Rekursive Folgen. Ermittle jeweils drei weitere Elemente. Gegen welchen Wert könnte die Folge streben? c Roolfs 3 2, 7 5, 17 12,...

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1 Rekursive Folgen Ermittle jeweils drei weitere Elemente. Gegen welchen Wert könnte die Folge streben? a) b) c) d) e), 7 5, 7,... 4, 9 5, 9 4,..., 5, 4 8,..., 5, 7,..., 7, 0,...

2 Rekursive Folgen Ermittle jeweils drei weitere Elemente. Gegen welchen Wert könnte die Folge streben? a) b) c) d) e), 7 5, 7, 4 9, 99 70, 9 69,...? 4, 9 5, 9 4, 47, 80, 7 9,...?, 5, 4 8, 8, 04 60, 84 64,...?, 5, 7, 4 0, 6, 65 8,...?, 7, 0, 7, 04, 75 6,...? 5

3 Bildungsgesetz Den Folgen, 7 5, 7, 4 9, 99 70, 9 69,...? 4, 9 5, 9 4, 47, 80, 7 9,...? liegt das Bildungsgesetz + = + + = + zugrunde, Z Zähler, N Nenner. Weiter gilt:, 5, 4 8, 8, 04 60, 84 64,...? + = + + = +, 5, 7, 4 0, 6, 65 8,...? + = = +, 7, 0, 7, 04, 75 6,...? 5 + = = +

4 ist irrational, 4, 0 7, 4 7, 58 4, 40 99, 8 9, ,... Wird eine Folge gemäß gebildet, so kann mit + = + + = + = + + = + + zurückgerechnet werden. Nehmen wir an, dass als Bruch darstellbar wäre, = p q. Daraus folgt: p = q p pq = q pq p (p q) = q (q p) p q = q p p q Wir können p > q annehmen, dann muss auch q p > 0 sein (siehe letzte Gleichung). Für ist q p p q ein Bruch mit kleinerem Nenner, beachte p q < q wegen q p > 0. Dieser Vorgang kann unbegrenzt wiederholt werden. Das ist jedoch nicht möglich, da der Nenner eine natürliche Zahl ist. Die Voraussetzung muss falsch sein. Für 4 = p q bleibt 4q p p q wegen p = q konstant. 4

5 Grenzwert Zum Nachweis, 7 5, 7, 4 9, 99 70, 9 69,... wird die Entwicklung der Zähler und Nenner in die Matrizenschreibweise übertragen. + = + + = + + = + Die explizite Form mit Hilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren lautet dann: = ( + ) n c + ( ) n c Für n = 0 ist das der Startvektor als Linearkombination der Eigenvektoren und den Koeffizienten c, c. Der. Summand strebt wegen 0,4 gegen null und der Quotient N gegen. Bei der Quotientenbildung fällt ( + ) n c heraus. n Der Grenzwert ist unabhängig vom Startvektor. Eigenvektoren und Eigenwerte von a sind a, + a und a, a. Rekursive Folgen können als Vorbereitung des Grenzwertbegriffs dienen, die Verwendung von Excel böte sich an. Die Matrizenrechnung wurde in Niedersachsen aus dem Lehrplan gestrichen. 5

6 Grenzwert, alternativ Zum Nachweis der Konvergenz der Folgen mit + = a + (a > ) + = + wird die Beschränktheit gezeigt (Schreibweise ohne Indizes). an + Z N + Z < a an + Z < an + az Z < az Wenn es nur einen Häufungspunkt gäbe, dann würde gelten: an + Z N + Z = Z N an + NZ = NZ + Z an = Z a = Z N , 8, 0, 9, 6 4, ,... 7 Es müsste die Existenz mehrerer Häufungspunkte ausgeschlossen werden. Wir zeigen:. Die Folge oszilliert um a.. Der Abstand aufeinanderfolgender Elemente verkürzt sich mit den Faktor q, q <. Aus. und. folgt die Konvergenz gegen a. 6

7 Grenzwert, alternativ Nachweis der Konvergenz der Folgen gegen a mit + = a + (a > ) + = +. Die Folge oszilliert um a. > a = + + < a + + < a a a < ( a ) Es gilt a a = a( a ) Mit der Voraussetzung folgt die Behauptung. < a = + + > a ist nun auch zu sehen.. Der Abstand aufeinanderfolgender Elemente verkürzt sich mit den Faktor q, q <. Annahme: > a, d.h. a = d, = d + a = a + + = d( a ) + d + a < q d mit q < wähle q mit a = q a 7

8 Der (sperrige) Fall < a führt mit a = d, = a d zu + N a = d( a ) n+ d + a = dq a d + q d mit q < und d 0, d.h. d a , 0, 40 05, , , , Das Beispiel zeigt, dass die Abstände zur Wurzel auch größer werden können. Nur wenn man dem Grenzwert nahe genug kommt, d, ist gesichert, dass die Abstände monoton abnehmen. Der Fall d > ist noch offen. Daher beschreiten wir einen anderen Weg. Aus der Umformung an + Z N + Z = a + Z N + Z N ist zu erkennen, dass die rekursive Folge auch durch iterierte Funktionswertbildung mit f(u) = a + u + u entsteht. u, f(u), f(f(u)), f(f(f(u))),... 8

9 f(u) = a + u + u, a = 00, Startwert u = g(u) = f(f(u)) Startwert u = Startwert u = 0 g (u) = (a ) (+u+a) g (u) = 4(a ) (+u+a) Der Graph von g ist somit rechtsgekrümmt. g beschreibt die Folge mit der Schrittweite. Hiermit haben wir eine Begründung für die Grafik auf der vorigen Seite. 9

10 Fibonacci-Folge Das im Jahre l0 von Leonardo von Pisa (genannt Fibonacci) veröffentlichte Mathematikbuch enthielt folgende Frage zur Entwicklung einer Kaninchenpopulation: Jeden Monat wirft jedes Paar erwachsener Kaninchen Paar Junge. Die Jungen werden im zweiten Monat erwachsen und werfen von da an ebenso in jedem Monat Paar Junge. Wie viele erwachsene Kaninchenpaare gibt es zu Beginn eines jeden Monats, wenn zum Beginn des 0. Monats genau ein eben geworfenes Kaninchenpaar vorhanden ist und wenn keine Kaninchen verenden? Schematische Darstellung der Entwicklung der Population: Monat Jungtiere 5 8 ց ր րց րց րց րց րց րց րց րց erwachsene Paare ց ր erwachsen werden zeugen Sei y i die Zahl der erwachsenen Paare zu Beginn des i-ten Monats, dann gilt: y 0 = 0, y =, y i+ = y i + y i+, i 0 0

11 Fibonacci-Folge y 0 = 0, y =, y i+ = y i + y i+, i 0 Ansatz: eingesetzt: y i = k i k i+ = k i+ + k i vereinfacht: k k = 0 k = + 5, k = 5 allgemeine Lösung: y i = c ( + 5 ) i + c ( 5 ) i 40 y 0 = 0 c + c = 0 c = c y = c + 5 c (... ) = c 5 = c = 5 = c c 5 = 90 y i = 5 [( + 5 ) i ( 5 ) i ], i i

12 Weitere Folgen Der Folge, 7 0, , ,... 5 liegt das Bildungsgesetz + = 5N n = 6N n + Z n zugrunde. Der 4. Bruch liefert 5 gültige Nachkommastellen (ohne zu runden). Allgemein: Eine Folge mit dem Bildungsgesetz + = ann + (a + ) + = (a + )Nn + Zn konvergiert gegen a. Für Excel eignet sich die Folge: a n+ = a + (a + )a n (a + ) + a n