6 Mechanik des Starren Körpers

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1 6 Mechanik des Starren Körpers Ein Starrer Körper läßt sich als System von N Massenpunkten m (mit = 1,...,N) auffassen, die durch starre, masselose Stangen miteinander verbunden sind. Dabei ist N M := =1m m (258) die Gesamtmasse des Körpers. 6.1 Schwerpunkt Der Ortsvektor R des Schwerpunkts wird definiert als R := 1 m r, (259) M wobei r die Ortsvektoren der einzelnen Massenpunkte m bezeichnet. R ist also die mit den Massen m gewichtete Vektorsumme der einzelnen Ortsvektoren r. Bsp.: (a) Eine idealisierte Hantel besteht aus zwei Massenpunkten m 1 und m 2, die durch eine masselose Stange verbunden sind. Ihr Schwerpunkt, R = 1 ) (m 1 r 1 +m 2 r 2 m 1 M M r 1 + m 2 M r 2, (260) liegt auf der Verbindungslinie zwischen m 1 und m 2, jeweils näher an der schwereren der beiden Massen. Im Spezialfall m 1 = m 2 liegt der Schwerpunkt genau in der Mitte. (b) Bei einer homogenen Kugel um den Ursprung ist aus Symmetriegründen R = 0. (c) Bei der Halbkugel mit gleichem Mittelpunkt und Symmetrieachse e z kann dagegen aus der Symmetrie nur geschlossen werden, daß der Schwerpunkt irgendwo auf dieser Achse, zwischen z = 0 und z = a (Kugelradius) liegt. Seine genaue z-koordinate ist (Übungen!) z S = 3 2πa 3 a 0 dzz π(a 2 z 2 ) = 3 a. (261) 8 Aus Abschnitt wissen wir: Die Bewegungsfunktion R(t) des Schwerpunkts genügt der Bewegungsgleichung M R(t) = F ext (t) := F () ext(t). (262) Der Schwerpunkt bewegt sich also wie ein fiktiver Massenpunt M, an dem zur Zeit t die Vektorsumme F ext (t) aller äußeren Kräfte angreift. Diese Schwerpunktsbewegung heißt Translation des Starren Körpers. Seine dadurch noch nicht beschriebene Drehbewegung um den Schwerpunkt heißt Rotation des Starren Körpers. 51

2 6.2 Drehung um eine räumlich fixierte Achse Wir betrachten zunächst den einfachsten Fall, daß der Körper sich um eine räumlich fixierte Achse dreht. Sein Schwerpunkt muß nicht auf dieser Drehachse liegen. Wir wählen sie als z-achse eines fest mit dem Körper verbundenen kartesischen Koordinatensystems K (mit Ursprung O irgendwo auf der Achse). In diesem Fall ist die räumliche Lage des Körpers vollständig festgelegt durch einen Drehwinkel φ um die Achse. Dessen Vorzeichen wird durch die Rechte-Hand-Regel festgelegt (Daumen in z-richtung). Bei Drehbewegung wird daraus eine Funktion φ(t) der Zeit t. Deren Ableitungen, ω(t) := φ(t), (t) := φ(t) (263) heißen Winkelgeschwindigkeit ω(t) und Winkelbeschleunigung (t) ω(t) Hebelgesetz und Drehmoment Ein Hebel ist eine masselose, starre Stange, die um eine vorgegebene Achse drehbar ist. Diese Drehachse schneidet den Hebel senkrecht im Drehpunkt O. Wir wählen die x-achse von K entlang des Hebels, mit x = 0 im Punkt O. An den Punkten P 1 und P 2 (mit x = x 1 bzw. x = x 2 ) mögen die Kräfte F 1 bzw. F 2 angreifen. Wir wollen wissen, ob der Hebel in Ruhe bleibt oder sich zu drehen beginnt. Dabei kommt es offenbar nur auf die y-komponentenf 1 bzw. F 2 der Kräftean, die sowohl zur Stange als auch zur Achse senkrecht wirken. Hebelgesetz: Der Hebel ist im Gleichgewicht, wenn gilt (SKIZZE!) x 1 F 1 +x 2 F 2 = 0. (264) Esmüssenalsoentweder diey-komponentenf 1 undf 2 derkräfteoderdiex-koordinaten x 1 und x 2 der Angriffspunkte entgegengesetzte Vorzeichen haben. Die sog. Kraftarme, d 1 := x 1, d 2 := x 2, (265) müssen insbesondere im umgekehrten Verhältnis zueinander stehen wie F 1 und F 2, F 1 F 2 = d 2 d 1. (266) Bsp.: Gleichgewicht herrscht mit: F 1 = 2 N, F 2 = 3 N und x 1 = 6 cm, x 2 = 4 cm. Ein anderes Beispiel ist: F 1 = 2 N, F 2 = 5 N und x 1 = 10 cm, x 2 = 4 cm. 52

3 Def.: Das Produkt T := xf (267) heißt das Drehmoment der Kraft F bezüglich der Drehachse e z. Greifen n verschiedene Kräfte F 1,...,F n am Hebel an, so addieren sich ihre Drehmomente. Dabei gilt: der Hebel ist im Gleichgewicht, wenn das Gesamt-Drehmoment n n T := T k x k F k (268) k=1 verschwindet, T = 0. Im Fall T > 0 (bzw. T < 0) hingegen beginnt der Hebel sich in der xy-ebene im Uhrzeigersinn (bzw. entgegen diesem) zu drehen. Bem.: Wir werden später das Drehmoment T als einen Vektor T definieren. Dies ist an dieser Stelle noch nicht nötig. k= Winkelbeschleunigung und Trägheitsmoment Anstatt der masselosen Stange aus Abschnitt betrachten wir jetzt einen (unendlich) dünnen Kreisring mit Radius R und homogen verteilter Masse M, der durch masselose Speichen drehbar an seiner Symmetrieachse als Drehachse aufgehängt sei. Seit der Zeit t = 0 hat jedes Massenelement auf dem Ring zur Zeit t die Bogenlänge s(t) zurückgelegt, s(t) = Rφ(t). (269) An der Drehachse sei außerdem eine masselose Spule vom Radius r befestigt. Ein von der Spule abwickelbares Seil ziehe in tangentialer Richtung mit konstanter Kraft F. Zunächst sei r = R. Dann resultiert nach Newton II die konstante Bahnbeschleunigung a s(t) = R φ(t) = F M, (270) Mit der entsprechenden konstanten Winkelbeschleunigung = φ(t) = a R folgt φ(t) = φ 0 +ω 0 t+ 1 2 t2 = 1 2 t2 ω(t) φ(t) = t, (271) wobei hier φ 0 = ω 0 = 0 sind. Nun sei r = R R. Nach dem Hebelgesetz ist die gleiche Winkelbeschleunigung zu erwarten, wenn jetzt statt F die Kraft F = R R F angreift, MR = F = R R F MR 2 = R F = RF. (272) 53

4 Für die erzielte Winkelbeschleunigung kommt es also nicht auf die Stärke der Kraft, sondern nur auf deren Drehmoment an, T = RF = R F. (273) Die Trägheit, mit der sich der Kreisring dabei einer Winkelbeschleunigung infolge eines Drehmoments widersetzt, wird offenbar bestimmt durch die Größe die als sein Trägheitsmoment bezeichnet wird. I = MR 2, (274) Jeder beliebige Starre Körper hat bezüglich jeder Drehachse je ein Trägheitsmoment I, sodaß für die Winkelbeschleunigung, die das Drehmoment T bewirkt, gilt T = I. (275) Man beachte die Analogie zu Newton II, F = ma. Die allgemeine Definition von I liegt nahe: Def.: Das Trägheitsmoment eines Starren Körpers bezüglich einer vorgegebenen Drehachse g ist gegeben durch I g := m u 2. (276) Dabei ist u der Abstand des Massenpunkts m von der Achse g. Bsp.: Moleküle aus Massenpunkten... 54

5 6.2.3 Berechnung von Trägheitsmomenten Besteht der starre Körper nicht aus wenigen einzelnen Massenpunkten oder besitzt er gar eine kontinuierliche Massenverteilung, gegeben durch die Funktion ρ(r) seiner räumlichen Massendichte, so läßt sich die Summe I = m u 2 nicht direkt auswerten. Bsp.: Hohl- und Vollzylinder, Hohl- und Vollkugel. Satz von Steiner: Ist I S das Trägheitsmoment eines Starren Körpers der Masse M um eine Achse g S durch seinen Schwerpunkt, so ist sein Trägheitsmoment I um eine dazu parallele Achse g, die im Abstand d von g S verläuft, gegeben durch I = I S +Md 2. (277) Beweis: Seien u und s die Abstandsvektoren des Massenpunkts m von den Geraden g bzw. g S und d der Abstandsvektor dieser beiden Geraden voneinander, Dann gilt u = d+s. (278) I = m u 2 = m (d+s ) 2 = m (d 2 +2s d+s 2 ) = I S +2d m s +Md 2. (279) Im letzten Ausdruck verschwindet die Summe nach Definition des Schwerpunkts, q.e.d. Bsp. (Physikalisches Pendel): Ein dünner, homogener Kreiszylinder ( Stab ) im Schwerefeld sei im Punkt A auf seiner Symmetrieachse (im Abstand d vom Schwerpunkt) aufgehängt. Bei einer Auslenkung um den Winkel φ wirkt das Drehmoment T = Mgd sinφ (Mgd)φ I φ (280) (mit Kleinwinkelnäherung im zweiten Schritt). Daraus folgt für die Schwingungsfrequenz Mgd ω =. (281) I Ist der Stab (Länge L) unendlich dünn, so gilt nach Steiner Im Fall d = L/2 gilt also I = 1 3 ML2 und somit ω = I = 1 12 ML2 +Md 2. (282) 3 g. 2 L 55

6 6.2.4 Kinetische Energie der Rotation An der räumlich fixierten Drehachse eines Starren Körpers sei wieder eine masselose Spule vom Radius R befestigt, auf die eine konstante Kraft F in tangentialer Richtung das konstante Drehmoment T = RF ausübt. Die von F verrichtete Arbeit, W = F [ s(t) s(0) ] = FR [ φ(t) φ(0) ], (283) ist mit φ(t) = 1 2 t2 und ω(t) = t gegeben durch W = RF 1 2 t2 = RF ω(t)2 2 = 1 RF 2 ω(t)2 = 1 2 Iω(t)2. (284) Im letzten Schritt haben wir benutzt, daß RF T = I. Daher definieren wir: Def.: Ein Starrer Körper, der mit Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse rotiert, bezüglich der er das Trägheitsmoment I hat, hat die (kinetische) Energie der Rotation E rot = 1 2 Iω2. (285) Bsp.: Rollender Zylinder auf schiefer Ebene... 56

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