Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra I WS 2003/2004 Musterlösung zu Blatt 4

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1 Prof. Dr. Helmut Lening Pderorn, den 0. Novemer 00 Mrkus Diekämper, Andrew Huer, Mr Jesse Age is. Novemer 00, Ur Üungen ur Vorlesung Linere Alger I WS 00/004 Musterlösung u Bltt 4 AUFGABE (4 Punkte): Gegeen sei ein Dreiek mit den Ekpunkten,. Beweisen Sie die folgenden Aussgen: ) Die Höen des Dreieks sneiden si in einem Punkt. ) Die Mittelsenkreten sneiden si in einem Punkt m. ) Der Swerpunkt s des Dreieks, der Mittelsenkretensnittpunkt m der Höensnittpunkt liegen uf einer Gerden. d) Der Swerpunkt teilt die Streke von n m im Verältnis :. Lösung: ) Wir wollen wei versiedene Möglikeiten ngeen, um die Aussge u eigen. In der ersten Vrinte wird die Aussge ewiesen, one den Höensnittpunkt epliit nugeen. Der Beweis wird ddur ser üersitli ist ser kur. In der weiten Vrinte wird der Höensnittpunkt epliit usgerenet. Erste Möglikeit Wir etrten ds folgende Dreiek mit den Ekpunkten,. PSfrg replements D je wei Höenvektoren liner unängig sind, sneiden si je wei Höen in einem Punkt. Wir nemen der one Einsränkung n, dss si die eiden Höen, die senkret uf den Vektoren steen, den gemeinsmen Snittpunkt en. Wenn wir eigen können, dss senkret uf stet, dnn wissen wir, dss si lle Höen in sneiden. N Vorussetung gelten lso, 0, 0. Wir müssen eigen, dss ierus, 0 folgt. Dem Dreiek entnemen wir die Beieungen +,

2 Es folgt der +. 0, +,, +, sowie 0, +,, +,. PSfrg replements Sutrieren wir die weite Gleiung von der ersten Gleiung, so erlten wir 0,, Zweite Möglikeit Wir seten die Beeinungen so, wie sie in der folgenden Aildung u seen sind. Die Ritungsvektoren lssen si wie folgt erenen: sowie + r + r + s + s mit reellen Zlen r s. Der Ritungsvektor stet senkret um Ritungsvektor. Also muss, 0 gelten. Aus erlten wir In entspreender Weise folgt 0, + r,, + r, r s,,.,,. Wir möten den gemeinsmen Snittpunkt der eiden Höen estimmen. Du etrten wir die eiden Gerdengleiungen der eiden Höen, wele dur (t ) + t

3 (t ) + t mit t, t R esrieen werden können. Dur Gleiseten der eiden Gleiungen erlten wir t w. t können mit diesen dnn den gemeinsmen Snittpunkt erenen. (t ) (t ) + t ( + r) + t ( + s) t ( + r) + t ( + s) 0 + t t r t + t s 0 ( t t r) + ( + t + t s) 0 D die Ritungsvektoren liner unängig sind, können wir us der letten Gleiung folgern, dss t t r 0 + t + t s 0 gelten. Mn erält somit t t s t t r weiter dur gegenseitiges Einseten dnn t ( t s)r r + t sr t ( sr) r t r sr t t s ( ) r s sr sr s + rs rs s rs Dur Einseten der ereits ereneten Werte von r s in t t erält mn t,,,,,,, t,,,,,,,. Einseten von t in (t ) w. von t in (t ) fürt u (t ) (t ),,,,,,, +,,,,,,,,,,,,, +,,,,,,. Es gilt ttsäli (t ) (t ) (mn knn dies leit verifiieren - verwende ieru, dss + gilt). Somit ist (t ) (t ) der Snittpunkt der eiden Höen (wir können ntürli u mittels der Ekpunkte des Dreieks usdrüken, indem wir die Beieungen verwenden). Wir müssen nun no nweisen, dss u uf der dritten Höe des Dreieks liegt. Betrte du die folgende Skie:

4 PSfrg replements Die Höengerde uf stet senkret uf einltet den Punkt. Wenn wir eigen können, dss, 0 gilt, dnn wissen wir, dss u die dritte Höe unseren Punkt sneidet. Wir wollen dieses eigen. Es gilt:,,,,, +,,,,,,,,,,,,,, +,,,,,,,,,,,,,,, +,, +,,,,,,,,,,,,, +,,,,,,,,,,,,,,,,,, +,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, +, +,,,,,, +,,,,, 0 Die Höen eines Dreieks sneiden si somit im gemeinsmen Punkt. ) Betrte ds folgende Dreiek mit den Ekpunkten, den Seitenmittelpunkten,. m N ) wissen wir, dss si die Höen des Dreieks mit den Ekpunkten, in einem Punkt sneiden. ist er gerde u der Snittpunkt m der Mittelsenkreten des großen Dreieks mit den Ekpunkten,. Die Mittelsenkreten eines Dreieks sneiden si somit in einem Punkt m. m knn mn ntürli wieder epliit mittels, usdrüken. Du erenet mn den Höensnittpunkt des Dreieks mit den Ekpunkten, ersett nsliessend,, dur Ausdrüke, wele dur, esrieen werden. )+d) Wir etrten noeinml die Skie us Aufgenteil ) wollen unäst eigen, dss ds Dreiek mit den Ekpunkten, ds Dreiek mit den Ekpunkten, änli sind. Es gilt sierli + ( ) + ( ). 4

5 Hierus folgt ( ). In entspreender Weise erält mn ( ) ( ). Also sind die eiden Dreieke änli ire Seiten verlten si wie :. Wir erinnern uns, dss s m der Mittelsenkretensnittpunkt m gerde der Höensnittpunkt in dem kleinen Dreiek wr. D die Dreieke im Verältnis : änli sind, gilt dnn insesondere u ( m). Nun erenen wir die Vektoren, s m. Diese sind + ( ) s + ( ) + ( ) + m + (m ) ( ). (Bete: In s kommt die Zl der, dss der Swerpunkt s die Seitenlierende im Verältnis : teilt). Wir seten u : s v : m s wollen u v eigen. Denn wenn wir dies geeigt en, wissen wir, dss, s m uf einer Gerden liegen der Punkt s die Streke von m n im Verältnis : teilt. Es gilt u s (s ) ( ) + ( + ( )) ( ) dmit folgt dnn v m s (m ) (s ) ( ) ( + ) u Dmit en wir ) d) geeigt. Die Gerde dur, s m eißt Eulerse Gerde. 5

6 AUFGABE (4 Punkte): Seien die Vektoren 0 0 gegeen. Beweisen Sie die folgenden Aussgen: ) Die Vektoren sind genu dnn liner ängig, wenn 0 ist. ) Die Vektoren sind genu dnn liner unängig, wenn ds Sstem,, liner unängig ist. ) Es gilt genu dnn, wenn ortogonl sind. Lösung: ) Hier sind wei Ritungen u eigen. Wir eigen unäst. Wir nemen n, dss die Vektoren liner ängig sind, dies edeutet n Definition, dss ein 0 r R eistiert mit r. Ds Vektorprodukt lässt si mittels dieser Kenntnis wie folgt umsreien (r) (V) r( ) r0 0. Gluen wir die Regel (V), so erlten wir snell, dss 0 ist. Denn n dieser Regel gilt, ws nur für den Nullvektor gelten knn. Nun seen wir den Ritung ein. Wir nemen lso n, dss 0 ist. Betrten wir die Beträge, so ekommen wir 0 0 sin( (, )). Nun sind eide vom Nullvektor versieden. Wir sließen der, dss sin( (, )) 0 ist. Es kommen lso nur die Winkel (, ) 0 oder (, ) π in Frge. Dmit en die sele oder entgegengesette Ritung. Es ndelt si lso um prllele Vektoren. Dmit git es ein 0 r R mit r. Die Vektoren sind lso liner ängig. ) Wir weisen unäst die Ritung n. Sei lso ds Sstem,, liner unängig, wir können lso us der Gleiung r + s + t( ) 0 mit reellen r, s t die Gleiungen r 0, t 0, s 0 folgern. Um die linere Unängigkeit von u eigen, müssen wir us der Gleiung r + s 0 sliessen, dss r s 0 gilt. Wir nemen uns die Gleiungen r + s 0 r + s + t( ) 0 er erlten die Beieung r + s r + s + t( ), wele si äquivlent u (r r ) + (s s ) + t( ) 0 umformen lässt. Aufgr der vorusgesetten lineren Unängigkeit von,, muss r r, s s t 0 gelten. Eenso wissen wir, dss r s 0 sein muss, so dss wir r s 0 erlten. Die Vektoren sind lso liner unängig. Wir eigen no. Seien die Vektoren liner unängig. Wir müssen nweisen, dss ierus die linere Unängigkeit des Sstems,, folgt. Du etrten wir r + s + t( ) 0 mit reellen r, s t. Zu eigen ist dnn 6

7 r s t 0. Wir wissen, dss ein Vektor ist, der uf senkret stet. Der ilden wir r + s + t( ), erlten r 0 + s 0 + t 0. Aus der Annme 0 folgt n Teil ) die linere Aängigkeit der Vektoren. Dieses ist er ein Widerspru u unserer Vorussetung. Es gilt der t 0. Aus der vorusgeseten lineren Unängigkeit von ergit si ferner r s 0. Wir en lso nun r s t 0 geeigt. Nimmt mn St. der Vorlesung ur Hilfe, so knn mn ) u wie folgt eigen:,, ist liner unängig (,, ) 0, sin(, ) 0 0, 0 sin(, ) 0 Die Vektoren sind nit prllel. sind liner unängig. ) sin( (, )) sin( (, )) (, ) π os( (, )) 0 os( (, )) 0, 0 Die Vektoren sind ortogonl Wir erinnern drn, dss wir nur Winkel wisen 0 π etrten. AUFGABE (4 Punkte): Betrten Sie ds von den Vektoren,, ufgespnnte Spt (siee Aildung ). PSfrg replements w v N u Aildung : Ds ufgespnnte Spt mit den Vektoren u, v w Zeigen Sie, dss die Vektoren u, v, w, wele die mrkierten Seitenmitten verinden, in einer Eene liegen. Betrten Sie du (u, v, w). Lösung: Wir stellen erst u, v w mittels, dr. Wir erlten: 7

8 u + ( + ) v + + ( + ) ( + ) w + + ( + + ) ( ) Wenn wir genu inseen, emerken wir, dss v u w gilt. Hierus ergit si, dss w uf der Eene liegt, die dur v u ufgespnnt wird. Wir sollen er lut Aufgestellung ds Sptprodukt der drei Vektoren etren. (u, v, w) Def u v, w V ektorprod ( + ) ( + ), ( ) + + +, Sklrprod ortogonl (Sp ) [, +, +, +, ] [,, +,, +,, ] [,, ] [(,, ) (,, )] [(,, ) (,, )] 0 0 Nun können wir mit St. der Vorlesung folgern, dss die Vektoren u, v, w liner ängig sind. N Aufge Bltt liegen dnn diese Vektoren uf einer Eene. AUFGABE 4 (4 Punkte): Gegeen sei eine Ortonormlsis e, e, e des Ansuungsrumes. Wir etrten die in Prmeterform + u + v gegeene Eene E mit e + 5e e, e + e + e e + e e. u, v R. Ferner etrten wir drei weitere Punkte p e + 6e + e, p 5e + e e p 0e e + 7e. Berenen Sie den Astnd der Punkte p, p p u der Eene E. Lösung: Als erstes stellen wir die Vektoren dur ire Koordinten dr. Dieses vereinft unsere Renungen ereli. 5,, p 6, p 5, p 0 7

9 Wir estimmen unäst die Hesse-Normlform von E. Du müssen wir erenen. N den Reenregeln für Koordinten (siee Vorlesung. (.7)) müssen wir du die Determinnten,,,,,,,,,,,, w. erenen. Wir ekommen lso. Dur die Normierung ekommen wir den Stellungsvektor e. Die Berenung des Sklrproduktes, e n. (.6) git uns, e 5 Die Hesse Normlform von E lutet lso,, 4 4 Nun können wir die Astände der Punkte p, p p estimmen. Der Astnd eines Punktes p ur Eene E erenet si n 7.6 der Vorlesung ls Betrg von p, e, e. In unserer Sitution ekommen wir ) p, e, e ) p, e, e ) p, e, e ,,,