Übungsblatt 4. Berechnen Sie für die statistischen Reihen die Varianzen, Kovarianzen und Korrelationskoeffizienten

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1 Aufgabe 1: Übungsblatt 4 Berechnen Sie für die statistischen Reihen die Varianzen, Kovarianzen und Korrelationskoeffizienten a) s 2 X, s 2 Y, sz, 2 s 2 U, s 2 V, s 2 W, s 2 T b) c XY, c Y Z c) c ZU, c V T, c UV d) r UW, r ZU, r V T Gegeben sind die folgenden statistischen Reihen X : 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 Y : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 Z : (Aufgabe aus Schira, Kapitel 2; Aufg. 2.10) Aufgabe 2: a, a, a, a, a, a, a, a U : 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 V : 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 W : 3, 3, 3, 7, 5, 3, 5, 4 T : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Gegeben ist die statistische Reihe X. Sie hat den Mittelwert 240 und die Varianz 81. Die statistische Reihe Y errechnet sich aus X, indem man jedes Element der Reihe X mit dem konstanten Faktor b > 0 multipliziert, also y i := b x i für i = 1,..., n. a) Berechnen Sie die Kovarianz zwischen X und Y und den Korrelationskoeffizienten. a) Welchen Wert hat r XY, wenn der Faktor b negativ ist? (Aufgabe aus Schira, Kapitel 3; Aufg. 3.3) 1

2 Aufgabe 3: Erwerbstätige. In der amtlichen Statistik finden Sie folgende Verteilung der Erwerbstätigen in der Bundesrepublik Deutschland für April 1990 (in Personen): Selbständige u. Altersgruppe mithelfende abhängige von... bis unter... Familienangehörige Beschäftigte Quelle: Statistisches Jahrbuch 1992 a) Was sind die statistischen Einheiten, Grundgesamtheiten und Merkmale? b) Zeichnen Sie ein Histogramm der Randverteilung des Merkmals Alter und der beiden bedingten Verteilungen des Merkmals Alter. c) Zeichnen Sie beide bedingten Verteilungsfunktionen in ein Koordinatensystem. Geben Sie die bedingten Mediane an. d) Berechnen Sie die beiden bedingten Mittelwerte. e) Müssen die Selbständigen länger arbeiten? Welcher Anteil der Selbständigen und welcher Anteil der Unselbständigen ist 55 Jahre und älter? Welcher Anteil der über 65jährigen Erwerbstätigen ist selbständig? Kann man aus diesen Daten die durchschnittliche Lebensarbeitszeit berechnen? Hinweis: Gehen Sie von der Annahme einer gleichmäßigen Verteilung innerhalb der Altersgruppe aus. (Aufgabe aus Schira, Kapitel 3; Aufg. 3.5) 2

3 Aufgabe 4: Für die Größe und das Gewicht von 100 Studenten sei folgende Kontingenzstabelle gegeben: Gewicht (X) Größe (Y) in cm in kg (von... bis unter...) (von... bis unter) ẏ j ẋ i a) Bestimmen Sie die Randverteilungen. b) Berechnen Sie x, y, s 2 X, s2 Y. c) Berechnen Sie die bedingten Mittelwerte x y j und y x i. d) Bestimmen Sie die Kovarianz zwischen X und Y und interpretieren Sie das Ergebnis. 3

4 Anhang Koordinatensystem für Aufgabe 3b) Randverteilung des Merkmals Alters Koordinatensystem für Aufgabe 3b) bed. Verteilung des Alters für Selbständige,... 4

5 Koordinatensystem für Aufgabe 3b) bed. Verteilung des Alters für abhäng. Beschäftige Koordinatensystem für Aufgabe 3c) bedingte Verteilungsfunktionen 5

6 Aufgabe Z 1: Zusatzaufgaben Eine Gruppe von 20 Statistik-Studenten frönte beim Opfinger Spargelfest dem Genuss von Spargel (X) und Gutedel (Y). Als Übung für die Statistik-Nachholklausur wurden die jeweils verzehrten Mengen aufgezeichnet und am nächsten Tag ausgewertet. Dabei ergaben sich folgende Wertepaare für Portionen Spargel und Viertele Gutedel (X,Y): (1,3); (2,4); (3,2); (4,6); (1,4); (3,4); (3,2); (4,6); (1,1); (4,4); (2,4); (2,3); (4,4); (3,2); (4,6); (2,4); (4,3); (4,4); (2,3); (1,1). Die dazugehörige Kontingenztabelle sieht folgendermaßen aus. Gutedel (y j ) n i h i Spargel (x i ) n j h j a) Berechnen Sie die Randverteilungen. b) Wieviel Prozent der Studenten, die zwei Portionen Spargel gegessen haben, tranken 4 Viertele Gutedel? c) Berechnen Sie die bedingte Verteilung der Studenten, die 4 Gutedel getrunken haben. d) Welchen Wert nimmt die Kovarianz an? e) Berechnen Sie den Variationskoeffizienten für den Genuss von Gutedel, wenn die Studentengruppe am nächsten Abend aus Freude über die gelöste Aufgabe ihren Gutedelkonsum verdoppelt. Aufgabe Z 2: Der Verschiebunssatz für die empirische Kovarianz lautet: C XY = (x a)(y b) (x a) (y b) wobei a und b konstante Größen sind. Beweisen Sie diesen Satz. (Aufgabe aus Schira, Kapitel 3; Aufg. 3.6) 6

7 Aufgabe Z 3: Für Bargeldbestand (B) und Geschlecht (G) von 10 Studierenden ergaben sich folgende Beobachtungswerte: (m, e 10), (m, e 15), (m, e 15), (m, e 15), (m, e 50), (m, e 10), (w, e 10), (w, e 10), (w, e 100), (w, e 10), wobei m ˆ= männlich und w ˆ= weiblich. Hinweis: Stellen Sie die Kontingenztabelle auf. A) Frauen haben im Durchschnitt mehr Bargeld als Männer. B) Es gilt: h(g = m B = e 10) = 0,4, da es drei Frauen aber nur zwei Männer mit einem Bargeldbestand von e 10 gibt. C) Bargeld und Geschlecht sind statistisch unabhängig. D) Die relative Häufigkeitsdichte an der Stelle B = e 15 in der Stichprobe der Männer entspricht h(b = e 15 G = m) = 1 12 für das Intervall von e 10 bis unter e 20. A B C D Geben Sie an, welche Antwortvorschläge richtig sind. Beachten Sie, dass mindestens ein Antwortvorschlag richtig ist. Schreiben Sie Ihre Berechnungen zur Lösung jeder Teilaufgabe als Teil der Lösung auf und erläutern sie kurz verbal Ihre Vorgehensweise. (Aufgabe 8 der Zwischenklausur vom ) 7