Kapitel 15. Verletzung der Annahme A3: Variable Parameterwerte

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1 Kapitel 15 Verletzung der Annahme A3: Variable Parameterwerte

2 v Auer, Ökonometrie 15 2 Das ökonometrische Modell einer Mehrfachregression lautet: y t = α + β 1 x 1t + β 2 x 2t + + β K x Kt + u t Annahme A3 Die K + 1 Parameter α, β 1, β 2,,β K sind für alle T Beobachtungen (x 1t,x 2t,,x Kt,y t ) konstant Beispiel: Paqué (1999) vertritt den Standpunkt, dass die Entwicklung der westdeutschen Arbeitslosenquote im Wesentlichen durch die Entwicklung des Anteils der Industriebeschäftigten an den insgesamt Beschäftigten erklärt werden kann Dies soll empirisch überprüft werden Die zur Verfügung stehenden Daten sind in Tabelle 151 wiedergeben, die entsprechende Punktwolke in Abbildung 151

3 v Auer, Ökonometrie 15 3 Tabelle 151: Arbeitslosenquote y t und Anteil der Industriebeschäftigten an den insgesamt Beschäftigten x t für die 76 Quartale des Zeitraums 80/1 bis 98/4 Jahr/t y t x t Jahr/t y t x t Jahr/t y t x t 80/1 3,5 43,5 86/27 8,2 40,8 93/53 7,2 37,5 90/42 6,6 39,6 98/75 9,3 33,7 90/43 6,5 39,7 98/76 9,2 33,6 86/26 8,2 40,6 92/52 6,5 38,1

4 v Auer, Ökonometrie ,0 10,0 Arbeitslosenquote 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 Phase I (80/1-90/2) Phase II (90/3-98/4) 3,0 32,0 34,0 36,0 38,0 40,0 42,0 44,0 Anteil der Industriebeschäftigten Abbildung 151: Die Datenpunkte des Arbeitsmarkt-Beispiels

5 v Auer, Ökonometrie Konsequenzen der Annahmeverletzung Getrennte Modelle für Phasen I und II: Phase I : y t = α I + β I x t + u t (151a) Phase II : y t = α II + β II x t + u t, (151b) Vier mögliche Fälle können auftreten: Fall A: α I = α II und β I = β II Fall B: α I 6= α II und β I = β II Fall C: α I = α II und β I 6= β II Fall D: α I 6= α II und β I 6= β II kein Strukturbruch Strukturbruch im Niveauparameter Strukturbruch im Steigungsparam Strukturbruch in beiden Param

6 v Auer, Ökonometrie 15 6 α I =α II α I =α II y t 6 Q QQQ (A) ( y t 6 Q QQQ (B) Q QQQ α Q II Q QQQ n QQQ Q α I n n Q β I =β II QQ β Q QQ {z }- I =β II β I =β II x t {z Q } {z }- x t y t y t SQ Q QQQ QQQ SS (C) (D) ( Q Q S QQQ ½ QQQ β SS n α I I n Q Q β QQ β QQ {z S II } {z }- x t II } {z }- x t Abbildung 152: Vier mögliche Parameterkonstellationen

7 v Auer, Ökonometrie Ein geeignetes Strukturbruchmodell Die Parameter der Phase II können in der Form α II = α I + γ (152a) β II = β I + δ (152b) geschrieben werden Das Modell der Phase II, (151b) lautet dann: y t =(α I + γ)+(β I + δ) x t + u t = α I + γ + β I x t + δx t + u t (153) Die Modelle der Phasen I und II, (151a) und (153), können auch als Funktionen genau der gleichen Parameter geschrieben werden: Phase I: y t = α I +0 γ + β I x t +0 δx t + u t mit t=1, 2,, T I (154a) Phase II: y t = α I +1 γ + β I x t +1 δx t + u t mit t=t I +1,, T,(154b) wobei T I die Anzahl der Beobachtungen der Phase I bezeichnet Man definiert die folgende ½Dummy-Variable: 0 wenn t =1, 2,, TI D t = 1 wenn t = T I +1,T I +2,, T

8 v Auer, Ökonometrie 15 8 Nun können die zwei Gleichungen (154) in einer einzigen Gleichung, dem sogenannten Strukturbruchmodell, zusammengefasst werden: Phasen I und II: y t = α I +γd t +β I x t +δd t x t +u t, t=1,2,,t (155) Dieses Strukturbruchmodell beschreibt Fall D und enthält die Fälle A bis C als Spezialfälle: Fall A: γ =0und δ =0 y t = α I + β I x t + u t, t =1, 2,, T (156) Fall B: γ 6= 0und δ =0 y t = α I + γd t + β I x t + u t, t =1, 2,, T (157) Fall C: γ =0und δ 6= 0 y t = α I + β I x t + δd t x t + u t, t =1, 2,, T (158) Fall D: γ 6= 0und δ 6= 0 y t = α I + γd t + β I x t + δd t x t + u t, t =1, 2,, T (155)

9 v Auer, Ökonometrie Schätzung und Interpretation der Parameter des Strukturbruchmodells Das Strukturbruchmodell y t = α I + γd t + β I x t + δd t x t + u t, t =1, 2,, T (155) kann mit der KQ-Methode geschätzt werden D t x t ist eine Interaktions- Dummy Es müssen aber sowohl für Phase I als auch für Phase II mindestens 2 Beobachtungen vorliegen Nummerische Illustration 151 Zarembkas Box-Cox-Test zeigt, dass die logarithmische Funktionsform vorzuziehen ist Die KQ-Schätzung basiert demnach auf den Daten der Tabelle 152 Die KQ-Schätzergebnisse sind in Tabelle 153 wiedergegeben

10 v Auer, Ökonometrie Tabelle 152: Logarithmierte Arbeitslosenquote y t, logarithmierter Anteil der Industriebeschäftigten x t, Dummy-Variable D t und Interaktions- Dummy D t x t für die 76 Quartale des Zeitraums 80/1 bis 98/4 Jahr/Quartal t y t x t D t D t x t 80/1 1 1,253 3, Phase I 80/2 2 1,253 3, /2 42 1,887 3, /3 43 1,872 3, ,681 Phase II 90/4 44 1,856 3, ,684 98/4 76 2,219 3, ,515

11 v Auer, Ökonometrie Tabelle 153: Schätzergebnisse für das Strukturbruchmodell (155) des Arbeitsmarkt-Beispiels Variable Koeff bse(b ) t-wert p-wert Konstante 27,251 2,691 10,125 <0,001 Industriebeschäftigung -6,807 0,724-9,398 <0,001 Dummy -13,129 3,088-4,253 <0,001 Interaktions-Dummy 3,453 0,838 4,120 <0,001 Die Parameter der Phase II berechnen sich gemäß bα II = bα I + bγ =27, , 129 = 14, 122 bβ II = β b I + b δ = 6, , 453 = 3, 354

12 v Auer, Ökonometrie Getrennte Schätzung der zwei Phasen Nummerische Illustration 152 Tabelle 154: Schätzergebnisse bei getrennten KQ-Schätzungen der Modelle (151a) und (151b) Modell Variable Koeff bse(b ) t-wert p-wert (151a) Konstante 27,251 3,477 7,837 <0,001 Phase I Industriebeschäft -6,807 0,936-7,274 <0,001 (151b) Konstante 14,122 0,611 23,099 <0,001 Phase II Industriebeschäft -3,355 0,170-19,709 <0,001 Die Koeffizienten stimmen mit denjenigen der Tabelle 153 überein

13 v Auer, Ökonometrie Bei beiden Schätzverfahren gilt se( β b I )= p σ 2 /Sxx I AberderSchätzwert bse( β b q I )= bσ 2 /Sxx I weicht in den beiden Verfahren voneinander ab, denn bei Modell (151a) gilt bσ 2 = S u u I /(T I K 1) undbeimodell(155)gilt bσ 2 = S u u /(T ek 1) Eine Schätzung von se( β b I ) auf Basis des Modells (151a) ist nicht effizient 1514 Eine mögliche alternative Formulierung des Strukturbruchmodells Da γ = α II α I und δ = β II β I, kann das Strukturbruchmodell (155) auch in folgender Form geschrieben werden: y t = α I +(α II α I )D t + β I x t +(β II β I )D t x t + u t = α I (1 D t )+α II D t + β I (1 D t )x t + β II D t x t + u t (159)

14 v Auer, Ökonometrie Komplexere Strukturbrüche Wenn der Zeitraum miteinbezogen werden soll, dann muss für das Jahr 1979 (Beginn der 2 Ölkrise) ein zweiter Strukturbruch zugelassen werden Das entsprechende Strukturbruchmodell lautet: y t = α I + γ II D IIt + γ III D III t +(β I + δ II D II t + δ III D III t )x t + u t (1510) Phase I: D II t = D IIIt =0 y t = α I + β I x t + u t Phase II: D IIt =1und D III t =0 y t = α I + γ II +(β I + δ II )x t + u t Phase III: D IIt =0und D IIIt =1 y t = α I +γ III +(β I +δ III )x t +u t Der Unterschied zwischen β II und β III beträgt β III β II = β I + δ III (β I + δ II )=δ III δ II (1511)

15 v Auer, Ökonometrie Konsequenzen aus einer Vernachlässigung des Strukturbruchs Bei Vernachlässigung des Strukturbruchs würde man das Modell y t = α + βx t + u t (1512) zugrunde legen Nummerische Illustration 153 Tabelle 155: Die Schätzergebnisse für Modell (1512) Variable Koeff bse(b ) t-wert p-wert Konstante 9,278 1,053 8,812 <0,001 Industriebeschäftigung -1,986 0,288-6,905 <0,001 Ein Vergleich mit den Ergebnissen der Tabelle 154 zeigt, dass bα kleiner ausfällt als bα 1 und bα 2 Der Schätzwert für b β fällt weniger negativ aus

16 v Auer, Ökonometrie Diagnose Das Strukturbruchmodell lautete: y t = α I + γd t + β I x t + δd t x t + u t (155) Fall A: γ =0und δ =0 y t = α I + β I x t + u t Fall B: γ 6= 0und δ =0 y t = α I + γd t + β I x t + u t Fall C: γ =0und δ 6= 0 y t = α I + β I x t + δd t x t + u t Fall D: γ 6= 0und δ 6= 0 Strukturbruchmodell (155) Die Ergebnisse in Tabelle 153 liefern Anhaltspunkte darüber, welcher Fall vorliegt

17 v Auer, Ökonometrie F-Test Es ist zu überprüfen, ob überhaupt ein Strukturbruch stattgefunden hat Dies geschieht durch einen F -Test der Nullhypothese H 0 : γ = δ =0 Nummerische Illustration 154 Im Arbeitsmarkt-Beispiel ergibt sich für das Modell (155) S u u =1, 302 Für das Nullhypothesen-Modell (1512), also y t = α + βx t + u t,ergibt sich S u u 0 =2, 616 Damit erhält man F = (2, 616 1, 302)/2 1, 302/72 =36, 332 Für ein Signifikanzniveau von 5% liegt der kritische F -Wert bei etwa 3, 13

18 v Auer, Ökonometrie t-test Das Strukturbruchmodell y t = α I + γd t + β I x t + δd t x t + u t (155) beschreibt Fall D (Strukturbruch in beiden Parametern) Ein t-test von H 0 : γ =0differenziert zwischen Fall C (γ =0, δ 6= 0)undD(γ 6= 0, δ 6= 0) Ein t-test von H 0 : δ =0differenziert zwischen Fall B (γ 6= 0, δ =0)undD(γ 6= 0, δ 6= 0) Nummerische Illustration 155 Die t-werte für H 0 : γ =0und H 0 : δ =0finden sich in Tabelle 153 Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt 72 Für ein Signifikanzniveau von 5% ergibt sich demnach ein kritischer t-wert von etwa 1, 99

19 v Auer, Ökonometrie Prognostischer Chow-Test Das Modell der Phase I lautet wie gewohnt: y t = α I + β I x t + u t Eine KQ-Schätzung dieses Modells auf Basis der Beobachtungen der Phase I liefert S u u I, eine KQ-Schätzung des Modells auf Basis sämtlicher verfügbarer Beobachtungen (zulässig falls kein Strukturbruch vorliegt) liefert S u u Die Nullhypothese des prognostischen Chow-Tests lautet: kein Strukturbruch Der F -Werterrechnetsichdanngemäß F = (S u u SI u u )/T II S I u u /(T I K 1) (1513) Bei Gültigkeit der Nullhypothese kein Strukturbruch folgt die Variable F einer F (TII,T I K 1)-Verteilung

20 v Auer, Ökonometrie Nummerische Illustration 156 Man befinde sich im 4 Quartal des Jahres 1990 Es soll untersucht werden, ob die zu Beginn des dritten Quartals 1990 vollzogene Währungsunion zu einem Strukturbruch geführt hat Der Beobachtungsumfang beträgt T =43(T I =42und T II =1) EsergebensichdieWerteS u u =1, 3044 und SI u u =1, 2079Darausergibt sich (1, , 2079)/1 F = =3, 196 1, 2079/(42 1 1) Der kritische Wert beträgt F 0,05 =4, 085 (v 1 =1, v 2 =40) Die Nullhypothese kein Strukturbruch kann auf einem Signifikanzniveau von 5% nicht abgelehnt werden

21 v Auer, Ökonometrie Zeitpunkt des Strukturbruchs Eine Sequenz prognostischer Chow-Tests (rekursiver Chow Test): Strukturbruch 89/4 90/1 (also t =41): T I =40und T II =1; Strukturbruch 90/1 90/2 (also t =42): T I =41und T II =1;usw Diese Test-Sequenz liefert eine Sequenz von F -Werten Der höchste F - Wert dieser Sequenz ist ein Indikator für den wahrscheinlichsten Zeitpunkt des Strukturbruchs Nummerische Illustration 157 Tabelle 156: Die F -Werte einer Sequenz prognostischer Chow Tests für verschiedene Zeitpunkte des Strukturbruchs Zeitpunkt 89/4 90/1 90/1 90/2 90/2 90/3 90/3 90/4 F -Wert 2,498 3,919 3,196 2,716

22 v Auer, Ökonometrie Stetige Veränderung von Parameterwerten Der wahre Zusammenhang laute: y t = α + β t x t + u t, (1514) wobei β t = μ + λt (1515) t ist eine TrendvariableIhreWertefinden sich in Tabelle 151 Einsetzen von (1515) in (1514) ergibt: y t = α +(μ + λt)x t + u t = α + μx t + λ(tx t )+u t Die endogene Variable y t wird auf die exogene Variable x t und die Interaktions-Variable tx t regressiert

23 v Auer, Ökonometrie Exkurs: Anwendung von Dummy-Variablen bei qualitativen exogenen Variablen Beispiel: Es wird das Lohn-Beispiel des Kapitels 13 aufgegriffen Der Lohn y t ist eine Funktion der Ausbildung x 1t und des Alters x 2t : y t = α + β 1 x 1t + β 2 x 2t + u t (1516) Einige Mitarbeiterinnen des Betriebes beklagen, dass sie beim Lohn diskriminiert werden Um dies zu überprüfen, muss für jeden der zwanzig Mitarbeiter zusätzlich zu den Daten der Tabelle 131 das Geschlecht ermittelt werden Es zeigt sich, dass die Mitarbeiter t =1, 4, 7, 9, 11, 16, 17 und 19 Frauen sind Die Variable Geschlecht ist nicht quantifizierbar Sie ist eine qualitative Variable

24 v Auer, Ökonometrie Einführung einer Dummy-Variable Beide Regressionen werden wie beim Strukturbruch in einem Dummy- Variablen-Modell zusammengefasst Zu diesem Zweck wird die folgende Dummy-Variable definiert: ½ 0 D t = wenn Mitarbeiter t männlich 1 wenn Mitarbeiter t weiblich (1517) 1542 Ein allgemeines Dummy-Variablen-Modell Das zu (1516) korrespondierende Dummy-Variablen-Modell lautet: y t = α + γd t + β 1 x 1t + δ 1 D t x 1t + β 2 x 2t + δ 2 D t x 2t + u t (1518) Dies führt zu (Männer D t =0): y t = α + β 1 x 1t + β 2 x 2t + u t, (Frauen D t =1): y t = α + γ + β 1 x 1t + δ 1 x 1t + β 2 x 2t + δ 2 x 2t + u t = α + γ +(β 1 + δ 1 )x 1t +(β 2 + δ 2 )x 2t + u t

25 v Auer, Ökonometrie Nummerische Illustration 158 Tabelle 157: Schätzergebnisse des Dummy-Variablen-Modells (1518) Variable Koeff bse(b ) t-wert p-wert Konstante 930,15 136,34 6,82 <0,001 Bildung 60,33 15,33 3,93 0,001 Alter 16,20 3,64 4,45 <0,001 Dummy 142,51 211,67 0,67 0,512 Interakt-D (Bildung) -45,10 32,76-1,38 0,190 Interakt-D (Alter) -7,67 6,21-1,24 0,237 Ist die Diskriminierungsklage berechtigt?

26 v Auer, Ökonometrie Das erwartete Einkommen einer 18-jährigen Frau (x 2t = 18) mit einjähriger Ausbildung (x 1t = 1) beträgt: by t = bα + bγ + b β 1 1+ b δ 1 1+ b β b δ 2 18 Das erwartete Einkommen eines 18-jährigen Mannes mit einjähriger Ausbildung beträgt: by t = bα + β b 1 1+ β b 2 18 Die Differenz beträgt: bγ + b δ 1 1+ b δ 2 18 Einsetzen der Werte der Tabelle 157 liefert: 142, 51 45, , = 40, 65