2. Periodische nichtsinusförmige Größen

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1 . erodsche nchtsnusförge Größen n der Eletrotechn haben neben den Snusgrößen auch nchtsnusförge Größen erheblche Bedeutung. Generatoren lefern n eletronschen Schaltungen Rechtec-, puls- oder Sägezahnspannungen; Strorchterschaltungen erzeugen nchtsnusförge Ströe; Magnetserungsströe von Transforatoren wechen wegen der nchtlnearen Magnetserungsurven von der Snusfor erheblch ab.. Haronsche Synthese Durch Addton von Snusgrößen unterschedlcher Frequenz erhält an enen zwar perodschen, aber ncht snusförgen Verlauf. Be der Überlagerung von snusförgen Ströen t unterschedlcher Frequenz erhält an: + cos ( ωt + ϕ ) Ene trgonoetrsche Rehe nach Gl. (.) wrd FORER-Rehe genannt. Jede Telschwngung lässt sch n en Kosnus- und en Snusgled zerlegen. De Fatoren der trgonoetrschen Funtonen nennt an FORER-Koeffzenten (Gl..): Hert lässt sch Gl. (.) uforen: De Telschwngungen nach Gl. (.) önnen t Hlfe von Zegern veranschaulcht werden. De enzelnen Zeger werden dabe durch das vollständge oplexe Sybol beschreben, das auch de jewelge Kresfrequenz enthält (Gl..5). (t) cosϕ sn ϕ (.) a a + b ( ω t + ϕ ) (.5) b + [a cos( ωt) + b sn( ωt) ] Der Augenblcswert ener Telschwngung für enen belebgen Zetpunt st glech de Realtel des vollständgen oplexen Sybols. Re{ (t)} De cos-funton lässt sch n zwe Exponentalfuntonen uforen: a j ( ωt + ϕ) j ( ωt + ϕ ) e + e (.7) Gl. (.7) stellt de Sue zweer onjugert oplexer Zeger dar, de n entgegengesetzten Rchtungen roteren. Zur Abürzung von Gl. (.7) defnert an en oplexes Sybol: jϕ e (.8) Mt Gl. (.8) forulert an den Augenblcswert ener Telschwngung: (.) (.3) b ϕ arctan (.4) cos ( ω t + ϕ ) (.6) [ ] ( ωt) + ( ωt) (.9) G. Schene, 9.6 Eletrsche Netze und Maschnen FB Techn, Abt. E+ 8

2 De Sue sätlcher Telschwngungen st unter Berücschtgung des Glechstroantels: + ( ωt) + ( ωt) Gl. (.) lässt sch enfacher foruleren, wenn an auch negatve Ordnungszahlen ( < ) enführt und hert de negatven onjugert oplexen, gegenläufgen Zeger beschrebt. - für für Dat lassen sch de Suen n Gl. (.) verengen: + ( ωt) Enen Ausdruc nach Gl. (.) nennt an ene oplexe FORER-Rehe. Se beschrebt für jede Telschwngung en aar von gegenläufgen Zegern, de jewels den halben Betrag der Telschwngungsapltude haben. Für ergbt sch en stllstehender, reeller Zeger der Länge, der den Glechstroantel darstellt. Be Verwendung der oplexen FORER-Rehe ergbt sch der Vortel, dass auch nchtsnusförge perodsche Schwngungen n lnearen Netzweren t Hlfe der oplexen Rechnung behandelt werden önnen.. Egenschaften nchtsnusförger Größen Für zetlch belebg verlaufende Ströe und Spannungen an ene Tor st der Augenblcswert der Lestung (t) u. Snd u und perodsch, so önnen se durch Spetren t ener geensaen Grundfrequenz beschreben werden. De beden Spetren t den Ordnungszahlen und üssen ncht deselben Telschwngungen enthalten. Es glt: Für den Augenblcswert der Lestung glt dann: De Suen önnen n ene zetunabhängge und ene zetabhängge Telsue zerlegt werden. (t) u + u (( + ) ωt) u u ( ωt) ( ωt) + (.4) De Doppelsue n Gl. (.4) stellt den Wechselantel der Lestung dar; sen zetlcher Mttelwert st Null. De zetunabhängge erste Telsue st de Wrlestung, se lässt sch entsprechend Gl. (.5) uforen. Mt Enführung der Effetvwerte erhält an: ( u ( ω t) ) ( ( ω t) ) (t) û + cos ( ϕu ϕ + cos ( ϕu ϕ ) ) (.) (.) (.) (.3) (.5) (.6) G. Schene, 9.6 Eletrsche Netze und Maschnen FB Techn, Abt. E+ 9

3 De Wrlestung an ene Tor st de Sue der Wrlestungen derjengen Telschwngungen, de sowohl n der Spannung als auch Stro enthalten snd. Der Antel cos ( ϕu ϕ ) (.7) der Wrlestung wrd Grundschwngungslestung genannt. Der aus sätlchen Oberschwngungen ( > ) gebldete Antel der Wrlestung st de Oberschwngungslestung. Der Effetvwert enes perodsch schwngenden Stroes st über de Lestung a OHMschen Wderstand defnert. Herbe gehört zu jeder Telschwngung des Stroes ene Telschwngung u der Spannung t glecher Frequenz und gleche Nullphasenwnel. Es glt: ϕ ϕ u R (.8) cos Heraus ergbt sch der Effetvwert: (.9) Für das Spetru der Telschwngungen ener Spannung glt ene entsprechende Bezehung. De Schenlestung S st für nchtsnusförge Ströe und Spannungen we für de Snusgrößen nach DN 4 defnert: S (.) Be nchtsnusförge Verlauf von u und st de Schenlestung ncht de Apltude der Lestungsschwngung. Der Lestungsfator st allgeen: λ (.) S De Blndlestung Q st nach DN 4 auch für nchtsnusförge Größen defnert (ohne Vorzechen): Q S (.).3 Lestung be Snusspannung und nchtsnusförge Stro Besondere Bedeutung hat n der Strorchtertechn der Fall, dass an ene Zwepol Snusspannung ansteht, der Stro jedoch nchtsnusförg st. En derartger Stroverlauf entsteht z.b. durch den Ensatz von Glechrchtern. De Snusspannung besteht her nur aus der Grundschwngung ( ), während der Stro en Spetru von Telschwngungen bestzt: + cos ( ωt + ϕ ) (.3) Be bestten Stroverläufen önnen auch Telschwngungen t Ordnungszahlen < auftreten. Solche nterschwngungen haben also ene gerngere Frequenz als de Nennspannung. G. Schene, 9.6 Eletrsche Netze und Maschnen FB Techn, Abt. E+

4 4 3,5,5 u / V / A ,5 - -,5 (t) ~ u(t) R Erzeugung enes nchtsnusförgen Stroes durch ene Glechrchterdode Für de Wrlestung st nur de Grundschwngung des Stroes aßgebend. cosϕ (.4) Für de Grundschwngung snd auch de Grundschwngungs-Schenlestung S und de Grundschwngungs-Blndlestung Q defnert: S (.5) sn ϕ Q (.6) De gesate Blndlestung Q wrd Gegensatz zur Wrlestung durch de Oberschwngungen und nterschwngungen des Stroes tbestt: Q -4 Q + (.7) De Blndlestung Q enthält außer der Grundschwngungs-Blndlestung Q de Verzerrungslestung D: D (.8) Aus den genannten Defntonen für de Lestungen folgt: t / s S + Q + D (.9) - G. Schene, 9.6 Eletrsche Netze und Maschnen FB Techn, Abt. E+

5 S ϕ Q S 9 9 D 9 9 Q Defnton von Schen-, Wr- und Blndlestung Kennwerte für de Verzerrung von Wechselgrößen gegenüber der Snusfor Neben den Verhältnszahlen von Wechselgrößen Schetelfa tor Schetelwert Effetvwert ; û Forfator F Effetvwert Glechrchtwert ; u und von Mschgrößen Schwngungsgehalt Effetvwert des Wechselantels Effetvwert der Mschgröße Rffelfator Schetelwert des Wechselantels Glechwert der Mschgröße effetve Wellget snd zur Charaterserung nchtsnusförger Wechselgrößen enge Kennwerte nach DN 4 festgelegt. Der Grundschwngungsgehalt g enes Stroes lässt erennen, we star de Grundschwngung t de Effetvwert Schwngungsgesch t de Effetvwert enthalten st. g (.3) Der Oberschwngungsgehalt oder Klrrfator enes Stroes st en Maß für de Verzerrung, d.h. für de Abwechung des Stroes von der Snusfor n (.3) Der Zusaenhang zwschen Klrrfator und Grundschwngungsgehalt g lautet: Effetvwert des Wechselantels Glechwert der Mschgröße + g (.3) G. Schene, 9.6 Eletrsche Netze und Maschnen FB Techn, Abt. E+

6 den Enfluss ener Telschwngung t der Ordnungszahl n ene Schwngungsgesch zu beschreben, verwendet an den Klrrfator der -ten Telschwngung. Es glt: (.33) Für g u und u glt be nchtsnusförger Spannung entsprechendes. u t Stro- und Spannungsverlauf be der hasenanschnttsteuerung u t Stro- und Spannungsverlauf be der ulsbretensteuerung u t Stro- und Spannungsverlauf be der Schwngungspaetsteuerung G. Schene, 9.6 Eletrsche Netze und Maschnen FB Techn, Abt. E+ 3