Kaluza Klein Theorie. Forschungsseminar Quantenfeldtheorie Montag, Jens Langelage
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- Sarah Schmitt
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1 Kaluza Klein Theorie Forschungsseminar Quantenfeldtheorie Montag, Jens Langelage
2 Inhalt 1.) Gravitation und Elektromagnetismus in höheren Dimensionen 2.) Kaluza Klein Miracle
3 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Elektromagnetismus in vier Raumzeit Dimensionen Maxwell Gleichungen: E= 1 B c t B=0 E= B= 1 c j 1 E c t
4 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Elektromagnetismus in vier Raumzeit Dimensionen Maxwell Gleichungen: Lorentz Kraft: E = 1 B c t B=0 E = B= 1 c j 1 E c t F=q E v c B
5 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Elektromagnetismus in drei Raumzeit Dimensionen
6 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Elektromagnetismus in drei Raumzeit Dimensionen E Z =B X =B Y =0
7 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Elektromagnetismus in drei Raumzeit Dimensionen E Z =B X =B Y =0 = 0 F E X E Y E X 0 B Z E Y B Z 0
8 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Elektromagnetismus in drei Raumzeit Dimensionen E Z =B X =B Y =0 = 0 F E X E Y E X 0 B Z E Y B Z 0 Elektromagnetismus in beliebigen Raumzeit Dimensionen
9 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Elektromagnetismus in drei Raumzeit Dimensionen E Z =B X =B Y =0 = 0 F Elektromagnetismus in beliebigen Raumzeit Dimensionen F F F =0 F = 1 c j E X E Y E X 0 B Z E Y B Z 0
10 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Gaußsches Gesetz: E =
11 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Gaußsches Gesetz: E= E r = q Vol S d 1 r d 1 = d 2 q d 2 2 r d 1
12 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Gaußsches Gesetz: E= E r = q Vol S d 1 r d 1 = d 2 q d 2 2 r d 1 Poisson Gleichung: E= 2 =
13 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Allg. Relativitätstheorie Wirkung: S= 1 16 G d 4 x g x R x
14 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Allg. Relativitätstheorie Wirkung: S= 1 16 G d 4 x g x R x Einsteinsche Feldgleichungen: R x 1 2 g x R x = 8 G T x
15 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Gravitation und Planck Länge(n) Planck Einheiten: G=1 l P S= 1 16 G d 5 z g R 3 m P t P 2 c=1 l P t P ħ=1 m 2 P l P t P
16 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Gravitation und Planck Länge(n) Planck Einheiten: G=1 l P S= 1 16 G d 5 z g R 3 m P t P 2 c=1 l P t P ħ=1 m 2 P l P t P l P =1, cm t P =5, s m P =2, g
17 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Gravitation und Planck Länge(n) Planck Einheiten: 3 G=1 l P S= 1 16 G d 5 z g R 2 m P t P c=1 l P t P ħ=1 m 2 P l P t P l P =1, cm t P =5, s m P =2, g Poisson Gleichung: 2 V g 4 =4 G 4 m 2 V g D =4 G D m
18 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Planck Länge in beliebigen Dimensionen [G D ] M L D 1=[G 4 ] M L 3 [G D ]=L D 4 [G 4 ]
19 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Planck Länge in beliebigen Dimensionen [G D ] M L D 1=[G 4 ] M L 3 [G D ]=L D 4 [G 4 ] G 4 = c3 4 2 l P ħ G D = c3 l P D D 2 ħ
20 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Planck Länge in beliebigen Dimensionen [G D ] M L D 1=[G 4 ] M L 3 [G D ]=L D 4 [G 4 ] G 4 = c3 4 2 l P ħ G D = c3 D D 2 l P ħ = l D l P P 2 G D 4 G 1 D 2
21 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Kompaktifizierung einer zusätzlichen Raum Dimension G 5 G 4
22 1.) Elektromagnetismus und Gravitation in höheren Dimensionen Kompaktifizierung einer zusätzlichen Raum Dimension G 5 G 4 Betrachte Punktmasse in 5 Dimensionen M=2 R m
23 1.) Elektromagnetismus und Gravitation in höheren Dimensionen Kompaktifizierung einer zusätzlichen Raum Dimension G 5 G 4 Betrachte Punktmasse in 5 Dimensionen M=2 R m 5 =m x 1 x 2 x 3 4 =M x 1 x 2 x 3
24 1.) Elektromagnetismus und Gravitation in höheren Dimensionen Kompaktifizierung einer zusätzlichen Raum Dimension G 5 G 4 Betrachte Punktmasse in 5 Dimensionen M=2 R m 5 =m x 1 x 2 x 3 4 =M x 1 x 2 x 3 5 = 1 2 r 4
25 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Da in 5. Dimension homogene Massenverteilung 2 V g 5 x 1, x 2, x 3 = 2 V g 4 x 1, x 2, x 3
26 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Da in 5. Dimension homogene Massenverteilung 2 V g 5 x 1, x 2, x 3 = 2 V g 4 x 1, x 2, x 3 Aus Poisson Gleichung: 4 G 5 5 =4 G 4 4
27 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen G 5 G 4 =2 R l C G D G 4 =l C D 4
28 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen G 5 G 4 =2 R l C G D G 4 =l C D 4 Verhältnis der Gravitationskonstanten wird durch die Größe der Extra Dimensionen bestimmt!
29 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Große Extra Dimensionen G D G 4 =l C D 4 = l D l P P 2 G D 4 G 1 D 2
30 1.) Elektromagnetismus und Gravi tation in höheren Dimensionen Große Extra Dimensionen G D G 4 =l C D 4 = l D l P P 2 G D 4 G 1 D 2 l C =l D l D P P l P 2 D 4
31 2.) Kaluza Klein Miracle Wirkung reiner Gravitation in 5 Dimensionen S = 1 16 G d 5 z g R
32 2.) Kaluza Klein Miracle Wirkung reiner Gravitation in 5 Dimensionen Feldgleichungen: S = 1 16 G d 5 z g R R MN =0
33 2.) Kaluza Klein Miracle Wirkung reiner Gravitation in 5 Dimensionen Feldgleichungen: S = 1 16 G d 5 z g R R MN =0 Lösung: M 5 =M 4 S 1
34 2.) Kaluza Klein Miracle Wirkung reiner Gravitation in 5 Dimensionen Feldgleichungen: S = 1 16 G d 5 z g R R MN =0 Lösung: M 5 =M 4 S 1 S = 1 16 d 4 x 2 r 0 dy g R
35 2.) Kaluza Klein Miracle Betrachte 5 dimensionale Vielbeine = E A e a e 5 a 5 e 5 e 5
36 2.) Kaluza Klein Miracle Betrachte 5 dimensionale Vielbeine = E A e a e 5 a 5 e 5 e 5 Invarianz unter allg. Koordinaten Transformationen z'=z' z E ' A = z z' E A
37 2.) Kaluza Klein Miracle Betrachte 5 dimensionale Vielbeine = E A e a e 5 a 5 e 5 e 5 Invarianz unter allg. Koordinaten Transformationen lokalen Lorentz Transformationen z'=z' z E ' A = z z' E A E ' A = A B E B
38 2.) Kaluza Klein Miracle Ausnutzen der Invarianz: Vektor e 5 A wird in 5 Richtung (e 5 a = 0) gedreht
39 2.) Kaluza Klein Miracle Ausnutzen der Invarianz: Vektor e 5 A wird in 5 Richtung (e 5 a = 0) gedreht E A = e a e 5 0 e 5 5 = 1 / 2 e a A 0
40 2.) Kaluza Klein Miracle Metrik: g =E A E B AB
41 2.) Kaluza Klein Miracle Metrik: g =E A E B AB = 1 g 2 2 A A 2 A 2 A 2
42 2.) Kaluza Klein Miracle Krümmungstensor: R AB = AB AB AC C B AC C B
43 2.) Kaluza Klein Miracle Krümmungstensor: R AB = AB AB AC C B AC C B S = 1 16 d 5 z E E A E B AB AC B C
44 2.) Kaluza Klein Miracle Krümmungstensor: R AB = AB AB AC C B AC C B S = 1 16 d 5 z E E A E B AB AC B C Partielle Integration liefert S = 1 16 d 5 A z E BC BC A A AB C C B A BC E A BC
45 2.) Kaluza Klein Miracle Zusammenhang lässt sich schreiben als ABC = E [ A E B] E C E [ B E C ] E A E [ C E A ] E B
46 2.) Kaluza Klein Miracle Zusammenhang lässt sich schreiben als ABC = E [ A E B] E C E [ B E C ] E A E [C E A] E B Fourier Zerlegung der Felder: e a a x, y = e n x exp iny r A x, y = A n x exp iny r x,y = n x exp iny r
47 2.) Kaluza Klein Miracle Die n te Fourierkomponente beschreibt Teilchen der Masse: m n = n r
48 2.) Kaluza Klein Miracle Die n te Fourierkomponente beschreibt Teilchen der Masse: Vernachlässigung aller massiven Moden: S = d 4 x g 0 [ 1 4 R g F 0 F ] 0 g 0 =e m n = n r a 0 e a 0
49 2.) Kaluza Klein Miracle Symmetrie in 5 Dimensionen: SO(1,4) Lorentz Invarianz Symmetrie in 4 Dimensionen: SO(1,3) Lorentz Invarianz gebrochen durch die M 4 S 1 Topologie des Grundzustands
50 2.) Kaluza Klein Miracle Betrachte Transformationen: x ' =x y'= y f x
51 2.) Kaluza Klein Miracle Betrachte Transformationen: x' =x y'=y f x Man findet: e' a x, y' =e a x, y A ' x, y' = A x, y 1 f x ' x, y' = x, y
52 2.) Kaluza Klein Miracle Zusammenfassung:
53 2.) Kaluza Klein Miracle Zusammenfassung: formale Vereinigung von Gravitation und Elektromagnetismus
54 2.) Kaluza Klein Miracle Zusammenfassung: formale Vereinigung von Gravitation und Elektromagnetismus dimensionale Reduktion: Aufwickeln einer zusätzlichen Raum Dimension zu einem Kreis
55 2.) Kaluza Klein Miracle Zusammenfassung: formale Vereinigung von Gravitation und Elektromagnetismus dimensionale Reduktion: Aufwickeln einer zusätzlichen Raum Dimension zu einem Kreis Probleme: Kosmologische Konstante Einbettung chiraler Fermionen
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