete Arbeitsstelle, im Durchschnitt, 300 Euro beträgt. HH 0 : ββ 0 = 300 b. Berechnen Sie die t-statistik für die Nullhypothese in (a). tt ββ 0 = ββ 0 ββ 0 ssss(ββ 0) = 547, ,602 6,095 c. Wird die Nullhypothese in (b) auf dem 5% Signifikanzniveau abgelehnt? Verwerfungsregel: tt ββ tttt > cc 6,095 > 1,96

8 HH 0 wird verworfen d. Berechnen Sie die t-statistik für die Nullhypothese, dass das mittlere Gehalt der Personen mit Training mindestens 10 Euro höher ist, als das mittlere Gehalt der Personen ohne Training aber mit gleichem Bildungsniveau und gleicher Arbeitsstelle : tt ββ tttt = ββ tttt ββ tttt ssss(ββ tttt ) HH 0 : ββ TTTTTTTTTTTTTTTT 10 = 25, ,112 0, : e. Wird die Nullhypothese in (d) auf dem 5% Signifikanzniveau abgelehnt? Verwerfungsregel: tt ββ tttt < cc 0,56 > 1,645 HH 0 wird nicht verworfen 16. Eine Verbraucherorganisation will mit Hilfe einer Zufallsstichprobe von 100 Bierflaschen prüfen, ob der Durchschnitt der normalverteilten Abfüllmenge dem Sollinhalt von 0,5 Litern entspricht. Die durchschnittliche Abfüllmenge in der gezogenen Zufallsstichprobe beträgt 0,47 Liter. Die (geschätzte) Standardabweichung der Abfüllmenge in der Stichprobe beträgt 0,05 Liter. Was schliessen Sie aus der Analyse dieser Stichprobe: wird die Nullhypothese, dass die durchschnittliche Abfüllmenge dem Sollinhalt entspricht, am dem 5% Signifikanz- Niveau verworfen? HH 0 : μμ = 0,5 tt = XX μμ 0,47 0,5 = ssss/ nn 0,05/ 100 = 0,03 0,005 = 6 cc 99 = 1,987 6 > 1,987 Die Nullhypothese, dass der Durchschnitt der Abfüllmenge dem Sollinhalt entspricht, wird auf dem 5% Niveau abgelehnt. 17. Ein Zeitungsartikel behauptet, dass das Durchschnittsalter der Schweizer Frauen bei der Erstheirat im Jahr 2015 bei maximal 28,6 Jahren liegt. Als Forscher glauben Sie, dieses Alter sei höher. Sie überprüfen die Zahl aus der Zeitung anhand einer Zufallsstichprobe von 400 Schweizer Frauen. In Ihrer Stichprobe ist das Durchschnittsalter bei der Erstheirat im Jahr ,8 Jahre und die (geschätzte) Varianz in der Stichprobe beträgt 0,49. Können Sie die Nullhypothese, dass das Durchschnittsalter 28,6 oder weniger Jahre beträgt, auf dem 5% Signifikanzniveau verwerfen (und die Alternativhypothese annehmen, dass das Durchschnittsalter höher als 28,6 Jahre ist)? HH 0 : μμ 28,6

9 tt = XX μμ SS 2 xx / nn HH AA : μμ > 28,6 αα = 5% = 0,05 29,8 28,6 = ,29 0,49 cc 399 = 1,645 34,29 > 1,645 Die Nullhypothese wird auf dem 5% Niveau abgelehnt. 18. Die Werbung eines Schlafmittels behauptet, dass Patienten mit dem Schlafmittel im Durchschnitt mindestens 2 Stunden länger schlafen. Um diese Behauptung zu überprüfen, testen Sie den Effekt des Schlafmittels mit Hilfe einer Zufallsstichprobe von 900 Patienten. Jene Patienten in der Stichprobe, die das Schlafmittel einnehmen, schlafen im Durchschnitt 1,5 Stunden länger, als jene, die es nicht bekommen. Der Standardfehler (d.h. die geschätzte Standardabweichung) des Effekts des Schlafmittels beträgt 0,3 Stunden. Kann man die Nullhypothese, dass der durchschnittliche Effekt des Schlafmittels 2 oder mehr Stunden beträgt, auf dem 1% Signifikanzniveau verwerfen (und die Alternativhypothese annehmen, dass der Effekt weniger als 2 Stunden beträgt)? HH 0 : μμ 2 HH AA : μμ < 2 αα = 1% = 0,01 tt = XX μμ ssss/ nn = 1, = 50 0,3 cc 899 = 2, < 2,326 Die Nullhypothese, dass der durchschnittliche Effekt des Schlafmittels 2 oder mehr Stunden beträgt, wird auf dem 1% Niveau verworfen.