Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1/8.2)

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Hanna Kästner
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1 Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1/8.2) treten in vielen Algorithmen auf: Eine Rekursion ist eine Folge von Zahlen a 0, a 1, a 2,.., bei der jedes a n aus seinen Vorgängern berechnet wird: Beispiele a n = f n (a n 1, a n 2,..., a n k) Horner-Schema: y i = y i 1 x + b i, Verzinsung mit Zinssatz r: a n = (1 + r) a n 1, Approximation von ( ) 2: a n = 1 a 2 n 1 + 2, Speicherplatz auf CDs: a n = a n 1 + a n 2. an 1 Allgemein basieren zahlreiche Verfahren zur näherungsweisen Lösung von Gleichungen bzw. Gleichungssystemen auf Rekursionen. folgen.pdf, Seite 1

2 Einschub: Folgen (Teschl/Teschl 6.1) Eine (Zahlen-)Folge (a n ) = (a n ) n N ist eine Abbildung a : N R, n a n. Die reellen Zahlen a 1, a 2, a 3,... heiÿen Folgenglieder. Beispiel: a n = 2 n ergibt die Folge 2, 4, 8, 16,..., die Folgenglied a 6 ist dann gleich 2 6 = 64. Mögliche Beschreibung von Folgen durch geschlossenen Ausdruck (Funktionsgleichung), z. B. (an ) = ( 1 n (an ) = ( n+1 n (an ) = (( n ) : 1, 1 2, 1 3,... ) : 2, 3 2, 4 3, 5 4,... ) n ) : 2; 2, 25; 2, 37; 2, 44;... Hier kann zu gegebenem n N das Folgenglied a n direkt berechnet werden. folgen.pdf, Seite 2

3 Rekursive Folgen Hier wird jedes Folgenglied aus seinem/seinen Vorgänger(n) berechnet, d. h. um a n zu berechnen, müssen vorher a 1, a 2,..., a n 1 bestimmt werden. Beispiele ( ) Die Rekursionsvorschrift a n = 1 a 2 n 1 + ( ) 2 an 1 bzw. a n+1 = 1 a 2 n + 2 mit dem Startwert a an 1 = 1 ergibt die ) Folge a 1 = 1; a 2 = (a a1 = 3; 2 ) ( a 3 = (a a2 = ) = 17 1, 417; 12 ) a 4 = (a a3 1, 414; a 5 1, 414;... Mit a 0 = a 1 = 1 und der Rekursionsvorschrift a n+1 = a n + a n 1 erhält man die Folge der FibonacciZahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., bei der jedes Folgenglied die Summe seiner zwei Vorgänger ist. folgen.pdf, Seite 3

4 Konvergenz Eine Folge (a n ) konvergiert gegen den Grenzwert a R, wenn ε > 0 N 0 N n N 0 : a n a < ε, Für alle ε > 0 gibt es ein N 0 N, sodass für alls n N 0 gilt a n a < ε. Notation: lim n a n = a (von lateinisch Limes Grenze) In Worten: Die Folgenglieder a n nähern sich für groÿe n dem Grenzwert a beliebig an. Beispiele lim 1 n = 0, lim n n n+1 = 1 ( n lim n n n) = e = 2, (Eulersche Zahl) ( ) Die durch a 1 = 1 und a n+1 = 1 a 2 n + 2 rekursiv an denierte Folge konvergiert gegen 2. folgen.pdf, Seite 4

5 Beispiel: Approximation von 2 a 1 = 1 a 2 = 1, 5 a 3 = 1, a 4 = 1, a 5 = 1, a n = 1, für n 6. Divergente Folgen Eine Folge, die gegen kein a R konvergiert, heiÿt divergent. Beispiel Die Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8,... der FibonacciZahlen ist divergent, ebenso die alternierende Folge 1, 1, 1, 1,... folgen.pdf, Seite 5

6 Bestimmt divergente Folgen streben gegen oder : Man sagt lim n a n =, falls es zu jeder Konstante c R ein N 0 N gibt, sodass a n > c für alle n N 0, analog lim n a n =, falls es zu jeder Konstante c R ein N 0 N gibt, sodass a n < c für alle n N 0. Eigenschaft Ist (a n ) bestimmt divergent (d. h. lim n a n = oder lim n a n = ), so gilt lim n 1 an = 0. Ist umgekehrt lim 1 n = 0 und a n > 0 (bzw. a n < 0) für an n N 0, so folgt lim n a n = (bzw. lim n a n = ). folgen.pdf, Seite 6

7 Eigenschaften konvergenter Folgen Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. Sind (a n ) und (b n ) konvergente Folgen mit lim n a n = a und lim n b n = b, so gelten die Grenzwertsätze lim n (a n ± b n ) = a ± b, lim n (c a n ) = c a, lim n (a n b n ) = a b, lim an n = a, falls b 0. bn b Beispiel lim n 2n 2 4n + 5 3n 2 + n 1 = lim n 2 4 n + 5 n n 1 n 2 = 2 3. folgen.pdf, Seite 7

8 Bemerkungen Die Grenzwertsätze lassen sich in vielen Situationen sinngemäÿ auf den Fall bestimmt divergenter Folgen (also a oder b ist oder ) übertragen. Dabei ist jedoch zu beachten, dass Ausdrücke wie, 0 oder nicht sinnvoll deniert sind. Nicht jede divergente Folge ist bestimmt divergent. Gegenbeispiele sind Folgen wie 1, 1, 1, 1,..., 1, 2, 3, 4, 5, 6,... oder 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1,... folgen.pdf, Seite 8

9 Grenzwerte und stetige Funktionen Ist lim n a n = a, so gilt für stetige Funktionen f wie z. B. Polynome, rationale Funktionen, Wurzel-, Exponential- und Logarithmusfunktion oder sin und cos lim f (a n) = f (a), n falls a n und a im Denitionsbereich von f liegen. Beispiele lim n cos 1 = cos 0 = 1 n lim n n 2 +1 = lim n+1 n = lim n n 2 +1 (n+1) 2 = lim n 1+1/n 2 = 1 = 1 1+2/n+1/n 2 n 2 +1 n 2 +2n+1 folgen.pdf, Seite 9

10 Monotone Folgen Eine Folge (a n ) ist monoton wachsend oder monoton steigend, wenn a n+1 a n für alle n bzw. monoton fallend, wenn a n+1 a n für alle n. Sie heiÿt monoton, wenn sie entweder monoton steigend oder monoton fallend ist. Eine Folge (a n ) ist beschränkt, wenn es eine Konstante c gibt mit a n c für alle n. Satz Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent. Beispiel ) n a n = ( n lim n a n = e = 2, (Eulersche Zahl) folgen.pdf, Seite 10

11 Beispiel 2 Die Folge (a n ) sei rekursiv deniert durch ( ) a n+1 = 1 a 2 n + 1 = 1 + (an 1)2 an 2an mit einem beliebig vorgegebenen Startwert a 0 > 1. Es folgt a n 1 für n 1, also ist (a n ) nach unten beschränkt. Weiter ist a n a n+1 = a n 1 ) (a n + 1an = 1 ) (a n 1an 0 für alle n. 2 2 Es folgt, dass (a n ) monoton fallend ist und somit a n = a n a 0 für alle n, d. h. (a n ) ist beschränkt. Die Folge ist also monoton fallend und beschränkt und somit konvergent. folgen.pdf, Seite 11

12 Berechnung des Grenzwerts im Beispiel Für den (noch unbekannten) Grenzwert a = lim n a n gilt ) a = lim a 1 n+1 = lim (a n + 1an = 1 ( a + 1 ) n n 2 2 a 1 2 a = a a = 1 a a2 = 1 a = 1. Folgerung: Berechnung von x für x > 0 beliebig Mit der oben betrachteten Folge (a n ) und b n = x a n folgt lim n b n = x und b n+1 = x a n+1 = 1 ( ) x x an + = 1 ) (b n + xbn, 2 2 d. h. die Folge mit der Rekursionsformel b n+1 = 1 2 konvergiert gegen x. a n ( ) b n + x bn folgen.pdf, Seite 12

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