Mathematik. Subtraktion (Minuend Subtrahend = Differenz) Division (Dividend / Divisor = Quotient)

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1 Inhalt: Mathematik by Reto Da Forno Termumformungen - Operationsstufen Seite 1 - Gesetze Seite 1 - Addition + Subtraktion Seite 2 - Potenzen Seite 2 - Polynomdivision Seite 3 - Ausklammern + Faktorisieren Seite 3 - Wurzeln Seite 3 - Brüche Seite 3 Gleichungslehre - Gesetze und Tipps Seite 4 - Äquivalenzumformungen Seite 4 - Definitionsmenge Seite 4 - Gleichungen Seite 5 - Ungleichungen Seite 5 Zahlensysteme - 10er Potenzen und Einheiten Seite 5 - Dezimalsystem Seite 5 - ASCII Code (Binärsystem) Seite 5 - Hexadezimalsystem Seite 5 Symbole + Tricks Seite 6 1. Operationsstufen Operationen 1. Stufe: Operationen 2. Stufe: Operationen 3. Stufe: Addition (Summand + Summand = Summe) Subtraktion (Minuend Subtrahend = Differenz) Multiplikation (Faktor * Faktor = Produkt) Division (Dividend / Divisor = Quotient) Potenzieren Radizieren 2. Allgemeine Gesetze - immer mit den Operationen der höchsten Stufe beginnen - die Operationszeichen der Multiplikation dürfen weggelassen werden - irgendwas hoch Null ist immer Eins: (...) 0 = 1 - Potenzen mit gleicher Basis werden addiert, indem man ihre Koefizienten addiert - Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert - Potenzen werden potenziert, indem man ihre Exponenten multipliziert - ein Produkt wird potenziert, indem man jeden einzelnen Faktor potenziert - Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert - zwei Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mal den Kehrwert des zweiten Bruchs rechnet (=reziproke Zahl) - zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mal Zähler über Nenner mal Nenner rechnet - Brüche nur kürzen, wenn im Zähler und Nenner reine Produkte vorhanden sind - ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist 1/6 Reto Da Forno, 1Kb

2 - Bruch mal dessen reziproke Zahl ergibt immer 1: 8/7 * 7/8 = 56/56 = 1 - das Produkt aus den Wurzeln ist gleich der Wurzel aus dem Produkt Assoziativgesetz: Kommutativgesetz: Distributivgesetz: 3. Addition - Subtraktion es dürfen beliebig Klammern gesetzt oder weggelassen werden; d. h. man darf Faktoren und Summanden beliebig verbinden (ist gültig für Addition und Multiplikation) a+b+c = a+(b+c) Faktoren und Summanden dürfen beliebig vertauscht werden (ist gültig für Addition und Multiplikation) a+b+c = b+a+c verbindet Operationen 1. und 2. Stufe (5a + 13b - 7c) - (31a + 7b -15) = -26a + 6b - 7c +15 3a + x + a = 4a + x a*(b+c) = ab + ac (b+c)/a = b/a + c/a 4. Potenzen Begrifflichkeiten: 2 (= Koefizient) a (= Variable = Basis) 4 (=Exponent) a 2 = Potenz x 3 + x 4 = x 3 + x 4 x 3 + x 3 = 2x 3 x 3 * x 4 = x 7 (x 3 ) 4 = x 12 (-x) 4 = x 4 (x y) 2 = (y x) 2 weil Exponent gerade x 1 * x -1 = 1 Binome: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2 Pascalsches Dreieck x -1 = 1 / x (a + b) 0 1 z.b: (a - b) 4 = 1*(a 4 b 0 ) - 4*(a 3 b 1 ) + 6*(a 2 b 2 ) - (a + b) *(a 1 b 3 ) + 1*(a 0 b 4 ) (a + b) bei negativem Operationszeichen alternierende + / - in Lösung (a + b) Die Koefizienten werden von Dreieck übernommen (a + b) Den ersten Summanden mit sinkendem Exponenten, den (a + b) zweiten mit steigendem (von 0 bis n) (a + b) (2ab + 1) 6 = 1* ((2ab) 6 *(1) 0 ) + 6* ((2ab) 5 *(1) 1 ) + 15* ((2ab) 4 *(1) 2 ) + 20* ((2ab) 3 *(1) 3 ) + 15* ((2ab) 2 *(1) 4 ) + 6* ((2ab) 1 *(1) 5 ) + 1* ((2ab) 0 *(1) 6 ) = 64a 6 b a 5 b a 4 b a 3 b a 2 b ab + 1 Alle Binomterme dieser Form haben dieselbe Lösungssyntax: (x + y) n + (x y) n = 2*(alle geraden Summanden von <x + y>) (x + y) n (x y) n = 2*(alle ungeraden Summanden von <x + y>) (x y) n (x y) n = 0 (x y) n + (x y) n = 0 5. Polynomdivision / Divisionsalgorithmus 2/6 Reto Da Forno, 1Kb

3 Zuerst immer die Aufgabe sortieren; beginnend mit dem höchsten Exponenten der tiefsten Variable: z.b. (9b + 6b 3 15) : ( 3b 3) = (6b 3 + 9b 15) : (3b-3) (7x 3 2x 2 + 4x 3) : (x 2 x + 4) = 7x + 5 -(7x 3 7x x) 5x 2 24x 3 -(5x 2 5x + 20) -19x 23 19x + 23 x2 x + 4 (z 3 125) : (z 5) = z 2 + 5z +25 -(z 3 5z 2 ) 5z (5z 2 25z) 25z 125 -(25z 125) 6. Ausklammern, Faktorisieren (a b) (13r 2 5t) (11r 2 + 3t) (b a) = (a b) (13r 2 5t) + [(-1) (a b)] (11r 2 + 3t) = 2 (a b) (12r 2 t) 7bx 5b 7x + 5 = 7x (b 1) 5 (b 1) = (7x 5) (b 1) 5a (3x y) 3x + y = 5a (3x y) (3x + y) = (5a 1) (3x y) 100am 2 49a = a (100m 2 49) = a (10m 7) (10m + 7) ¾ a 2 ab + b 2 = 9 / 12 a 2 12ab / / 12 b 2 = 1 / 12 (3a 2b) 2 x 4 81 = (x 2 9) (x 2 + 9) = (x 2 + 9) (x + 3) (x 3) x 2 ½ x ½ = (x 1) (x + ½) 7. Wurzeln x Y Wurzelexponent Radikant (2) * (8) = (2*8) = 4 ((9) + (16)) 2 = (3 + 4) 2 = 49 5 (32) = 2 denn 2 5 = 32 [(2 - (3)) + (2 + (3))] 2 = 2 - (3) + 2 [(2 - (3)) (2 + (3))] (3) = ((4 3)) = 6 5 (4a (3 + 1)) = 5(2a + 4 (4)) = 10a + 20 (4) 8. Brüche Zähler x Q Nenner y Q \ 0 3 / (2) + 2 / (3) 1 / (6) = 3(2) / 2 + 2(3) / 3 - (6) / 6 = 1 / 6 (9(2) +4(3) -(6)) ( 2 / 3 ) 2 = 2 / 3 * 2 / 3 = 4 / 9 2(3) / 4(6) + 3(5) = 2(3) / 4(6) + 3(5) * 4(6)-3(5) / 4(6) - 3(5) = 8(18) - 6(15) / = 8(2) - 2(15) / 17 Kürzen: (wenn man nicht mehr weiter kürzen kann: Polynomdivision anwenden) 3/6 Reto Da Forno, 1Kb

4 ab 5b + a 5 / ab + a = a (b + 1) 5 (b + 1) / a (b + 1) = a 5 / a ax3 27a / 3b bx = a (x3 27) / -b (x 3) = a (x2 + 3x + 9) / -b x2 + 2x + 1 / x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = (x + 1)2 / (x + 1) 3 = 1 / (x +1) 6z 4 / 27z 3 8 = 2 / (27z 3 8) : (3z 2) = 2 / 9z 2 + 6z + 4 Erweitern: (auf den angegebenen Zähler oder Nenner) 4a + 2b / 5a + 2b = 4a + 2b / 5a + 2b * (10a 4b) / (10a 4b) = 40a2 + 4ab 8b2 / 50a 2 8b 2 3x + 2y / x 2 = 3 * ((3x + 2y) * (3x + 2y)) / 3 * ((x 2 ) * (3x + 2y)) = (27x2 + 36xy + 12y2 / 9x 3 + 6x 2 y gleichnennrig / gleichzählrig: 4 / x + 1 ; 5 / (x + 2) = 4 (x + 2) / (x + 1) * (x + 2) ; 5 (x + 1) / (x + 1) * (x + 2) 1 / x2 4x + 4 ; 5 / x 2 = 1 / (x 2) 2 ; 5x 10 / (x 2) 2 1. Gesetze und Tipps - eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, das auf Anhieb mit ja oder nein beantwortet werden kann - eine Aussageform beinhaltet eine Variable und eine Grundmenge (z.b.: G={1,2,3}; x=3 ; L={3}) - eine Gleichung zu lösen bedeutet, dass man alle Elemente aus G sucht, die die Gleichung in eine wahre Aussage überführen - Ungleichungen dürfen nicht mit x multipliziert oder dividiert werden, ansonsten muss das Ungleichheitszeichen (z.b.: <=) zu (>= ) gedreht werden - Gleichungen dritten Grades haben höchstens 3 Lösungen - Substitutionen helfen; z.b.: 2 * 3(x 1) * z Betragsgleichungen und solche im Quadrat haben immer zwei Lösungen - bei (Un-) Gleichungen ist es besser, zuerst die Operationen 1. Stufe auszuführen 2. Äquivalenzumformungen... Gleichwertigkeitsumformungen... das heisst, dass ein Term durch +, -, *, :, und yx so vereinfacht werden darf, dass der Anfangs- und Endterm dieselbe Lösungsmenge aufweisen. z.b.: 3x 3 + 6x 2 9 = 3x :3 x 3 + 2x 2 3 = x x 3 + 2x 2 = x x 2 (x + 2) = (x + 2) (x 2) : (x + 2) x 2 = (x 2) 3. Definitionsmenge 2 / (x + 3) = T (x) D = Q \ {-3} (Definitionsmenge ist gleich die Menge aller rationalen Zahlen ohne das Element 3) 3 / (x (x2 4)) 3 / (x (x 2) (x + 2)) D = Q \ {-2, 0, 2} 4/6 Reto Da Forno, 1Kb

5 4. Gleichungen 5x / 3 + 7x / 4 = 11x / 12 20x / x / 12 = 11x / 12 41x / 12 = 11x / 12 L = {0} x / p + x / q = r xq + xp = pqr x (p + q) = pqr x = pqr / (p + q)!!! p -q 5. Ungleichungen 2 3x 2-4 >= :2 3x 2 >= 9 3x 2 >= 9 L = {4, 5, 6,...) 3x 2 >= -9 L = {-2, -1, 1, 0,...) L = {-2, -1, 0, 1,...) 1. Das Dezimalsystem (10er Potenzen) Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano Pico z.b. umrechnen von Gigabyte auf Mikrobyte: 10 9 * 10-6 * 1Byte = Gigabyte = 1 Mikrobyte 2. Das Binärsystem G={0;1} z.b. ( ) 2 = Das Hexadezimalsystem G={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f} / 16 1 / 256 z.b. ( B) 16 = (die Buchstaben A,B,C,D,E u. F stehen für die Zahlen 10,11,12,13,14 u. 15) 5/6 Reto Da Forno, 1Kb

6 1. Allgemein - die Variablen im Resultat immer sortieren (z.b.: x 2 y + y 3 + x 3 + y 2 = x 3 + x 2 y + y 3 + y 2 ) - immer so weit wie möglich vereinfachen - Zahlen von 1 bis x zusammenzählen: x * (x + 1) /2 (z.b ) 500*501/2 = Kombinatorik; mögliche Kombinationen mit den Elementen: 2 ^ Anzahl der Elemente z.b.: {a, b, c} 23 = 8 verschiedene Teilmengen: (a),(b),(c),(a;b),(a;c),(b;c),(a;b;c),() - für zwei Variablen x und y gilt: x * y = ggt * kgv (z.b.: 2*4 = 2*4) 2. mathematische Symbole B - = Menge aller negativen Brüche B + = Menge aller positiven Brüche D = Definitionsmenge G = Grundmenge L = Lösungsmenge N = natürliche Zahlen (1, 2,...) N 0 = natürliche Zahlen und die Null (0, 1, 2,...) Q = Menge der rationalen Zahlen (alle Brüche) Z = alle geraden Zahlen (...-1, 0, 1,...) R = reelle Zahlen (alle periodischen und unperiodischen, rationalen und irrationalen Dezimalbrüche) Mengen: {1, 2, 3, 4} aufzählende Form {x x G und...} beschreibende Form M Mächtigkeit der Menge M 7 M 7 ist Element der Menge M 5 M 5 ist nicht Element der Menge M T M T ist Teilmenge der Menge M T M T ist Obermenge der Menge M A B Die Mengen A und B sind gleichmächtig oder { } Symbole für leere Menge A B Vereinigungsmenge A B Schnittmenge A x B Produktmenge [Menge aller Paare (a,b)] A \ B Differenzmenge (A ohne B) kgv / ggt kleinstes gemeinsames Vielfaches / grösster gemeinsamer Teiler Relationen a = b a gleich b a b a ist ungefähr gleich b a > b a ist grösser als b a b a ist grösser gleich b a < b a ist kleiner als b a b a ist kleiner gleich b a b a ungleich b Sonstiges gilt für alle O gegeben! Fakultät gesucht und steht senkrecht / normal auf oder // ist parallel zu 6/6 Reto Da Forno, 1Kb