1. Hausübung ( )

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1 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ). Hausübung (8.4.) Aufgabe Es seien σ (3, 6, 5,, 4, 8,, 7) und τ (3,,, 4, 6, 5, 8, 7). Berechnen Sie σ τ, τ σ, σ, τ, die Anzahl der Inversionen von σ und τ sowie sign σ und sign τ. σ τ (5, 3, 6,, 8, 4, 7, ) τ σ (, 5, 6,, 4, 7, 3, 8) σ (7, 4,, 5, 3,, 8, 6) τ (, 3,, 4, 6, 5, 8, 7) Es sei m(ρ) die Anzahl der Inversionen der Permutation ρ. m(σ) m(τ) sign σ ( ) 3 sign τ ( ) 4

2 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Aufgabe Berechnen Sie det A für A , B , C Nach der Regel von Sarrus gilt: det A 3 ( 3) ( ) ( 3) ( ) det B ( ) 5 ( ) + ( 3) ( 3) ( ) ( ) Wegen der Verteilung der Nullen in der Matrix C, kommen für die Summenbildung zur Bestimmung von det C nach Definition nur Permutationen σ der Menge {,, 3, 4} in Frage, für die gilt: σ() und σ(4) 4 Bei allen übrigen Permutationen ist der jeweilige Summand Null und hat daher für det C keine Bedeutung. Nur die Permutationen (,, 4, 3), (3,, 4, ), (4,,, 3) und (4,, 3, ) erfüllen die oben genannten Kriterien. Damit ergibt sich: det C ( 4 + 6) 54

3 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ). Hausübung (5.4.) Aufgabe a) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen: A 5 7 7, B b) Berechnen Sie für A 3 die Terme det (A), det ( A A) und det ( A ). 3 a) Da sich die dritte Zeile der Matrix A durch Addition der ersten beiden Zeilen ergibt, liegt eine lineare Abhängigkeit der Zeilen vor und es folgt: det(a) det(b) ( ) 4

4 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) b) 3 det(a) det (A ) A ( det ( 6 ) A ) 4 det(a) det ( A ) det(a)

5 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Aufgabe Beweisen Sie: Für a, b, c, d R gilt a b c d a b c d (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). a 3 b 3 c 3 d 3 a b c d a b c d a 3 b 3 c 3 d 3 (b a) (c a) (d a) ( b a ) ( c a ) ( d a ) ( b 3 a 3) ( c 3 a 3) ( d 3 a 3) (b a) (c a) (d a) (b a) (b + a) (c a) (c + a) (d a) (d + a) (b a) (b + ab + a ) (c a) (c + ca + a ) (d a) (d + da + a ) (b a)(c a)(d a) ( (b + a) (c + a) (d + a) b + ab + a ) ( c + ca + a ) ( d + da + a ) (b a)(c a)(d a) (c b) (d b) ( c b + ca ab ) ( d b + da ab ) (b a)(c a)(d a) (c b) (d b) (c b) (c + b + a) (d b) (d + b + a) (b a)(c a)(d a)(c b)(d b) (c + b + a) (d + b + a) (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)

6 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) 3. Hausübung (.4.) Aufgabe Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme und benutzen Sie dabei die Cramersche Regel, falls sie sich anwenden läßt: a) b) x 4x + x 3 6 4x x + x 3 x + x 3x 3 3x x + x 3 4 x + 7x x 3 x + 6x x 3 5 a) A 4 4, det A A, det A A 4, det A 6 3 A , det A 3 3 x det A det A 44 55, x det A det A 6 55, x 3 det A 3 det A b) Da die dritte Zeile des Gleichungssystems aus der Addition der beiden vorhergehenden Zeilen entsteht, liegt eine lineare Abhängigkeit vor. Die Cramersche Regel ist also nicht anwendbar. ( 3 ) 4 7 ( 3 ) x x 3, x x 3 x x 3 Also ergibt sich für die Lösungsmenge L des Gleichungssystems: ( 9 L 4 x 7 3, + ) 9 4 x 3, x 3, 7, + R (,, 4)

7 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Aufgabe Berechnen Sie det(a) für die n n-matrix A mit a) b) A (a ik ), wobei a ik min{i, k} falls i k, falls i k +, A (a ik ), wobei a ik falls i k, sonst. a) Da sich die Determinante einer Matrix bei Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile nicht ändert, können wir die Matrix durch Addition des -fachen der (n )-ten Zeile zur n-ten Zeile transformieren. Für die n-te Zeile ergibt sich dann: a nk min{n, k} min{n, k} { falls k < n, falls k n. Die Entwicklung nach der n-ten Zeile mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz liefert: det A det A nn Da A nn vom selben Typ wie die Matrix A ist (aber mit der Zeilen- und Spaltenzahl n ), können wir o. g. Vorgehen solange wiederholen, bis die Matrix A auf eine -Matrix zurückgeführt wurde. Es gilt: det A a b) Im folgenden sei A(n) eine n n-matrix, die nach o. g. Schema aufgebaut ist. Die Entwicklung nach der. Zeile mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz liefert: det A(n) a det A(n) a det A(n) + det A(n ) det A(n) det A(n ) det A(n)

8 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Für A(n) B(n ) ergibt sich aus der Definition von A nach Indexverschiebung: B(n ) (b ik ), wobei b ik falls i + k und k, falls i + k + und k >, falls i + k + und k, falls i + k + + und k >, falls i + k + und k, falls i + k + und k >, sonst. falls i und k, falls i k und k >, falls i und k, falls i k + und k >, falls i und k, falls i k und k >, sonst. falls i k und k >, falls i und k, falls i k + und k >, falls i k und k >, sonst. Die Entwicklung von B(n ) nach der. Spalte mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz liefert: det A(n) det B(n ) b det B(n ) + det B(n ) Wie sich leicht erkennen läßt, ist B(n) vom selben Typ wie A(n). Es gilt: A(n) B(n ) A(n ) Eingesetzt in die oben für det A(n) bestimmte Gleichung ergibt sich: det A(n) det A(n ) det A(n) det A(n ) det A(n ) Wir können also det A(n) als rekursive Folge mit den beiden leicht zu berechnenden Startwerten det A() und det A() 3 auffassen. Betrachten wir nun den Abstand des n-ten Folgenglieds zum (n )-ten: det A(n ) det A(n) det A(n ) ( det A(n ) det A(n )) det A(n ) det A(n ) Der Abstand des n-ten Glied der Folge zum (n )-ten ist also über die ganze Folge konstant, nämlich (wie man den ersten beiden Folgengliedern entnehmen kann) Eins. Daher folgt: det A(n) n +

9 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) 4. Hausübung (9.4.) Aufgabe Gegeben sind die folgenden linearen Abbildung f i : R 3 R 3 : f : Drehung um die y-achse um den Winkel 9 f : Orthogonalprojektion auf die x-z-ebene f 3 : Spiegelung an der durch x + y z gegebene Ebene Welche Matrizen beschreiben f, f, f 3, f f, f f 3, f 3 f? Was ist jeweils das Bild vom Vektor? Wie anschaulich leicht zu erkennen ist, muß f folgende Eigenschaften haben: f, f und f Somit gilt: f ( x) x Da die Orthogonalprojektion eines Vektors auf die x-z-ebene im R 3 mit eben diesem Vektor bis auf die auf Null gesetzte (zur besagten Ebene senkrechte) y-komponente identisch ist, gilt: f ( x) x Für die Orthogonalprojektion x eines Vektors x auf einen anderen Vektor n im R 3 gilt gemäß Lemma 4. aus Lineare Algebra A: x x n n n n Daraus läßt sich der Lotfußpunkt x für das Fällen eines Lotes von einem Punkt x auf eine den Ursprung schneidende Ebene mit dem Normalenvektor n im R 3 bestimmen. Es gilt: x x x n n n n Da es sich bei der Spiegelung eines Punktes x an einer solchen Ebene im R 3 um die Spiegelung dieses Punktes an dem o. g. Lotfußpunkt handelt, ergibt sich für ein derartiges Spiegelbild x : x x x n n n n Die Anwendung dieser Gleichung für die Bestimmung der Bilder der kanonischen Basisvektoren für f 3 liefert: f 3 3, f 3 3 und f 3 3 Somit gilt: f 3 ( x) 3 x

10 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Für f f gilt: (f f ) f f f (f f ) f f f (f f ) f f f Somit gilt: (f f )( x) x Für f f 3 gilt: (f f 3 ) f f 3 f 3 3 (f f 3 ) f f 3 f 3 3 (f f 3 ) f f 3 f 3 3 Somit gilt: (f f 3 )( x) 3 x Für f 3 f gilt: (f 3 f ) f 3 f f 3 3 (f 3 f ) f 3 f f 3 (f 3 f ) f 3 f f 3 3 Somit gilt: (f 3 f )( x) 3 x Für die Bilder des Vektors ergibt sich jeweils: f

11 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) f f (f f ) (f f 3 ) 3 5 (f 3 f ) 3 4

12 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Aufgabe Es sei g : R R 3 definiert durch und f : R 3 R durch () x g x + x x x x x + x f( x) x. 6 a) Zeigen Sie, daß g linear ist und geben Sie eine Matrix A an mit g( x) A x. () b) Berechnen Sie (f g) und (g f). a) Im folgenden seien v, w R mit v Da gilt ist g eine lineare Abbildung. Aus folgt: ( v ) und w v ( w ) sowie λ, µ R. w g(λ v + µ w) λv + µw + (λv + µw ) λv + µw (λv + µw ) (λv + µw ) + λv + µw λv + λv λv λv + µw + µw µw µw λv + λv µw + µw λ v + v v v + µ w + w w w v + v w + w λ g( v) + µ g( w) g(λ v + µ w) λ g( v) + µ g( w), (( g )) und g g( x) x (( )) b) (( ( (( 3 (f g) f g f 78 )) ))) 5 3 (g f) g f () g

13 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) 5. Hausübung (6.5.) Aufgabe a) f : R 5 R 4 sei gegeben durch f (x,..., x 5 ) (x x + x 3 x 4, x 4 + x 5,, x x + x 4 + x 5 ). Bestimmen Sie eine Basis von Ker f und von Im f. b) Es sei V der Vektorraum der ganzen rationalen Funktionen über R, also V { f : R R es gibt a, a,..., a k R mit f(x) a k x k a x + a }. Zeigen Sie zunächst, daß die Abbildung ϕ: V V mit ϕ(f) f (die Ableitung von f) linear ist. Bestimmen Sie dann Ker ϕ und Im ϕ. a) Die Umwandlung der gegebenen Darstellung von f in eine mit Koeffizientenmatrix liefert: f ( x) x Ker f span, Nach der Dimensionsformel gilt nun, daß die Basis des Bildes aus drei Vektoren besteht. Drei solcher Vektoren erhält man durch Auswahl drei (offensichtlich) linear unabhängiger Spalten der Abbildungsmatrix: Im f span,, span,, span,, span,, b) Zuerst zeigen wir, daß ϕ eine lineare Abbildung ist. Seien λ, µ R und u, v V. Dann gilt: ϕ(λ u + µ v) (λ u + µ v) (λ u) + (µ v) λ u + µ v λ ϕ(u) + µ ϕ(v)

14 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Da es sich bei Null um das neutrale Element der Addition in V handelt, enthält der Kern von ϕ alle Polynome, deren Ableitung Null ist. Bekanntermaßen handelt es sich dabei um alle konstanten Funktionen bzw. Polynome. Also gilt: Ker ϕ {f : R R f(x) c mit c R} Wir zeigen nun, daß es kein Polynom gibt, das nicht die Ableitung eines anderen Polynoms ist: Annahme: Sei k f (x) : a k i x k i mit k N und a,..., a k R i ein Polynom vom Grad k, dessen Stammfunktion kein Polynom ist. Integration von f nach bekannten Regeln liefert: f(x) k i a k i k i + xk i+ + c mit c R Wegen a k i k i + R und c R handelt es sich bei f um ein Polynom vom Grad k+. Demnach liegt ein Widerspruch zur Annahme vor. Die Stammfunktion jedes Polynoms ist also auch ein Polynom. Das Bild von ϕ enthält alle Polynome, deren Stammfunktion auch ein Polynom ist, also wie wir eben gezeigt haben alle Polynome. Es gilt daher: Im ϕ V

15 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Aufgabe { Es sei f : V W eine lineare Abbildung und b,..., } b n sei eine Basis von V. Untersuchen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussagen: { } a) f b,..., f bn ist eine Basis von Im f. b) f ist injektiv f c) f ist surjektiv f b,..., f bn sind linear unabhängig. b,..., f bn sind linear unabhängig. d) Ist dim W dim V {, so ( gilt: ) } f surjektiv f b,..., f bn ist eine Basis von W. a) { } f b,..., f bn ist eine Basis von Im f gilt im allgemeinen nicht, was folgendes Gegenbeispiel beweist: f : R R sei die aus Beispiel.3 aus der Vorlesung bekannte lineare Abbildung f ( x) x. { Zudem sei b,..., } b n die kanonische Basis des R. Dann gilt: { } { f b,..., f bn f (), f ()} {, } { } f b,... f bn ist also keine Basis von Im f, da Mengen, die den Nullvektor enthalten, linear abhängig sind und damit keine Basis darstellen können. b) Da gilt { b,..., } b n ist eine Basis von V, () läßt sich jeder Vektor v V durch Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen. Es gilt also v dim V n λ n bn mit λ,..., λ k R, k dim V. Unter Ausnutzung der Linearität von f läßt sich folgende (wegen f W ) lösbare Gleichung aufstellen: f ( v) ( dim V ) f λ n bn n dim V n dim V n ) f (λ n bn λ n f bn () (3)

16 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Es ergibt sich folgende Relationskette: f ist injektiv { } (Satz 3.3) Ker f () () dim V n λ n bn λ... λ k (3) f b,..., f bn sind linear unabhängig c) f ist surjektiv f b,..., f bn sind linear unabhängig gilt im allgemeinen nicht, da es lineare Abbildungen gibt, die surjektiv, aber nicht injektiv sind. Würde die Aussage gelten, so läge nach dem Satz aus Aufgabe b) allgemeine Äquivalenz zwischen Injektivität, Surjektivität (und damit auch Bijektivität) vor. d) Nach Satz 3.5 aus der Vorlesung gilt für eine lineare Abbildung f zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen gleicher Dimension: f surjektiv f injektiv Nach dem Satz aus Aufgabe b) gilt demnach äquivalent: f b,..., f bn sind linear unabhängig Da n linear unabhängige Vektoren aus dem R n nach { Satz ( 3. ) aus der ( Vorlesung )} Lineare Algebra A den R n aufspannen und es gilt dim W dim V, ist f b,..., f bn eine Basis von V. Da es sich hierbei um eine Äquivalenz-Beziehung handelt, folgt: Ist dim W dim V, so gilt: f surjektiv { } f b,..., f bn ist eine Basis von W.

17 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) 6. Hausübung (3.5.) Aufgabe Es sei g : R 3 R 3 die Spiegelung an der Geraden G R. Zudem sei B,,, B,, und B die Standardbasis. Berechnen Sie MB B(g), M B B B (g), MB (g), T B B B, TB definiert sei. M B B (f) 3 und M B B (f g), wobei f : R3 R 3 durch Da der erste Basisvektor von B in G liegt und die anderen beiden Vektoren von B senkrecht zu G sind (erkennbar am Skalarprodukt), ergibt sich: MB B (g) Nach der Transformationsformel gilt: MB B (g) T B B MB B (g) Da gilt folgt und damit auch + +, +,, TB B MB B (g) T B B MB B (g).

18 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Nach der Transformationsformel gilt: MB B (g) T B B MB B (g)tb B Da es sich bei B um die Standardbasis handelt, ergibt sich TB B direkt aus B: TB B Die Invertierung von T B B mit bekanntem Verfahren liefert: TB B Somit folgt: M B B (g) T B B MB B (g)tb B Die Invertierung von T B B mit bekanntem Verfahren liefert: TB B Nach Satz 4. gilt: MB B (f g) M B B (f)m B B (g) Somit folgt unter Anwendung der Transformationsformel: MB B (f g) M B B (f)m B B (g) MB B (f)t B B MB B (g)

19 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Aufgabe Eine lineare Abbildung f : R 3 R sei bezüglich der Basen B,, und B gegeben durch M B B (f). 3 {( (, ) )} Bestimmen Sie f und die Matrix MB B (f) für die Standardbasen B und B des R 3 bzw. R. 3 Nach der Transformationsformel gilt: MB B B (f) TB M B B (f)tb B Die Bestimmung von TB B ist aufgrund des Aufbaus von B ebenso einfach wie die Bestimmung von T B Es gilt: T B B, T B B Somit ergibt sich: MB B (f) B. Also gilt: f MB B (f)

20 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) 7. Hausübung (7.5.) Aufgabe Zeigen Sie, daß 3 A und B äquivalent sind, und geben Sie invertierbare Matrizen S und T an mit B SAT. Zunächst bestimmen wir den Rang von A und B: 3 Rang A Rang Rang 3 3 Rang () 3 Rang A Rang Rang Rang () 3 Da gilt Rang A Rang B, handelt es sich bei A und B um äquivalente Matrizen. Um nun S und T zu bestimmen, betrachten wir die nach Korollar 4. vorliegende Äquivalenz der Matrizen A, B und C mit C. Im folgenden sei S 3 die Standardbasis des R 3 und S 4 die Standardbasis des R 4. a) Wir wollen invertierbare Matrizen S A und T A bestimmen, so daß gilt C S A A T A. Dazu fassen wir C als Darstellungsmatrix einer Funktion f bezüglich der Basen B A und B A auf, sowie A als Darstellungsmatrix der Funktion f bezüglich der Standardbasen. Aus () läßt sich leicht der Kern von f bezüglich der Standardbasen ablesen. Es gilt: Ker f span

21 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) B A sei nun dieser mit Standardvektoren des R 4 zu einer Basis des R 4 ergänzte Kern: B A,,, B A ergibt sich aus den Bildern der ersten drei Basisvektoren von B A. Es gilt: B A f, f, f,, 3 3 Aufgrund unserer Wahl der Basen gilt nach der Transformationsformel: A M S4 S 3 (f) T B A S 3 Nach äquivalenter Umformung erhalten wir: M B A B (f) T S4 A B A T B A S 3 C T S4 B A C M B A B (f) T S3 A B M S4 A S 3 (f) T B A S 4 T S3 B A T B A A S 4 Mit den Basen lassen sich nun leicht die Transformationsmatrizen bestimmen: T S3 B A b) Analog verfahren wir mit B: S A 3 7 T B A S 4 T A Wir wollen invertierbare Matrizen S B und T B bestimmen, so daß gilt C S B B T B. Dazu fassen wir C als Darstellungsmatrix einer Funktion f bezüglich der Basen B B und B B auf, sowie B als Darstellungsmatrix der Funktion f bezüglich der Standardbasen. Aus () läßt sich leicht der Kern von f bezüglich der Standardbasen ablesen. Es gilt: Ker f span B B sei nun dieser mit Standardvektoren des R 4 zu einer Basis des R 4 ergänzte Kern: B B,,, B B ergibt sich aus den Bildern der ersten drei Basisvektoren von B B. Es gilt: B B f, f, f,, 4 6

22 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Aufgrund unserer Wahl der Basen gilt nach der Transformationsformel: B M S4 S 3 (f) T B B S 3 Nach äquivalenter Umformung erhalten wir: M B B B (f) T S4 B B B T B B S 3 C T S4 B B C M B B B (f) T S3 B B M S4 B S 3 (f) T B B S 4 T S3 B A T B B B S 4 Mit den Basen lassen sich nun leicht die Transformationsmatrizen bestimmen: T S3 B S B B 4 6 Es gilt nun: T B B S 4 Diese Gleichung läßt sich nach B auflösen. Es folgt: C S A A T A S B B T B T B B S B S A A T A T B 8 5 A A 6 4 A Somit ergibt sich: 6 S 4, T

23 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Aufgabe Berechnen Sie Eigenwerte und Eigenräume von 3 4 A und B über R. a) Berechnung der Eigenwerte: λ 4 det(a λe) det 3 λ ( λ) (3 λ) 8 λ 4λ 5 (λ + ) (λ 5) det(a λe) λ λ 5 Berechnung der Eigenvektoren und des Eigenraums zum Eigenwert λ : (A + E) x 4 x 4 x x R Eigenvektoren zum Eigenwert λ sind also alle Vektoren x für die gilt: x r, r R \ {} Für den Eigenraum R zum Eigenwert λ 5 gilt: R span {} Berechnung der Eigenvektoren und des Eigenraums zum Eigenwert λ 5: (A 5E) x 4 4 x x x R Eigenvektoren zum Eigenwert λ 5 sind also alle Vektoren x für die gilt: ( x r, r R \ {} ) Für den Eigenraum R zum Eigenwert λ 5 gilt: {( R span )}

24 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) b) Berechnung der Eigenwerte: 3 λ det(b λe) det 7 5 λ 6 6 λ λ 3 + λ + 6 (λ + ) (λ 4) det(b λe) λ λ 4 Berechnung der Eigenvektoren und des Eigenraums zum Eigenwert λ : (B + E) x 7 7 x x 6 x x R Eigenvektoren zum Eigenwert λ sind also alle Vektoren x für die gilt: x r, r R \ {} Für den Eigenraum R zum Eigenwert λ gilt: R span Berechnung der Eigenvektoren und des Eigenraums zum Eigenwert λ 4: (B 4E) x 7 7 x x 7 x x R Eigenvektoren zum Eigenwert λ 4 sind also alle Vektoren x für die gilt: x r, r R \ {}

25 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Für den Eigenraum R zum Eigenwert λ 4 gilt: R span

26 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) 8. Hausübung (3.6.) Aufgabe Untersuchen Sie, ob die Matrizen A diagonalisierbar sind und ob sie ähnlich sind. und Bestimmung der Eigenwerte von A: det λ λ 3 det λ + λ 3 5 λ λ λ (λ + ) det 3 5 λ λ (λ + ) det 3 λ λ λ 3 (λ + ) det 4 λ (λ + ) ( λ) (4 λ) (λ + ) (λ 4) Demnach hat A die Eigenwerte und 4 mit den algebraischen Vielfachheiten und. Bestimmung der Dimension der Eigenräume von A: Für den Eigenwert : Rang Für den Eigenwert 4: Rang Rang Die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte entsprechen also den algebraischen. Demzufolge ist A diagonalisierbar.

27 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Bestimmung der Eigenwerte von B: 3 λ det 7 5 λ det 4 λ 4 + λ 7 5 λ 6 6 λ 6 6 λ (4 λ) det 7 5 λ 6 6 λ (4 λ) det 7 λ 6 λ λ (4 λ) det λ (4 λ) ( λ) (λ + ) (λ 4) Demnach hat B die Eigenwerte und 4 mit den algebraischen Vielfachheiten und. Bestimmung der Dimension der Eigenräume von B: Für den Eigenwert : 7 Rang Für den Eigenwert 4: Rang Die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte und 4 sind also jeweils und entsprechen damit nicht den algebraischen Vielfachheiten. Demzufolge ist B nicht diagonalisierbar. A und B sind nicht ähnlich, da B nicht ähnlich zu der Diagonalmatrix von A ist, aber ähnliche Matrizen zu den selben Matrizen ähnlich sind. Beweis: Seien A, B und C n n-matrizen. Außerdem seien A und B sowie o. B. d. A. A und C ähnlich. Dann gilt: A T B T A U C U T B T U C U B T U C U T Da nach den Rechenregeln für Matrizen gilt T U ( U T ), sind B und C ähnlich. Also handelt es sich dabei, daß B zu allen Matrizen ähnlich ist, zu denen auch A ähnlich ist, um eine notwendige Bedingung für die Ähnlichkeit von A und B.

28 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Aufgabe Es sei A eine n n-matrix über R, A, und es gebe ein k N mit A k. Zeigen Sie: a) ist einziger Eigenwert von A. b) A ist nicht diagonalisierbar. a) Eigenwerte λ von A müssen per Definition folgende Gleichung lösen: Unter Verwendung der Eigenschaften von A ergibt sich: A x λ x mit x () A x λ x A k x A k λ x x λ A k x λ A k x λ A k x λ () Der Umformungsschritt () ist zulässig, da A k x keine gültige Lösung von () darstellt. Ein x, das die Gleichung A k x löst, wäre auch eine von λ unabhängige Lösung von (). Dies ist aber nur für den per Definition ausgeschlossenen Fall x der Fall. Somit folgt, daß A nur einen Eigenwert λ besitzt, nämlich λ. b) Um zu zeigen, daß A nicht diagonalisierbar ist, führen wir einen indirekten Beweis: Angenommen A wäre diagonalisierbar, dann müßte n die algebraische und geometrische Vielfachheit des einzigen Eigenwertes sein. Die Dimension des zugehörigen Eigenraumes wäre also auch n. Betrachtet man A als Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung, so bedeutet dies, daß jeder Vektor x auf den Nullvektor abgebildet wird. Der Kern der Abbildung ist also identisch mit dem R n. So eine Abbildung ist aber nur möglich, wenn die Darstellungsmatrix die Nullmatrix ist. Da A aber per Definition ungleich der Nullmatrix ist, ist A nicht diagonalisierbar.

29 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) 9. Hausübung (.6.) Aufgabe Beschreiben Sie die Wirkung der linearen Abbildung f ( x) A x, wobei gilt A 3. Zuerst bestimmen wir die Eigenwerte von A, indem wir die Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen: det (3 (A λe)) () 3λ det 3λ 3λ 3 3λ 3 + 3λ det 3λ 3λ 3 (λ ) det 3λ 3λ 3 (λ ) det 3λ 3λ 3λ 3 (λ ) det 3λ 3λ 3λ 3 (λ ) det 3λ 3λ 9 λ (λ ) det 7 λ (λ ) A hat also die Eigenwerte und. Nun bestimmen wir durch Einsetzen in () die zugehörigen Eigenräume: Für den Eigenwert : Der Eigenraum zum Eigenwert ist demnach span. Für den Eigenwert : Der Eigenraum zum Eigenwert ist demnach span,. Da die Vektoren der Basen der beiden Eigenräume linear unabhängig sind und der Basisvektor zum Eigenwert zudem senkrecht auf der durch den Eigenraum zum Eigenwert beschriebenen Ebene steht, handelt es sich bei f um eine Orthogonalprojektion auf die besagte Ebene.

30 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Aufgabe Lösen Sie die Differentialgleichung y + 4y y 4y mit der Eigenwertmethode. Es seien Demnach gilt auch y y, y y und y 3 y. y y y 3 y y, y y 3, y 4y + y + 4y 4y + y 4y 3. Es folgt: Nun bestimmen wir die Eigenwerte von A: y y y y : A y y y det(a λe) λ λ 4 4 λ λ λ λ 4 λ λ λ λ λ 4 λ (λ ) λ 4 λ (λ ) λ 4 λ λ (λ ) 4 λ y 3 (λ + 4) (λ + ) (λ ) A hat also die Eigenwerte 4, und. Somit folgt für y als Lösung der Differentialgleichung: y c e 4t + c e t + c 3 e t y 3

31 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ). Hausübung (7.6.) Aufgabe Es sei S,,. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von span S. Es seien u, u, u 3. Anwendung des Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens liefert: v u u 3 v u ( u v ) v u 3 ( u u ) u u 3 ( ) u v v v 3 v

32 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) v 3 u 3 ( u 3 v ) v ( u 3 v ) v v 3 v 3 v v Für die Orthonormalbasis S gilt also span S span S : S 3, 4 4 5,

33 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Aufgabe Zeigen Sie, daß die orthogonalen Abbildungen f : R n R n mit der Hintereinanderausführung eine Gruppe bilden. Die Menge G der orthogonalen Abbildungen bilden mit der Hintereinanderausführung eine Gruppe, da die folgenden Gruppenaxiome erfüllt sind: a) Abgeschlossenheit Seien a, b G sowie M a, M b die zugehörigen Darstellungsmatrizen zu einer gemeinsamen Basis des R n. Zudem sei M c : M a M b. Dann gilt: (a b) ( x) M a M b x M c x Da das Produkt zweier orthogonaler Matrizen eine orthogonale Matrix ist, gilt: M c x : c ( x), c G b) Assoziativgesetz Seien a, b, c G, x R n sowie M a, M b, M c die zugehörigen Darstellungsmatrizen zu einer gemeinsamen Basis des R n. Dann gilt: c) Neutrales Element ((a b) c) ( x) (M a M b ) M c x M a M b M c x M a (M b M c ) x (a (b c)) ( x) Sei a G und M a die zugehörige Darstellungsmatrix zu einer Basis des R n. Dann gilt: a ( x) M a x M a E x (a id) ( x) Da gilt E E E T, handelt es sich bei der Identität id um eine orthogonale Abbildung. d) Inverses Element Sei a G und M a die zugehörige Darstellungsmatrix zu einer Basis des R n. Dann gilt: ( a a ) ( x) M a M a x E x id( x) a existiert und ist nach Satz 7.4 eine orthogonale Abbildung. Analoges gilt für M a.

34 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ). Hausübung (4.6.) Aufgabe Zeigen Sie, daß A eine orthogonale Matrix ist, und geben Sie eine Basis B an mit MB B (f) cos(α) sin(α), sin(α) cos(α) wobei f : R 3 R 3 gegeben ist durch f ( x) A x. A ist eine orthogonale Matrix, da gilt: A A T E Sei S die Standardbasis des R 3. Dann gilt: M B B (f) T S B A T B S Da ähnliche Matrizen das selbe charakteristische Polynom aufweisen, bestimmen wir zunächst den Eigenraum von A zum Eigenwert : A : Da gilt Rang A, hat der gesuchte Eigenraum die Dimension. Wie leicht zu sehen ist ergibt sich: Eig(A, ) R Sei b : Eig(A, ). Nun ergänzen wir b zu einer Orthonormalbasis des R 3 : b : b 3 : b b

35 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Sei B {b, b, b 3 }. Dann gilt: MB B (f) TB S A TS B A T A cos( π 6 ) sin( π 6 ) sin( π 6 ) cos( π 6 ) Die Abbildung f ist also eine Drehung im R 3 um die Drehachse R mit dem Winkel π 6.

36 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) Aufgabe Welche Kurven werden durch folgende Gleichungen im R beschrieben? a) b) 7x + 3 6x x + 3x 6 4x + 4x x + x 6 a) Sei Dann gilt q ( x) 7x + 3 6x x + 3x 6 mit x q ( x) x T A x mit A Nun bestimmen wir die Eigenwerte von A: ( ) det(a λ E) (7 λ) (3 λ) 7 λ λ + 64 (λ 6) (λ 4) ( x x ). A hat also die Eigenwerte λ 6 und λ 4. Für die zugehörigen Eigenräume R und R ergibt sich schnell: ( ) R R 3, R 3 R Sei B eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren mit { B, ( )} 3 3. Mit folgt: x S y, wobei S q ( x) x T A x (S y) T A S y y T S T A S y y T λ y λ y T 6 y 4 6y + 4y ( ) 5π 3 cos ( 3 ) 3 5π sin 3 5π sin ( 3 ) 5π, cos 3 6 Es folgt ferner: y + y Die Kurve ist also eine um den Ursprung um 5π 3 gedrehte Ellipse mit den Halbachsen und.

37 Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ) b) Sei Dann gilt Nun bestimmen wir die Eigenwerte von A: q ( x) 4x + 4x x + x 6 mit x q ( x) x T A x mit A 4. det(a λ E) (4 λ) ( λ) 4 λ 5λ λ (λ 5) ( x x ). A hat also die Eigenwerte λ und λ 5. Für die zugehörigen Eigenräume R und R ergibt sich schnell: ( R R, R R ) Sei B eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren mit { ( B 5,. 5 )} Mit folgt: x S y, wobei S 5, q ( x) x T A x (S y) T A S y y T S T A S y y T λ y λ y T y 5 5y 6 Es folgt ferner: y ± 4 5 Ber der Kurve handelt es sich also um zwei parallele Geraden mit der Steigung und dem Abstand 4 5 zum Ursprung.

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