ZUM PROBLEM DER KÜRZESTEN DÄMMERUNG. von. Á. Kxss

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1 ZUM PROBLEM DER KÜRZESTEN DÄMMERUNG von Á. Kxss Summary: (Contribution to te Problem of te Sortest Twiligt.) Te autor comes simply by an elementary matematical metod to te oterwise well-known Solution of te problem of te sortest twiligt. Zusammenfassung: Der Verfasser gelangt durc elementare Matematik auf kurzem Wege zur übrigens scon bekannten Lösung des Problems der kürzesten Dämmerung. Die Dämmerung ist jene Periode des Tages wärend der die Sonne sic auf irer sceinbaren Himmelsban unter dem Horizont bewegt, aber ire in der Atmospäre zerstreuten Stralen die Erdoberfläce erreicen. Sie ist die Periode des Überganges zwiscen Tag und Nact nac Sonnenuntergang und vor Sonnenaufgang. Der Übergang ist allmälic; mit der Zuname der Sonnentiefe unter dem Horizont entfernt sic der von direkten Sonnenstralen durcdrungene Teil der Atmospäre vom Beobactungsort und immer weniger zerstreutes Lict erreict die Erdoberfläce. Das Ende der Abenddämmerung und der Beginn der Morgendämmerung fallen mit dem Zeitpunkt von 18 0 Sonnentiefe zusammen. Solange aber die Tiefe der Sonne unter dem Horizont nict grösser ist als 6 6,5, ist die Dämmerung so ell, dass man im Freien einen gedruckten Text lesen kann. Diese Periode der Dämmerung wird bürgerlice Dämmerung genannt, und die 18 Tiefe der Sonne unter dem Horizont ist die Grenze der astronomiscen Dämmerung, da die Sterne nur am Ende der astronomiscen Dämmerung in irer vollen Helligkeit geseen werden. Im Morgensowie im Abendämmerung bei gleicer Tiefe der Sonne unter dem Horizont unter gleicen atmospäriscen Verältnissen ist auc die Helligkeit der Dämmerung gleic; darum werden wir uns ier nur mit der Dauer der Abenddämmerung befassen. Der Zeitpunkt von 18 Sonnentiefe ist eine konventionell angenommene Grenze der Dämmerung, und der ist in der Recnungen gebräuclic. Dieser Zeitpunkt ist aber nict eine scarfe und ständige Grenze der Dämmerung. Die Dämmerungselligkeit nimmt bis 16 Sonnentiefe allmälic ab, von diesem Wert bis 18 Sonnentiefe wird nur kaum bemerkbar scwäcer, aber in der Rictung des Azimuts der Sonne unmittelbar über dem Horizont kann der Himmel bis noc etwa 20 Sonnentiefe eller sein als die Nactelligkeit des Himmels. Da das Dämmerungslict zerstreutes Lict ist, kann die Beleuctungsstärke des Himmels auf einer waagerecten Fläce vom momentanen pysiscen Zustand der Atmospäre auc bei gleicen astronomiscen Faktoren verscieden sein, und die Sonnentiefe beim Beginn oder Ende der Dämmerung scwankt um 18 unter dem Horizont. Der pysisce Zustand der Atmospäre aber kann die von astronomiscen Faktoren, der geograpiscen Breite des Beobactungsortes und der Deklination der Sonne bestimmte Dauer der Dämmerung nur in geringem Masse modifizieren. In unserer Arbeit wird die atmospärisce Refraktion bei der Bestimmung der Dauer der Nact und der Dämmerung sowie bei der Bestimmung der geograpiscen Breitengraden im Zusammenang mit diesen der Einfaceit alber ausser Act gelassen und die Sonne mit irem Mittelpunkt ersetzt. Im Sommeralbjar (wenn die Sonnendeklination in der Rictung des Himmelpols der Hemispäre des Beobactungsorts gemessen wird) verlängert sic die Dauer der Dämmerung zusammen mit der Zuname der geograpiscen Breite des Standortes und der Deklination der Sonne. Die.Dauer der Dämmerung kann aber nur so lange wacsen wie die Dämmerung sic nict auf die ganze Nactperiode verbreitet. Wenn die Sonne sic bei unterer Kulmination 18 oder weniger unter dem Horizont befindet, füllt die Dämmerung die ganze Nact aus. Das gesciet, wenn die Summe der Werte der geograpiscen Breite des Beobactungsortes und der Deklination der Sonne 72 gleic, oder grösser als 69

2 72 ist, als wenn q>+öq^72. (( 9=die geograpisce Breite oder die Polöe des Standortes, <?o=die Deklination der Sonne. Dieser letztere Wert wird im weiteren mit S bezeicnet.) Die die ganze Nact ausfällende Dämmerung is dann am längsten, wenn sic die Sonne bei unterer Kulmination eben 18 unter dem Horizont befindet, d..wenn^+tj = 72. Wennp+c5 > 72, dann ist die Sonnentiefe bei unterer Kulmination kleiner als 18, und zwar um einen Wert +<5 72 kleiner; also wenn der Wert der Polöe des Standortes und der Deklination von dem entsprecenden Wert der Gleicung <p+s = 72 weiter wäcst, dann nimmt die Dauer der Nact und damit auc die der Dämmerung ab.. Im Sinne des obigen ist 48,5 die niederste geograpisce Breite wo es im Laufe des Jares mindestens einmal um die Sommersonnenwende die ganze Nact indurc eine Dämmerung gibt (wenn die grösste Deklination der Sonne der Einfaceit alber als 23,5 angenommen wird). Dementsprecend verlängert sic die Dauer der Dämmerung unter den Breiten nict öer als 48,5 im Sommeralbjar mit der Zuname der Deklination der Sonne bis zur Sommersonnenwende. Unter den Breiten öer als 48,5 beim Wert <5=72 p gibt es Dämmerung die ganze Nact indurc, und die Dauer der Dämmerung vom Wert <5 = 72 q> nimmt mit der Zuname der Deklination zusammen mit der Dauer der Nact ab. Unter 72 geograpiscer Breite verbreitet sic die Dämmerung auf die ganze Nact scon bei 0 Sonnendeklination und mit der Zuname der Deklination nimmt die Dauer der Dämmerung zusammen mit der Dauer der Nact scon von der Früjars-Tagundnactgleice an ab. Unter den Breiten grösser als 72 at die Sonne südlice (in der Rictung des entgegengesetzten Pols gemessene) Deklination wenn die Dämmerung die ganze Nact ausfüllt. Wenn der gesamte Wert der Polöe des Standortes und der Deklination der Sonne 90 oder grösser als 90 ist, also wenn (p + ö 90, ist die Sonne zirkumpolar über dem Horizont. Da es da keine Nact ist, gibt es auc keine Dämmerung. Die niedrigste geograpisce Breite, wo die Sonne um die Sommersonnenwende zirkumpolär ist, ist 66,5. Die Dauer der Zirkumpolarität nimmt von 66,5 Breite an mit zunemender Polöe zu. Wärend des Jares beginnt die Zirkumpolarität der Sonne mit zunemender Deklination, beim Wert 6 = 9Ö <p, und endet mit abnemender Deklination, änlicerweise beim Wert <5 = 90 < />. Die Punkte mit gleicer Deklination sind in gleicem Abstand vom Sonnenwendepunkt auf der Ekliptik; daer sind das Beginn und das Ende der Zirkumpolarität in der Zeit symmetrisc in bezug auf die Sonnenwende. Im Sommeralbjar ist die Veränderung der. Dauer der Dämmerung trotz dem obigen verältnismässig einfac, da wenn wir uns mit der Zirkumpolarität der Sonne über dem Horizont nict befassen, weil sie nur die Frage beantwortet, wann es mangels einer Nact keine Dämmerung gibt, und wenn man die Veränderung.der Dauer der Dämmerung nur bis dann untersuct wenn die Dämmerung die ganze Nact ausfüllt, wenn ire Dauer im Vergleic zur Dauer der Nact nict zunemen kann aber auc nict abnimmt, dann kann man feststellen, dass im Sommeralbjar die Dauer der Dämmerung mit der Polöe des Standortes und der Deklination der Sonne zunimmt. Im Winteralbjar ist die Veränderung der Dämmerungsdauer komplizierter auc wenn wir uns mit der Zirkumpolarität und der die ganze Nact ausfüllenden Dämmerung nict bescäftigen. Aber im Winteralbjar darf man diese nict ausser Act lassen. Die Scwierigkeit in der Erkennung der Dämmerungsverältnissen des Winteralbjares entstet dadurc, dass mit der Zuname der Deklination der Sonne im Winteralbjar die Dauer der Dämmerung nac der Herbstnactgleice von der Polöe abängig bis zu einem gewissen" Deklinationswert ab, dann wieder zunimmt. Änlicerweise, inneralb eines gewissen" Wertes der Sonnendeklination, also eine Zeitlang nac der Herbstnactgleice (und vor der Frülingsnactgleice) nimmt die Dämmerungsdauer mit der Zuname der Polöe von der Deklination abängig bis zu einer gewissen" geograpiscen Breite ab, dan mit weiterer Zuname der Breite wieder zu. Wenn die Deklination der Sonne grösser ist als der obenerwänte gewisse" Wert, dann nimmt die Dämmerungsdauer mit der Zuname der Polöe zu. Der portugiesisce Matematiker NUNEZ at scon 1542 in seinem Buc De 70

3 crepusculis" die Frage aufgeworfen, an welcen Tag des Jares an einem Ort gegebener geograpiscer Breite die Dämmerung am kürzesten ist. NUÑEZ selbst konnte auf die Frage nict antworten. Nac im aben sic merere Forscer wärend fast zwei Jarunderte mit der Lösung des Problems bescäftigt, aber one Erfolg. Endlic löste JOHANN BERNOULLI das Problem mit Differentialrecnung, aber er erielt einen scwer braucbaren Erfolg. Nac STOLL (1): Diese zuerst von Nuñez in seinem Werke De crepusculis gestellte Aufgabe wurde zum ersten Male nac jarelangen Sucen von Jo. Bernoulli (Opera 1,64) gelöst (vergl. Wolf, Handb. d. Mat. II. 178). Sowol er, als auc andere ervorragende Matematiker erielten die Lösung nur durc Vermittelung einer scwer discutierbaren Gleicung des vierten Grades, deren Wurzeln eigentlic zwei von einander versciedenen Aufgaben angeörten, die in der Bezieung von relativen Maximis und Minimis standen, one dass diese Bezieung von inen erkannt worden wäre. Der erste, welcer von den beiden correspondierenden Aufgaben wenigstens die eine in befriedigender Weise löste, war nac Wolf a.a.o. der verstorbene Kopenagener Astronom d'arrest (Astron. Nacr von 1857); derselbe at übrigens das bei seiner Lösung auftretende Maximum nict berücksictigt." In seinem 1883 veröffentlicten zitierten Werk löste STOLL die Aufgabe mit elementaren Matematiscen Mitteln bei guter Erkenntnis des Problems und erielt eine ser einface Formel. Als eine Folge der Einfaceit der Formeln von STOLL wird der Gedanke aufgeworfen, dass geometrisce Zusammenänge, die mit solcen einfacen Formeln ausgedrückt werden können, auc anscaulic sein müssen, und so das Problem der kürzesten Dämmerung gewissermassen anscaulic, mit noc einfacerem matematiscen Verfaren als das von STOLL gelöst werden kann. Dieses einface Verfaren möcten wir ier darstellen. Zwiscen zwei Vertikalen, deren Azimut von dem ersten Vertikal nördlic und südlic gerecnet gleic ist, finden sic Abscnitte mit gleicen Bogengraden der Sonnenbanen (oder Gestirnbanen) an der Himmelspäre des Beobactungsortes gegebener geograpiscer Breite, und der Höenunterscied zwiscen den beiden Endpunkten der einzelnen Sonnenbanscnitten ist auf allen Sonnenbanen gleic; ferner ist das der kürzeste Bogen, der zwiscen beliebigen zwei mit dem erwänten Höenunterscied gegebenen Punkten der Sonnenbanen gemessen kann (Siee Abb.) Das ist ein einfaces geometrisces Gesetz, das auc one späriscen astronomiscen Inalt formuliert werden kann. Nämlic sind die Sonnenbankreise parallele Kugelkreise, und die zwei Vertikalen bilden ein Kugelzweieck, dessen Winkelalbierender Grosskreis auf den durc den Pol der Prallelkreise und die Sceitelpunkte des Kugelzweiecks laufenden Grosskreis senkrect ist. Die zwei Grosskreise des Kugelzweiecks scnitt gleice Bögen aus den Parallelkreisen aus, der spärisce Abstand der zwei Endpunkte der einzelnen Bögen von den einzelnen Sceitelpunkten des Kugelzweiecks untersceidet sic auf jedem Bogen mit gleicem Wert, ferner ist dies auf jedem Parallelkreis der kürzeste Bogen, auf dem der Unterscied- zwiscen den von den einzelnen Sceitelpunkten des Kugelzweiecks gerecneten späriscen Abstanden der zwei Endpunkten dem erwänten Wert gleic ist. Wärend der Dämmerung verändert sic die Höe der Sonne um 18. Im Sinne des Vorangeenden ergibt sic diese Höenveränderung von 18 bei der kleinsten Änderung des Stundenwinkels auf einer Sonnenban einer Deklination mit der das vom-ersten Ve'tikal gerecnete Azimut der Sonne in 0 Höe und 18 Tiefe unter dem Horizont gleic ist, wenn am Beginn und am Ende der Dämmerung die Ebene 71

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5 Die Abbildung stellt die auf die Ebene des Himmelsmeridians senkrect projiziertes Bild der Himmelskugel, mit dem waren Horizont, mit dem Himmelsäquator, mit Almukantaraten, Gestirnbanen, mit dem ersten Vertikal und mit zwei vom ersten Vertikal gleicem Abstand befindlicen Vertikalen. Die zwei Vertikalen bilden ein Kugelzweieck, dessen Winkelalbierender Grosskreis der erste Vertikal, auf dem Meridiankreis senkrect ist, und demzufolge sind die zwiscen den zwei Vertikalen befindlicen Bögen in Graden aller Gestirnbanen gleic. Auc die Höenuntersciede der beiden Endpunkte der sic zwiscen den beiden Vertikalen streckenden einzelnen Bögen sind gleic. Diese Bögen sind zugleic die kürzeste Strecken der Gestirnbanen, die zwiscen beliebigen zwei mit dem erwänten Höenunterscied gegebenen Punkten der einzelnen Gestirnbanen gemessen kann. In der Abbildung sind die erwänten Höenuntersciede mit bezeicnet. Die Projektionen der Halbkreisen von drei Gestirnbanen (einer unter inen ist der Himmelsäquator) sind auc auf die Meridianebene umgedret dargestellt und ire zwiscen den beiden Vertikalen befindlicen Bögen auf die Halbkreise der entsprecenden Gestirnbanen zurück-projiziert gezeicnet. Diese Bögen sind mit d bezeicnet. Der Horizont albiert den betreffende Bogen des Himmelsäquators und so dessen Strecke d. über dem Horizont und unter dem Horizont gleicerweise sind. Die Endpunkte des betref- 2 fenden Aquatorbogens sind in Höe über dem Horizont und Tiefe unter dem Horizont.. J sin d. 2 Im Sinne des obigen ist es einzuseen, dasssin = Ferner den vom ersten Vertikal 2 cos q> gerecnete AzimutA 0 des Endpunktes des Äquatorbogens drückt die Gleicung sin A 0 = tg q> tg fast anscaulic aus. Die Morgen- und Abendweite A a eines Gestirnes wird durc die Gleicung sin A ä = ausgedrückt, und wenn der Azimut des Aufgangpunktes oder' Untergangpunktes cos <p der Gestirnban dem Azimut des obenerwänten Endpunktes des Himmelsäquatorbogens gleic sin <5 ist, dann A 0 =A ä> also =tg <p tg, und sin ö = sin <p tg -. Im Falle der Sonnenban ist cos ip 2 2 der durc die Gleicung gedrückte Wert der Deklination, mit dem gelangt die Sonne in der kürzesten Zeit vom Horizont zu Höe oder von Tiefe zum Horizont. Falls mit 18 (oder 6 ) substituert wird, ist der Wert von ä mit dem am Tag der kürzesten astronomiscen (oder bürgerlicen) Dämmerung gegebenen Deklinationswert der Sonne gleic. ' 73

6 des Azimutkreises der Sonne mit der Ebene des ersten Vertikals gleice Winkel einscliesst. Zwiscen diesen zwei Vertikalen wie es zu seen ist sind zallose Sonnenbanbogen mit versciedenen Deklinationen zu finden und auf jedem dieser Bögen ist die Höenveränderung der Sonne 18. Der Bogen des Äquators wird von dem Horizontkreis albiert und die Höe eines Endpunktes über dem Horizont und die Tiefe des anderen unter dem Horizont sind gleic, 18 = 9. Gleice Bögen des Äquators über und unter dem Horizont drücken gleice Änderung des Stundenwinkels aus. Nun werde die Aufgabe verallgemeinert und statt des konkreten Wertes 18 werde eine Höenveränderung genommen. Die kürzeste, in Bogengraden der Sonnenban ausgedrückte Zeitdauer, wärend der die Höe der Sonne (oder eines Gestirnes) sic mit einem Wert verändert, werde mit d bezeicnet; Sowol über wie auc unter dem Horizont erreict die Sonne eine Höenveränderung ^ auf. einem Bogen von ^ Grad, also mit einer Veränderung des Stundenwinkels Dem- t Zt. entsprecend sin d = Sm 2 cp Da jeder Sonnenbanbogen zwiscen Werticalkreisen mit vom ersten Vertical nördlic und südlic gleicem Azimut gleic lang ist, wenn für 18 substituiert wird, wird als Resultat die Dauer bzw. die Hälfte der Dauer der Kürzesten Dämmerung in der gegebenen Breite eralten. Werde der Azimut des Punktes des Äquators von - Höe mit A 0, der Azimut Jk des im Horizont gelegenen Punktes des kürzesten Sonnenbanbogens zwiscen dem Horizont und dem Almukantarat von Höe mit A ö bezeicnet (es andelt sic um die vom ersten Vertikal gerecneten Azimuten). Nac dem obigen A 0 = A d also sin A = sin A a sin A 0 kann ausgedrückt werden aus der Gleicung tg = tg (90» sin A 0 jj tg 2 = c *2 s ' n ^o sina 0 = tg<ptg ^ sin A d ist der Wert den Morgen- und Abendweite des Sonnenaufganges bzw. des Unterganges, wenn der Wert der Weite vom ersten Vertical gerecnet wird... sin 5 sin A% = COS (p 74

7 Aus dem obigen folgend sin ö ^ ^ = tg<ptg T cos cp 2 * sm o = cos cp tg (p tg * sin d = sin (p tg Z j Unter einer gegebenen geograpiscen Breite gelangt die Sonne, (oder ein Gestirn) mit so bestimmter Deklination in der kürzesten Zeit vom Horizont zu Höe oder von Tiefe zum Horizont. Im Falle einer Veränderung der Tiefe unter dem Horizont ist die Deklination eine südlice". Falls mit 18 (oder 6 ) substituiert wird, ist der Wert von <5 mit der am Tag der kürzesten Dämmerung gegebenen Deklination der Sonne gleic. Die aus der Formel jj sin S = sincp tg eraltene Gleicung sins, sin cp =, = sin o ctg 2 2 bestimmt die geograpisce. Breite in der die Sonne an einem gegebenen Tag des Jares, also bei einer gegebener Deklination, iren Banbogen durcläuft in der kürzesten Zeit zwiscen dem Horizont und dem Almukantarat in Höe über oder Tiefe unter dem Horizont. Beim Substituieren des entsprecenden Wertes ist die Dämmerung am kürzesten am Tag gegebener Sonnendeklination in der als Erfolg eraltenen Breite. In der Kenntnis der auf die kürzeste Dämmerung bezüglicen Zusammenänge kann die Veränderung der Dauer der Dämmerung mit der Polöe und der Deklination der Sonne auc im Winteralbjar verfolgt werden. Am Äquator gibt es kein Winteralbjar und. Sommeralbjar, aber gibt es ein Halbjar mit nördlicer und ein Halbjar mit südlicer Sonnendeklination. Die Dauer der Dämmerung nimmt in gleicem Masse in beiden Halbjaren mit der Zuname der Deklination zu. In der Zone zwiscen dem Äquator und 72 geograpiscer Breite nimmt die Dämmerungsdauer im Winteralbjar mit der Zuname der Sonnendeklination bis zum durc die Gleicung sin ö = sin <p tg 9 bestimmten Deklinationswert ab, dann nimmt sie mit weiterer Zuname der Deklination wieder zu, und diese Zuname dauert unter den Breiten nict öer als 66,5 bis zur Wintersonnenwende. Die längste Dämmerung des Winteralbjares ist um den Mittiwinter. Die längste Dämmerung des Winteralbjares ist unter den Breiten niederer als 66,5 kürzer als die längste Dämmerung des Sommeralbjares. (Wie es scon erwänt wurde ist die längste Dämmerung des Sommeralbjares unter den Breiten öer als 48,5 nict um den Mittsommer.) Unter 66,5 Breite ist die Sonne um die Wintersonnenwende zirkumpolar unter dem Horizont und die Dämmerungsdauer ist dann länger als die längste Dämmerung des Sommeralbjares (die unter dieser Breite mit 5,5 Sonnendeklination gegeben ist). Unter den Breiten öer als 66,5 beginnt die Zirkumpolarität der Sonne unter dem Horizont scon früer als die Wintersonnenwende, beim Wert der südlicer" Deklination, <5=90 q> und das ist unter den Breiten öer als 66,5 aber niederer als 72 der Tag mit der längsten Dämmerung nict nur im Winteralbjar, sondern im ganzen Jar. So verkürzt sic die Dämmerungsdauer unter den erwänten Breiten im Winteralbjar mit der Zuname der Deklination bis zum dem Zusammenang sin <5 = sin (p tg y entsprecenden Deklinationswert, von da an verlängert 75

8 sie sic bis zum Wert <5=90 p, dann verkürzt sie sic wieder bis zur Wintersonnenwende. Unter den Breiten öer als 72 gibt es dje ganze Nact indurc dauernde Dämmerung nict nur im ganzen Sommeralbjar und an den Tagen der Tagundnactgleice, sondern auc im Winteralbjar bis zum Wert S = tp 12. Da die Nact im Winteralbjar mit der Zuname der Deklination länger wird, verlängert sic auc die Dämmerung unter den Breiten öer als 72 bis zu einer Deklination die dem Wert p-72 entsprict, dann nimmt sie unter den Breiten niederer als 81" bis zu einem der Gleicung sind = sin^tgy entsprecenden Deklinationswer ab, dann nimmt sie bis zum Wert ö = 90 p wieder zu, und von dieser Deklination ab bis zur Wintersonnenwende nimmt sie wieder ab. Unter 81 Breite fällt der Tag der ersten, die ganze Nact ausfüllenden Dämmerung des Winteralbjares mit dem ersten Tag der Zirkumpolarität der Sonne unter dem Horizont zusammen, weil = So verlängert sic die Dauer der Dämmerung unter dieser Breite im Winteralbjar bis 9 Deklination. Dann gibt es Dämmerung den ganzen Tag, und die Zirkumpolarität der Sonne unter dem Horizont beginnt, wärend der die Dauer der Dämmerung bis zum Mittwinter abnimmt. Es ist ersictlic aus den obigen, dass die grösste Deklination, bis zu deren Wert im Winteralbjar die Dämmerungsdauer wo immer abnemen kann, ist kleiner als 9, da der Zusammenang sin <5=sin (p tg 9 unter 81 Breite nict mer gültig ist, weil die täglice Höenveränderung der Sonne eben 18 ist, und die ganze täglice Ban der Sonne mit 9 Deklination zwiscen dem Horizont und 18 Almukantarat liegt. Unter den Breiten öer als 81 erreict die täglice Höenveränderung der Sonne 18 nict. Unter den Breiten öer als 81 ist 90 -<p < p 72 und die Zirkumpolarität der Sonne beginnt mit kleinerer Deklination als der grösste Wert der Deklination wobei noc die ganze Nact Dämmerung gibt. Dementsprecend nimmt die Dämmerungsdauer im Winteralbjar unter den Breiten öer als 81 mit der Zuname der Deklination bis zum Deklinationswert 90 zu, dann beginnt die Zirkumpolarität der Sonne unter dem Horizont, das ist aber bis zu einem Deklinationswert p 72 ununterbrocene' Dämmerung, dann von dieser Deklination bis zum Mittwinter nimmt die Dämmerungsdauer ab. Unter 84,5 Breite um die Wintersonnenwende gibt es scon keine Dämmerung, nur volle Nact, und unter den Breiten öer als 84,5 vom Deklinationswert 108 p ab gibt es keine Dämmerung. Am Pol gibt es Dämmerung im Winteralbjar solange der Wert der Sonnendeklination zwiscen 0 und 18 ist. LITERATUR 1. DR. STOLL (in Benseim a. d. Bergstr.): Das Problem der kürzesten Dämmerung. Zeitscrift für Matematik und Pysik, Bd. 28, 1883,