GRUNDLAGEN MATHEMATIK

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1 Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 6. Komplexe Zahlen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16

2 G. Matthies Grundlagen Mathematik 2/26 Hyperbel-Funktionen Sinus hyperbolicus Kosinus hyperbolicus hyperbolischer Pythagoras Tangens hyperbolicus sinh(x) := ex e x 2 cosh(x) := ex + e x cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1 tanh(x) := sinh(x) cosh(x) = ex e x e x + e x Kotangens hyperbolicus coth(x) := cosh(x) sinh(x) = ex + e x e x e x 2

3 G. Matthies Grundlagen Mathematik 3/26 Darstellung der reellen Hyperbel-Funktionen I 4 y cosh(x) x sinh(x) 2 4

4 G. Matthies Grundlagen Mathematik 4/26 Darstellung der reellen Hyperbel-Funktionen II 3 y 2 1 coth(x) tanh(x) x

5 G. Matthies Grundlagen Mathematik 5/26 Areafunktionen Areafunktionen = Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen ( arsinh : R R, x ln x + ) x arcosh : [1, ) [0, ), ( x ln x + ) x 2 1 artanh : ( 1, 1) R, x ln 1 + x 1 x arcoth : R \ [ 1, 1] R \ {0}, x ln x + 1 x 1

6 G. Matthies Grundlagen Mathematik 6/26 Motivation Problem: Da für alle reellen Zahlen x stets x 2 0 gilt, hat die Gleichung x 2 = 1 keine (reellen) Lösungen. Frage: Lässt sich eine Erweiterung von R derart finden, dass die Gleichung x = 0 eine Lösung hat? Anmerkung: Erweiterungen von Zahlenbereichen sind nicht neu. So führte der Wunsch nach der Durchführbarkeit der Division von den ganzen Zahlen auf die rationalen Zahlen. Idee: Wir führen die imaginäre Einheit i ein, für die gilt. i 2 = 1

7 Komplexe Zahlen Definition Die Menge der komplexen Zahlen ist durch C := { z = a + bi : a, b R } definiert. Bemerkung Komplexe Zahlen können als formale Rechenausdrücke mit der Variablen i betrachtet werden. Jede komplexe Zahl z C lässt sich eindeutig in der Form z = a + bi mit reellen Zahlen a, b schreiben. Beispiel für komplexe Zahlen i, 2 4i, 3 + πi G. Matthies Grundlagen Mathematik 7/26

8 G. Matthies Grundlagen Mathematik 8/26 Real- und Imaginärteil Definition Sei z = a+bi eine komplexe Zahl. Dann nennen wir a Realteil von z und b Imaginärteil von z. Wir schreiben: a = Re z und b = Im z. Die reellen Zahlen a und b heißen kartesische Koordinaten der komplexen Zahl z. Die Darstellung z = a + bi wird als kartesische Koordinatendarstellung bezeichnet. ACHTUNG: Der Imaginärteil ist stets eine reelle Zahl. Folgerung Zwei komplexe Zahlen z = a+bi und w = c +di sind genau dann gleich, wenn ihre Realteile und ihre Imaginärteile übereinstimmen, d. h., wenn a = c und b = d gilt.

9 G. Matthies Grundlagen Mathematik 9/26 Komplexe Konjugation und Betrag Definition Sei z = a + bi eine komplexe Zahl. Dann heißt die komplexe Zahl z := a bi die zu z konjugiert komplexe Zahl. Wir nennen z := a 2 + b 2 den Betrag der komplexen Zahl z. Bemerkung Der Betrag von z ( = ) a + bi entspricht der Länge des zweidimensionalen Vektors. a b

10 G. Matthies Grundlagen Mathematik 10/26 Gaußsche Zahlenebene w = c + di Im d b z = a + bi c a Re b z = a bi

11 G. Matthies Grundlagen Mathematik 11/26 Polarkoordinatenform b Im z = a + bi c ϕ w w d w = c + di ϕ z z a Re Bemerkung Jede komplexe Zahl z = a + bi lässt sich durch ihren Betrag z und den Winkel ϕ zwischen der positiven reellen Achse und der Verbindungsstrecke vom Ursprung zu z in der Form z = z ( cos(ϕ) + i sin(ϕ) ), ϕ [0, 2π), darstellen, die Polarkoordinatenform genannt wird.

12 Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln I z = a + bi = r ( cos(ϕ) + i sin(ϕ) ) b Im z = a + bi ϕ r Re a Gegeben: r, ϕ Gesucht: a, b Umrechnung: a = r cos ϕ b = r sin ϕ Gegeben: a, b Gesucht: r, ϕ Umrechnung: r = a 2 + b 2 b a = r sin ϕ r cos ϕ = tan ϕ G. Matthies Grundlagen Mathematik 12/26

13 G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26 Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 ϕ =

14 G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26 Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 π 2 für a = 0, b > 0 ϕ =

15 G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26 Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 π 2 für a = 0, b > 0 ϕ = π + arctan b a für a < 0

16 G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26 Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 2 für a = 0, b > 0 ϕ = π + arctan b a für a < 0 π 3 2 π für a = 0, b < 0

17 G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26 Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 π 2 für a = 0, b > 0 ϕ = π + arctan b a für a < 0 3 2π für a = 0, b < 0 2π + arctan b a für a > 0, b < 0

18 G. Matthies Grundlagen Mathematik 14/26 Grundrechenarten Satz Seien z = a + bi und w = c + di zwei komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln Summe: z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Differenz: z w = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Produkt: zw = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac bd) + (bc + ad)i z Quotient: w = a + bi (a + bi)(c di) = c + di (c + di)(c di) = z w w w (ac + bd) + (bc ad)i = c 2 + d 2 für w 0 + 0i

19 G. Matthies Grundlagen Mathematik 15/26 Rechengesetze I Bemerkung Addition und Subtraktion komplexer Zahlen entsprechen der Addition und Substraktion von zweidimensionalen Vektoren. Satz Für komplexe Zahlen gelten das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz wie für reelle Zahlen. Bemerkung Da sich jede reelle Zahl a gemäß a+0i als komplexe Zahl darstellen lässt, bilden die komplexen Zahlen einen Zahlenbereich, der die reellen Zahlen enthält. Statt a + 0i schreiben wir weiterhin a.

20 G. Matthies Grundlagen Mathematik 16/26 Rechengesetze II Bemerkung Für komplexe Zahlen gibt es keine Relationen wie < oder >. Nur Gleichheit kann festgestellt werden. Bemerkung Bei der Division komplexer Zahlen wird mit dem konjugierten Komplement des Nenners erweitert.

21 G. Matthies Grundlagen Mathematik 17/26 Rechenregeln I Seien z, w komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln z + w = z + w z w = z w zw = z w z n = z n, n N 0 ( ) z = z w w, falls w 0 z + z = 2 Re z z z = 2i Im z z = z

22 G. Matthies Grundlagen Mathematik 18/26 Rechenregeln II Seien z, w komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln z z = z 2 = z 2 Dreiecksungleichung: z + w z + w zw = z w z = z w w, falls w 0 z n = z n, n N 0

23 G. Matthies Grundlagen Mathematik 19/26 Illustration von Multiplikation und Division Im 2 z = 2 + 2i w = 1 + i 1 zw = z w = 2i Re Vermutung: Bei der Multiplikation werden Beträge multipliziert und Winkel addiert, bei der Division werden Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert.

24 G. Matthies Grundlagen Mathematik 20/26 Komplexe Exponentialfunktion I Wert der Exponentialfunktion für komplexe Argumente erklären n-tes Taylor-Polynom der Exponentialfunktion Tn exp (x) = 1 + x + x x 3 3! + + x n n! Einsetzen von x = iϕ Tn exp (iϕ) = 1 + iϕ + (iϕ)2 + (iϕ)3 + + (iϕ)n 2 3! n! = 1 + iϕ ϕ2 2 i ϕ3 3! + ϕ4 4! + i ϕ5 5! + i n ϕn ) n! ) = (1 ϕ2 2 + ϕ4 4!... + i (ϕ ϕ3 3! + ϕ5 5!... = T cos n (ϕ) + itn sin (ϕ) Idee: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ

25 G. Matthies Grundlagen Mathematik 21/26 Komplexe Exponentialfunktion II Definition Sei z = a + bi eine komplexe Zahl. Dann legen wir e z := e a (cos b + i sin b) C als Wert der komplexen Exponentialfunktion an der Stelle z fest. Bemerkung Für reelle Zahlen stimmt der Wert der komplexen Exponentialfunktion mit dem der üblichen Exponentialfunktion überein, da für b = 0 der Klammerausdruck 1 wird. Satz Seien z, w zwei komplexe Zahlen. Dann gilt e z+w = e z e w, also das gleiche Gesetz wie bei reellen Exponenten.

26 G. Matthies Grundlagen Mathematik 22/26 Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion Für z = iϕ mit ϕ R erhalten wir und Weiterhin gilt e z = e iϕ = e 0 (cos ϕ + i sin ϕ) = cos ϕ + i sin ϕ e iϕ = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1. e i(ϕ+2πk) = cos(ϕ + 2πk) + i sin(ϕ + 2πk) = cos ϕ + i sin ϕ = e iϕ für alle k Z. Damit ist die komplexe Exponentialfunktion, im Gegensatz zur reellen Exponentialfunktion, nicht injektiv. Schönste Gleichung der Mathematik e iπ + 1 = 0

27 G. Matthies Grundlagen Mathematik 23/26 Exponentialform Satz Für alle ϕ R sind die Zusammenhänge erfüllt. Satz e iϕ = e iϕ, cosh(iϕ) = 1 2( e iϕ + e iϕ) = cos(ϕ), sinh(iϕ) = 1 2( e iϕ e iϕ) = i sin(ϕ), Jede komplexe Zahl z lässt sich in der Form z = r e iϕ mit r 0 und ϕ [0, 2π) darstellen, die als Exponentialform bezeichnet wird. Dabei ist r der Betrag von z und ϕ wird als Winkel oder Argument der komplexen Zahl z bezeichnet.

28 G. Matthies Grundlagen Mathematik 24/26 Multiplikation und Division Seien z 1 = r 1 e iϕ 1 und z 2 = r 2 e iϕ 2 zwei komplexe Zahlen in Exponentialform. Dann haben wir z 1 z 2 = r 1 e iϕ 1 r 2 e iϕ 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) und z 1 z 2 = r 1e iϕ1 r 2 e iϕ 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1 ϕ 2 ), d. h., bei Multiplikation (Division) werden die Beträge multipliziert (dividiert) und die Winkel addiert (subtrahiert). Weiterhin gilt z n = ( r e iϕ) n = r n e i nϕ für jede komplexe Zahl z = r e iϕ und n N 0.

29 G. Matthies Grundlagen Mathematik 25/26 Wurzeln komplexer Zahlen Satz Sei n eine natürliche Zahl. Dann hat die Gleichung z n = 1 genau n verschiedene komplexe Lösungen, die durch z k = e 2kπ n i, k = 0,..., n 1, gegeben sind. Insbesondere ist z 0 = 1. Satz Seien n eine natürliche Zahl und z = r e iϕ eine von 0 verschiedene komplexe Zahl, d. h. r 0. Dann hat die Gleichung w n = z genau n verschiedene komplexe Lösungen, die durch gegeben sind. w k = n r e ( ϕ n + 2kπ n )i, k = 0,..., n 1,

30 G. Matthies Grundlagen Mathematik 26/26 Fundamentalsatz der Algebra Satz Seien n eine natürliche Zahl und p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, a n 0, ein Polynom von Grad n mit komplexen Koeffizienten a 0,..., a n. Dann gibt es n (nicht notwendig verschiedene) komplexe Zahlen z 1,..., z n C derart, dass p(x) = a n (x z 1 )(x z 2 )... (x z n ) für alle x C erfüllt ist. Damit sind z 1,..., z n die Nullstellen des Polynoms p. Beispiel 2x 3 2x 2 + 8x 8 = 2(x 1)(x 2 + 4) = 2(x 1)(x 2i)(x + 2i)