FH- Kurs Mathematik. Übungsaufgaben zur Vorbereitung der 1. Klausur

Transkript

1 . Leiten Sie die folgenden Funktionen f jeweils dreimal ab:. a) b) f ( x) = x x + 5x f ( x) = x ( x + 5) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f mit f ( x) = x x 5x + 6 mittels Polynomdivision. Die erste Nullstelle ist mit Hilfe des Horner Schemas zu ermitteln. Berechnen Sie die Koordinaten der Extrema(Hochpunkt und Tiefpunkt). Dabei sind rechnerisch mittels. und. Ableitung Hoch- bzw. Tiefpunkt nachzuweisen. Skizzieren Sie den Graphen(mindestens 8 Wertepaare) und geben Sie die Linearfaktordarstellung der Funktion an.. Gegeben ist die Funktion f mit 9 f ( x) = x + x x. 8 a) Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Wendepunkte. (Sämtliche Bedingungen überprüfen und die Wendepunkt -Koordinaten berechnen!) b) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente und der Normalen und zeichnen Sie die Graphen in das vorgegebene Schaubild des Funktionsgraphen ein(seite ). (Bemerkung: Die Normale steht senkrecht auf der Wendetangente) Die Graphen der Wendetangente und der Normalen sind ordnungsgemäß zu beschriften. 4. Es sollen zylindrische Blechbehälter für ein Fassungsvermögen V mit möglichst geringen Materialkosten, d.h. mit minimalem Blechbedarf hergestellt werden. Bestimmen Sie den Durchmesser d und die Höhe h des Zylinders mit minimaler Oberfläche(Die Wandstärke soll vernachlässigt werden). Welchen Durchmesser und welche Höhe ergeben sich für ein Fassungsvermögen von V= l (=000 cm )?

2 Zu Aufgabe Nr. Funktionsgraph Funktionsgleichungg: 9 f x = x + x x 8 = +

3 5. x x 7 Gegeben: f(x)= + x 4 4 Gesucht: a). und. Ableitung b) Extrema 6. Eine Parabel schneidet die x- Achse bei x= und geht durch die Punkte A(/-) und B(-/-). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung in Polynom- und Linearfaktorschreibweise sowie sämtliche Nullstellen. 7. Gegeben ist die Funktion f mit = f(x) x x. a) Untersuchen Sie den Funktionsgraphen auf Symmetrie. b) Berechnen Sie die Schnittpunkte mit der x- Achse(=Nullstellen) c) Berechnen Sie die Koordinaten der Extrema(Hoch- und Tiefpunkte) und den Wendepunkt. d) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendtangenten. e) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen und die Wendetangenten.

4 8. Für eine Wasserrinne soll ein Blech der Breite s= 40 cm und beliebiger Länge verwendet werden. Der Querschnitt der Rinne soll ein Halbkreis mit aufgesetztem Rechteck sein. Es ist sinnvoll, die Rinne so zu formen, dass sie möglichst viel Wasser aufnehmen kann. Dazu muss der Querschnitt maximal werden. Berechnen Sie, wie die Rinne dazu geformt werden muss. 9. Ein Geländewagen soll eine Anhöhe hinauffahren. Das Anstiegsprofil x x verläuft nach der Funktion f mit f(x) = + im Intervall [ 0 ; 0 ] a) Berechnen Sie die Höhe und Steigung bei x= 0m und x= 0m. b) Der Hersteller des Geländewagens gibt an, dass das Fahrzeug Steigungen bis 4º bewältigt. Kommt der Geländewagen die Anhöhe hinauf? c) Bis auf welche Höhe kommt der Geländewagen maximal? d) Berechnen Sie die maximale Steigung des Hangs. 4

5 Zwischen dem Graphen der Funktion f(x)= x x + und der 5 5 x- Achse soll ein Rechteck mit maximalem Inhalt wie in der Zeichnung einbeschrieben werden. Untersuchen Sie, wie groß der maximale Rechteckinhalt ist und welche Längen die Rechteckseiten haben. 9 4 f(x) = x x A max =? 5

6 Lösung:. f ( x) = x x + 5x f '( x) = x 4x + 5 f ''( x) = 6x 4 f '''( x) = 6 f ( x) = x ( x + 5) 4 5 f ( x) = x x 0 f '( x) = x x f '( x) = 6x 5x f ''( x) = 8x 5 f '''( x) = 6x. Nullstellen: N =(/0) N =(/0) N =(-/0) T H = (, / 4, 06) = ( 0,79 / 8, ) 6

7 Funktionsgraph: 7

8 . Funktionsgraph mit Wendetangente und Normale yt =,5x yn 7 = x 9 f ( x) = x + x x 8 W=(4/-5) 8

9 4. Der Blechbedarf ist am geringsten, wenn Durchmesser und Höhe gleich sind (d= h). d = 4V π h = 4V π Für V=000cm : d h 5,6 cm = = 5. a) Ableitungen: x x 7 f '(x) = + 4 x f ''(x) = + b) Extremwerte: E =,8 ;,86 E =,8 ; 5,69 9

10 6. Funktionsgleichung: Polynomschreibweise : Linearfaktorschreibweise : 5 5 = = ( ) f(x) x x f(x) x x 5 = 8 8 f(x) x x N = ; 0 5 N = ; 0 0

11 7. a) Symmetrie: Der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur y- Achs, da es sich um eine gerade Funktion handelt. Da wir bei x nur gerade Hochzahlen haben, ist f(x) = f(-x). b) Nullstellen: / 4 N = 0;0 (doppelte Nullstelle = Extrempunkt) N =,8; 0 N =,8; 0 c) Extrema: = ( ) E 0;0 N ; E : 4 ; E ;4 / d) Wendepunkte: ( ) W,5;, ; W,5;, Gleichungen der Wendetangenten: y =,079x, y =,079x, Steigung des Funktionsgraphen f'(x)= Steigung der Geraden + = -x 4x ( ) ( ) Die Punkte sind: A ;,75 ; B,;,58 ; C,0;,67

12 e) Funktionsgraph: y = -,079x-, y =,079x-, f(x) = x + x 4 4

13 8. a) f(0)= 8m ; m=, ; f(0)=6 m ; m=0 b) nein c),5 m d), 9. Zielfunktion : π = π + f(x) = π x + x 0 x x=,7 cm A max = 55 cm 0. Zielfunktion : 4 8 = f(x) = x x + x E max x = lokale Maximalstelle a = LE b =,7 LE A =,5 FE Die Rechteckseiten müssen LE und ca.,7 LE lang sein, damit der meximale Rechteckinhalt von ca.,5 FE erreicht wird.