Lernkarten. Analytische Geometrie. 6 Seiten

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lernkarten. Analytische Geometrie. 6 Seiten"

Transkript

1 Lernkarten Analytische Geometrie 6 Seiten Zum Ausdrucken muss man jeweils eine Vorderseite drucken, dann das Blatt wenden, nochmals einlegen und die Rückseite drucken. Am besten druckt man die Karten auf festem Papier oder auf Visitenkarten- Papier, so dass man sie hinterher zerschneiden kann. Da dies eine Erstproduktion ist, bitte ich, mir eventuelle Fehler mitzuteilen sowie Verbesserungs- und Ergänzungsvorschläge zu machen. Jens Möller.

2

3 Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Geraden? Wie bestimmt man die Länge eines Vektors a? Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Ebenen? Wie berechnet man den Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene? Wann sind zwei Vektoren parallel? Wann sind zwei Vektoren orthogonal? Wie bestimmt man den Abstand zweier Punkte A und B? Wie lauten die Gleichungen der Koordinatenebnen? Wie lautet die Ebenengleichung in Achsenabschnittsform? Wozu benötigt man sie? Wie lauten die Gleichungen der Ebenen, die parallel zu den Koordinatenebnen sind?

4 a = a1 + a + a a b cos α = 3 a b a n sin α = a n n1 n cos α = n n 1 a b a b = 0 a b a = k b mit k 0 Die Vektoren sind linear abhängig. x x Ebene x = 0 x = 0 x = x x Ebene 1 3 x x Ebene 3 1 AB = ( a b ) + ( a b ) + ( a ) AB = b3 oder ( x ) + ( x ) + ( ) 1 x3 x = c parallel zur x x Ebene 3 1 x = b parallel zur x x Ebene 1 3 x = a parallel zur x x Ebene 1 3 x1 x x3 + + = 1 a b c benötigt man zur Bestimmung der Spurpunkte und zum Zeichnen.

5 Wie lautet die Ebenengleichung in Koordinatenform? Welche Bedeutung hat die Größe von D? Wie lautet die Ebenengleichung in Parameterform? Welche Vektoren darf man kürzen? Wie erhält man aus der Koordinatenform einen Vektor, der orthogonal zur Ebene ist. Wie erhält man einen Vektor, der auf zwei anderen Vektoren senkrecht steht? Wie lautet die Normalform der Ebenengleichung? Wie kommt man von der Normalform zur Koordinatenform? Wie lautet die Hesse-Normel-Form der Ebenengleichung? Wie lautet die Formel für den Abstand eines Punktes P von einer Ebene E? Wie berechnet man die Mitte einer Strecke? Wie lautet die Formel für den Abstand einer Ebene E zum Ursprung?

6 x = x0 + s ( x0 x1) + t ( x0 x) a b x = Stützvektor a und b = Richtungsvektoren 0 Nur die Richtungsvektoren darf man kürzen. A x1 + B x + C x3 + D = 0 für D = 0 geht die Ebene durch den Ursprung. Durch das Kreuzprodukt n = a b A x1 + B x + C x3 + D = 0 A n = B C x1 A x x0 n = 0 x x0 B = 0 x 3 C A x + B x + C x + D= 0 [ ] 1 3 x x n = 0 n x = n x = D [ ] 0 0 d = A p + B p + C p + D 1 3 A + B + C A x + B x + C x + D 1 3 A + B + C = 0 d = D A + B + C a1 + b1 a + b a3 + b3 M

7 Was versteht man unter Spurpunkten einer Ebene und wie bestimmt man sie? Was versteht man unter Spurpunkten einer Gerade und wie bestimmt man sie? Wie lautet die Geradengleichung in Parameterform? Wie fällt man das Lot auf eine Ebene? Wie spiegelt man einen Punkt an einer Ebene? Wie erhält man die Spurgeraden einer Ebene? Wie lauten die Gleichungen der Koordinatenachsen? Wie kann man den Abstand zweier windschiefer Geraden bestimmen? Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes P zu einer Geraden g? Wie bestimmt man den Betrag eines Vektors?

8 Spurpunkte = Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen. Setze in der Geradengleichung jeweils x = 0 oder x = 0 oder x = So erhält man jeweils einen Spurpunkt. Spurpunkte = Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen. x1 x x3 + + = 1 a b c S 1 (a / 0 / 0), S (0 / b / 0) und S 3 (0 / 0 / c) Lot auf eine Ebene: Lot x = x + t n : P g: x = x0 + t ( x0 x1) a Der Richtungsvektor a darf gekürzt werden. Die Lotgerade mit der Ebene schneiden, den Parameter verdoppeln und in die Lotgerade einsetzen. Die Ebene E wird mit den Koordinatenebenen x1 = 0 oder x = 0 oder x3 = 0 geschnitten. g: x = x0 + s a n = a b h: x = xp + t b Hilfsebene : x x n = 0 [ ] H: Ax + Bx + Cx + D= 0 Abst. von P zu H = A p + B p + C p + D 1 3 A + B + C 1 x1 Achse : x = t x Achse : x = t x3 Achse : x = t 0 1 a = a + a + a 1 3 Man stellt eine Hilfsebene H auf, die durch P geht und g senkrecht schneidet. H g = F d = PF

9 Wie normiert man einen Vektor auf die Länge 1? Wie schneidet man eine Gerade mit einer Ebene? Wie bestimmt man den Schnittpunkt zweier Geraden? Wie bestimmt man die Schnittgerade zweier Ebenen, die in Koordinatenform gegeben sind? Wie bestimmt man die Schnittgerade zweier Ebenen, wenn die eine in Koordinatenform und die andere in Parameterform gegeben ist? Woran erkennt man, dass zwei Geraden windschief sind? Woran erkennt man, dass zwei Geraden parallel sind? Woran erkennt man, dass zwei Geraden identisch sind? Wie bestimmt man den Schwerpunkt eines Dreiecks ABC? Wie erkennt man, dass drei Vektoren a, b und c linear abhängig sind?

10 g komponentenweise einsetzen in E (in Koordinatenform) t S S t in g einsetzen S Man teilt den Vektor durch seine Länge 1 a0 = a a Der normierte Vektor hat die Länge 1. 1.Mögl.: Je zwei entsprechende Spurgeraden schneiden S1 und S g.mögl.: a = n n und ein SP g 1 3. Mögl.: setze z. B. x = t... x und x g 1 3 g 1 und g komponentenweise gleichsetzen System mit 3 Gleichungen und Unbekannten aus Zeilen berechne s und t für die 3. Zeile mache die Kontrolle: falls kein Widerspruch S windschief: a k b, d.h. verschiedene Richtungen und kein Schnittpunkt E 1 (Parameterform) einsetzen in E (Koordinatenform) s= at + b einsetzen in E 1 g in Parameterform identisch: a = k b, d.h. gleiche Richtung und P 1/ liegt auf g /1 (Punktprobe) parallel: a = k b,d.h. gleiche Richtung und P 1, liegt nicht auf g, 1 (Punktprobe) Einer der Vektoren lässt sich als Linearkombination der beiden anderen schreiben zb.. a= s b+ t c a1+ b1+ c1 a + b + c a3 + b3 + c3 S 3 3 3

11 Wie bestimmt man den Flächeninhalt eines Rechtecks? Wie bestimmt man den Flächeninhalt eines Parallelogramms? Wie bestimmt man den Flächeninhalt einer Raute (= Rhombus)? Wie bestimmt man den Flächeninhalt eines Dreiecks? Wie bestimmt man den Flächeninhalt eines Trapezes? Wie lautet der Satz des Pythagoras? Wie berechnet man die Länge der Diagonale in einem Quadrat? Wie berechnet man die Länge der Diagonale in einem Rechteck? Wie berechnet man ein Spatvolumen? Wie berechnet man den Umfang eines Kreises?

12 A = g h oder A = a b sin γ oder A= a b A = Länge Breite = a b 1 1 A = g h oder A = a b sin γ oder A= 1 a b e f A = e, f = Diagonalen, die stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich. A Trapez a + c = a + b = c h c= a + b d = a U = π d oder U = π r Ein Spatvolumen wird von drei linear unab hängigen Vektoren a, b und c aufgespannt : V = ( a b) c SPAT

13 Wie berechnet man die Fläche eines Kreises? Wie bestimmt man das Volumen einer Pyramide? Wie bestimmt man den Abstand zweier paralleler Ebenen? Wie bestimmt man den Abstand zweier paralleler Geraden? Wie spiegelt man einen Punkt P an einem Punkt Q? Wann sind die Ebenen E und E orthogonal? 1 Wie erkennt man, dass die Ebene E und die Gerade g orthogonal sind? Wie erkennt man, dass die Ebene E und die Gerade g parallel sind? Wie bestimmt man das Volumen eines Kegels? Wie bestimmt man das Volumen eines Zylinders?

14 1 1 A= π r² VPyramide = G h oder ( a b ) c 3 6 oder 1 nur, wenn die Grundfl. ein Dreieck ist. π 6 A= d² 4 Man wählt einen Punkt P auf g 1 und bestimmt den Abstand des Punktes zur Geraden g. Dazu stellt man eine Hilfsebene durch P und senkrecht zu g auf. H g = F d = PF Man wählt einen Punkt aus E 1 und bestimmt mit Hilfe der Formel (HNF) den Abstand des Punktes zur Ebene E. n 1 n = 0 x = x + PQ P Q n a = 0 und P E n = k a V = G h= π r² h V = G h= r h π ²

Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans

Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans josef.coenen@web.de Abitour Analytische Geometrie Leistungskurs Aufgaben 1. Welche Lagebeziehungen zwischen

Mehr

Zusammenfassung der Analytischen Geometrie

Zusammenfassung der Analytischen Geometrie Zusammenfassung der Analytischen Geometrie 1. Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation, Linearkombinationen) 1. Gegeben sind die Punkte A(2-6 ) und B(-1 14-4), 4 4 sowie die Vektoren

Mehr

Das Wichtigste auf einen Blick

Das Wichtigste auf einen Blick Das Wichtigste auf einen Blick Zusammenfassung Geometrie.Parameterform einer Geraden Eine Gerade ist wie auch in der Analysis durch zwei Punkte A, B im Raum eindeutig bestimmt einer der beiden Punkte,

Mehr

Grundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012

Grundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012 Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht

Mehr

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2 Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit

Mehr

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt: Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz wwwmathe-aufgabencom September 7 Abituraufgaben (Haupttermin) Aufgabe

Mehr

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1 2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz wwwmathe-aufgabencom September 6 Abituraufgaben (Haupttermin) Aufgabe

Mehr

Teil II. Geometrie 19

Teil II. Geometrie 19 Teil II. Geometrie 9 5. Dreidimensionales Koordinatensystem Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es acht Oktanten, oben I bis VI und unten VI bis VIII. Die Koordinatenachsen,x 2 und stehen jeweils

Mehr

Formelsammlung Analytische Geometrie

Formelsammlung Analytische Geometrie Formelsammlung Analytische Geometrie http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. August 6 Inhaltsverzeichnis 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene......................................... 6..

Mehr

Aufgaben mit Ebenen. Parameterform Normalenform Koordinatenform. Darstellung = + r + s =0 ax 1 + bx 2 + cx 3 = d. Beispiel

Aufgaben mit Ebenen. Parameterform Normalenform Koordinatenform. Darstellung = + r + s =0 ax 1 + bx 2 + cx 3 = d. Beispiel Aufgaben mit Ebenen Parameterform Normalenform Koordinatenform Spurpunkte Zur grafischen Darstellung der Ebene die Spurpunkt berechnen. Zwei Koordinaten gleich 0 setzen und jeweils die dritte ausrechnen.

Mehr

Mathematik Analytische Geometrie

Mathematik Analytische Geometrie Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,

Mehr

Analytische Geometrie II

Analytische Geometrie II Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor

Mehr

1 aus allen 3 Zeilen folgt t = 1, also liegt A auf g. Orsvektor und Richtungsvektor der Geraden werden übernommen, den zweiten Spannvektor bekommt

1 aus allen 3 Zeilen folgt t = 1, also liegt A auf g. Orsvektor und Richtungsvektor der Geraden werden übernommen, den zweiten Spannvektor bekommt Lösungsskizzen Klassische Aufgaben Lösung zu Abi - PTV Punktprobe: = + t aus allen Zeilen folgt t =, also liegt A auf g. Richtungsvektor von g: u = ; Normalenvektor von E: n = Da die n und u Vielfache

Mehr

Lösungen der 1. Lektion

Lösungen der 1. Lektion Lektionen der Vektorrechnung in Aufgaben Lösungen Schickt mir bei Entdeckung eines Fehlers oder Unklarheiten bitte eine e-mail! Lösungen der 1. Lektion Es ist hier unerheblich, wie Vektoren definiert werden.

Mehr

Geometrie / Lineare Algebra. Rechenregeln. Geometrische Deutung. Vektoren

Geometrie / Lineare Algebra. Rechenregeln. Geometrische Deutung. Vektoren Vektoren Geometrie / Lineare Algebra Vektoren und Rechenregeln Länge, Winkel, Abstand Darstellung von Geraden und Ebenen Umformungen Abstandsbestimmungen Lage, Schnitte, Schnittwinkel Spiegelungen E-Mail:

Mehr

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01 . Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:

Mehr

5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge.

5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge. 1. Definition von drei Vektoren sind l.u. 2. Wie überprüft man 3 Vektoren mit Hilfe eines LGS auf lineare Unabhängigkeit? 3. Definition von Basis?... wenn sich der Nullvektor nur als triviale LK darstellen

Mehr

b 1 b 2 b 3 a 1 b 1 a 2 b 2 a 2 b 2 a b a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3

b 1 b 2 b 3 a 1 b 1 a 2 b 2 a 2 b 2 a b a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 1. Rechnen mit Vektoren Skalarprodukt a b a b cos a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 a 1 b 1 a 2 b 2 a 2 b 2 b a 1. Betrag Länge eines Vektors: a a a a 2 1 a 2 2 a 2 3 2. Winkel zwischen 2 Vektoren: cos a b a b a

Mehr

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte April 2008

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte April 2008 Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte April 8 Zusammenfassung IC Il Corso Advanzato I. Besondere Punkte, Geraden und Ebenen 1. Besondere Ebenen Koordinatenebenen: Wie in dem konkretes

Mehr

Geometrie Q11 und Q12

Geometrie Q11 und Q12 Skripten für die Oberstufe Geometrie Q und Q. E: x + 3x 4 = 0 A 3 H. Drothler 0 www.drothler.net Geometrie Oberstufe Seite Inhalt 0. Das räumliche Koordinatensystem... 0. Vektoren...3 03. Vektorketten...4

Mehr

Geometrie 3. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten. 28. Oktober Mathe-Squad GbR. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten 1

Geometrie 3. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten. 28. Oktober Mathe-Squad GbR. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten 1 Geometrie 3 Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Mathe-Squad GbR 28. Oktober 2016 Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten 1 Lage zweier Geraden Geraden g : #» X = #» A + λ #» u mit λ R h

Mehr

Lagebeziehung von Ebenen

Lagebeziehung von Ebenen M8 ANALYSIS Lagebeziehung von Ebenen Es gibt Möglichkeiten für die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen. Die Ebenen sind identisch. Die Ebenen sind parallel. Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden Um

Mehr

Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen

Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Michael Goerz 8. April 006 Inhalt Vektoren, Geraden und Ebenen. Länge eines Vektors.......................... Skalarprodukt..............................

Mehr

Basistext Geraden und Ebenen

Basistext Geraden und Ebenen Basistext Geraden und Ebenen Parameterdarstellung Geraden Eine Gerade ist durch zwei Punkte P und Q, die auf der Geraden liegen, eindeutig festgelegt. Man benötigt zur Darstellung den Vektor. Dieser wird

Mehr

Ausführliche Lösungen

Ausführliche Lösungen Bohner Ott Deusch Mathematik für berufliche Gymnasien Lineare Algebra Vektorgeometrie Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab. Auflage 6 ISBN 978--8-68-5 Das Werk und seine Teile

Mehr

ANALYTISCHE GEOMETRIE

ANALYTISCHE GEOMETRIE matheskript ANALYTISCH GOMTRI INFÜHRUNG IN DI VKTORRCHNUNG Punkte, Geraden und benen x.. Klasse S 0 H G D C x A F B Jens Möller x Autor: Jens Möller Owingen Tel. 0755-6889 mail: jmoellerowingen@aol.com.

Mehr

Grundwissen. 2.Aufstellen von Geradengleichungen: Man nimmt einen Startvektor und bildet aus 2 Punkten einen Richtungsvektor!

Grundwissen. 2.Aufstellen von Geradengleichungen: Man nimmt einen Startvektor und bildet aus 2 Punkten einen Richtungsvektor! Grundwissen 1.Aufstellen eines Vektors: Merkregel: Spitze minus Fuß! 2.Aufstellen von Geradengleichungen: Man nimmt einen Startvektor und bildet aus 2 Punkten einen Richtungsvektor! 3.Aufstellen von Ebenengleichungen

Mehr

Vektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben.

Vektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben. Vektorgeometrie 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren u 14, 5 11 10 v 2 und w 5 gegeben. 10 10 a) Zeigen Sie, dass die Vektoren einen Würfel

Mehr

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch. Januar Inhaltsverzeichnis Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt. Aufgaben....................................................

Mehr

Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe

Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe Was ist ein Vektor? Wie lassen sich Vektoren darstellen? Theorie 1 2 / 2 Grundbegriffe Antwort : Ein Vektor ist die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten

Mehr

Philipp-Melanchthon-Gymnasium Bautzen Lk Mathematik Kl. 11. Schwerpunkt: Aufgaben ohne HM Abitur Sachsen

Philipp-Melanchthon-Gymnasium Bautzen Lk Mathematik Kl. 11. Schwerpunkt: Aufgaben ohne HM Abitur Sachsen Übungen zur Analytischen Abitur 00 Die Punkte A( 0), B( 0) und C(5 0) sind Eckpunkte eines Rechtecks ABCD. Der Punkt S ist die Spitze einer geraden Pyramide mit dem Rechteck ABCD als Grundfläche und der

Mehr

7.6. Prüfungsaufgaben zu Normalenformen

7.6. Prüfungsaufgaben zu Normalenformen 7.6. Prüfungsaufgaben zu Normalenformen Aufgabe () Gegeben sind die Gerade g: x a + r u mit r R und die Ebene E: ( x p ) n. a) Welche geometrische Bedeutung haben die Vektoren a und u bzw. p und n? Veranschaulichen

Mehr

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x = Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.

Mehr

Zweidimensionale Vektorrechnung:

Zweidimensionale Vektorrechnung: Zweidimensionale Vektorrechnung: Gib jeweils den Vektor AB und seine Länge an! (a A(, B(6 5 (b A(, B( 4 (c A(, B( 0 (d A(0 0, B(4 (e A(0, B( 0 (f A(, B( Gib jeweils die Summe a + b und die Differenz a

Mehr

Lehrskript Mathematik Q12 Analytische Geometrie

Lehrskript Mathematik Q12 Analytische Geometrie Lehrskript Mathematik Q1 Analytische Geometrie Repetitorium der analytischen Geometrie Eine Zusammenfassung der analytischen Geometrie an bayerischen Gymnasien von Markus Baur, StR Werdenfels-Gymnasium

Mehr

Übung Elementarmathematik im WS 2012/13. Lösung zum Klausurvorbereitung IV

Übung Elementarmathematik im WS 2012/13. Lösung zum Klausurvorbereitung IV Technische Universität Chemnitz Fakultät für Mathematik Dr. Uwe Streit Jan Blechschmidt Aufgabenkomplex 7 - Vektoren Übung Elementarmathematik im WS 202/3 Lösung zum Klausurvorbereitung IV. (5 Punkte -

Mehr

V.01 Grundlagen (Kurzform)

V.01 Grundlagen (Kurzform) Punkte, Geraden, Ebenen V.0 Grundlagen (Kurzform) V.0.0 Zeichnen im D Koordinatensystem ( ) Ein D Koordinatensystem hat natürlich drei Achsen. Die Achsen heißen Koordinatenachsen. Die erste Achse heißt

Mehr

MATHEMATIK G10. (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte

MATHEMATIK G10. (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte (c) A( 1 1 ) geht. 1 MATHEMATIK G10 GERADEN (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte P und Q: a) P ( 5), Q(4 7) b) P (3 11), Q(3, 1) c) P (3 5), Q( 1 7) d) P ( 0), Q(0 3) e) P (3

Mehr

Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra

Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 1 /27 Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra 8. Das Skalarprodukt, metrische

Mehr

1 lineare Gleichungssysteme

1 lineare Gleichungssysteme Hinweise und Lösungen: http://mathemathemathe.de/lineare-algebra-grundlagen 1 lineare Gleichungssysteme Übung 1.1: Löse das lineare Gleichungssystem: I 3x + 3y + 7z = 13 II 1x 2y + 2, 5z = 1, 5 III 4x

Mehr

Analytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden

Analytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden Analytische Geometrie - Schnittwinkel. Möglichkeiten und Formeln Gerade / Gerade: cos( ) = u u 2 u u 2 Gerade / Ebene: sin( ) = n u n u Ebene / Ebene: cos( ) = n n 2 n n 2 u, u 2 Richtungsvektoren der

Mehr

ohne Anspruch auf Vollständigkeit

ohne Anspruch auf Vollständigkeit Abi-Crash-Kurs Analytische Geometrie (G Niveau) ohne Anspruch auf Vollständigkeit Inhalt 1 Punkte, Vektoren und Geraden im R³... 2 2 Rechnen mit Vektoren... 4 2.1 Skalarprodukt... 4 2.2 Vektorprodukt...

Mehr

Vorkurs Mathematik. Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Vorkurs Mathematik. Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen Dorfmeister, Boiger, Langwallner, Pfister, Schmid, Wurtz Vorkurs Mathematik TU München WS / Blatt Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen. In einem kartesischen Koordinatensystem des R sei eine

Mehr

Lineare Algebra in der Oberstufe

Lineare Algebra in der Oberstufe Lineare Algebra in der Oberstufe Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 16. April 2016 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April 2016 1 / 32 Übersicht Ziel dieses Kapitels

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Analytische Geometrie Übungsaufgaben Punkte, Vektoren, Geradengleichungen Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com März 04 Aufgabe : Gegeben sind die Punkte O(0/0/0), A(6/6/0), B(/9/0),

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Sei V ein reeller Vektorraum. a) Wann nennt man eine Teilmenge U

Mehr

Gleiche Vorgehensweise wie beim Einheitsvektor in der Ebene (also wie bei 2D).Beispiel:

Gleiche Vorgehensweise wie beim Einheitsvektor in der Ebene (also wie bei 2D).Beispiel: VEKTOREN Vektoren im Raum (3D) Länge/Betrag eines räumlichen Vektors Um die Länge eines räumlichen Vektors zu bestimmen, berechnen wir dessen Betrag. Auch hier rechnet man genauso wie bei einem zweidimensionalen

Mehr

HTW MST Mathematik 1. Vektorrechnung. Zu Aufgabe 1. Zu Aufgabe Lösungen zu Übungsblatt 5. Lösung: Lösung: = 39

HTW MST Mathematik 1. Vektorrechnung. Zu Aufgabe 1. Zu Aufgabe Lösungen zu Übungsblatt 5. Lösung: Lösung: = 39 Vektorrechnung Zu Aufgabe 1 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Vektoren 1 a =, b =, 3 1 c = 6 1 aufgespannt wird! Zu Aufgabe Berechnen Sie das Volumen des durch folgende 3 Vektoren

Mehr

Kursstufe K

Kursstufe K Kursstufe K 6..6 Schreiben Sie die Ergebnisse bitte kurz unter die jeweiligen Aufgaben, lösen Sie die Aufgaben auf einem separaten Blatt. Aufgabe : Berechnen Sie das Integral Lösungsvorschlag : exp(3x

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil

Mehr

Übungen Mathematik I, M

Übungen Mathematik I, M Übungen Mathematik I, M Übungsblatt, Lösungen (Stoff aus Mathematik 0).0.0. Berechnen Sie unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes ( x + y) 7 Lösung: Nach dem binomischen Lehrsatz ist ( x + y) 7 = 7

Mehr

8 SKALARPRODUKT VON VEKTOREN BERECHNEN GEOMETRISCHER GRÖSSEN

8 SKALARPRODUKT VON VEKTOREN BERECHNEN GEOMETRISCHER GRÖSSEN 8 SKALARPRODUKT VON VEKTOREN BERECHNEN GEOMETRISCHER GRÖSSEN 7 7. a) s = ; s = 5, 5, 5 Über den Satz des Pythagoras ist die Länge der Vektoren bestimmbar. Die Länge von = ist = + +. s 6,9 m und s 6,97

Mehr

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil 1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg

Mehr

MATHEMATIK K1 EINSTIEGSARBEIT (OHNE GTR)

MATHEMATIK K1 EINSTIEGSARBEIT (OHNE GTR) MATHEMATIK K EINSTIEGSARBEIT (OHNE GTR Einige Stichworte: Bruchrechnen: bei Addition und Subtraktion beide Brüche auf den Hauptnenner bringen Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dessen Kehrwert

Mehr

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9.

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9. Koordinatengeometrie Aufgabe 1 Gegeben sind der Punkt P (-1; 9) sowie die Geraden g: 3x y + 6 = 0 und h: x + 4y 8 = 0. a) Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt S. Berechnen Sie die exakten Koordinaten

Mehr

Mathematikaufgaben > Vektorrechnung > Parallelogrammpyramide

Mathematikaufgaben > Vektorrechnung > Parallelogrammpyramide Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Vektorrechnung > Parallelogrammpyramide Michael Buhlmann Mathematikaufgaben > Vektorrechnung > Parallelogrammpyramide Aufgabe: a) Zeige, dass das Viereck ABCD mit

Mehr

3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen . Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen

Mehr

Lektionen zur Vektorrechnung

Lektionen zur Vektorrechnung Die Homepage von Joachim Mohr Start Mathematik Lektionen zur Vektorrechnung in Aufgaben Diese Datei kann auch als PDF-Datei heruntergeladen werden. Download... Es handelt sich um " Basisaufgaben " der

Mehr

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte März 2008 Zusammenfassung IB 1. Lagebeziehungen zwischen geometrischen Objekten 1.1 Punkt-Gerade Ein Punkt kann entweder auf einer gegebenen

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2013/14): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2013/14): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 3/4): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe 4) Im R 3 seien die beiden Ebenen E : 6x+4y z = und E : +s +t 4 gegeben.

Mehr

Vektorprodukt. Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: = a b + a c (Linearität) (Linearität) b = λ

Vektorprodukt. Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: = a b + a c (Linearität) (Linearität) b = λ Vektorprodukt Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: 1 a b = b a (Anti-Kommutativität) ( ) 2 a b + c ( 3 a λ ) b = λ = a b + a c (Linearität) ( a ) b (Linearität) Satz: Die Koordinatendarstellung des Vektorprodukts

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2014 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen

Abiturprüfung Mathematik 2014 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de Pflichtteil Aufgabe : Bilden Sie die Ableitung der Funktion f

Mehr

Ebenen in Normalenform

Ebenen in Normalenform Ebenen in Normalenform Normalenvektoren und Einheitsvektoren Definition Normalenvektor Ein Normalenvektor einer Ebene ist ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht (siehe Seite 12). Berechnung eines

Mehr

Übungsblatt 1: Lösungswege und Lösungen

Übungsblatt 1: Lösungswege und Lösungen Übungsblatt : Lösungswege und Lösungen 5..6 ) Hier geht es weniger um mathematisch-strenge Beweise als darum, mit abstrakten Vektoren ohne Komponenten) zu hantieren und damit die Behauptungen plausibel

Mehr

Prüfungsteil 2, Aufgabe 4 Analytische Geometrie

Prüfungsteil 2, Aufgabe 4 Analytische Geometrie Abitur Mathematik: Prüfungsteil, Aufgabe 4 Analytische Geometrie Nordrhein-Westfalen 0 LK Aufgabe a (). SCHRITT: MITTELPUNKT DER GRUNDFLÄCHE BERECHNEN Die Spitze befindet sich einen Meter senkrecht über

Mehr

ANALYTISCHE GEOMETRIE

ANALYTISCHE GEOMETRIE matheskript ANALYTISCHE GEOMETRIE EINFÜHRUNG IN DIE VEKTORRECHNUNG Punkte, Geraden und Ebenen x.. Klasse S 07 H G D C x A E F B Jens Möller x Autor: Jens Möller Owingen Tel. 07-6889 Email: jmoellerowingen@aol.com

Mehr

Analytische Geometrie Seite 1 von 6. Die Addition von Vektoren kann veranschaulicht werden durch das Aneinanderhängen von Pfeilen.

Analytische Geometrie Seite 1 von 6. Die Addition von Vektoren kann veranschaulicht werden durch das Aneinanderhängen von Pfeilen. Analytische Geometrie Seite 1 von 6 1. Wichtige Formeln AB bezeichnet den Vektor, der die Verschiebung beschreibt, durch die der Punkt A auf den Punkt B verschoben wird. Der Vektor, durch den die Verschiebung

Mehr

Lernzettel 2 für die Mathematikarbeit. 1. Erstellen einer Parametergleichung mit Hilfe von 3 Punkten:

Lernzettel 2 für die Mathematikarbeit. 1. Erstellen einer Parametergleichung mit Hilfe von 3 Punkten: Die Ebenenformen 1. Erstellen einer Parametergleichung mit Hilfe von 3 Punkten: P (4/7/3); Q(1/1/1); R(2/-2/) Ein Punkt dient als Stützvektor, die anderen beiden werden von diesem abgezogen und dienen

Mehr

Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/1) und B(-5/8)?

Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/1) und B(-5/8)? Übungsbeispiel / 2 Gerade durch 2 Punkte Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/) und B(-5/8)? Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Übungsbeispiel 2 / 2 Gerade

Mehr

Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C /07

Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C /07 Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C - 6/7. Gegenseitige Lage von Geraden Gesucht ist die gegenseitige Lage der Geraden g durch die beiden Punkte A( ) und B( 5 9 ) und der Geraden

Mehr

Vorkurs Mathematik Intensiv. Vektoren, Skalarprodukte und Geraden in der Ebene Musterlösung

Vorkurs Mathematik Intensiv. Vektoren, Skalarprodukte und Geraden in der Ebene Musterlösung Prof. Dr. J. Dorfmeister und Tutoren Vorkurs Mathematik Intensiv TU München WS 06/07 Vektoren, Skalarprodukte und Geraden in der Ebene Musterlösung Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Norm Seien x, y R mit x

Mehr

SCHULE und LERNEN. Trainer Abitur Mathematik (Analytische Geometrie und Stochastik) 11. Klasse bis Abitur

SCHULE und LERNEN. Trainer Abitur Mathematik (Analytische Geometrie und Stochastik) 11. Klasse bis Abitur SCHULE und LERNEN Trainer Abitur Mathematik (Analytische Geometrie und Stochastik). Klasse bis Abitur Alle Rechte vorbehalten. Nachdruck, auch auszugsweise, vorbehaltlich der Rechte, die sich aus den Schranken

Mehr

PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER

PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER ( Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion f(x mit f(x = (3x x + und Vereinfachen Sie so weit wie möglich. ( Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F (x von ( π f(x =

Mehr

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter

Mehr

x 3 Genau dann liegt ein Punkt X mit dem Ortsvektor x auf g, wenn es ein λ R gib,t so dass

x 3 Genau dann liegt ein Punkt X mit dem Ortsvektor x auf g, wenn es ein λ R gib,t so dass V. Geradengleichungen in Parameterform 5. Definition ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 3 v a x x x Definition und Satz :

Mehr

Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra

Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra Inhalt 0. Inhalt 1. Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Verfahren. Vektorrechnung 3. Lagebestimmungen von Punkt, Geraden und Ebenen 4. Skalarprodukt, Längen

Mehr

1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt

1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt Version vom 4. Januar 2007 Gleichungen von Geraden in der Ebene 1999 Peter Senn * 1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt In dieser Form lautet die Gleichung der Geraden wie folgt: g:

Mehr

M Lernzusammenfassung - Vektoren -

M Lernzusammenfassung - Vektoren - Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 1 ABI M Lernzusammenfassung - Vektoren - Christian Voigt Version: 1.11 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 2 Inhaltsübersicht Allgemein... Namen... Addition... Vervielfachen...

Mehr

1. Runde Einzelarbeit 1 2. Entscheiden Sie durch Nachdenken oder Rechnung. Der Vektor 4 ist ebenfalls ein Richtungsvektor der Gerade.

1. Runde Einzelarbeit 1 2. Entscheiden Sie durch Nachdenken oder Rechnung. Der Vektor 4 ist ebenfalls ein Richtungsvektor der Gerade. Geraden im Raum Ludwig Otto Hesse (8 87) leistete u.a. wichtige Beiträge zur Weiterentwicklung der analytischen Geometrie unter Nutzung algebraischer Hilfsmittel. Wir werden uns noch mit der Hesse schen

Mehr

Mögliche Lösung. Ebenen im Haus

Mögliche Lösung. Ebenen im Haus Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Ebenen im Raum Ebenen im Haus Ermitteln Sie die Koordinaten aller bezeichneten Punkte. Erstellen Sie für die Dachflächen E und E jeweils eine Ebenengleichung

Mehr

Basiswissen Analytische Geometrie

Basiswissen Analytische Geometrie www.matheabitur.de Basiswissen Analytische Geometrie Alle Grundlagen und Rechentechniken der analytischen Geometrie S. und deren beschreibende Verfahren Wissenskatalog der Grundlagen. Lösen einfacher linearer

Mehr

K2 KLAUSUR Pflichtteil

K2 KLAUSUR Pflichtteil K2 KLAUSUR 10.02.2012 MATHEMATIK Pflichtteil: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Punkte (max) 2 2 3 4 5 3 4 3 Punkte Wahlteil Analysis Aufgabe a b c Punkte (max) 9 5 4 Punkte Wahlteil Geometrie Aufgabe a b c Punkte

Mehr

Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt

Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches

Mehr

Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Walter Czech, Krumbach. Haben Sie schon einmal versucht, Ihre Schüler mit einem Spiel zu motivieren?

Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Walter Czech, Krumbach. Haben Sie schon einmal versucht, Ihre Schüler mit einem Spiel zu motivieren? Reihe 7 S 1 Verlauf Material Die vektorielle Geometrie ein Spiel zur Vertiefung Walter Czech, Krumbach Haben Sie schon einmal versucht, Ihre Schüler mit einem Spiel zu motivieren? Wo denken Sie hin! Die

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 8 Baden-Württemberg (ohne CAS) Wahlteil Aufgaben Analytische Geometrie II, Aufgabe II. Die Punkte A(//), B(//), C(//), F(//), G(//) und H(//) sind die Ecken eines dreiseitigen

Mehr

Analytische Geometrie Spatprodukt

Analytische Geometrie Spatprodukt Analytische Geometrie Spatprodukt David Schmid, Reto Da Forno Kantonsschule Schüpfheim Januar 2005 Analytische Geometrie: Das Spatprodukt 1 Das Spatprodukt Hinweis: Die Vektoren werden aus darstellungstechnischen

Mehr

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme?

Mehr

Teil 4. Aufgaben Nr. 14 bis 18 Hier nur Lösung von Nr. 14. Auf der Mathematik-CD befinden sich alle Lösungen

Teil 4. Aufgaben Nr. 14 bis 18 Hier nur Lösung von Nr. 14. Auf der Mathematik-CD befinden sich alle Lösungen Teil 4 Aufgaben Nr. 4 bis 8 Hier nur Lösung von Nr. 4. Auf der Mathematik-CD befinden sich alle Lösungen Parabelfunktionen mit vielen Zusatzaufgaben (Keine Integration) Datei Nr. 405 S Januar 00 Friedrich

Mehr

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen mit Hilfe der Normalenform

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen mit Hilfe der Normalenform Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen mit Hilfe der Normalenform Bernhard Scheideler Albrecht-Dürer-Gymnasium Hagen Hilfen zur Analytischen Geometrie (). Dezember 0 Inhalt: Die Lagebeziehungen zwischen

Mehr

Aufgabenskript. Lineare Algebra

Aufgabenskript. Lineare Algebra Dr Udo Hagenbach FH Gießen-Friedberg Sommersemester Aufgabenskript zur Vorlesung Lineare Algebra 7 Vektoren Aufgabe 7 Gegeben sind die Vektoren a =, b =, c = Berechnen Sie die folgenden Vektoren und ihre

Mehr

Vorkurs Mathematik Intensiv. Geraden, Ebenen und lineare Gleichungssysteme - Musterlösung

Vorkurs Mathematik Intensiv. Geraden, Ebenen und lineare Gleichungssysteme - Musterlösung Prof. Dr. J. Dorfmeister und Tutoren Vorkurs Mathematik Intensiv TU München WS 06/07 Geraden, Ebenen und lineare Gleichungssysteme - Musterlösung. Gegeben seien die Gerade G und die Ebene E : G : x (0,

Mehr

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1 Analytische Geometrie mit dem Voyage. Vektoren Vektoren lassen sich definieren in eckigen Klammern. Setzt man ein Semikolon zwischen die einzelnen Komponenten, so ergibt sich ein Spaltenvektor. Ein Spaltenvektor

Mehr

Geraden und Ebenen. 1 Geraden. 2 Ebenen. Thérèse Tomiska 2. Oktober Parameterdarstellung (R 2 und R 3 )

Geraden und Ebenen. 1 Geraden. 2 Ebenen. Thérèse Tomiska 2. Oktober Parameterdarstellung (R 2 und R 3 ) Geraden und Ebenen Thérèse Tomiska 2. Oktober 2008 1 Geraden 1.1 Parameterdarstellung (R 2 und R 3 ) a... Richtungsvektor der Geraden g t... Parameter X = P + t P Q P Q... Richtungsvektor der Geraden g

Mehr

Gegeben sei eine Ebene E und ein Punkt A E mit dem Ortsvektor a und zwei nicht kolli- neare Richtungsvektoren. + λ

Gegeben sei eine Ebene E und ein Punkt A E mit dem Ortsvektor a und zwei nicht kolli- neare Richtungsvektoren. + λ VI. Ebenengleichungen in Parameterform =================================================================6 6.1. Definition ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Analytische Geometrie Wiederholung (Klasse 0) zur Vektorrechnung Hausaufgabe ( Vorbereitung als Vortrag): C:\Users\Hagen\Documents\Dr. H. Fritsch\Eigene Dateien\Gymnasium-Muecheln\ Mathematik\Klasse \Kl--Wdhlg-Vektor.docx

Mehr

Lk Mathematik 12 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.1

Lk Mathematik 12 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.1 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.. Die Grundäche eines Spielplatzes liegt in der x - -Ebene. Auf ihm steht eine innen begehbare, senkrechte, quadratische Pyramide aus Holz mit den Eckpunkten

Mehr

K2 ÜBUNGSBLATT 2 F. LEMMERMEYER

K2 ÜBUNGSBLATT 2 F. LEMMERMEYER K2 ÜBUNGSBLATT 2 F. LEMMERMEYER Aufgabe 1. Hier ein knappes Beispiel, wie man einen Punkt P an einer Geraden g spiegelt (Wer sich gerne was merkt: Lotfußpunkte auf Ebene mit Lotgerade, Lotfußpunkte auf

Mehr

Bestimme ferner die Koordinaten des Bildpunktes von B bei der Spiegelung

Bestimme ferner die Koordinaten des Bildpunktes von B bei der Spiegelung Vektoren - Skalar- und Vektorprodukt ================================================================== 1. Gegeben sind die Punkte A 1 2 3 und B 3 4 1 bzgl. eines kartesischen Koordina- tensystems mit

Mehr