2010 Burkhard Stiller M5 2

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1 Hertemeter 2, Intitut fr Informtik IFI, UZH, Schweiz Modul 5: Rechnerrithmetik (2) Informtik I Modul 5: Rechnerrithmetik (2) Grundrechenrten - Einheit 2 Burkhrd Stiller M5 2 Burkhrd Stiller M5 2 Addition und Sutrktion Vom Hlddierer zum Vollddierer en zur Addition von Fetkomm-Dulzhlen: Grundlge fr die Durchfhrung ller rithmetichen Verknpfungen Bei der Addition zweier Dulzhlen ( und ): Summe () und Üertrg () enttehen l Ergeni. Denn: Sutrktion Addition der negtiven Zhl - = + (-) Multipliktion und Diviion len ich eenfll uf die Addition zurckfhren. Bei Gleitkommzhlen: Mntie und Exponent werden eprt verreitet. Hierei ildet die Addition von Fetkomm-Dulzhlen die Grundlge. Funktiontelle: Grundtypen von Addierern ind wichtig Mn nennt die einen Hlddierer 2 Burkhrd Stiller M5 3 2 Burkhrd Stiller M5 4 Gleichungen: Hlddierer = = = D Schltild und d Schltymol: = Schltild und Schltymol eine -Bit-Hlddierer Σ CO Mehrtellige Dulzhlen Zuätzlicher Eingng fr den Üertrg der vorhergehenden Stellen it nötig. i i i i+ Die nennt mn einen Vollddierer 2 Burkhrd Stiller M5 5 2 Burkhrd Stiller M5 6

2 Gleichungen, Schltnetz und Schltymol Crry-lookhed-Addierer () i i = Hlddierer i Augnggleichungen: = 2 Burkhrd Stiller M5 7 Hlddierer 2 = i i i i+ = i i i i i i = ( i i ) i i i i+ Σ i i CO i CI i+ Vollddierer Alle Üerträge direkt u den Eingngvrilen etimmen (crry-lookhed). Vermeidet Nchteil der großen Additionzeit de Crry-ripple-Addierer E gilt: i+ = i i ( i i ) i = g i p i i = ( i i ) i = p i i mit g i = i i (generte crry, erzeuge Üertrg) und p i = ( i i ) (propgte crry, leite Üertrg weiter) g i und p i können direkt u den Eingngvrilen erzeugt werden. 2 Burkhrd Stiller M5 8 Crry-lookhed-Addierer (2) Schltild: 3-Bit-Crry-lookhed-Addierer Prolem: Größe de Hrdwre-Aufwnd teigt mit teigender Stellenzhl trk n. Löungen: kleinere Crry-lookhed-Addierer mit prlleler Üertrgerzeugung, die eriell kkdiert werden Blockerträge der kleineren Blöcke prllel verreiten Hierrchie von Crry-lookhed-Addierern. = g p = g p = = = g p 2 2 = prllele Üertrglogik 3 2 Burkhrd Stiller M5 9 2 Burkhrd Stiller M5 Üerluferkennung Multipliktion und Diviion Allgemeine Üerluferkennung ei duler Addition: Korrekte Addition: eide Üerträge ind gleich. Üerluf: eide Üerträge ind ungleich. Reliierung z.b. durch ein Antivlenzgtter Zweierkomplementzhlen erwieen ich fr Addition und Sutrktion l eonder gntig, weil ei dieer Drtellung d Vorzeichen nicht explizit etrchtet werden mußte. Bei der Multipliktion exitiert dieer Vorteil nicht. Löungen: Zweierkomplementzhlen zunächt in eine Form mit Betrg und Vorzeichen umwndeln. Zhlen dnn miteinnder zu multiplizieren und d Ergeni chließlich wieder in die Zweierkomplementdrtellung umzuetzen. Spezielle Multipliktionlgorithmen fr Zweierkomplementzhlen verwenden (Booth-Algorithmu, hier nicht tiefergehend ehndelt). 2 Burkhrd Stiller M5 2 Burkhrd Stiller M5 2

3 Multipliktion Zur Multipliktion von Gleitkommzhlen muß mn Mntien eider Zhlen multiplizieren und ihre Exponenten ddieren: m e m 2 e2 = (m m 2 ) e + e2 It die Mntie mit Hilfe von Betrg und Vorzeichen drgetellt, it der liche Multipliktionlgorithmu nwendr. D Ergeni muß nch der Multipliktion unter Umtänden noch normliiert werden. Bei Addition der Chrkteritiken c = e + o und c 2 = e 2 + o muß die Summe ußerdem um den Offet o korrigiert werden, um die richtige Ergenichrkteritik c = (e + e 2 ) + o zu erhlten. Prllele und erielle Multipliktion Ppier und Bleitift Methode: Anlog zur Multipliktion mit Ppier und Bleitift im Dezimlytem knn mn uch im Dulytem vorgehen. Beipiele: Burkhrd Stiller M5 3 2 Burkhrd Stiller M5 4 Vorzeichen-Betrg-Zhlen Vorzeichenehftete Multipliktion Bei Zhlen, die mit Betrg und Vorzeichen drgetellt ind, ergeen ich keine Proleme. Vorzeichenehftete Zhlen können grundätzlich in die Drtellung mit Vorzeichen und Betrg gercht werden. Die Beträge der Zhlen werden wie poitive Zhlen miteinnder multipliziert. D Vorzeichen de Ergenie ergit ich u der Antivlenzverknpfung der Vorzeichen der eiden Fktoren. D Vorzeichen de Produkt wird dnn nch der Regel ign ( ) = ign () OR ign () u den eiden Fktorenvorzeichen durch die Exkluiv-ODER-Verknpfung gewonnen. 2 Burkhrd Stiller M5 5 2 Burkhrd Stiller M5 6 Anmerkungen Bei vielen Anwendungen jedoch wecheln Addition und Multipliktion einnder tändig. Umwndlung zwichen verchiedenen Zhlendrtellungen knn viel Zeit in Anpruch nehmen. E wäre gntiger, wenn durchgängig (lo uch ei der Multipliktion) im Zweierkomplement gerechnet wird, um die Vorteile ei der Addition nutzen zu können (z.b. Booth- Algorithmu). Diviion Die Diviion von Dulzhlen folgt denelen Prinzipien wie die Multipliktion. Auch hier tellt die Ppier-und-Bleitift-Methode die Bi fr verchiedene Algorithmen dr. Beipiel: 224 : 2 = Burkhrd Stiller M5 7 2 Burkhrd Stiller M5 8

4 Mnuelle Diviion Mchinelle Diviion Im Dulytem ind l Ergeni einer Teildivion nur die Werte Divior > ugenlicklicher Dividend Divior ugenlicklicher Dividend möglich. Drei Möglichkeiten:. Komprtorchltung, um den Divior mit ugenlicklichem Dividenden zu vergleichen. 2. Sutrktion: Ergit ich ein negtive Ergeni, lädt mn nochml den lten Wert de Dividenden. 3. Sutrktion: Bei einem negtiven Ergeni, ddiert mn den Divior wieder (Rckddition). Bei mnueller Diviion erkennt mn ofort, o d Ergeni it und eine weitere Stelle gerucht wird. Verkrzte Diviion: Rckddition und Sutrktion de um ein nch recht verchoenen Divior zummenziehen. Mn ddiert gleich den um ein verchoenen Divior: + Divior - ½ Divior = + ½ Divior 2 Burkhrd Stiller M5 9 2 Burkhrd Stiller M5 2 Diviion Bemerkungen Durchfhrung der Sutrktion: Direkte Sutrktion de Divior Addition de Divior-Zweierkomplement. Bei Diviion durch muß ein Aunhmezutnd erknnt werden und n die Steuereinheit (Prozeor) weitergemeldet werden. Direkte Sutrktion: : = - - negtiv neulden - - d poitiv d negtiv d poitiv d nicht negtiv Die Diviion muß gerochen werden, wenn die vorhndene Bitzhl de Ergeniregiter ugechöpft it (periodiche Dulrche). Die en fr die Multipliktion können nch Modifiktion uch fr den Grundlgorithmu der Diviion eingeetzt werden: Linkchieen de Dividenden (ttt Rechtchieen de Multipliknten) Sutrktion de Divior (ttt Addition de Multipliktor) 2 Burkhrd Stiller M5 2 2 Burkhrd Stiller M5 22 Beipiel MIPS R Floting-point Unit Modul 5: Rechnerrithmetik (2) Grundrechenrten - Einheit 2 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M5 24

5 - Einheit - Einheit (ALU, rithmetic logic unit): Rechenwerk, der funktionle Kern eine Digitlrechner zur Durchfhrung r und rithmeticher Verknpfungen. Eingngdten der ALU: Dten und Steuerignlen vom Prozeor Augngdten der ALU: Ergenie und Sttuignle n den Prozeor. Oft können die in einen Prozeor integrierten ALU nur Fetkommzhlen verreiten. Gleitkommopertionen werden dnn entweder von einer Gleitkommeinheit ugefhrt oder per Softwre in Folge von Fetkommefehlen umgewndelt. 2 Burkhrd Stiller M5 25 zero ign overflow c out Regiter Schem einer einfchen ALU Multiplexerchltnetz Regiter ALU ALU2 rithmetich- Schltnetz Schieechltnetz Regiter Z Burkhrd Stiller M5 26 c in ALU 5 Z 2 2 ALU2 Z peichern ALU + ALU2 +c in ALU ALU2 - c in ALU2 ALU - c in ALU ALU2 ALU ALU2 ALU ALU2 ALU ALU2 ALU ALU2 Betndteile der ALU Bitcheien- (itlice-) ALU Regitertz Multiplexerchltnetz Schltnetz zur Durchfhrung rithmetich r Opertionen Schieechltnetz Bitcheien-ALU: Erweiterre Strukturen uf einem Butein ei einer kurzen Wortlänge (m = 4 oder 8) m-it-alu. Bitcheie: Verkettung von k der gleichen Buteine (d.h. m-it-alu). Erlut die Verreitung von Opernden der Wortlänge k*m. Eingänge: Dtenworte und, Steuerignle 7 zur Fetlegung der ALU-Opertion Augänge: Sttuignle zero, ign und overflow Hiermit knn d Steuerwerk etimmte ALU-Zutände erkennen und druf entprechend zu regieren. Alle Buteine erhlten die gleichen Steuerignle. Sie fhren prllel die gleiche Opertion uf verchiedenen Teilen de Opernden u. Ein Üertrg wird durch den Nchrn erckichtigt. Eine gemeinme Steuerung erfolgt z.b. durch Mikroprogrmmluf und Mikroprogrmmteuereinheit. 2 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M5 28 Beipiel: AMD 29-Butein AMD 29-Butein c out Vier Bitcheien der Länge 4 Bit R(:3) Dten-Eingng R(4:7) Dten-Augng R(8:) Externe Steuerignle R(2:5) c in Betndteile de Butein: Regitertz: 6 Regiter zu je 4 Bit (6x4-it RAM) - C, welche drei rithmetiche und fnf Funktionen ufhren knn. Befehlu I zur Auwhl einer Opertion Schieeeinheit: Verchieung nch recht/link Eingänge der rithmetich n : u dem Regiterpeicher, u dem Regiter Q u dem externen Dteneingng D oder Null Speicherdreen A und B wählen die Regiter fr Quelle oder Ziel Augänge (Ergenie): intern im Regitertz oder m Dtenugng Steuerleitungen I, A und B ind prllel n lle Bitcheien gechltet. Jede Bitcheie verreitet den Üertrg c in und git eventuell einen Üertrg c out weiter, o d ein Gruppenertrg mit erieller Weiterge möglich it. Merker F, OVR und Z zeigen den Sttu einer Opertion n (Vorzeichen, Bereicherchreitung und Null). 2 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M5 3