Dynamische Programmierung
|
|
|
- Johanna Schmidt
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Dynamische Programmierung Ludwig Höcker Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
2 Gliederung Dynamic Programming Bsp.: FAU-Kabel Naiv Top-Down Bottom-Up Longest Increasing Subsequence Optimal Binary Search Tree Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
3 Was ist DP? Programmierkonzept zum Lösen von [Optimierungs-] Problemen Berechnung des Gesamtproblems aus [abhängigen] Teilproblemen Eingeführt von Richard Bellman Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
4 Wofür? Teilprobleme nicht mehrfach berechnen Meist bei Baumrekursion angewandt Bei großen Lösungsräume, bei denen die naive Variante zu lange dauern würde Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
5 Gliederung Dynamic Programming Bsp.: FAU-Kabel Naiv Top-Down Bottom-Up Longest Increasing Subsequence Optimal Binary Search Tree Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
6 FAU-Kabel Das Department Informatik hat beschlossen mehr CIP Pools für Studenten bereitzustellen. Da diese Computer mit dem Rest des Uni Netzwerks vernetzt werden müssen, werden nun LAN-Kabel benötigt. Die Kosten hierfür sollen natürlich so minimal wie nötig gehalten werden. Da die CIP Admins alle Frickler sind, ist es möglich LAN-Kabel so oft zu stückeln wie eben nötig. Die Kosten sind abhängig von der Länge. Für einen Kostenvoranschlag sollen nun die die Kosten für die billigste Kabelkombination berechnet werden Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
7 FAU-Kabel Kosten Länge Kosten Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
8 FAU-Kabel Kosten Länge Kosten Kabel Kosten Kabel Kosten Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
9 FAU-Kabel (naiv) Alle Möglichkeiten ausprobieren um die Länge mit 2 Kabeln zu erreichen. Aus diesen wird die kostengünstigste Kombination auswählen. 1 Teil: Kosten aus der Liste (1..n) 2 Teil: Kosten rekursiv berechnen (n-1..0) Immer das Minimum abspeichern cable (n): q: MAX for (i: 1.. n) q = min (q, kosten [i] + cable (n-i)); return q; Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
10 FAU-Kabel (naiv) Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
11 FAU-Kabel (naiv) Rekursiver Top-Down Ansatz int p[] = { 0,4,5,8,11,16,17,17,21,22,25 }; int cabletopdownnaiv ( int n){ if( n == 0) return 0; } int q = MAX ; for (i: 1.. n) q = min (q, p[i] + cabletopdownnaiv (n-i)); return q; Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
12 Memoization Those who cannot remember the past are condemned to repeat it George Santayana Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
13 Memoization Mehrfache Berechnung der Teilergebnisse überflüssig Bereits errechnete Teilergebnisse zwischenspeichern Basisfälle direkt eintragen Entweder muss ein Wert berechnet werden, oder er steht in der Tabelle D.h. statt exponentieller Laufzeit nun polynomiell D.h. Zusätzlicher Speicherplatz nötig Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
14 FAU-Kabel (Top-Down) Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
15 FAU-Kabel (Top-Down) Rekursiver Top-Down Ansatz int p[] = { 0,4,5,8,11,16,17,17,21,22,25 }; int tmp [ MAXN ]; // init. mit INF int cabletopdownmemo ( int n, int tmp []) { if( n == 0) return 0; if(tmp [n]!= INF ) return tmp [n]; // Lookup int q = MAX ; for (i: 1.. n) q = min (q, p[i] + cabletopdownmemo (n-i,tmp )); } tmp [n] = q; // Store return q; Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
16 FAU-Kabel (Bottom-Up) Umwandlung der rekursiven Variante in eine Iterative Von unten herauf zuerst alle möglichen Teilergebnisse berechnen und in einer Tabelle abspeichern Einfache Berechnung von prob(n+1) wenn prob(n) bekannt ist D.h. Zusätzlicher Speicherplatz nötig Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
17 FAU-Kabel (Bottom-Up) Bottom-Up Ansatz int p[] = { 0,4,5,8,11,16,17,17,21,22,25 }; int cablebottomup ( int n){ int tmp [n +1]; tmp [0] = 0; } for (i: 1.. n) { int q = MAX ; for (j: 1.. i){ q = min (q, p[j] + tmp [i-j]); } tmp [i] = q; } return tmp [n]; Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
18 Übersicht Zeittest cable (35) ; Zeit ist Geld $ time./cnaiv $ time./ctop $ time./cbottom real 7m54.389s real 0m0.001s real 0m0.001s Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
19 Pro und Contra Top-Down DP Pro Memoization Einfache Implementierung Nur Ergebnisse, die benötigt werden, werden berechnet Contra Rekursion Overhead durch Funktionsaufrufe Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
20 Pro und Contra Bottom-Up DP Pro Eine Rekursion Meist schneller Da Berechnung zu Beginn Contra Umwandlung zu iterativer Variante u.u. schwierig Eventuell mehr Ergebnisse berechnen als nötig Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
21 DP - Probleme DP nimmt man für... Optimierungsprobleme (Minimum, Maximum) Problem besitzt [überlappende] Teilprobleme DP nimmt man nicht für... Zu große Funktionswerte Zu kleine Funktionswerte (naiv ist da meist besser) Speicherplatz für die Speicherung der Teilergebnisse zu groß Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
22 Gliederung Dynamic Programming Bsp.: FAU-Kabel Naiv Top-Down Bottom-Up Longest Increasing Subsequence Optimal Binary Search Tree Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
23 Longest Increasing Subsequence Typisches Problem: Wir stehen in der Mensa-Schlange an, die an den Theken vorbei führt. Es gibt nur die Möglichkeit einmal von vorne bis hinten durchzulaufen. Wir wollen möglichst viele Teller aufladen Es dürfen aber nur Teller ausgewählt werden, die größer sind als der vorher Genommene, damit die Teller nicht im Essen stehen, sondern am Rand aufliegen. Die Teller, die wir nehmen können sind in beliebiger Reihenfolge und nicht sortiert. Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
24 Longest Increasing Subsequence Mathematisch: Wir haben eine Zahlenfolge gegeben und wollen von Anfang bis Ende die längste aufsteigende Folge haben, die wir finden. Die Zahlen müssen in der Anfangsfolge nicht benachbart sein. Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
25 Longest Increasing Subsequence Warum nicht einfach bruteforcen? Alle möglichen Kombinaten mit Zahlenfolgen der.. Länge 3: 123,12,13,23,1,2,3 Länge 4: 1234,123,124,134,234,12,13,14,23,24,34,1,2,3,4 Länge 5: 12345,123,124,125,234,235,345,12,13, n -1 Möglichkeiten Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
26 Longest Increasing Subsequence Vorgehensweise Durchlaufen der Zahlenfolge Abspeichern der Zahl an Stelle i in einem seperaten Array, sodass dieses immer aufsteigend sortiert ist. Eine weiter Liste(bspw. lis) speichert uns die LIS bis zur Position i Falls am Ende eingefügt wurde erhöhen wir die maxlänge Falls mitten drin eingefuegt wird, so wird der vorherige Wert an dieser Stelle überschrieben Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
27 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis min 0, maxlength: 0 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
28 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis min 0, maxlength: 0 i: 0 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
29 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1 min 0,17 maxlength: 1 i: 0 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
30 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1 min 0,17 maxlength: 1 i: 1 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
31 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2 min 0,17,20 maxlength: 2 i: 1 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
32 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2 min 0,17,20 maxlength: 2 i: 2 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
33 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3 min 0,17,20,50 maxlength: 3 i: 2 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
34 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3 min 0,17,20,50 maxlength: 3 i: 3 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
35 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3 min 0,17,20,30 maxlength: 3 i: 3 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
36 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3 min 0,17,20,30 maxlength: 3 i: 4 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
37 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3, 4 min 0,17,20,30,40 maxlength: 4 i: 4 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
38 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3, 4 min 0,17,20,30,40 maxlength: 4 i: 5 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
39 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3, 4, 3 min 0,17,20,21,40 maxlength: 4 i: 5 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
40 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3, 4, 3 min 0,17,20,21,40 maxlength: 4 i: 6 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
41 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3, 4, 3, 4 min 0,17,20,21,22 maxlength: 4 i: 6 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
42 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3, 4, 3, 4 min 0,17,20,21,22 maxlength: 4 i: 7 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
43 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5 min 0,17,20,21,22,23 maxlength: 5 i: 7 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
44 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5 min 0,17,20,21,22,23 maxlength: 5 i: 8 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
45 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 1 min 0,11,20,21,22,23 maxlength: 5 i: 8 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
46 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 1 min 0,11,20,21,22,23 maxlength: 5 i: 9 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
47 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 1, 2 min 0,11,12,21,22,23 maxlength: 5 i: 9 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
48 Longest Increasing Subsequence x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 1, 2 min 0,11,12,21,22,23 maxlength: 5 i: 9 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
49 Longest Increasing Subsequence LIS, Aufwand O(N*N) int sequ [ MAXN ]; int lis [ MAXN ]; int minval [ MAXN +1]; int LIS ( int N) { int maxlen = 0; minval [0] = INT_MIN ; FOR (i, 0, N) { lis [i] = maxlen +1; FOR (j, 1, maxlen ) { if( minval [j] > sequ [i]){ lis [i] = j; break ; } } if ( lis [i] > maxlen ) { maxlen = lis [i]; minval [ maxlen ] = sequ [i]; } else if ( sequ [i] < minval [ lis [i ]]) { minval [ lis [i]] = sequ [i]; } } return maxlen ; } Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
50 Longest Increasing Subsequence LIS, Aufwand O(N*log(N)) // aus dem HW wiki int sequ [ MAXN ]; int lis [ MAXN ]; int minval [ MAXN +1]; int LIS ( int N) { int maxlen = 0; minval [0] = INT_MIN ; FOR (i, 0, N) { // binary search : lis [i] = lower_bound ( minval, minval + maxlen + 1, sequ [i]) - minval ; if ( lis [i] > maxlen ) { maxlen = lis [i]; minval [ maxlen ] = sequ [i]; } else if ( sequ [i] < minval [ lis [i ]]) { minval [ lis [i]] = sequ [i]; } } return maxlen ; } Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
51 Longest Increasing Subsequence Rekonstruktion der Subsequence Statt Zahlen Indices in min speichern Zusätzliches Array id, welches Vorgänger speichert x 17,20,50,30,40,21,22,23,11,12 lis 1, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 2, 3 min 0, 8, 9, 5, 6, 7 (Index zu x) id -1, 0, 1, 1, 3, 1, 5, 6,-1, 8 maxid: 7 Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
52 Longest Increasing Subsequence LIS, Aufwand O(N*log(N)) int sequ [ MAXN ]; int lis [ MAXN ]; int minval [ MAXN +1]; int ids [ MAXN ]; int maxid = -1; // Speicherplatz fuer IDs int LIS ( int N) { int maxlen = 0; minval [0] = INT_MIN ; FOR (i, 0, N) { lis [i] = maxlen +1; FOR (j, 1, maxlen ) { if(sequ [ minval [j]] > sequ [i]){ lis [i] = j; break ; } } if(lis [i] == 1) id[i] = -1; // erstes Element else id[i] = minval [lis [i ] -1]; // Parentelement } if ( lis [i] > maxlen ) { maxlen = lis [i]; minval [ maxlen ] = i; maxid = i; // maxid setzen } else if ( sequ [i] < minval [ lis [i ]]) { minval [ lis [i]] = i; } } return maxlen ; Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
53 Gliederung Dynamic Programming Bsp.: FAU-Kabel Naiv Top-Down Bottom-Up Longest Increasing Subsequence Optimal Binary Search Tree Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
54 OBST k2 k1 k4 d0 d1 k3 k5 d2 d3 d4 d p i q i Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
55 OBST Gegeben: BST mit Knotenhäufigkeiten Gesucht: Optimaler BST anhand Gewichtungsfunktion Rekursiv alle möglichen BSTs zu testen dauert zu lange, da die Anzahl an BSTs mit wachsender Knotenanzahl exponentiell ansteigt. Lösung: Dynamische Programmierung Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
56 OBST Gewichtung Eine mögliche Gewichtung eines BST: n (Tiefe T (k i ) + 1) p i + i=1 n (Tiefe T (d i ) + 1) q i i=0 Ein optimal binary search tree ist die Konstellation mit der niedrigsten Gewichtung Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
57 OBST Zur Wiederholung Ein BST(i, j) hat einen linken Teilbaum k i...k r 1 und hat den root Knoten k r hat einen rechten Teilbaum k r+1...k j Ein BST(i, i-1) hat die Wahrscheinlichkeit d i 1 des Blattknoten Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
58 OBST Kosten für tree(i, j): Rekursionsformel: cost(i, j) = cost(i, r 1) + cost(r + 1, j) +GEWICHTUNG(i, j) q i 1 fallsj = i 1 cost(i, j) = min i r j (cost(i, r 1) + cost(r + 1, j) fallsi j +GEWICHTUNG(i, j)) Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
59 OBST OBST, naiv cost (i, j, p[], q []) { if(j == i -1) return q[i -1]; tmp : MAX ; for (r: i..j){ tmp = min (tmp, cost (i, r -1, p, q) + cost (r+1, j, p, q) + GEWICHTUNG (i, j, p, q)); } return tmp ; } Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
60 OBST Problem: Per naiver Rekursionsformel, werden Teilbäume mehrfach berechnet Lösung: Kosten für einen gefundenen optimal Teilbaum abspeichern Trick: Sind rechter und linker Teilbäume optimal, so ist auch der Baum optimal. Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
61 OBST OBST, TopDown mit DP table [MAXN ][ MAXN ]; // init. mit INF cost (i, j, p[], q []) { if(j == i -1) return q[i -1]; if( table [i][j]!= INF ) return table [i][j]; // Lookup } gewicht = GEWICHTUNG (i, j, p, q); tmp : MAX ; for (r: i..j){ tmp = min (tmp, cost (i, r -1, p, q) + cost (r+1, j, p, q) + gewicht ); } table [i][j] = tmp ; // Store return table [i][j]; Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
62 Quellen T. Cormen, et al. Introduction to Algorithms (Third Edition) Manuel Grandeit, Hallo Welt DP-Vortrag 2011 Rainer Müller, Hallo Welt DP-Vortrag 2008 Tobias Werth, Hallo Welt DP-Vortrag threadid=700080&start=0&mc=5 threadid=697925&start=0&mc=9 increasing subsequence Ludwig Höcker Dynamische Programmierung / 61
Dynamische Programmierung
Dynamische Programmierung Julian Brost 11. Juni 2013 Julian Brost Dynamische Programmierung 11. Juni 2013 1 / 39 Gliederung 1 Was ist dynamische Programmierung? Top-Down-DP Bottom-Up-DP 2 Matrix-Kettenmultiplikation
Datenstrukturen & Algorithmen
Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Dynamische Programmierung Einführung Ablaufkoordination von Montagebändern Längste gemeinsame Teilsequenz Optimale
Dynamische Programmierung
Dynamische Programmierung Manuel Grandeit Hallo Welt -Seminar 28.06.2011 Manuel Grandeit 1 / 40 Inhaltsübersicht Einführung Münzwechsel Was ist ein Zustand? Konstruktion einer DP-Lösung Top-Down-DP Bottom-Up-DP
Dynamische Programmierung. Problemlösungsstrategie der Informatik
als Problemlösungsstrategie der Informatik und ihre Anwedung in der Diskreten Mathematik und Graphentheorie Fabian Cordt Enisa Metovic Wissenschaftliche Arbeiten und Präsentationen, WS 2010/2011 Gliederung
Dynamische Programmierung
Dynamische Programmierung Hannes Schwarz - WS-06/07 Hannes.Schwarz@uni-konstanz.de Getting Ready for the ACM Programming Contest Übersicht Übersicht Was ist dynamische Programmierung? Entwicklung eines
Programmierung 2. Dynamische Programmierung. Sebastian Hack. Klaas Boesche. Sommersemester 2012. hack@cs.uni-saarland.de. boesche@cs.uni-saarland.
1 Programmierung 2 Dynamische Programmierung Sebastian Hack hack@cs.uni-saarland.de Klaas Boesche boesche@cs.uni-saarland.de Sommersemester 2012 2 Übersicht Stammt aus den Zeiten als mit Programmierung
Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf
Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005 Paradigmen im Algorithmenentwurf Problemlösen Problem definieren Algorithmus entwerfen
Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?
Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum
Einstieg in die Informatik mit Java
1 / 20 Einstieg in die Informatik mit Java Rekursion Gerd Bohlender Institut für Angewandte und Numerische Mathematik Gliederung 2 / 20 1 Überblick 2 Rekursion 3 Rekursive Sortieralgorithmen 4 Backtracking
Informatik II, SS 2014
Informatik II SS 2014 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 11 (4.6.2014) Binäre Suchbäume II Algorithmen und Komplexität Binäre Suchbäume Binäre Suchbäume müssen nicht immer so schön symmetrisch sein
5.4 Das Rucksackproblem
Problemstellung: 5.4 Das Rucksackproblem Eingabe: Ganzzahlige Volumina a 1,..., a n > 0, Nutzenwerte c 1,..., c n > 0, ganzzahlige Volumenschranke b. Aufgabe: Packe die Objekte in einen Rucksack von Volumen
Informatik II, SS 2014
Informatik II SS 2014 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 10 (3.6.2014) Binäre Suchbäume I Algorithmen und Komplexität Zusätzliche Dictionary Operationen Dictionary: Zusätzliche mögliche Operationen:
Algorithmen und Datenstrukturen 1 Kapitel 3
Algorithmen und Datenstrukturen 1 Kapitel 3 Technische Fakultät robert@techfak.uni-bielefeld.de Vorlesung, U. Bielefeld, Winter 2005/2006 3.6 Dynamische Programmierung Die rekursive Problemzerlegung kann
Ein Dieb raubt einen Laden aus; um möglichst flexibel zu sein, hat er für die Beute nur einen Rucksack dabei
7/7/ Das Rucksack-Problem Englisch: Knapsack Problem Das Problem: "Die Qual der Wahl" Ein Dieb raubt einen Laden aus; um möglichst flexibel zu sein, hat er für die Beute nur einen Rucksack dabei Im Ladens
Vorlesung Datenstrukturen
Vorlesung Datenstrukturen Binärbaum Suchbaum Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 356 Datenstruktur Binärbaum Strukturrepräsentation des mathematischen Konzepts Binärbaum
JAVA - Suchen - Sortieren
Übungen Informatik I JAVA - Suchen - Sortieren http://www.fbi-lkt.fh-karlsruhe.de/lab/info01/tutorial Übungen Informatik 1 Folie 1 Inhalt Suchen/Sortieren binary search mergesort bubblesort Übungen Informatik
13. Binäre Suchbäume
1. Binäre Suchbäume Binäre Suchbäume realiesieren Wörterbücher. Sie unterstützen die Operationen 1. Einfügen (Insert) 2. Entfernen (Delete). Suchen (Search) 4. Maximum/Minimum-Suche 5. Vorgänger (Predecessor),
12 (2-4)-Bäume Implementierbare Funktionen. (2-4)-Bäume sind durch folgende Eigenschaften deniert: 1. Alle Äste sind gleich lang
12 (2-4)-Bäume (2-4)-Bäume sind durch folgende Eigenschaften deniert: 1. Alle Äste sind gleich lang 2. Die Ordnung (maximale Anzahl der Söhne eines Knotens) ist gleich 4 3. Innere Knoten haben 2 Söhne
Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem
Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem Andreas Moser Dietmar Ebner Christian Schauer Markus Bauer 9. Dezember 2003 1 Einführung Der in der Vorlesung gezeigte Algorithmus für das Steiner
Algorithmen & Komplexität
Algorithmen & Komplexität Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch Kürzeste Pfade Problem Gegeben Netzwerk: Graph G = (V, E), Gewichtsfunktion w: E N Zwei Knoten: s, t Kantenzug/Weg
3. Übungsblatt zu Algorithmen I im SoSe 2017
Karlsruher Institut für Technologie Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Institut für Theoretische Informatik Björn Kaidel, Sebastian Schlag, Sascha Witt 3. Übungsblatt zu Algorithmen I im SoSe 2017 http://crypto.iti.kit.edu/index.php?id=799
Backtracking mit Heuristiken
Backtracking mit Heuristiken Thomas Dübendorfer thomas@duebendorfer.ch 14. September 2000 Inhalt und Ablauf 1. Einführendes Beispiel (4 min) 2. Konzepte zu Backtracking (8 min) 3. Eingesperrt im Labyrinth
Kapitel 5: Dynamisches Programmieren Gliederung
Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen
Randomisierte Algorithmen 2. Erste Beispiele
Randomisierte Algorithmen Randomisierte Algorithmen 2. Erste Beispiele Thomas Worsch Fakultät für Informatik Karlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2016/2017 1 / 35 Randomisierter Identitätstest
13 (2-4)-Bäume Implementierbare Funktionen. (2-4)-Bäume sind durch folgende Eigenschaften deniert: 1. Alle Äste sind gleich lang
13 (2-4)-Bäume (2-4)-Bäume sind durch folgende Eigenschaften deniert: 1. Alle Äste sind gleich lang 2. Die Ordnung (maximale Anzahl der Söhne eines Knotens) ist gleich 4 3. Innere Knoten haben 2 Söhne
8. A & D - Heapsort. Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können.
8. A & D - Heapsort Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können. Genauer werden wir immer wieder benötigte Operationen durch Datenstrukturen unterstützen.
Einführung in die Informatik I
Einführung in die Informatik I Fortgeschrittene Rekursion Prof. Dr. Nikolaus Wulff Problematische Rekursion Mittels Rekursion lassen sich Spezifikationen recht elegant und einfach implementieren. Leider
11.1 Grundlagen - Denitionen
11 Binärbäume 11.1 Grundlagen - Denitionen Denition: Ein Baum ist eine Menge, die durch eine sog. Nachfolgerrelation strukturiert ist. In einem Baum gilt: (I) (II) 1 Knoten w ohne VATER(w), das ist die
13. Bäume: effektives Suchen und Sortieren
Schwerpunkte Aufgabe und Vorteile von Bäumen 13. Bäume: effektives Suchen und Sortieren Java-Beispiele: Baum.java Traverse.java TraverseTest.java Sortieren mit Bäumen Ausgabealgorithmen: - Preorder - Postorder
Der linke Teilbaum von v enthält nur Schlüssel < key(v) und der rechte Teilbaum enthält nur Schlüssel > key(v)
Ein Baum T mit Knotengraden 2, dessen Knoten Schlüssel aus einer total geordneten Menge speichern, ist ein binärer Suchbaum (BST), wenn für jeden inneren Knoten v von T die Suchbaumeigenschaft gilt: Der
11. Elementare Datenstrukturen
11. Elementare Datenstrukturen Definition 11.1: Eine dynamische Menge ist gegeben durch eine oder mehrer Mengen von Objekten sowie Operationen auf diesen Mengen und den Objekten der Mengen. Dynamische
Datenbankanwendung. Prof. Dr.-Ing. Sebastian Michel TU Kaiserslautern. Wintersemester 2014/15. smichel@cs.uni-kl.de
Datenbankanwendung Wintersemester 2014/15 Prof. Dr.-Ing. Sebastian Michel TU Kaiserslautern smichel@cs.uni-kl.de Wiederholung: Anfragegraph Anfragen dieses Typs können als Graph dargestellt werden: Der
Algorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 11. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Das Rucksack-Problem Ein Dieb, der einen Safe
Bäume. 2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 1
Bäume 2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 1 Inhalt Grundbegriffe: Baum, Binärbaum Binäre Suchbäume (Definition) Typische Aufgaben Suchaufwand Löschen allgemein, Methode Schlüsseltransfer
13 Java 4 - Entwurfsmuster am Beispiel des Rucksackproblems
13 Java 4 - Entwurfsmuster am Beispiel des Rucksackproblems 13.1 Modellierung des Rucksackproblems 13.2 Lösung mit Greedy-Algorithmus 13.3 Lösung mit Backtracking 13.4 Lösung mit Dynamischer Programmierung
Lösungsvorschlag Serie 2 Rekursion
(/) Lösungsvorschlag Serie Rekursion. Algorithmen-Paradigmen Es gibt verschiedene Algorithmen-Paradigmen, also grundsätzliche Arten, wie man einen Algorithmus formulieren kann. Im funktionalen Paradigma
15. Elementare Graphalgorithmen
Graphen sind eine der wichtigste Modellierungskonzepte der Informatik Graphalgorithmen bilden die Grundlage vieler Algorithmen in der Praxis Zunächst kurze Wiederholung von Graphen. Dann Darstellungen
Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen
Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (18 Bäume: Grundlagen und natürliche Suchbäume) Prof. Dr. Susanne Albers Bäume (1) Bäume sind verallgemeinerte Listen (jedes Knoten-Element kann mehr
6. Verkettete Strukturen: Listen
6. Verkettete Strukturen: Listen 5 K. Bothe, Inst. f ür Inf., HU Berlin, PI, WS 004/05, III.6 Verkettete Strukturen: Listen 53 Verkettete Listen : Aufgabe Vergleich: Arrays - verkettete Listen Listenarten
11 Dynamisches Programmieren
Algorithmen und Datenstrukturen 279 11 Dynamisches Programmieren Gegenstand dieses und des nächsten Kapitels sind noch einmal Algorithmen. Zunächst beschreiben wir das sog. dynamische Programmieren. kein
Informatik B Sommersemester Musterlösung zur Klausur vom
Informatik B Sommersemester 007 Musterlösung zur Klausur vom 0.07.007 Aufgabe : Graphen und Graphalgorithmen + + + () Punkte Für eine beliebige positive, ganze Zahl n definieren wir einen Graphen G n =
Algorithmen & Programmierung. Rekursive Funktionen (1)
Algorithmen & Programmierung Rekursive Funktionen (1) Berechnung der Fakultät Fakultät Die Fakultät N! einer nichtnegativen ganzen Zahl N kann folgendermaßen definiert werden: d.h. zur Berechnung werden
1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert
Inhalt Einführung 1. Arrays 1. Array unsortiert 2. Array sortiert 3. Heap 2. Listen 1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert 3. Bäume
Komplexität von Algorithmen
Komplexität von Algorithmen Prof. Dr. Christian Böhm WS 07/08 in Zusammenarbeit mit Gefei Zhang http://www.dbs.informatik.uni-muenchen.de/lehre/nfinfosw Ressourcenbedarf - Größenordnungen Prozesse verbrauchen
Datenstrukturen & Algorithmen
Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen
Algorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2013/14 1. Vorlesung Kapitel 1: Sortieren Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Das Problem Eingabe Gegeben: eine Folge A = a 1, a 2,..., a
16. All Pairs Shortest Path (ASPS)
. All Pairs Shortest Path (ASPS) All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e
Beispiellösung zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 5
Robert Elsässer Paderborn, den 15. Mai 2008 u.v.a. Beispiellösung zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 5 AUFGABE 1 (6 Punkte): Nehmen wir an, Anfang bezeichne in einer normalen
Datenstrukturen und Algorithmen
Datenstrukturen und Algorithmen VO 708.031 27.10.2011 stefan.klampfl@tugraz.at 1 Wiederholung Wir vergleichen Algorithmen anhand des ordnungsmäßigen Wachstums von T(n), S(n), Asymptotische Schranken: O-Notation:
Algorithmische Bioinformatik 1
Algorithmische Bioinformatik 1 Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Sommersemester 2009 Übersicht Paarweises
Achtung: Groß O definiert keine totale Ordnungsrelation auf der Menge aller Funktionen! Beweis: Es gibt positive Funktionen f und g so, dass
Achtung: Groß O definiert keine totale Ordnungsrelation auf der Menge aller Funktionen! Beweis: Es gibt positive Funktionen f und g so, dass f O g und auch g O f. Wähle zum Beispiel und G. Zachmann Informatik
3.2 Binäre Suche. Usr/local/www/ifi/fk/menschen/schmid/folien/infovk.ppt 1
3.2 Binäre Suche Beispiel 6.5.1: Intervallschachtelung (oder binäre Suche) (Hier ist n die Anzahl der Elemente im Feld!) Ein Feld A: array (1..n) of Integer sei gegeben. Das Feld sei sortiert, d.h.: A(i)
Einführung in die Informatik 2
Einführung in die Informatik 2 Listen & Bäume Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 SvenKosub@uni-konstanzde Sprechstunde: Freitag, 14:00-15:00 Uhr, onv Sommersemester
Algorithmen und Datenstrukturen (Th. Ottmann und P. Widmayer) Folien: Suchverfahren Autor: Stefan Edelkamp / Sven Schuierer
Algorithmen und Datenstrukturen (Th. Ottmann und P. Widmayer) Folien: Suchverfahren Autor: Stefan Edelkamp / Sven Schuierer Institut für Informatik Georges-Köhler-Allee Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Optimierung. Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen. Vorgehen: Dynamische Programmierung
Optimierung Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen Optimierung I Dynamisches Programmieren Günther Greiner Lehrstuhl für Graphische Datenverarbeitung Sommersemester
Informatik I: Einführung in die Programmierung
Informatik I: Einführung in die Programmierung 7. Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Bernhard Nebel 31. Oktober 2014 1 31. Oktober 2014 B. Nebel Info I 3 / 20 Um zu, muss man zuerst einmal. Abb. in Public
12. Rekursion Grundlagen der Programmierung 1 (Java)
12. Rekursion Grundlagen der Programmierung 1 (Java) Fachhochschule Darmstadt Haardtring 100 D-64295 Darmstadt Prof. Dr. Bernhard Humm FH Darmstadt, 24. Januar 2006 Einordnung im Kontext der Vorlesung
Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: Rekursionsgleichungen (K4) Übersicht. Binäre Suche. Joost-Pieter Katoen. 20.
Übersicht Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: (K4) Joost-Pieter Katoen Lehrstuhl für Informatik 2 Software Modeling and Verification Group http://www-i2.informatik.rwth-aachen.de/i2/dsal12/ 20.
Bäume, Suchbäume und Hash-Tabellen
Im folgenden Fokus auf Datenstrukturen, welche den assoziativen Zugriff (über einen bestimmten Wert als Suchkriterium) optimieren Bäume: Abbildung bzw. Vorberechnung von Entscheidungen während der Suche
Counting - Sort [ [ ] [ [ ] 1. SS 2008 Datenstrukturen und Algorithmen Sortieren in linearer Zeit
![Counting - Sort [ [ ] [ [ ] 1. SS 2008 Datenstrukturen und Algorithmen Sortieren in linearer Zeit](/thumbs/60/44575606.jpg "Counting - Sort [ [ ] [ [ ] 1. SS 2008 Datenstrukturen und Algorithmen Sortieren in linearer Zeit")
Counting-Sort Counting - Sort ( A,B,k ). for i to k. do C[ i]. for j to length[ A]. do C[ A[ j ] C[ A[ j ] +. > C[ i] enthält Anzahl der Elemente in 6. for i to k. do C[ i] C[ i] + C[ i ]. > C[ i] enthält
Kasparov versus Deep Blue. Till Tantau. Institut für Theoretische Informatik Universität zu Lübeck
Kasparov versus Deep Blue Institut für Theoretische Informatik Universität zu Lübeck 18. Vorlesung zu Informatik A für MLS 14. Dezember 2006 Die Lernziele der heutigen Vorlesung und der Übungen. 1 Das
Algorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Dipl. Inform. Andreas Wilkens 1 Organisatorisches Freitag, 05. Mai 2006: keine Vorlesung! aber Praktikum von 08.00 11.30 Uhr (Gruppen E, F, G, H; Vortestat für Prototyp)
Tutoraufgabe 1 (Sortieren): Lösung: Datenstrukturen und Algorithmen SS14 Lösung - Übung 4
Prof. aa Dr. E. Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen SS Lösung - Übung F. Corzilius, S. Schupp, T. Ströder Tutoraufgabe (Sortieren): a) Sortieren Sie das folgende Array durch Anwendung des Selectionsort-Algorithmus.
Grundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny
Grundlagen der Informatik Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny 2 Datenstrukturen 2.1 Einführung Syntax: Definition einer formalen Grammatik, um Regeln einer formalen Sprache (Programmiersprache) festzulegen.
Programmieren, Algorithmen und Datenstrukturen II 8. Allgemeine Lösungsverfahren
Programmieren, Algorithmen und Datenstrukturen II 8. Allgemeine Lösungsverfahren 1 Übersicht 1. Ziele des Kapitels 2. Bereits behandelte Lösungsstrategien 3. Backtracking 4. Branch-and-Bound 5. Weiterführende
Informatik-Seminar Thema 6: Bäume
Informatik-Seminar 2003 - Thema 6: Bäume Robin Brandt 14. November 2003 1 Robin Brandt Informatik-Seminar 2003 - Thema 6: Bäume Übersicht Definition Eigenschaften Operationen Idee Beispiel Datendefinition
Rolf Wanka Sommersemester Vorlesung
Peer-to to-peer-netzwerke Rolf Wanka Sommersemester 2007 12. Vorlesung 12.07.2007 rwanka@cs.fau.de basiert auf einer Vorlesung von Christian Schindelhauer an der Uni Freiburg Aufbau Viceroy Knoten in Viceroy
Grundlagen Datenstrukturen Transitive Hülle Traversierung Kürzeste Wege Spannender Baum Max. Fluss Zuordnungen. 6. Graphen
. Graphen viele praktische (Optimierungs-)Probleme sind als graphentheoretische Probleme formulierbar z.b. in Produktionsplanung, Personaleinsatzplanung,.... Grundlagen gerichteter, ungerichteter und gewichteter
Algorithmen und Datenstrukturen 1-1. Seminar -
Algorithmen und Datenstrukturen 1-1. Seminar - Dominic Rose Bioinformatics Group, University of Leipzig Wintersemester 2009/10 Inhalt der ersten beiden Vorlesungen Algorithmenbegriff Komplexität, Asymptotik
Breiten- und Tiefensuche in Graphen
Breiten- und Tiefensuche in Graphen Inhalt Theorie. Graphen. Die Breitensuche in der Theorie am Beispiel eines ungerichteten Graphen. Die Tiefensuche in der Theorie am Beispiel eines gerichteten Graphen
Klausur Algorithmen und Datenstrukturen II 10. August 2015
Technische Universität Braunschweig Sommersemester 2015 Institut für Betriebssysteme und Rechnerverbund Abteilung Algorithmik Prof. Dr. Sándor P. Fekete Dr. Christian Scheffer Klausur Algorithmen und Datenstrukturen
Advanced Programming in C
Advanced Programming in C Pointer und Listen Institut für Numerische Simulation Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn Oktober 2013 Überblick 1 Variablen vs. Pointer - Statischer und dynamischer
Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen
Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Sommersemester 00
Praktikum Algorithmen-Entwurf (Teil 7)
Praktikum Algorithmen-Entwurf (Teil 7) 28.11.2005 1 1 Vier gewinnt Die Spielregeln von Vier Gewinnt sind sehr einfach: Das Spielfeld besteht aus 7 Spalten und 6 Reihen. Jeder Spieler erhält zu Beginn des
Geometrie I. Sebastian Redinger Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen
Geometrie I Sebastian Redinger 01.07.2015 Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Gliederung Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle - Graham Scan - Jarvis March 2 Gliederung
Informatik II Greedy-Algorithmen
lausthal Informatik II reedy-algorithmen. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Erinnerung: Dynamische Programmierung Zusammenfassung der grundlegenden Idee: Optimale Sub-Struktur:
Klausur Algorithmen und Datenstrukturen II 29. Juli 2013
Technische Universität Braunschweig Sommersemester 2013 Institut für Betriebssysteme und Rechnerverbund Abteilung Algorithmik Prof. Dr. Sándor P. Fekete Stephan Friedrichs Klausur Algorithmen und Datenstrukturen
Balancierte Bäume. Minimale Knotenanzahl von AVL-Bäumen. AVL-Bäume. Definition für "balanciert":
Balancierte Bäume Aufwand, ein Element zu finden, entspricht der Tiefe des gefundenen Knotens im worst case = Tiefe des Baumes liegt zwischen log N und N Definition für "balanciert": es gibt verschiedene
Wirtschaftsinformatik I
Wirtschaftsinformatik I - Tutorium 6/ 7 (April 2010) Zusatzinformationen - Lösungsvorschläge Wirtschaftsinformatik I Tutorium Jochen Daum (4.Semester BWL) Universität Mannheim Rechtshinweis: Diese Präsentation
Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt;
Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt Referent Matthias Rost 1 Einleitung Definitionen Maximaler Dynamischer Fluss Algorithmus von Ford-Fulkerson Techniken zur
Algorithmentheorie Randomisierung. Robert Elsässer
Algorithmentheorie 03 - Randomisierung Robert Elsässer Randomisierung Klassen von randomisierten Algorithmen Randomisierter Quicksort Randomisierter Primzahltest Kryptographie 2 1. Klassen von randomisierten
Algorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum
Praxis der Programmierung
Dynamische Datentypen Institut für Informatik und Computational Science Universität Potsdam Henning Bordihn Einige Folien gehen auf A. Terzibaschian zurück. 1 Dynamische Datentypen 2 Dynamische Datentypen
Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt
Algorithmen und Datenstrukturen 265 10 Binäre Suchbäume Suchbäume Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt Kann als Wörterbuch, aber auch zu mehr eingesetzt werden (Prioritätsschlange)
Dynamisches Programmieren - Problemstruktur
Dynamisches Programmieren - Problemstruktur Optimale Substruktur: Optimale Lösung enthält optimale Lösungen von Teilproblemen. Bsp.: Kürzester Weg im Graphen, LCS (s. etwa Folie 42 der letzten Vorlesung)
Gliederung. Algorithmen und Datenstrukturen II. Problem: Längste gemeinsame Teilsequenz. Problem: Längste gemeinsame Teilsequenz
Gliederung Algorithmen und Datenstrukturen II Algorithmen zur Textverarbeitung II D. Rösner Institut für Wissens- und Sprachverarbeitung Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg
Datenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012
Datenstrukturen Mariano Zelke Sommersemester 2012 Tiefensuche: Die globale Struktur Der gerichtete oder ungerichtete Graph G werde durch seine Adjazenzliste A repräsentiert. Im Array besucht wird vermerkt,
Binäre lineare Optimierung mit K*BMDs p.1/42
Binäre lineare Optimierung mit K*BMDs Ralf Wimmer wimmer@informatik.uni-freiburg.de Institut für Informatik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Binäre lineare Optimierung mit K*BMDs p.1/42 Grundlagen Binäre
Rekursive Funktionen
Um Rekursion zu verstehen, muss man vor allem Rekursion verstehen. http://www2.norwalk-city.k12.oh.us/wordpress/precalc/files/2009/05/mona-lisa-jmc.jpg Rekursive Funktionen OOPM, Ralf Lämmel Was ist Rekursion?
2.2 Allgemeine (vergleichsbasierte) Sortierverfahren
. Allgemeine (vergleichsbasierte) Sortierverfahren Vergleichsbaum: Der Aufbau des Verbleichsbaum ist für jeden Algorithmus und jede Eingabelänge n gleich. Jede Permutation der Eingabe, muss zu einem anderen
Binärbäume: Beispiel
Binärbäume Als Beispiel für eine interessantere dynamische Datenstruktur sehen wir uns jetzt Binärbäume an Ein Binärbaum wird rekursiv definiert: Er ist leer oder besteht aus einem Knoten (die Wurzel des
Programmieren I. Kapitel 7. Sortieren und Suchen
Programmieren I Kapitel 7. Sortieren und Suchen Kapitel 7: Sortieren und Suchen Ziel: Varianten der häufigsten Anwendung kennenlernen Ordnung Suchen lineares Suchen Binärsuche oder Bisektionssuche Sortieren
Suchen und Sortieren
(Folie 69, Seite 36 im Skript) 5 6 1 4 Als assoziatives Array geeignet Schlüssel aus geordneter Menge Linke Kinder kleiner, rechte Kinder größer als Elternknoten Externe und interne Knoten Externe Knoten
7. Sortieren Lernziele. 7. Sortieren
7. Sortieren Lernziele 7. Sortieren Lernziele: Die wichtigsten Sortierverfahren kennen und einsetzen können, Aufwand und weitere Eigenschaften der Sortierverfahren kennen, das Problemlösungsparadigma Teile-und-herrsche
Projekt Systementwicklung
Projekt Systementwicklung Effiziente Codierung: Laufzeitoptimierung Prof. Dr. Nikolaus Wulff Effiziente Codierung Der Wunsch effizienten Code zu schreiben entstammt mehreren Quellen: Zielplattformen mit
Übungsblatt 1. f(n) = f(n) = O(g(n)) g(n) = O(f(n)) Zeigen oder widerlegen Sie: 3 n = Θ(2 n ) Aufgabe 1.2 Gegeben sei die folgende Funktion:
Übungsblatt 1 Aufgabe 1.1 Beweisen oder widerlegen Sie, dass für die im Folgenden definierte Funktion f(n) die Beziehung f(n) = Θ(n 4 ) gilt. Beachten Sie, dass zu einem vollständigen Beweis gegebenenfalls
Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum
Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Motivation Datenstruktur zur Repräsentation dynamischer Mengen
Programmierung mit C Algorithmen
Programmierung mit C Algorithmen Informationen /7/ Robert Sedgewick Algorithmen in C. 742 Seiten, ISBN 3-827-37182-1. /8/ Kyle Loudon Algorithmen mit C, ISBN 3-4897-211653-0. Online-Buch "C von A bis Z",
Ranking by Reordering Tobias Joppen
Ranking by Reordering Tobias Joppen 09.07.2014 Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 1 Überblick Einleitung Rank-differential Methode Idee Problemdefinition Beispiel Vereinfachung
Algorithmen und Datenstrukturen Tafelübung 4. Jens Wetzl 15. November 2011
Algorithmen und Datenstrukturen Tafelübung 4 Jens Wetzl 15. November 2011 Folien Keine Garantie für Vollständigkeit und/oder Richtigkeit Keine offizielle Informationsquelle LS2-Webseite Abrufbar unter: