Kapitel 5.1: Kollektiventscheidungen 1

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Frida Blau
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1 1 Diese Folien dienen der Ergänzung des Vorlesungsstoffes im Rahmen der Vor- und Nachbereitung. Sie stellen kein Skript dar; es wird keine Gewähr für Richtigkeit und/oder Vollständigkeit übernommen. Kapitel 5.1: Kollektiventscheidungen 1 Dr. Jörg Franke Technische Universität Dortmund Sommersemester 2011

2 Was sind Kollektiventscheidungen? Mehrere Alternativen/Allokationen stehen zur Auswahl Individuen haben (unterschiedliche) Präferenzen über Alternativen Gemeinsam (im Kollektiv) wird anhand bestimmter Regeln eine Alternative/Allokation ausgewählt Beispiele: Diskussion mit Einstimmigkeitsregel, Mehrheitswahl, etc. 1 / 20

3 Auswahl der Allokation: Marktgleichgewicht erzeugt durch Unsichtbare Hand Kollektiv: Marktgleichgewicht ist Ergebnis von dezentralen & freiwilligen Transaktionen der Marktteilnehmer Allokationsregel hat (u. U.) erwünschte Eigenschaft: Pareto-Effizienz Interpretation des Marktprozesses: Markt als Black Box aggregiert individuelle Präferenzen über Allokationen Marktgleichgewicht: Kollektiv erzielte Allokation 2 / 20

4 Markt und Präferenzaggregation Konsumenten (Präferenzen): u 1, u 2,..., u n Markt als Aggregationsmechanismus Marktgleichgewicht: Allokation x Weitere Parameter: Erstausstattung (Ressourcen), Technologie 3 / 20

5 Theorie der Kollektiventscheidung (Social Choice Theory) Aggregation der individuellen Präferenzen zu einer sozialen Präferenz bzw. kollektiven Nutzenfunktion bzw. Existenz soziale Präferenz, bzw. Eigenschaften der Typische Einflussfaktoren auf soziale Präferenz: Experten, Diktatoren/Charismatische Führer Öffentliche Meinung Kulturelle, religiöse, sonstige Kriterien (Werte) 4 / 20

6 Für demokratische Gesellschaften gilt: Kollektive Entscheidung (direkt oder indirekt) durch Wahlverfahren bzw. Abstimmungen getroffen Konsequenz: Wahlverfahren als Aggregationsmechanismus individueller Präferenzen Fragen der Social Choice Theory: 1. Welche wünschenswerte Eigenschaften sollten en und Aggregationsmechanismen aufweisen? 2. Erfüllen (bestimmte) Wahlverfahren diese Eigenschaften? 3. Lassen sich durch Abstimmungsverfahren en rekonstruieren? 5 / 20

7 1. en Beschränkung auf ökonomisches Allokationsproblem Perspektive der Gesellschaft: Wahlproblem über alle erreichbare Allokationen x X : N = 1,..., n Mitglieder einer Gesellschaft L = 1,..., l private Güter Allokation: x = {x 1,..., x n } = {(x 11,..., x 1l ),..., (x n1,..., x nl )} W X R evaluiert soziale Gewünschtheit der Alternative x Interpretation: Allokation x ist sozial besser als x falls gilt: W (x) > W (x ). 6 / 20

8 Wünschenswerte Eigenschaften für W : W sollte individualistisch sein: W = W (u 1,..., u n ) = W (u 1 (x 1 ),..., u n (x n )) = W u (x) W sollte Pareto-Optimalität erfüllen Formal: Für zwei Alternativen x und x sollte gelten: Falls u i (x i ) u i (x i ) für alle i = 1... n dann W u (x) W u (x ) W erfüllt Pareto-Optimalität, wenn gilt: W u i > 0 Steigt Nutzen eines Individuums (ceteris paribus) dann sollte sich Wohlfahrt der Gesellschaft nicht verringern Bemerkung. Kollektiventscheidung hier interpretierbar als Auswahl der Alternative die maximiert! 7 / 20

9 Satz Eine Allokation x, die eine individualistische W u (x) maximiert, ist pareto-effizient. Konsumenten (Präferenzen): u 1, u 2,..., u n : max x W u (x) Allokation x 8 / 20

10 Beweisskizze (für Tauschökonomie ohne Produktion) max x W (u 1 (x 1 ),..., u n (x n )) NB: n i=1 x ij = n i=1 x ij für alle j L B.1.O.: u i x ij u i = x ik u i x i j u i x i k für alle i, i N; j, k L B.1.O. entspricht Marginalbedingung für Pareto-Optimum: GRS i jk = GRS i jk für alle i, i N; j, k L 9 / 20

11 Spezifische en Gesellschaftliche (normative) Wertvorstellungen interpretierbar als spezifischere en Beispiele: utilitaristische Wohlfahrtsfkt.: W U u (x) = n i=1 u i(x i ) egalitaristische Wohlfahrtsfkt.: W E u (x) = min i N u i (x i ) u j (x j ) egalitäre Allokation Pareto-effiziente Allokationen (PA) x E Isonutzensummenlinie x U u i (x i ) 10 / 20

12 2. Abstimmungsverfahren: Das Gesellschaft definiert wie zuvor: N = {1,..., n} Individuen Präferenzen über Güterallokationen repräsentiert durch Nutzenfunktion u i (x i ) für alle i = 1... n Abstimmung erfolgt (paarweise) über erreichbare Allokationen (Alternativen) x X Das : Alternative x gesellschaftlich bevorzugt gegenüber x, falls Mehrheit für x anstatt x votiert induziert kollektive Präferenz über alternative Allokationen 11 / 20

13 Definition: Gemäß M ist Alternative/Allokation x gegenüber x gesellschaftlich (sozial) präferiert, falls gilt: x M x # {i u i (x i ) > u i (x i )} # {i u i (x i ) > u i (x i )} x M x # {i u i (x i ) > u i (x i )} > # {i u i (x i ) > u i (x i )} Eigenschaften der Relation M : 1. Relation M erfüllt Pareto-Optimalität: Falls u i (x i ) u i (x i ) für alle i N, so gilt: x M x, da # {i u i (x i ) > u i (x i )} [0, n] # {i u i(x i ) > u i(x i )} = 0 12 / 20

14 Fortsetzung: Eigenschaften der Relation M : 2. Relation M ist vollständig: Für zwei beliebige Alternative gilt entweder x M x oder x M x 3. Relation M ist intransitiv (nicht transitiv): Aus x M x und x M x folgt nicht (unbedingt) x M x Bemerkungen: Eigenschaft (3) problematisch Möglichkeit eines intransitiven Zykels: x M x M x M x Intransitiver Zykel (Condorcet-Paradox) sogar möglich, falls Präferenzen aller Individuen transitiv! 13 / 20

15 Beispiel 1: Intransitiver Zykel mit transitiven individuellen Präferenzen Demokratische Familie Vater V, Mutter M, Kind K haben Präferenzen über Alternativen Spielplatz S, Basteln B und Mittagsschlaf MS: Vater V : Mutter M: Kind K: MS V S V B B M MS M S S K B K MS Familienentscheidung durch paarweise Abstimmungen: MS vs. S 2:1 MS F S S vs. B 2:1 S F B B vs. MS 2:1 B F MS Resultat: Intransitiver Zykel MS F S F B F MS 14 / 20

16 Beispiel 2: Condorcet-Paradox hat politische Relevanz Reform des Abtreibungsrechts 218 (1974) Zur Abstimmung standen 3 Alternativen: A = status quo (keine Änderung des restriktiven 218) B = Indikationslösung (Abtreibung bei Vorliegen bestimmter Gründe) C = Fristenlösung (generelle Erlaubnis innerhalb zeitlicher Fristen) Verteilung der Präferenzen: 3 ungefähr gleich starke Gruppen: 1. Gruppe ( Konservative ): u 1 (A) > u 1 (B) > u 1 (C) 2. Gruppe ( Gemäßigte ): u 2 (B) > u 2 (C) > u 2 (A) 3. Gruppe ( Progressive ): u 3 (C) > u 3 (A) > u 1 (B) 15 / 20

17 Abstimmungsmodalitäten 1. Einfache Mehrheitswahl: Keine Alternative bekommt absolute Mehrheit, da Gruppen gleich stark 2. Paarweise Abstimmungen: 3 mögliche Reihenfolgen A vs. B: 2:1 A gewinnt; A vs. C 1:2 C gewinnt C ist Gewinner B vs. C: 2:1 B gewinnt; B vs. A 1:2 A gewinnt A ist Gewinner A vs. C: 1:2 C gewinnt; C vs. B 1:2 B gewinnt B ist Gewinner Fazit: Vorliegen eines Intransitiven Zykels! 16 / 20

18 Konsequenzen: Alternative über die nicht in erster Abstimmung abgestimmt wird, gewinnt Gewinner bestimmt durch Reihenfolge der Abstimmungen Geschäftsordnungsproblem: Macht über Geschäftsordnung impliziert (indirekt) Macht über Abstimmungsgewinner! Wahrscheinlichkeit eines intransitiven Zykels abhängig von bestimmten Präferenzkonstellationen Frage: Was passiert bei ökonomischen Allokationsproblemen? 17 / 20

19 Beispiel 3: Ökonomisches Allokationsproblem Aufteilung von 100 EU auf 3 Personen durch Abstimmung Alle Alternativen (x 1, x 2, x 3 ) mit x 1 + x 2 + x 3 = 100 sind zugelassen (Pareto-Prinzip erfüllt!) 1 schlägt Koalition aus 1 und 2 vor: x 12 = (51, 49, 0) 3 schlägt Koalition aus 2 und 3 vor: x 23 = (0, 51, 49) 1 schlägt Koalition aus 1 und 3 vor: x 13 = (49, 0, 51) 2 schlägt Koalition aus 1 und 2 vor: x 12 = (51, 49, 0) Verteilungsproblem hat Struktur des Condorcet-Paradox: Präferenz von Person 1: x 12 1 x 13 1 x 23 Präferenz von Person 2: x 23 2 x 12 2 x 13 Präferenz von Person 3: x 13 3 x 23 3 x / 20

20 Hinweis: Keine Allokation ist gegen diese Art von Koalitionsbildung immun Folge: Keine Alternative gewinnt alle paarweisen Abstimmungen gegen alle anderen Allokationen Tritt jede mögliche Präferenzordnungen mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, ist Wahrscheinlichkeit eines Condorcet-Zykels relativ gering. Für Verteilungs- und Allokationsprobleme ist Wahrscheinlichkeit eines Condorcet-Zykels (wie gesehen) relativ hoch! 19 / 20

21 und Vorliegen von Condorcet-Zykel Nicht-Existenz der W F, repräsentiert durch Beispiel 1: Demokratische Familie MS vs. S 2:1 W F u (MS) > W F u (S) S vs. B 2:1 W F u (S) > W F u (B) B vs. MS 2:1 W F u (B) > W F u (MS) Resultat: Keine Funktion W F u erfüllt diese 3 Ungleichungen! Frage: Existiert Aggregationsregel, die transitive soziale Präferenzordnung aus individuellen Präferenzen erzeugt? 20 / 20

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