Empirische Wirtschaftsforschung

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1 Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth Universität Leipzig Institut für Empirische Wirtschaftsforschung Volkswirtschaftslehre, insbesondere Ökonometrie

2 6.. Herleitung des OLS-Schätzers Ausgangspunkt - Wir befinden uns im mehrdimensionalen Raum # unabh. Variablen > - Residuen und Regressionskoeffizienten: vektoriell erfasst (und zwar jeweils in Spaltenvektordimension K x ) - Die Summe der quadrierten Abstände ist allerdings skalar Es gilt, ˆ' ε ˆ ε K K zu minimieren Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth

3 6.. Herleitung des OLS-Schätzers Optimierungsvorschrift min ˆ β Q( βˆ) ˆ ( ) ( ) βˆ - Xβˆ ε ' ˆ ε X es gilt X ( ) βˆ βˆ X ( ˆ) ( ˆ) Xβ Xβ βˆ X + ˆ β X Xβˆ. + ˆ β X Xβˆ () zudem gilt ( ) ( ) ( ) Xβ ˆ Xβˆ Xβˆ lässt sich so veranschaulichen: Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 3

4 Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth Gemäß einer der Regeln für (K x )-Spaltenvektoren ist: a b b a; zur Veranschaulichung ein Bsp. Da je (K x )-Spaltenvektoren darstellen, können wir das auch so anwenden: 6.. Herleitung des OLS-Schätzers 4 3 b a ( ) ' + b a ( ) ' + a b ( ) ˆ + K K β ε X ( ) ( ) ( ) β β β ˆ ˆ ˆ X X X

5 6.. Herleitung des OLS-Schätzers Optimierung Q ˆ ε ˆ ε ˆ β bzw. Ableitung von () nach βˆ liefert (Null gesetzt) die BEO: X' + X' Xβˆ! 0 () Normalgleichungssstem (NGS): X ' Xβ ˆ X' β ˆ ( X' X) X' Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 5

6 Definition F-Verteilung Quotient zweier unabhängiger χ²-verteilter ZV (A, A ), jeweils dividiert durch die Zahl ihrer FG (v, v ). F A v A v ~ Fv (, v) Dichtefunktion F (v, v ) 0 F Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 6

7 F-Test im Rahmen des multiplen OLS-Modells Variiert E() mit den erklärenden Variablen oder nicht? / Ist das Modell insgesamt signifikant oder nicht? - H 0 : β β β k 0 Alle Steigungsparameter 0 (Gemeinschaftshpothese): Keine der erklärenden V. hat Einfluss auf die Abhängige - H : β 0 und/oder β 0 und/oder... β k 0 Mind. Steigungsparameter 0: Die erklärenden V. haben einen gemeinsamen Einfluss auf die Abhängige Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 7

8 - Testgröße: F K, N K ( K ) ( ) R N K RSS N K RSS/ R² K ESS K ESS/ N K N: # Beobachtungen K: # Koeffizienten, inklusive Konstante Zähler-FG: K-, d.h. # Koeffizienten ohne Konstante Nenner-FG: N-K Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 8

9 - F-Test Test auf Signifikanz der R -Statistik: F K, N K RSS R N K TSS N K R² K TSS RSS K TSS TSS Wäre H 0 wahr, würde RSS0 gelten. - Wenn FK, N K Fv, v, λ Verwerfe H 0 am λ -Niveau: Das Modell ist insgesamt signifikant. - Problem: Bei starker Multikollinearität (Verletzung der OLS- Annahmen) legt F-Test auch dann Gesamt-Signifikanz nahe, wenn alle Steigungsparameter einzeln insignifikant Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 9

10 - Beispiel mit N0 Beobachtungen und K3 Koeffizienten: Y + β0 + β X i + β X i also: F F F K, N K 3, 0 3, 7 In der Tabelle: F c F,7 (0,05) 3,59 ε i (a) Wenn R 0,6 : F 0,6 0,4 7,5 8,5,75 F > F c Lehne H 0 ab Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 0

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12 (b) Wenn R 0, : F 0, 0,8 7 0,5 8,5,5 F < F c H 0 kann nicht abgelehnt werden. Welchen Wert muss R mindestens annehmen, damit die Regression signifikant ist? R 7 3,59 R 3,59 ( R ) R ,8 7,8 R R 0, Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth

13 Chow-Test Sind die Koeffizienten eines OLS-Modells in zwei Teilstichproben (Tsp.) gleich oder liegt ein Strukturbruch vor? Ausgangsmodell: Teilstichprobe : Teilstichprobe : α + βx + δx + ε α + β x + δ x + α + β x + δ x + ε ε H 0 : Koeffizienten identisch: α α, β β, δ δ H : K. nicht identisch: α α u./o. β β u./o. δ δ Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 3

14 - Unter H 0 wäre das Ausgangsmodell (das restringierte / gepoolte Modell) bereits korrekt spezifiziert gewesen; Also keine Unterteilung in zwei getrennte Tsp. nötig. - Testgröße: ( SC ( S + S ))/K ~FK,n + n K ( S + S )/ ( n + n K ) τ S c : ESS der gepoolten Schätzung S, S : ESS der separaten Schätzungen für Tsp. und n, n : # Beobachtungen in Tsp. und K: # Koeffizienten in einem der Modelle Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 4

15 - Ist die Teststatistik τ größer als der kritische F-Wert (zu einem gegebenen Signifikanzniveau) mit K n + n K Freiheitsgraden im Zähler und Freiheitsgraden im Nenner, so wird die Nullhpothese verworfen. Es wird ein Strukturbruch festgestellt und eine gepoolte Schätzung des Modells ist nicht möglich Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 5