Domäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge.
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- Simon Busch
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1 Reltionen zwischen Mengen/uf einer Menge! Eine Reltion R A B (mit A B) ist eine Reltion zwischen der Menge A und der Menge B, oder uch: von A nch B. Drstellung: c A! Wenn A = B, d.h. R A A, heißt R eine Reltion uf A oder in A. B Domäne und Bereich! Die Domäne (domin) einer Reltion R A B umfsst die Elemente von A, für die die Reltion definiert ist (die in R vorkommen), hier: D = {, }.! Als Bereich (rnge) oder Kodomäne (codomin) werden die Elemente von B ezeichnet, die in R vorkommen, hier: E = {}. c D A E B R = {<, >, <, >} Anmerkungen zur Terminologie! Hier git es immer wieder egriffliche Verwirrung, d es keine einheitlichen Bezeichnungen für die Mengen A und B git.! Erschwerend kommt hinzu, dss die Domäne D und die Menge A und/oder der Bereich E und die Menge B oft identisch sind.! Vor llem in älterer Litertur kommt es oft vor, dss A die domin der Reltion gennnt wird und B rnge oder codomin.! Es ist er hilfreich, zwischen der Menge A und der Domäne einerseits, sowie zwischen einer Menge B und dem Bereich ndererseits unterscheiden zu können. " Dies gilt esonders für Funktionen die esondere Reltionen sind. Hier spricht mn uch oft von Definitionsdomäne oder -ereich und Werteereich.! Die hier gewählte Definition von domin und rnge entspricht der im Lehruch Prtee et l. (993:9) Digrmme für f r Reltionen uf/in einer Menge R = {<, >, <, >}! oder ls gerichtete Grphen A A = {<, >, <, >, <, >, <, >}
2 Inverse Reltion (Umkehrreltion)! Die inverse Reltion zu einer elieigen Reltion wird drgestellt durch R -. Ihre Definition lutet: R - = {<x, y> <y, x> R}! Sei R = {<, >, <, >, <3, 4>}. Dnn ist R - = {<, >, <, >, <4, 3>}.! Durch die Inversion der Reltion wird die Pfeilrichtung umgekehrt. Komplement einer Reltion! Ds Komplement einer Reltion, R (A, B), ist die Differenz zwischen dem krtesischen Produkt A Bund R, d.h. R = (A B) \ R. (Oder: {<x, y> <x, y> R}.)! Es sei A = B = {, }, lso A B = {<, >, <, >, <, >, <, >}! R = {<, >, <, >}. R R -! Also ist R = {<,>, <,>, <,>, <,>}\{<,>, <,>}, d.h. {<,>, <,>}. Zur Stelligkeit (Arity ( Arity) ) einer Reltion! Wir hen islng nur zweistellige Reltionen etrchtet, d.h. Reltionen zwischen zwei Mengen.! Ds Konzept der Reltion ist er nicht uf zweistellige Reltionen eingeschränkt.! Wir definieren ds verllgemeinerte (n-stellige) krtesische Produkt us den Mengen A,..., A n ls Menge der n-tupel <,..., n >, so dss A... A n = {<,... n > A,..., n A n }! Ein geordnetes Pr ist lso ein n-tupel mit n = (-Tupel). " Bezeichnungen: Geordnete Pre heißen uch kurz Tupel. Es git Tripel (3-Tupel), Qudrupel (4-Tupel), Quintupel (5-Tupel). Beispiele für f mehrstellige (n > ) Reltionen! Die Kirchgsse efindet sich zwischen Huptstrsse und Wsserturm. Z = {<k, h, w>}.! Otto g Cludi Schokolde. G = {<o, c, s>}.! Otto wettete mit Klus um drei Mrk, dss Peter gewinnen würde. W = {<o, k, 3, p>}.
3 Einige Üungen! A = {, c}, B = {, 3}.! Ws ist " A B? " (A B) B? " (A B) B? # (A B) = Ø, lso Ø B = Ø " (A \ B) (B \ A)? # (A \ B) = A und (B \ A) = B, lso A B Eigenschften von Reltionen uf einer Menge Die folgenden Eigenschften eziehen sich nur uf inäre Reltionen uf einer Menge, lso R A A (nicht R A B mit A B): reflexiv für lle x A: <x,x> R irreflexiv <x,x> R trnsitiv für lle x,y,z A: <x,y> R <y,z> R <x,z> R intrnsitiv <x,y> R <y,z> R <x,z> R symmetrisch für lle x,y A: <x,y> R <y,x> R symmetrisch <x,y> R <y,x> R ntisymmetrisch für lle x,y A, x y:<x,y> R <y,x> R totl (connected) für lle x,y A, x y:<x,y> R <y,x> R Die Identitätsreltion tsreltion! Wir können id A ls die Identitätsreltion definieren, d.h. für jedes x A <x, x> id A, lso jedes Individuum der etrchteten Menge ist mit sich selst identisch.! Wir können dnn sgen, dss eine Reltion genu dnn nicht-reflexiv ist, wenn id A R ist, und eine Reltion genu dnn irreflexiv ist, wenn id A R =. Beispiel! R ist die Reltion x ist Vter von y in M der Menge der Menschen, d.h. R = {<x, y> x M, y M, x ist der Vter von y}. " R ist symmetrisch, denn wenn x der Vter von y ist, dnn ist y nicht der Vter von x. " R ist intrnsitiv, denn wenn x der Vter von y und y der Vter von z ist, dnn ist x nicht der Vter von z. " R ist nicht totl, denn es git Individuen x und y, so dss weder x der Vter von y noch y der Vter von x ist. " R ist irreflexiv, denn niemnd ist sein eigener Vter.! totle Reltionen heißen ei Prtee et l. (990) connected (im Engl. sonst uch öfter totl) 3
4 Ordnungen! Ordnungen sind esondere Reltionen, sie hen estimmmte Eigenschften.! Eine (schwche) Ordnung (uch: Hlordnung, wek order) ist trnsitiv, reflexiv und nti-symmetrisch.! Eine strke Ordnung (uch: Striktordnung, strict order) ist trnsitiv und irreflexiv (und deshl uch symmetrisch). Ordnungen: Beispiel! Die Reltion gleich groß oder größer ildet eine schwche Ordnung uf der Menge der ntürlichen Zhlen: " Reflexivität: Jede Zhl x N ist so groß wie sie selst: x x " Anti-Symmetrie: Wenn x y und y x gilt, dnn ist x = y. " Trnsitivität: Wenn x y ist und y z ist, dnn ist uch x z.! Eine Totlordnung ist totl. Ordnung! Die Teilmengeneziehung ildet eine schwche Ordnung uf der Menge der Mengen: " Reflexivität: Jede Menge ist eine Teilmenge ihrer selst. " Anti-Symmetrie: Wenn A eine Teilmenge von B und B eine Teilmenge von A ist, dnn ist A = B. " Trnsitivität: Wenn A eine Teilmenge von B ist und B eine Teilmenge von C ist, dnn ist A eine Teilmenge von C. Funktionen! Eine Funktion ist eine Reltion, die zwei esondere Eigenschften esitzt: " Jedem Element der Domäne muss ein Wert zugewiesen werden. " Eine Funktion ist (rechts-)eindeutig: Jedem Element der Domäne drf nur ein Wert zugewiesen werden, d.h. es drf nicht <x, y> und <x, z> mit y z gelten. " Also: Jedem Element der Domäne wird genu ein Wert zugewiesen.! Beispiel: A vlution is function from formuls to truth vlues. (Gmut) " Jede Formel ht einen Whrheitswert. " Eine Formel ht nur einen Whrheitswert. 4
5 Eigenschften von Reltionen uf einer Menge Sei f eine Funktion f A B: Nchereitung Litertur: Prtee et l. (990): Kpitel -3 injektiv flls f( ) = und f( ) =, dnn ist = d. h. Werte sind eindeutig surjektiv es git zu jedem B mindestens ein A mit f() = d. h. jedes B wird erreicht (uch: rechtstotl) ijektiv (uch: eineindeutig) surjektiv und injektiv 5
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