Kapitel 5 Systeme von Massenpunkten, Stöße

Transkript

1 Katel 5 ystee von Massenunkten, töße

2 Drehoente und Drehuls enes Telchensystes O t : z r r r F x r F F F y F F t (acto = reacto) : F t äußeren Kräften F und F und nneren Kräften F = -F Drehoente : D D r F F r F F Gesat-Drehoent : D D r r F 0 D D r F r r F r F r r r F r F F F d.h. nnere Kräfte tragen ncht zu Drehoent be

3 D r F es glt : D dl dt d.h. nur äußere Kräfte tragen zu Drehoent be De zetlche Änderung des Gesat-Drehulses L enes ystes von Telchen (bezogen auf en belebges Koordnatensyste K), st glech de Gesatdrehoent D aller externen Kräfte (bezogen auf K). Der Gesatdrehuls enes abgeschlossenen ystes (d.h. ohne Wrkung von äußeren Kräften D = 0) st nach Größe und Rchtung konstant! 3

4 chwerunktsyste Physkalsche Glechungen werden oft überschtlcher, wenn Bewegungsgrößen für en yste von Massenunkten aufgetelt werden n Antele bzgl. (a) Bewegung des chwerunkts, und (b) Bewegung der enzelnen Punkte relatv zu chwerunkt () Koordnatensyste K t Ursrung O z P () Koordnatensyste K P t Ursrung chwerunkt z y y P r, r O r (t) P r r, x P x 4

5 ystee von Massenunkten z Defnton des Massenschwerunkts es folgt : t : r M v r r M M r v v v M v kene äußeren Kräfte : F 0 O 0 Der Iuls des chwerunkts (ohne äußere Kräfte) st zetlch konstant. Kraft auf den chwerunkt : F M v d.h. das yste aus Massenunkten (der Körer) bewegt sch so, als ob alle Masse chwerunkt verengt wäre r M r s a x r r, P r, y 5

6 Betrachte Bewegung chwerunktsyste : r r, r r r r r M r Relatv-Bewegung der Massenunkte yste Bewegung des chwerunkts t der Defnton des chwerunkts : M r r folgt : 0 r d dt r v 0 De ue der Iulse chwerunktsyste st Null 6

7 Relatvbewegung unter der Wrkung nterner Kräfte Es gelte für de äußeren Kräfte : 0 F v Es bleben ledglch nnere Kräfte F v Wrkung auf de Bewegung der Massenunkte : v F v F F F d v dt d dt v v Relatvbewegung : F F reduzerte Masse d dt a v F Bewegungs- Glechung d.h. de Relatv-Bewegung des Zwe-Telchensystes verhält sch we de Bewegung enes enzelnen Telchens der reduzerten Masse µ 7

8 Iuls der Relatvbewegung : a v F v v Iuls : F v F Anerkung : Iuls der Relatv-Bewegung chwerunktsyste : I chwerunktsyste glt : und, we allgeen auch außerhalb des chwerunktsystes (s.o.) : 0 v F v F F v F Verglech t : zegt : 8

9 Anerkungen : Reduzerte Masse wegen : glt stets : ebenso : d.h. de reduzerte Masse st er klener als de Enzelassen für : >> Besel : Bewegung des Elektrons u das Proton Wasserstoff-Ato : P e P e t : P = kg, e = kg P / e = 836 µ = e e 9

10 Energen be der Relatvbewegung E kn t : v v v v v v F v E kn v v v v v v F v, v v, v P v = 0, wegen : 0 0

11 kn v v v E kn v M µv E d.h. de gesate knetsche Energe st de ue aus der Energe der Relatv-Bewegung und der Energe der Bewegung des chwerunkts µ µ wr nutzten be der Uforung :

12 töße zwschen zwe Telchen Motvaton : töße snd onden für Kräfte zwschen Telchen (nsbes. n der Mkro-Physk, z.b. Eleentartelchen-Physk) I Folgenden betrachten wr : * Zwe Telchen, kene äußeren Kräfte * Energe und Iulse vor de toß bekannt * Energe und Iulse nach de toß gesucht Grundlage der Rechnungen : Energeerhaltung Iulserhaltung ulaton des Zusaenstoßes zweer Protonen Large Hadron Collder

13 Klassfzerung von tößen Energe-Erhaltung : E Ekn, E kn,e kn, kn, Q Kn. Energen vor de toß Kn. Energen nach de toß nnere Energe Elastsche töße (Q = 0) : De ue der nneren Energe E n der Telchen (z.b. chwngung und Rotaton) blebt unverändert, kene Verluste z.b. durch Deforatonsarbet In-elastsche töße (Q > 0) : Knetsche Energe wrd n nnere Energe der Telchen (oder Rebungswäre) ugewandelt uer-elastsche töße (Q < 0) : Innere Energe der Telchen wrd n knetsche Energe ugewandelt 3

14 Dskusson : Wevele Glechungen snd nötg zur Lösung von toß-probleen? Der Zusaenhang zwschen Engangsgrößen und Ausgangsgrößen be toß st bestt durch Energeerhaltung und Iulserhaltung : erste Bestungsglechung : zwete Bestungsglechung : E Ekn, E kn,e kn, kn, Q Dre Glechungen (für dre Vektor-Koonenten) Gesucht snd sechs Größen, x, y, z ;, x, y, z aus ver Glechungen Wetere Glechungen zur endeutgen Lösung nötg 4

15 Betrachte den Drehuls Zwe-Telchen-yste : L L r v r v M r v L P L P O d.h. Zerlegung des Gesatdrehulses n enzelne Drehulse chwerunktsyste + Drehuls des chwerunkts bzgl. Ursrung O ohne äußere Drehoente glt : L const. P O d.h. Erhaltung der chwerunktbewegung des Körers ebenso glt allg. : L P L P L const. r d.h. Drehulserhaltung r µv r r µ v r,v defneren Rchtung von L P r, v defneren Rchtung von L P 5

16 De Vektoren L P L P r r, r r, v, v legen (vor und nach de toß!) Der toß läuft n ener Ebene ab, de defnert st durch de Vektoren r r r ; v üssen senkrecht zu Redukton der sechs gesuchten Unbekannten auf ver Unbekannte Besel : toß n x,y-ebene Kene z-koonenten n den Iulsen 6

17 Zentraler, elastscher toß Vektoren ; ; snd kollnear zentraler (kollnearer) toß 0 x gesucht : Zwe Unbekannte,x und,x Iulserhaltung : Energeerhaltung :, x, x, x, x, x, x zwe Glechungen für zwe Unbekannte 7

18 Lösung für Iulse nach de toß und Urechnung auf Geschwndgketen : v, x v, x von auf übertragene Energe : v, x v, x E kn, x µ... 4 E kn, 4 E kn, Für << st de reduzerte Masse µ E 0 kn Be zentralen toß von klener auf sehr große Massen (z.b. Ball an Wand) wrd kene Energe auf de ruhende Masse übertragen E Für = = st de reduzerte Masse µ = / kn E kn, Be zentralen toß zwschen glechen Massen (z.b. be Bllard) wrd de gesate Energe auf de ruhende Masse übertragen 8

19 Ncht-kollneare töße : Erhaltungssätze Wechselwrkungsgebet Iulserhaltung legt fest : Drehulserhaltung legt fest :,,, legen n ener Ebene Energeerhaltung legt fest:, 9