Magnetismus. Referat zu Theoretische Physik für das Lehramt 2, WS 2013/2014

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1 Magnetismus Andreas Wiederin David Gröbner Referat zu Theoretische Physik für das Lehramt 2, WS 2013/2014

2 Vorbemerkungen Ein grundlegendes (klassisches) Verständnis des Magnetismus, wie in den Lehrveranstaltungen des ersten Abschnitts vermittelt, wird vorausgesetzt und hier nicht nochmals wiederholt. Der Vortrag ist aus Zeitgründen nicht logisch geschlossen, bei Unklarheiten sei eine Lektüre der angegebenen Quellen bzw. einschlägiger Literatur empfohlen.

3 Vorbemerkungen Ein grundlegendes (klassisches) Verständnis des Magnetismus, wie in den Lehrveranstaltungen des ersten Abschnitts vermittelt, wird vorausgesetzt und hier nicht nochmals wiederholt. Der Vortrag ist aus Zeitgründen nicht logisch geschlossen, bei Unklarheiten sei eine Lektüre der angegebenen Quellen bzw. einschlägiger Literatur empfohlen.

4 Übersicht Am Anfang wird an ein grundlegendes Problem der klassischen Beschreibung erinnert Dann wird mit dem Einstein - de Haas Effekt ein wichtiges Experiment das in Richtung Quantenmechanik weist vorgestellt Abschliesend soll ein notwendigerweise nur sehr kurzer Blick auf die quantenmechanische Erklärung des Magnetismus geworfen werden.

8 Klassische Modelle Vereinigung von elektrischer und elektromagnetischer Wechselwirkung: Oersted (1820): magnetische Wirkung von elektrischem Strom in einem Draht Faraday (1831): Induktion Ampere(ab 1820, inspiriert von Oersted): Ampere sches Gesetz/Durchflutungsgesetz. Maxwell fasste diese Ergebnisse 1864 elegant in den Maxwell-Gleichungen zusammen.

11 Maxwell - Gleichungen Gauß sches Gesetz für Magnetfelder: div B = 0 physikalische Bedeutung: das B-Feld ist quellenfrei; keine magnetischen Monopole ( => künstliche magnetische Monopole (2013 [1-2]))

12 Maxwell - Gleichungen Gauß sches Gesetz für Magnetfelder: div B = 0 physikalische Bedeutung: das B-Feld ist quellenfrei; keine magnetischen Monopole ( => künstliche magnetische Monopole (2013 [1-2]))

13 Maxwell - Gleichungen Induktionsgesetz: rot E = δ B δt physikalische Bedeutung: eine zeitliche Änderung des B-Feldes ruft ein elektrisches Wirbelfeld hervor.

14 Maxwell - Gleichungen Induktionsgesetz: rot E = δ B δt physikalische Bedeutung: eine zeitliche Änderung des B-Feldes ruft ein elektrisches Wirbelfeld hervor.

15 Maxwell - Gleichungen Ampere sches Gesetzt: rot B = µ 0 j bzw. S B ds = µ0 I physikalische Bedeutung: die Stromdichte (multipliziert mit µ 0 ) ist die Wirbeldichte des B- Feldes δ Maxwells Beitrag: Verschiebungsstrom +ε E 0 δt Damit ist zwar der Elektromagnetismus auf bewegte Ladungen zurückgeführt, nicht jedoch der Magnetismus der Materie.

18 Ampere sche Kreisströme Ampère hatte gezeigt dass sich stromdurchflossene Spulen wie Stabmagnete verhalten, was ihn dazu veranlasste von einer gemeinsamen Ursache der beiden Phänomene auszugehen. Er stellte die Hypothese auf, dass jedes Molekül des Drahtes von Strömen umgeben sei, die durch die Einwirkung eines Spulenstroms nur ausgerichtet würden. Dies wandte er später allgemein auf Magneten an, in dem er die Eigenschaften von Magneten auf andauernde elektrische Kreisströme im Inneren der Körper zurückführte.

21 Ampere sche Kreisströme Experimentell erwies sich sein Modell als nicht haltbar, die grundsätzliche Überlegung wurde Später im Rahmen des sich durchsetzenden Atomismus wieder aufgegriffen. Der Titel der Arbeit in der Einstein und de Haas den im folgenden Vorgestellten Versuch veröffentlichten war Experimenteller Nachweis der Ampère schen Molekularströme

22 Ampere sche Kreisströme Experimentell erwies sich sein Modell als nicht haltbar, die grundsätzliche Überlegung wurde Später im Rahmen des sich durchsetzenden Atomismus wieder aufgegriffen. Der Titel der Arbeit in der Einstein und de Haas den im folgenden Vorgestellten Versuch veröffentlichten war Experimenteller Nachweis der Ampère schen Molekularströme

23 Einstein - de Haas Effekt Der Effekt wurde 1915 von Albert Einstein vorhergesagt und gemeinsam mit Wander Johannes de Haas experimentell gezeigt. Einstein und de Haas versuchten den Magnetismus der Materie auf eine Kreisbahnbewegung der Elektronen um den Atomkern (Bohrsches Modell) zurückzuführen, was die Idee der Ampere schen Kreisströme in neuer Form wieder aufgreift. Aufbau und Ablauf werden in Abbildung 2.1 schematisch gezeigt:

26 Einstein - de Haas Effekt Abb 2.1 [2-1]

27 Einstein - de Haas Effekt Das Experiment stellt ein Bindeglied zwischen klassischer und moderner Physik dar, da es auf klassischen Überlegungen basiert aber einen makroskopischen Beweis von Quantenphänomenen (Elektronenspin!) liefert. Die Beschreibung im klassischen Formalismus erweist sich auch im Rahmen der Quantenelektrodynamik als grundsätzlich zutreffend, in der ersten (klassischen) Interpretation passten jedoch Vorhersage und Ergebnis nicht zusammen:

28 Einstein - de Haas Effekt Das Experiment stellt ein Bindeglied zwischen klassischer und moderner Physik dar, da es auf klassischen Überlegungen basiert aber einen makroskopischen Beweis von Quantenphänomenen (Elektronenspin!) liefert. Die Beschreibung im klassischen Formalismus erweist sich auch im Rahmen der Quantenelektrodynamik als grundsätzlich zutreffend, in der ersten (klassischen) Interpretation passten jedoch Vorhersage und Ergebnis nicht zusammen:

29 Einstein - de Haas Effekt Die beiden zentralen Begriffe für das Verständnis des Versuchs (und der Interpretationsprobleme) sind das gyromagnetische Moment γ und der mit diesem auftretende Landé- Faktor g: (für eine Umfassendere Beschreibung sei aus Zeitgründen auf das Skripum [2-1] verwiesen) γ = q...ladung des Elektrons m e...masse des Elektrons gesamtes magnetisches Moment Gesamtdrehimpuls = µ J = g q 2m e

30 Einstein - de Haas Effekt Die beiden zentralen Begriffe für das Verständnis des Versuchs (und der Interpretationsprobleme) sind das gyromagnetische Moment γ und der mit diesem auftretende Landé- Faktor g: (für eine Umfassendere Beschreibung sei aus Zeitgründen auf das Skripum [2-1] verwiesen) γ = q...ladung des Elektrons m e...masse des Elektrons gesamtes magnetisches Moment Gesamtdrehimpuls = µ J = g q 2m e

31 Einstein - de Haas Effekt Von Einstein wurde für g ein Wert von 1 vorhergesagt, was einer Kreisbahnbewegung der Elektronen entsprechen würde, im Experiment ergab sich jedoch ein Wert g 2, wobei sich Einstein und de Haas anfangs durch einen Fehler noch bestätigt sahen. Für eine Eigendrehbewegung(Spin) ergibt sich g=2. Im Rahmen der Quantenmechanik kann das Ergebnis nun als Überlagerung von magnetischem Bahnmoment und magnetischem Spinmoment interpretiert werden, wobei letzteres klar( 95%) dominiert. Das Experiment ist ein makroskopischer Nachweis des Spins und führt den Magnetismus der Materie mit dem Elektromagnetismus zusammen.

34 Quantenmechanisches Modell des Magnetismus Elektronen Atome Dia-, Para- und Ferromagnetismus

37 Magnetisches Moment des Elektrons Die Schrödingergleichung eines Elektrons im Potential V eines Kerns ist ( h 2m e + V )Ψ = EΨ Die (diskreten) Lösungen dieser Gleichung werden (wie aus der Vorlesung bekannt) durch Quantenzahlen n,l,m l,s,m s,... beschrieben, mit deren Hilfe sich nun die Eigenwerte von Betrag und z-komponente des Drehimpulses und des Spins angeben lassen:

38 Magnetisches Moment des Elektrons Die Schrödingergleichung eines Elektrons im Potential V eines Kerns ist ( h 2m e + V )Ψ = EΨ Die (diskreten) Lösungen dieser Gleichung werden (wie aus der Vorlesung bekannt) durch Quantenzahlen n,l,m l,s,m s,... beschrieben, mit deren Hilfe sich nun die Eigenwerte von Betrag und z-komponente des Drehimpulses und des Spins angeben lassen:

39 Magnetisches Moment des Elektrons Drehimpuls: L = l(l + 1) h L z = m l h mit l {0,1,...,(n 1)}, m l { (l,...,l}

40 Magnetisches Moment des Elektrons Spin: S = s(s + 1) h mit s = 1 2 und m s = ± 1 2 S z = m s h

41 Magnetisches Moment des Elektrons Das magnetische Moment µ eines (nicht freien) Elektrons setzt sich aus dem Spin basierenden µ S und aus dem aus der Bewegung um den Atomkern resultierenden µ L zusammen. Dabei ist µ L = e 2m e L µ S = e h 2m e S e...elementarladung, m e...elektronenmasse, L...Drehimpuls, S...Spin

44 Magnetisches Moment des Elektrons Das in der Folge verwendete Bohr sche Magneton ist definiert als µ B = e h 2m e Die magnetischen Bahn- und Spinmomente werden damit zu µ L = µ B l(l + 1) µ S = 2µ B s(s + 1)

45 Magnetisches Moment des Elektrons Das in der Folge verwendete Bohr sche Magneton ist definiert als µ B = e h 2m e Die magnetischen Bahn- und Spinmomente werden damit zu µ L = µ B l(l + 1) µ S = 2µ B s(s + 1)

46 Magnetisches Moment des Elektrons Unter Einwirkung eines die z-richtung definierenden äusseren Feldes H ergibt sich dadurch µ LH = µ B m l µ SH = 2 µ B m s

47 Magnetisches Moment von Atomen In erster Näherung genügt es die Elektronen eines Atoms zu betrachten, da das Kernmagnetron (Analog zum Bohr schen für Elektronen, nur mit der Protonenmasse im Nenner) um einen Faktor 2000 kleiner ist als das Bohrsche der Elektronen. Der Gesamtdrehimpuls eines Atoms ergibt sich für leichte Atome über die Russel-Saunders Kopplung(alle Bahndrehimplse werden zu L t,alle Spins zu S t gekoppelt vor diese zum Gesamtdrehimpuls addiert werden): J = Lt + S t

48 Magnetisches Moment von Atomen In erster Näherung genügt es die Elektronen eines Atoms zu betrachten, da das Kernmagnetron (Analog zum Bohr schen für Elektronen, nur mit der Protonenmasse im Nenner) um einen Faktor 2000 kleiner ist als das Bohrsche der Elektronen. Der Gesamtdrehimpuls eines Atoms ergibt sich für leichte Atome über die Russel-Saunders Kopplung(alle Bahndrehimplse werden zu L t,alle Spins zu S t gekoppelt vor diese zum Gesamtdrehimpuls addiert werden): J = Lt + S t

49 Magnetisches Moment von Atomen Bei schweren Atomen erfolgt dies über die Spinbahnkopplung bei der erst die Spin und Bahn- Komponenten für jedes Elektron gekoppelt werden, vor die Gesamtdrehimpulse aller Elektronen gekoppelt werden. Die Schalenkonfiguration des Atoms bestimmt welche Zustände der Russel-Saunders Kopplung bevorzugt werden.

50 Magnetisches Moment von Atomen Bei schweren Atomen erfolgt dies über die Spinbahnkopplung bei der erst die Spin und Bahn- Komponenten für jedes Elektron gekoppelt werden, vor die Gesamtdrehimpulse aller Elektronen gekoppelt werden. Die Schalenkonfiguration des Atoms bestimmt welche Zustände der Russel-Saunders Kopplung bevorzugt werden.

51 Magnetisches Moment von Atomen Für Betrag und z Komponente des magnetischen Moments des Atoms ergibt sich dann und µ = gµ B J (J + 1) µ z = g µ B m j mit m j { J,...,J} und dem (vom Einstein de Haas Effekt bekannten) Lande Faktor g

52 Magnetisches Moment von Atomen Für Betrag und z Komponente des magnetischen Moments des Atoms ergibt sich dann und µ = gµ B J (J + 1) µ z = g µ B m j mit m j { J,...,J} und dem (vom Einstein de Haas Effekt bekannten) Lande Faktor g

53 Magnetisches Moment von Atomen Wobei g hier definiert ist als g = 1 + J(J + 1) + S(S + 1) L(L + 1) 2J(J + 1)

54 Dia-, Para- und Ferromagnetismus Wird an ein (makroskopisches) System ein äusseres Magnetfeld angelegt, so führt dies zu einer Ausrichtung der mit den enthaltenen Atomen und Elektronen verknüpften magnetischen Momente, da bestimmte Zustände energetisch bevorzugt und damit wahrscheinlicher sind. Daraus lässt sich die unterschiedliche magnetische Suszeptibilität verschiedener Stoffe, und die Einteilung in Dia- Para und Ferromagnetismus erklären:

55 Dia-, Para- und Ferromagnetismus Wird an ein (makroskopisches) System ein äusseres Magnetfeld angelegt, so führt dies zu einer Ausrichtung der mit den enthaltenen Atomen und Elektronen verknüpften magnetischen Momente, da bestimmte Zustände energetisch bevorzugt und damit wahrscheinlicher sind. Daraus lässt sich die unterschiedliche magnetische Suszeptibilität verschiedener Stoffe, und die Einteilung in Dia- Para und Ferromagnetismus erklären:

56 Dia-, Para- und Ferromagnetismus Wird ein System durch den Bahndrehimpuls L dominiert, so werden Zustände bevorzugt bei denen µ und H, also auch die Magnetisierung M und H gegenläufig orientiert sind, und das System ist diamagnetisch.

57 Dia-, Para- und Ferromagnetismus Bei Paramagnetischen Systemen dominiert in der Regel S oder J und eine paralelle Orientierung von µ (bzw. M) und H wird bevorzugt. M besitzt dabei einen Sättigungswert der bei sehr starken Feldern angenähert wird, und der Orientierung aller magnetischen Momente am Feld entspricht. Über eine Betrachtung der Besetzungswarscheinlichkeiten von Zuständen mittels der Boltzmann-Statistik ergibt sich für M die folgende Darstellung (u.a.) in Abhängigkeit vom angelegten Feld H:

58 Dia-, Para- und Ferromagnetismus M = M SAT B J ( µ 0gJµ B H k B T ) mit der Boltzmann-Konstante k B, dem Sättigungswert M SAT, der Temperatur T, der Magnetischen Feldkonstante µ 0 und der Brillouin-Funktion zum Zustand j B J Diese ist definiert als B J (x) = 2j + 1 2j coth( 2j + 1 x) 1 2j 2j coth( x 2j )

59 Dia-, Para- und Ferromagnetismus M = M SAT B J ( µ 0gJµ B H k B T ) mit der Boltzmann-Konstante k B, dem Sättigungswert M SAT, der Temperatur T, der Magnetischen Feldkonstante µ 0 und der Brillouin-Funktion zum Zustand j B J Diese ist definiert als B J (x) = 2j + 1 2j coth( 2j + 1 x) 1 2j 2j coth( x 2j )

60 Dia-, Para- und Ferromagnetismus Im Ferromagnetischen Fall kommt zu dieser Interaktion je einzelner Elektronen bzw. Atome mit dem äusseren Feld noch die Austauschwechselwirkung zwischen den einzelnen Elektronen bzw. Atomen, welche eine viel raschere Magnetisierung bewirkt. Der Operator der Austauschwechselwirkung zwischen den Teilchen a und b kann geschrieben werden als Hab = 2 I S a S b wobei I der Wert des Austauschintegrals ist.

61 Dia-, Para- und Ferromagnetismus Im Ferromagnetischen Fall kommt zu dieser Interaktion je einzelner Elektronen bzw. Atome mit dem äusseren Feld noch die Austauschwechselwirkung zwischen den einzelnen Elektronen bzw. Atomen, welche eine viel raschere Magnetisierung bewirkt. Der Operator der Austauschwechselwirkung zwischen den Teilchen a und b kann geschrieben werden als Hab = 2 I S a S b wobei I der Wert des Austauschintegrals ist.

62 Dia-, Para- und Ferromagnetismus Ist I positiv, so sind Zustände mit paralleler Orientierung der Spins bevorzugt und die Magnetisierung wird beschleunigt. Ist er negativ so spricht man von Antiferromagnetismus auf den hier nicht weiter eingegangen wird. Die Austauschwechselwirkung ist eigentlich ein elektrostatischer Effekt

65 Dia-, Para- und Ferromagnetismus Wird nun ein einzelnes Atom betrachtet, und über seine Nachbarmomente Summiert, so ergibt sich mit der Weissschen Molekularfeldnäherung die Wirkung dieser als zur umgebenden Magnetisierung proportionales Feld Hm = λ µ 0 M. mit einer temperaturunabhängigek Konstante λ

66 Dia-, Para- und Ferromagnetismus Für ferromagnetische Stoffe kann die Magnetisierung durch M = M µ 0 gjµ B ( SAT B H + H m ) J k B T beschrieben werden. Damit ist klar dass ferromagnetische Stoffe in Abwesenheit äusserer Felder eine Spontanmagnetisierung aufweisen. Dabei kommt es kleinräumig (ca 0,01 µm bis 1 µm), innerhalb der sogenannten Weiss schen Bezirke oder Domänen, zu einer paralellen Ausrichtung der magnetischen Momente.

67 Dia-, Para- und Ferromagnetismus Für ferromagnetische Stoffe kann die Magnetisierung durch M = M µ 0 gjµ B ( SAT B H + H m ) J k B T beschrieben werden. Damit ist klar dass ferromagnetische Stoffe in Abwesenheit äusserer Felder eine Spontanmagnetisierung aufweisen. Dabei kommt es kleinräumig (ca 0,01 µm bis 1 µm), innerhalb der sogenannten Weiss schen Bezirke oder Domänen, zu einer paralellen Ausrichtung der magnetischen Momente.

68 Dia-, Para- und Ferromagnetismus Aus obiger Formel (wie auch schon beim Paramagnetismus) ist auch eine Temperaturabhängigkeit der Magnetisierung ersichtlich, was unmittelbar einleuchtend ist da eine stärkere thermische Bewegung innerhalb des zu magnetisierenden Materials dem an einem äusseren Feld Ausrichten entgegenwirkt. Während beim Paramagnetismus eine steigende Temperatur der Magnetisierung einfach entgegenwirkt gibt es beim Ferromagnetismus die Curie-Temperatur T C. An dieser findet ein (umkehrbarer) Phasenübergang zwischen Ferro- und Paramagnetismus statt.

69 Dia-, Para- und Ferromagnetismus Aus obiger Formel (wie auch schon beim Paramagnetismus) ist auch eine Temperaturabhängigkeit der Magnetisierung ersichtlich, was unmittelbar einleuchtend ist da eine stärkere thermische Bewegung innerhalb des zu magnetisierenden Materials dem an einem äusseren Feld Ausrichten entgegenwirkt. Während beim Paramagnetismus eine steigende Temperatur der Magnetisierung einfach entgegenwirkt gibt es beim Ferromagnetismus die Curie-Temperatur T C. An dieser findet ein (umkehrbarer) Phasenübergang zwischen Ferro- und Paramagnetismus statt.

70 Dia-, Para- und Ferromagnetismus. Einige exemplarische Werte von T C : Eisen T C = 1041K Nickel Gadolinium [3-3] T C = 633K 292, 5K

71 Dia-, Para- und Ferromagnetismus In Abbildung 3.1 ist die Magnetisierung als Funktion eines äusseren Felds für dia-, para-, und ferromagnetische Stoffe schematisch dargestellt: [3-1]

72 Dia-, Para- und Ferromagnetismus In Abbildung 3.1 ist die Magnetisierung als Funktion eines äusseren Felds für dia-, para-, und ferromagnetische Stoffe schematisch dargestellt: [3-1]

73 Zusammenfassung Die Maxwellgleichungen vereinigten die elektromagnetische und die elektrische Wechselwirkung Im Rahmen der Quantenmechanik können Elektromagnetismus und Magnetismus der Materie auf bewegte Ladungen zurückgeführt werden Erst damit ist die Vereinigung von magnetischer und elektrischer Wechselwirkung abgeschlossen

74 Quellen Auf genaue Quellenangaben wurde weitgehend verzichtet da es sich um ein Referat handelt, und ausser Frage steht dass es sich nur um eine Zusammenfassung bestehender Arbeiten handelt. Die Kapitel basieren im wesentlichen auf den im Folgenden angegebenen Quellen: Kapitel 1 [1-1] Einführung in die Physik, Wagner, Reischl, Steiner 2010 [1-2] Kapitel 2 [2-1] : vom , Abb. 1.2 Kapitel 3 [3-1]: vom [3-2]: V_WS03-04/ExP-V(3)-Kap5_4-Magnetismus-Magnetische%20Ordnung.pdf