Lernkarten. Analytische Geometrie. 6 Seiten

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Ulrich Goldschmidt
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1 Lernkarten Analytische Geometrie 6 Seiten Zum Ausdrucken muss man jeweils eine Vorderseite drucken, dann das Blatt wenden, nochmals einlegen und die Rückseite drucken. Am besten druckt man die Karten auf festem Papier oder auf Visitenkarten- Papier, so dass man sie hinterher zerschneiden kann. Da dies eine Erstproduktion ist, bitte ich, mir eventuelle Fehler mitzuteilen sowie Verbesserungs- und Ergänzungsvorschläge zu machen. Jens Möller.

3 Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Geraden? Wie bestimmt man die Länge eines Vektors a? Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Ebenen? Wie berechnet man den Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene? Wann sind zwei Vektoren parallel? Wann sind zwei Vektoren orthogonal? Wie bestimmt man den Abstand zweier Punkte A und B? Wie lauten die Gleichungen der Koordinatenebnen? Wie lautet die Ebenengleichung in Achsenabschnittsform? Wozu benötigt man sie? Wie lauten die Gleichungen der Ebenen, die parallel zu den Koordinatenebnen sind?

4 a = a1 + a + a a b cos α = 3 a b a n sin α = a n n1 n cos α = n n 1 a b a b = 0 a b a = k b mit k 0 Die Vektoren sind linear abhängig. x x Ebene x = 0 x = 0 x = x x Ebene 1 3 x x Ebene 3 1 AB = ( a b ) + ( a b ) + ( a ) AB = b3 oder ( x ) + ( x ) + ( ) 1 x3 x = c parallel zur x x Ebene 3 1 x = b parallel zur x x Ebene 1 3 x = a parallel zur x x Ebene 1 3 x1 x x3 + + = 1 a b c benötigt man zur Bestimmung der Spurpunkte und zum Zeichnen.

5 Wie lautet die Ebenengleichung in Koordinatenform? Welche Bedeutung hat die Größe von D? Wie lautet die Ebenengleichung in Parameterform? Welche Vektoren darf man kürzen? Wie erhält man aus der Koordinatenform einen Vektor, der orthogonal zur Ebene ist. Wie erhält man einen Vektor, der auf zwei anderen Vektoren senkrecht steht? Wie lautet die Normalform der Ebenengleichung? Wie kommt man von der Normalform zur Koordinatenform? Wie lautet die Hesse-Normel-Form der Ebenengleichung? Wie lautet die Formel für den Abstand eines Punktes P von einer Ebene E? Wie berechnet man die Mitte einer Strecke? Wie lautet die Formel für den Abstand einer Ebene E zum Ursprung?

6 x = x0 + s ( x0 x1) + t ( x0 x) a b x = Stützvektor a und b = Richtungsvektoren 0 Nur die Richtungsvektoren darf man kürzen. A x1 + B x + C x3 + D = 0 für D = 0 geht die Ebene durch den Ursprung. Durch das Kreuzprodukt n = a b A x1 + B x + C x3 + D = 0 A n = B C x1 A x x0 n = 0 x x0 B = 0 x 3 C A x + B x + C x + D= 0 [ ] 1 3 x x n = 0 n x = n x = D [ ] 0 0 d = A p + B p + C p + D 1 3 A + B + C A x + B x + C x + D 1 3 A + B + C = 0 d = D A + B + C a1 + b1 a + b a3 + b3 M

7 Was versteht man unter Spurpunkten einer Ebene und wie bestimmt man sie? Was versteht man unter Spurpunkten einer Gerade und wie bestimmt man sie? Wie lautet die Geradengleichung in Parameterform? Wie fällt man das Lot auf eine Ebene? Wie spiegelt man einen Punkt an einer Ebene? Wie erhält man die Spurgeraden einer Ebene? Wie lauten die Gleichungen der Koordinatenachsen? Wie kann man den Abstand zweier windschiefer Geraden bestimmen? Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes P zu einer Geraden g? Wie bestimmt man den Betrag eines Vektors?

8 Spurpunkte = Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen. Setze in der Geradengleichung jeweils x = 0 oder x = 0 oder x = So erhält man jeweils einen Spurpunkt. Spurpunkte = Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen. x1 x x3 + + = 1 a b c S 1 (a / 0 / 0), S (0 / b / 0) und S 3 (0 / 0 / c) Lot auf eine Ebene: Lot x = x + t n : P g: x = x0 + t ( x0 x1) a Der Richtungsvektor a darf gekürzt werden. Die Lotgerade mit der Ebene schneiden, den Parameter verdoppeln und in die Lotgerade einsetzen. Die Ebene E wird mit den Koordinatenebenen x1 = 0 oder x = 0 oder x3 = 0 geschnitten. g: x = x0 + s a n = a b h: x = xp + t b Hilfsebene : x x n = 0 [ ] H: Ax + Bx + Cx + D= 0 Abst. von P zu H = A p + B p + C p + D 1 3 A + B + C 1 x1 Achse : x = t x Achse : x = t x3 Achse : x = t 0 1 a = a + a + a 1 3 Man stellt eine Hilfsebene H auf, die durch P geht und g senkrecht schneidet. H g = F d = PF

9 Wie normiert man einen Vektor auf die Länge 1? Wie schneidet man eine Gerade mit einer Ebene? Wie bestimmt man den Schnittpunkt zweier Geraden? Wie bestimmt man die Schnittgerade zweier Ebenen, die in Koordinatenform gegeben sind? Wie bestimmt man die Schnittgerade zweier Ebenen, wenn die eine in Koordinatenform und die andere in Parameterform gegeben ist? Woran erkennt man, dass zwei Geraden windschief sind? Woran erkennt man, dass zwei Geraden parallel sind? Woran erkennt man, dass zwei Geraden identisch sind? Wie bestimmt man den Schwerpunkt eines Dreiecks ABC? Wie erkennt man, dass drei Vektoren a, b und c linear abhängig sind?

10 g komponentenweise einsetzen in E (in Koordinatenform) t S S t in g einsetzen S Man teilt den Vektor durch seine Länge 1 a0 = a a Der normierte Vektor hat die Länge 1. 1.Mögl.: Je zwei entsprechende Spurgeraden schneiden S1 und S g.mögl.: a = n n und ein SP g 1 3. Mögl.: setze z. B. x = t... x und x g 1 3 g 1 und g komponentenweise gleichsetzen System mit 3 Gleichungen und Unbekannten aus Zeilen berechne s und t für die 3. Zeile mache die Kontrolle: falls kein Widerspruch S windschief: a k b, d.h. verschiedene Richtungen und kein Schnittpunkt E 1 (Parameterform) einsetzen in E (Koordinatenform) s= at + b einsetzen in E 1 g in Parameterform identisch: a = k b, d.h. gleiche Richtung und P 1/ liegt auf g /1 (Punktprobe) parallel: a = k b,d.h. gleiche Richtung und P 1, liegt nicht auf g, 1 (Punktprobe) Einer der Vektoren lässt sich als Linearkombination der beiden anderen schreiben zb.. a= s b+ t c a1+ b1+ c1 a + b + c a3 + b3 + c3 S 3 3 3

11 Wie bestimmt man den Flächeninhalt eines Rechtecks? Wie bestimmt man den Flächeninhalt eines Parallelogramms? Wie bestimmt man den Flächeninhalt einer Raute (= Rhombus)? Wie bestimmt man den Flächeninhalt eines Dreiecks? Wie bestimmt man den Flächeninhalt eines Trapezes? Wie lautet der Satz des Pythagoras? Wie berechnet man die Länge der Diagonale in einem Quadrat? Wie berechnet man die Länge der Diagonale in einem Rechteck? Wie berechnet man ein Spatvolumen? Wie berechnet man den Umfang eines Kreises?

12 A = g h oder A = a b sin γ oder A= a b A = Länge Breite = a b 1 1 A = g h oder A = a b sin γ oder A= 1 a b e f A = e, f = Diagonalen, die stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich. A Trapez a + c = a + b = c h c= a + b d = a U = π d oder U = π r Ein Spatvolumen wird von drei linear unab hängigen Vektoren a, b und c aufgespannt : V = ( a b) c SPAT

13 Wie berechnet man die Fläche eines Kreises? Wie bestimmt man das Volumen einer Pyramide? Wie bestimmt man den Abstand zweier paralleler Ebenen? Wie bestimmt man den Abstand zweier paralleler Geraden? Wie spiegelt man einen Punkt P an einem Punkt Q? Wann sind die Ebenen E und E orthogonal? 1 Wie erkennt man, dass die Ebene E und die Gerade g orthogonal sind? Wie erkennt man, dass die Ebene E und die Gerade g parallel sind? Wie bestimmt man das Volumen eines Kegels? Wie bestimmt man das Volumen eines Zylinders?

14 1 1 A= π r² VPyramide = G h oder ( a b ) c 3 6 oder 1 nur, wenn die Grundfl. ein Dreieck ist. π 6 A= d² 4 Man wählt einen Punkt P auf g 1 und bestimmt den Abstand des Punktes zur Geraden g. Dazu stellt man eine Hilfsebene durch P und senkrecht zu g auf. H g = F d = PF Man wählt einen Punkt aus E 1 und bestimmt mit Hilfe der Formel (HNF) den Abstand des Punktes zur Ebene E. n 1 n = 0 x = x + PQ P Q n a = 0 und P E n = k a V = G h= π r² h V = G h= r h π ²

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