1 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 1 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

2 2 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik sind eng miteinander verbunden und werden üblicherweise unter dem Namen Stochastik (Lehre von den zufälligen Prozessen) zusammengefasst.

3 3 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Teilgebiete der Statistik Deskriptive Statistik Darstellung von Daten Berechnung von Kenngrößen Induktive Statistik Stichprobenuntersuchungen Übertragung auf die Grundgesamtheit mit den Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Qrtl. 2. Qrtl. 3. Qrtl. 4. Qrtl.

4 4 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Teilgebiete der Statistik Deskriptive Statistik Darstellung von Daten Berechnung von Kenngrößen Induktive Statistik Stichprobenuntersuchungen Übertragung auf die Grundgesamtheit mit den Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Qrtl. 2. Qrtl. 3. Qrtl. 4. Qrtl.

5 5 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Deskriptive Statistik Grundbegriffe

6 6 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundgesamtheit und Stichprobe Die Gruppe aller Untersuchungseinheiten, in denen Merkmale von Interesse sind, nennt man Grundgesamtheit (Population oder statistische Masse). Da man nicht alle Elemente der Population untersuchen kann, befasst man sich meistens mit einer Auswahl aus der Grundgesamtheit, einer Stichprobe. Die Abgrenzung einer statistischen Masse erfolgt über die Identifikationskriterien: - sachlich - räumlich - zeitlich z.b.: Einwohner in Münster 2014

7 7 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundgesamtheit und Stichprobe Die Elemente der untersuchten Stichprobe (z.b. Objekten, Personen oder Ereignissen) werden auch Merkmalsträger genannt. Die Merkmale, die verschiedene Ausprägungen annehmen, nennt man Variablen; die Merkmalsausprägungen selbst werden Variablenwerte oder Kategorien genannt. Merkmalsträger PKW PKW PKW PKW Merkmal (X) Navi Farbe Preis Motor Merkmalsausprägungen (x) ja / nein schwarz, weiß, rot, , Benzin, Diesel, Gas, Die Festlegung der Skala/Maßeinheiten für die Merkmalsausprägungen nennt man Skalierung.

8 8 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Skalenniveaus / Skalentypen Skalentyp Datenniveau Eigenschaft log./math. Operationen Mittelwert Beispiele geringstes Skalenniveau Informationsgehalt Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala (Rationalskala) nominal qualitativ, diskret ordinal qualitativ, diskret quantitativ, kardinal (metrisch), diskret oder stetig quantitativ, kardinal (metrisch), diskret oder stetig keine Rangordnung, Rangordnung (Abstände unbekannt) kein natürlicher Nullpunkt und keine natürliche Maßeinheit natürlicher Nullpunkt, aber keine natürliche Maßeinheit = / = / < / > = / < / > + / = / < / > + / / : Modalwert (Modus, häufigster Wert) Modalwert, Median Modalwert, Median, arithmetisches Mittel Modalwert, Median, arithmetisches, geometrisches Mittel Geschlecht (m/w), Kinder (ja/nein), Wohnsitz (Bonn, Rom, ) Dienstgrad, Apfel (süß,, sauer) Schulnoten stetig: Temperatur in Celsius, Kalenderzeit, diskret: Schulnoten* stetig: Temperatur in Kelvin, Längenmaß, diskret: Alter (in ganzen Jahre) höchstes Skalenniveau Absolutskala quantitativ, kardinal (metrisch), diskret natürlicher Nullpunkt und natürliche Maßeinheit = / < / > + / / : Modalwert, Median, arithmetisches, geometrisches Mittel Stückzahl an prod. PKW, Einwohnerzahl * unter Annahme gleicher Abstände zw. den Noten

9 9 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Skalentypen Übung Merkmal Skalentyp diskret / stetig Name Nominalskala diskret Geschlecht Alter Einkommen in Temperatur in Celsius Temperatur in Kelvin Schulnote Obstsorte Ränge bei einem Sportverein Nominalskala Verhältnisskala Verhältnisskala Intervallskala Verhältnisskala Ordinalskala * Nominalskala Ordinalskala diskret stetig diskret (nur ganze Cent) stetig stetig diskret diskret diskret Jahreszahlen Intervallskala diskret * unter Annahme gleicher Abstände zw. den Noten: Intervallskala

10 10 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundgesamtheit und Stichprobe Datengewinnung Primärerhebung / Primärstatistik Daten werden erstmalig / neu für die Untersuchung erhoben. Erhebungsmethoden: mündliche oder schriftliche Befragung, Beobachtungen, Experimente, elektronische / automatische Erfassung Sekundärerhebung Rückgriff auf vorhandene Daten

11 11 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Häufigkeitsverteilungen Nach einer Datenerhebung liegen die Messwerte eines Merkmals zunächst in Form einer sog. Urliste vor. In dieser Zahlenliste werden die Messwerte der einzelnen Untersuchungseinheiten hintereinander aufgelistet.

12 12 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Häufigkeitstabellen quantitativ diskrete Merkmale Personenzahl pro Haushalt absolute Häufigkeit relative Häufigkeit kumulierte relative Häufigkeit (Verteilungsfunktion) ,2% 7,2% ,9% 37,1% ,7% 77,8% ,6% 93,4% ,8% 98,2% 6 und mehr 30 1,8% 100,0% Summe ,0%

13 13 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Häufigkeitstabellen quantitativ diskrete Merkmale Personenzahl pro Haushalt absolute Häufigkeit relative Häufigkeit kumulierte relative Häufigkeit (Verteilungsfunktion) arith. Mittel ,0% 43,0% 0, ,0% 79,0% 0, ,0% 93,0% 0, ,0% 99,0% 0, ,0% 100,0% 0,05 Summe ,0% 1,86

14 14 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Häufigkeitstabellen quantitativ stetiger Merkmale werden zu Klassen zusammengefasst Körpergröße in m absolute Verteilungsfunktion relative Häufigkeit Häufigkeit über 1,4-1, ,5% 4,5% über 1,5-1, ,1% 10,6% über 1,6-1, ,6% 31,2% über 1,7-1, ,1% 60,3% über 1,8-1, ,0% 90,3% über 1,9-2, ,7% 100,0% Summe ,0%

15 15 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Häufigkeitstabellen die Häufigkeitsdichte ist definiert als die relative Häufigkeit geteilt durch die Klassenbreite (hier 0,1) Körpergröße absolute Verteilungsfunktion relative Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeitsdichte über 1,4-1, ,5% 4,5% 0,45 über 1,5-1, ,1% 10,6% 0,61 über 1,6-1, ,6% 31,2% 2,06 über 1,7-1, ,1% 60,3% 2,91 über 1,8-1, ,0% 90,3% 3,00 über 1,9-2, ,7% 100,0% 0,97 Summe ,0%

16 16 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Häufigkeitstabellen Übung Preis pro kg absolute relative Verteilungsfunktiodichte Häufigkeits- Häufigkeit Häufigkeit über 1,00-1, ,3% 14,3% 0,71 über 1,20-1, ,4% 25,7% 1,14 über 1,30-1, ,7% 41,4% 1,57 über 1,40-1, ,0% 61,4% 1,00 über 1,60-1, ,1% 78,6% 0,86 über 1,80-2, ,4% 100,0% 0,54 Summe ,0%

17 17 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 1 a) Nationalität nominal b) Geschlecht nominal c) Postleitzahl nominal d) Größe rational / stetig e) Gewicht rational / stetig f) Alter rational / stetig g) Kinderzahl rational / diskret h) Militärdienstgrad ordinal i) Rangplatz im Schachverein ordinal j) Körpertemperatur intervall / stetig

18 18 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 2 a) Einkommen von alleinlebenden Erwerbspersonen im Jahr es fehlt die räumliche Abgrenzung! b) Verkehrsunfälle im Saarland am o.k. c) Familienstand der erwachsenen Einwohner in Münster. es fehlt die zeitliche Abgrenzung!

19 19 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe Motoren eines bestimmten Typs weisen folgende Lebensdauerverteilung auf: Lebensdauer (in Jahren) Anzahl (der Motoren) bis 2 40 über 2 bis über 4 bis über 6 bis über 8 bis maximal a) Wieviele Motoren haben eine Lebensdauer von höchstens 3,5 Jahren? b) Bestimmen Sie den Anteil der Motoren mit einer Lebensdauer von über 5 Jahren. c) Wieviele Motoren haben eine normale Lebensdauer (zwischen 3 und 7 Jahren)? a) Wieviele Motoren haben eine Lebensdauer von höchstens 3,5 Jahren? = 250 b) Bestimmen Sie den Anteil der Motoren mit einer Lebensdauer von über 5 Jahren = % c) Wieviele Motoren haben eine normale Lebensdauer (zwischen 3 und 7 Jahren)? = 650

20 20 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 4 Eine statistische Untersuchung hat folgende rationalskalierten Merkmalsausprägungen der betrachten Einheiten ergeben: 4, 4, 5, 5, 3, 8, 7, 7, 8, 4, 5, 5, 4, 6, 8, 6, 4, 5, 5, 4. Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle Merkmalsausprägung Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit Relative Summenhäufigkeit 3 1 5% 5% % 35% % 65% % 75% % 85% % 100% Summe %

21 21 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Verteilungsmaße Lagemaße geben einen Mittelwert der Merkmalswerte an Streuungsmaße geben die Abweichung vom Lageparameter an

22 22 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Verteilungsmaße Lageparameter Median (Zentralwert) Modus (Modalwert) arithmetisches Mittel Streuungsparameter Spannweite Varianz Standardabweichung Variationskoeffizient

23 23 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Median Bei einer gruppierten Verteilung nimmt im Median die Verteilungsfunktion den Wert 50 % an. Median Körpergröße absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Verteilungsfunktion über 1,4-1, ,5% 4,5% über 1,5-1, ,1% 10,6% über 1,6-1, ,6% 31,2% über 1,7-1, ,1% 60,3% über 1,8-1, ,0% 90,3% über 1,9-2, ,7% 100,0% Summe ,0%

24 24 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Median Übung Gewicht absolute Häufigkeit über über über über über über Summe relative Häufigkeit Verteilungsfunktion

25 25 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Median Übung Median Gewicht absolute relative Verteilungsfunktion Häufigkeit Häufigkeit über ,7% 5,7% über ,6% 14,3% über ,0% 42,3% über ,4% 69,7% über ,4% 91,1% über ,9% 100,0% Summe ,0%

26 26 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Modus oder Modalwert Bei einer stetigen und damit gruppierten Verteilung ist der Modalwert als die Mitte der Klasse mit der größten Häufigkeitsdichte definiert. Körpergröße absolute relative Verteilungsfunktiodichte Häufigkeits- Häufigkeit Häufigkeit über 1,4-1, ,5% 4,5% 0,45 über 1,5-1, ,1% 10,6% 0,61 über 1,6-1, ,6% 31,2% 2,06 über 1,7-1, ,1% 60,3% 2,91 über 1,8-1, ,0% 90,3% 3,00 über 1,9-2, ,7% 100,0% 0,97 Summe ,0% 1,85

27 27 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Modus oder Modalwert Übung Körpergröße absolute Häufigkeit über 1,3-1,5 300 über 1,5-1,6 400 über 1,6-1,7 800 über 1,7-1,8 700 über 1,8-2,0 900 über 2,0-2,3 400 Summe 3500 relative Häufigkeit Verteilungsfunktion Häufigkeitsdichte

28 28 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Modus oder Modalwert Übung Körpergröße absolute relative Verteilungsfunktiodichte Häufigkeits- Häufigkeit Häufigkeit über 1,3-1, ,6% 8,6% 0,43 über 1,5-1, ,4% 20,0% 1,14 über 1,6-1, ,9% 42,9% 2,29 über 1,7-1, ,0% 62,9% 2,00 über 1,8-2, ,7% 88,6% 1,29 über 2,0-2, ,4% 100,0% 0,38 Summe ,0% 1,65

29 29 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Arithmetisches Mittel Bei gruppierten Daten berechnet man das gewogene arithmetische Mittel aus den jeweiligen Klassenmitten, wobei die Gewichte durch die relativen Häufigkeiten bestimmt werden. Körpergröße absolute Häufigkeit relative Häufigkeit arithmetisches Mittel über 1,4-1, ,5% 0,066 über 1,5-1, ,1% 0,094 über 1,6-1, ,6% 0,340 über 1,7-1, ,1% 0,509 über 1,8-1, ,0% 0,555 über 1,9-2, ,7% 0,189 Summe ,0% 1,753

30 30 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Verteilungsmaßzahlen Lageparameter Median Modus arithmetisches Mittel Streuungsparameter Spannweite Varianz Standardabweichung Variationskoeffizient

31 31 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 5 a) Ermitteln Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für die Daten aus Aufgabe 3 und Aufgabe 4. Lebensdauer absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Verteilungsfunktion Häufigkeitsdichte Modus Median ar. Mittel bis ,0% 4,0% 0,02 0,04 über 2 bis ,0% 32,0% 0,14 0,84 über 4 bis ,0% 72,0% 0,20 5,00 5,00 2,00 über 6 bis ,0% 94,0% 0,11 1,54 über 8 bis ,0% 100,0% 0,03 0,54 Summe ,0% 4,96

32 32 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 5 b) Werte Werte sort. Modus Median ar. Mittel und ,35

33 33 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 6) Aufgabe Ein 6 PKW fährt auf der Hinreise konstant mit 120 km/h, auf der Rückreise (gleiche Strecke) konstant mit 80 km/h. Lösung: 96 km/h und zwar für jede beliebige Strecke! Beispiel: Die (einzelne) Strecke beträgt 1200 km. Dann benötigt der PKW für die Hinfahrt 10 Stunden, für die Rückfahrt 15 Stunden. Insgesamt also 25 Stunden für km. Das entspricht einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 96 km/h. x [km] v [km/h] t *x/(x/120 + x/80) 96 2x x/120+x/80

34 34 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 7) Berechnen Sie die Varianz für folgende Altersverteilung: 20, 25, 40, 35, 30, 29, 31, 26, 30, 34. Wert 1 Wert 2 Wert 3 Wert 4 Wert 5 Wert 6 Wert 7 Wert 8 Wert 9 Wert 10 Mittel Summe Varianz Abweichung zum Quadrat Varianz 28,4

35 35 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 8 Gegeben seien die folgenden Einzelwerte: 5, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 4, 5, 3. a) Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel. b) Bestimmen Sie Spannweite, Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient. Wert 1 Wert 2 Wert 3 Wert 4 Wert 5 Wert 6 Wert 7 Wert 8 Wert 9 Wert 10 Mittel Summe Varianz ,8 Abweichung 2,2 0,2-0,8-1,8-1,8-0,8-0,8 1,2 2,2 0,2 zum Quadrat 4,84 0,04 0,64 3,24 3,24 0,64 0,64 1,44 4,84 0,04 19,6 Varianz 1,96 Standabw 1,4 Varkoeff. 0,5

36 36 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 8 Gegeben seien die folgenden Einzelwerte: 5, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 4, 5, 3. a) Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel. b) Bestimmen Sie Spannweite, Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient. Modus 2 = Modalwert: häufigster Wert Median 2,5 Wert in der Mitte einer geordneten Reihe arithmetisches Mittel 2,8 Spannweite Spannweite = x max - x min Standardabweichung 1,400 Varianz 1,960 Variationskoeffizient 0,500 µ σ σ 2 = = VarK 1 n 1 n = i = 1 n n (x i= 1 σ µ x i i _ x) 2

37 37 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 9 Gegeben seien jeweils die folgenden 5 Einzelwerte: 1, 1, 2, 3, 4 sowie 100, 100, 200, 300, 400 a) Bestimmen Sie jeweils Modus, Median und arithmetisches Mittel. b) Bestimmen Sie jeweils Spannweite, Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient.

38 38 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 9 Modus 1 = Modalwert: häufigster Wert Modus 100 = Modalwert: häufigster Wert Median 2 Wert in der Mitte einer geordneten Reihe arithmetisches Mittel 2,2 Spannweite 3 Spannweite = x max x min Standardabweichung 1,166 σ Varianz 1,36 Variationskoeffizient 0,5 µ σ 2 = 1 n i= 1 σ VarK = µ n x i i= 1 _ 2 1 n = (xi x) n Median 200 Wert in der Mitte einer geordneten Reihe arithmetisches Mitte 220 Spannweite 300 Spannweite = x max x min Standardabweichun 116,6 σ Varianz ,00 Variationskoeffizient 0,5 µ = 1 n n x i i= 1 n _ σ = (xi x) n i= 1 σ VarK = µ

39 39 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Mehrdimensionale Häufigkeitsverteilungen

40 40 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Mehrdimensionale Häufigkeitsverteilungen wie lässt sich der Zusammenhang zwischen Merkmalen durch eine Funktion beschreiben? wie stark ist der Zusammenhang? Regressionsrechnung Korrelationsrechnung

41 41 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Regressionsrechnung Eine Reihe von statistischen Einheiten ist durch zwei Merkmale, z.b. Absatzmenge und Verkaufspreis, gekennzeichnet. Da ein Zusammenhang nahe liegt, soll dieser durch eine - im einfachsten Fall lineare - Funktion beschrieben werden.

42 42 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Regressionsrechnung Grafisch bedeutet das, dass man eine Gerade sucht, die den gemessenen Werten möglichst nahe kommt, d.h. die Summe der Abweichungen von der Geraden soll minimiert werden. Preis Menge

43 43 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Regressionsrechnung Größere Abweichungen werden stärker gewichtet, da die Summe der Quadrate der Abweichungen minimiert wird, um vorzeichenwechselbedingte Neutralisationen der Abweichungen zu vermeiden. Preis Menge

44 44 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Korrelationsrechnung Der Korrelationskoeffizient gibt an, wie eng der Zusammenhang zwischen der berechneten Regressionsgeraden und den beobachteten Werten ist, indem er die Verteilung und den Abstand in Bezug auf die Regressionsgerade misst. Preis Menge

45 45 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Korrelationsrechnung Preis Der Korrelationskoeffizient beträgt bei exaktem negativem oder positivem linearen Zusammenhang -1 bzw. +1. Bei schwächerem Zusammenhang liegt er zwischen -1 und 0 bzw. 0 und +1. Bei 0 gibt es überhaupt keinen Zusammenhang (Korrelation) zwischen den untersuchten Parametern. II III I IV

46 46 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 1 Für sechs Monate liegen die Daten über den Hypothekenzinssatz X sowie über den saisonbereinigten Auftragseingang Y im Privatwohnungsbaugewerbe vor: Wer bauen will, braucht i.d.r. Fremdkapital. Je günstiger die Hypotheken-zinsen, desto günstiger ist die Finanzierung und desto mehr Bauvorhaben werden c.p. realisiert. b) Monat i Zinssatz x i Aufträge y i x i y i x i ² y i ² 1 6 3,0 18,0 36 9, ,2 16, , ,5 17,5 49 6, ,3 16,1 49 5, ,0 16,0 64 4, ,0 18,0 81 4,00 Summe 42 15,0 101, ,78 Regressionsfunktion: y = 4,88-0,34x Prognose: bei 4% ist 3,52, bei 7% ist 2,33 Mio. GE Auftragsvolumen zu erwarten.

47 47 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 2 Monat i Menge x i Kosten y i x i y i x i ² y i ² (in TME) (in TGE) Summe Kostenfunktion (Regressionsfunktion): K = ,91x

48 48 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Zusammenfassung In der Regressionsrechnung geht es darum, eine Funktion zu bestimmen, die den zahlenmäßigen Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen möglichst gut wiedergibt. Diese Funktion läßt sich für die Beobachtungswertepaare zweier quantitativer Merkmale immer berechnen, auch wenn der lineare Zusammenhang nur schwach oder gar nicht vorhanden ist. Sie gibt also keine Auskunft darüber, wie stark der statistische Zusammenhang ist. Genau darum geht es in der Korrelationsrechnung: der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für die Stärke des linearen Zusammenhangs zweier quantitativer Merkmale.

49 49 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung

50 50 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Gegenstand der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Untersuchung zufälliger Ereignisse mit den klassischen Annahmen: die Elementarereignisse schließen einander aus alle Elementarereignisse sind gleich möglich genau ein Elementarereignis tritt ein

51 51 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeit ist definiert als: Anzahl der günstigen Elementarereignisse P = Anzahl aller Elementarereignisse

52 52 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Tabellenform Alle Alternativen eines Zufallsexperiments werden aufgezeichnet Beispiel: zweimaliger Münzwurf (Kopf/Zahl) 1. Wurf K KK 2. Wurf KZ Z ZZ ZK

53 53 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Baumdiagramme Alle Alternativen eines Zufallsexperiments werden aufgezeichnet K Z K Z K Z K,K K,Z Z,K Z,Z

54 54 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Baumdiagramme Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades. 0,5 K 0,5 0,25 K K,K K,Z Z K Z,K Z Z Z,Z Die Wahrscheinlichkeit für Kopf beim 1. und 2. Wurf ist: 0,5 x 0,5 = 0,25

55 55 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Baumdiagramme Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das sich aus mehreren Pfaden zusammen setzt, ist gleich der Summe der einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten K 0,5 0,5 K Z K 0,5 Z 0,5 Z K,K K,Z Z,K Z,Z 0,25 0,25 Die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl ist: 0,25 + 0,25 = 0,5

56 56 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 1 Ein idealer Würfel wird geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Augenzahl von a) genau 4 b) höher als 1 c) höchstens 3 zu erzielen? a) 1/6 b) 5/6 c) 3/6

57 57 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 2a) Zwei ideale Würfel werden geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Augensumme von a) genau 8 b) mindestens 8 c) höchstens 8 zu erhalten? p = 5/36

58 58 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 2b) p = 15/36

59 59 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 2c) p = 26/36

60 60 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 3 Jemand bewirbt sich bei zwei Firmen (A und B). Die (unabhängigen) Wahrscheinlichkeiten dafür, angenommen zu werden, schätzt er bei A auf 0,5, bei B auf 0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, von wenigstens einer der beiden Firmen eine Zusage zu erhalten? nein ja 0,5 0,5 nein ja nein ja 0,4 0,6 0,4 0,6 0,2 0,3 0,2 0,3 p = 0,8

61 61 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 4a) Ein Vertreter kauft jedes Jahr ein neues Kraftfahrzeug. In Frage kommen für ihn nur die Typen A und B. Die Wahrscheinlichkeit, dass er im nächsten Jahr genau den gleichen Typ fährt, den er schon im Jahr zuvor fährt, liegt bei 0,7. Im Moment fährt er Typ A. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er a) im übernächsten Jahr ebenfalls Typ A fährt b) in drei Jahren Typ B fährt? A 0,7 0,3 A 0,7 0,3 B A B 0,3 0,7 B 0,49 0,21 0,09 0,21 p = 0,58

62 62 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 4b) A B 0,7 0,3 A B 0,7 0,3 A B 0,7 0,3 A B 0,3 0,7 A B 0,7 0,3 A B 0,3 0,7 A B 0,3 0,7 0,343 0,147 0,063 0,147 0,063 0,027 0,063 0,147 p = 0,468

63 63 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 5a) w In einer Urne befinden sich zwei weiße, zwei schwarze und zwei rote Kugeln. Es werden nacheinander drei Kugeln gezogen; jede einzelne gezogene Kugel wird nach dem Ziehen sofort wieder in die Urne zurückgelegt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, a) drei schwarze Kugeln, w s r s r w s r w s r 1/3 1/3 w s r w s r w s r w s r w s r w s r w s r w s r w s r 1/3 p = 1/27

64 64 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 5b) b) zwei schwarze und eine weiße Kugel, w w w s r s r w s r w s r s r w s r w s r w s r w s r w s r w s r w s r w s r 1/3 1/3 1/3 p = 3/27

65 65 Stochastik deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 5 c) eine schwarze, eine weiße und eine rote Kugel zu ziehen? w w w s r s r w s r w s r s r w s r w s r w s r w s r w s r w s r w s r w s r 1/3 1/3 1/3 p = 6/27