Zinseszinsformel (Abschnitt 1.2) Begriffe und Symbole der Zinsrechnung. Die vier Fragestellungen der Zinseszinsrechnung 4. Investition & Finanzierung

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1 Znsesznsformel (Abschntt 1.2) 3 Investton & Fnanzerung 1. Fnanzmathematk Unv.-Prof. Dr. Dr. Andreas Löffler t Z t K t Znsesznsformel K K 1 = K 0 + K 0 = K 0 (1 + ) K 2 = K 1 + K 1 = K 1 (1 + ) = K 0 (1 + ) K 3 = K 2 + K 2 = K 2 (1 + ) = K 0 (1 + ) 3 Verallgemenerung lefert de Znsesznsformel Verson vom 12. März 2013 K n = K 0 (1 + ) n = K 0 q n Begrffe und Symbole der Znsrechnung 2 De ver Fragestellungen der Znsesznsrechnung 4 Laufzet n (Jahre) Znssatz (Prozentsatz) Anfangskaptal K 0 (Geldenheten) Endkaptal K n (Geldenheten) Ab und an fndet wrd das Symbol q = 1 + verwendet. Wenn dre (belebge) Größen gegeben snd, lässt sch de verte mmer berechnen. K n = K 0 (1 + ) n 1 K 0 = K n (1 + ) n = K n(1 + ) n ( ) ln Kn K 0 n = ln(1 + ) = n Kn K 0 1

2 Dskonterungsfaktor 5 Auf und Abznsungsfaktoren 7 Der Dskonterungs oder Abznsungsfaktor (1 + ) n beschrebt, we vel Geld man heute (t = 0) anlegen muss, um be enem Zns n Höhe von nach n Jahren Anspruch auf 1 e zu erwerben. Man kann hn daher als Pres für künftge Zahlungen nterpreteren. Aufznsungsfaktor: (1 + ) n Abznsungsfaktor: (1 + ) n n = 5 % = 10 % = 15 % = 5 % = 10 % = 15 % 1 1,0500 1,1000 1,1500 0,9524 0,9091 0, ,1025 1,2100 1,3225 0,9070 0,8264 0, ,2763 1,6105 2,0114 0,7835 0,6209 0, ,6289 2,5937 4,0456 0,6139 0,3855 0,247 Excel: Extras oder Daten Datentabelle/Mehrfachoperaton Aufznsungsfaktor 6 Begrffe und Symbole der Rentenrechnung 8 Der Aufznsungsfaktor (1 + ) n beschrebt, we vel Geld man nach n Jahren erhält, wenn der Zns gerade beträgt und man 1 e anlegt. Laufzet n (Jahre) Znssatz (Prozentsatz) Rente r (Geldenheten) Rentenendwert R n (Geldenheten) Rentenbarwert R 0 (Geldenheten) Man kann hn daher als künftger Wert heutger Zahlungen nterpreteren.

3 Endwert ener veränderlchen Rente (Abschntt 1.3) 9 r e r e r e n 3 10 % Intuton: Ergebns ener Geldanlage (Rentenverscherung) Endwertformel für glech blebende nachschüssge Rente 11 Es glt r 1 = r 2 =... = r n = r. In desem spezellen Fall können wr we folgt rechnen (q = 1 + ): R n = rq n 1 + rq n rq 1 + rq 0 q R n = rq n + rq n 1 + rq n rq 1 Zeht man von der letzten Glechung de erste ab, ergbt sch (1 + )R n R n = rq n r R n = r (q n 1) R n = r (1 + ) n 1. Endwertformel veränderl. nachschüssge Rente 10 Rentenbarwertformeln Aus der Znsesznsrechnung wssen wr, dass 12 t Z t r t R t Rentenformel R 1 = r R 2 = R 1 + R 1 + r 2 = r 1 (1 + ) + r R 3 = R 2 + R 2 + r 3 = R 2 (1 + ) + r 3 = (r 1 (1 + ) + r 2 ) (1 + ) + r 3 = r 1 (1 + ) 2 + r 2 (1 + ) + r 3 = r 1 (1 + ) 2 + r 2 (1 + ) 1 + r 3 (1 + ) 0 Wr erhalten also allgemen R n = r 1 (1 + ) n 1 + r 2 (1 + ) n r n (1 + ) 0 = r t (1 + ) n t. K 0 = K n (1 + ) n glt. Daher erhalten wr für den Barwert ener veränderlchen nachschüssgen Rente R n = r t (1 + ) n t = R 0 = r t (1 + ) t und für den Barwert ener glech blebenden nachschüssgen Rente R n = r (1 + )n 1 = R 0 = r (1 + )n 1 (1 + ) n. Intuton: farer Pres ener Geldanlage (Entschädgungszahlung)

4 Barwert ener ewgen glech blebenden Rente 13 Begrffe und Symbole der Tlgungsrechnung 15 ( (1 + ) n ) R 0 = lm r 1 n (1 + ) ( n ) 1 1 = r lm n (1 + ) ( n ) 1 1 = r lm n (1 + ) } {{ n } =0 Schuldbetrag m Zetpunkt t K t (e) Znssatz (%) Laufzet n (Jahre) Tlgungsrate m Zetpunkt t T t (e) Znsbetrag m Zetpunkt t Z t (e) Annutät m Zetpunkt t A t (e) = r. De acht Fragestellungen der Rentenrechnung 14 Wenn dre (belebge) Größen gegeben snd, lässt sch de jewels verte mmer berechnen. Rentenbarwertrechnung Rentenendwertrechnung R 0 = r (1 + )n 1 (1 + ) n R n = r (1 + )n 1 (1 + ) n r = R 0 (1 + ) n 1 n = ln ( ) r r R 0 ln (1 + ) r = R n (1 + ) n 1 n = ln ( r+ R n ) r ln (1 + ) =... (Excel) =... (Excel) Excel: Extras Zelwertsuche Grundglechungen der Tlgungsrechnung (Abschntt 1.4) 16 A t = T t + Z t K t = K t 1 T t K 0 = T t Z t = K t 1 Daraus folgt (ohne dass das her bewesen wrd) K 0 = A t (1 + ) t.

5 Ratentlgung 17 Annutätentlgung 19 Charakterstsches Merkmal: glech blebende Tlgungsraten Charakterstsches Merkmal: glech blebende Annutäten T 1 = T 2 =... = T n = T. A 1 = A 2 =... = A n = A. Berechnung der Tlgungsrate: Der Rest st unkomplzert. T = K 0 n. Berechnung der Annutät: A = K 0 (1 + ) n (1 + ) n 1. (De Annutät st ene glechblebende Rente.) Der Rest st ncht komplzert. Ratentlgung (Abschn ) 18 Annutätentlgung (Abschn ) 20 K 0 = = 10% n = 3 K 0 = = 0.1 n = 3 T = = 700 A = = 844, 44 t K t 1 Z t T t A t t K t 1 Z t T t A t ,00 210,00 634,44 844, ,56 146,56 697,89 844, ,67 76,77 767,67 844,44 Nützlch st auch der Zusammenhang: T t+1 = T t (1 + ).

6 Zusammenfassung 21 Dskonterungsfaktoren snd Prese zukünftger Geldmengen, Aufznsungsfaktoren snd zukünftge Werte heutger Geldmengen Regelmäßge Zahlen zu verschedenen Zetpunkten lassen sch durch Znseszns-, Renten- und Tlgungsformeln erfassen. Im Fall der ewgen Rente glt sogar r. Be ener Ratentlgungen st de Tlgung konstant, be ener Annutätentlgung de Annutät.

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