Kombinatorische Optimierung

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1 Kombinatorische Optimierung

2 Bernhard Korte Jens Vygen Kombinatorische Optimierung Theorie und Algorithmen Aus dem Englischen von R. von Randow 123

3 Prof. Dr. Bernhard Korte Prof. Dr. Jens Vygen Forschungsinstitut für Diskrete Mathematik Universität Bonn Lennéstraße Bonn Übersetzer: Dr. Rabe von Randow Forschungsinstitut für Diskrete Mathematik Universität Bonn Lennéstraße Bonn ISBN e-isbn DOI / Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Mathematics Subject Classification (2000): 90C27, 68R10, 05C85, 68Q Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Datenerstellung durch den Übersetzer unter Verwendung eines Springer TEX-Makropakets Herstellung: le-tex publishing services ohg, Leipzig Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier springer.de

4 Vorwort zur deutschen Ausgabe Wir freuen uns, dass unser Buch nun auch in unserer Muttersprache erscheint. Dies ist eine Übersetzung der vierten Auflage der englischen Originalausgabe, in die einige seit dem Erscheinen der 4. Auflage vorgenommenen Ergänzungen, Verbesserungen und Aktualisierungen bereits eingearbeitet sind. Wir danken Rabe von Randow für die ausgezeichnete Übersetzung und hoffen, dass sie zu einer noch stärkeren Verbreitung unseres Buches an Universitäten des deutschsprachigen Raumes beiträgt. Bonn, im Mai 2008 Bernhard Korte und Jens Vygen

5 Vorwort zur vierten englischen Auflage Die vorliegende vierte englische Auflage und Übersetzungen in vier weitere Sprachen zeigen das große Interesse an unserem Buch, über das wir uns natürlich freuen. Wiederum sind Verbesserungen, Aktualisierungen und wesentliche Ergänzungen in diese Auflage eingeflossen. Wir haben einige klassische Themen eingefügt, die der Leser bisher vielleicht vermisst hat, insbesondere im Bereich der linearen Optimierung, des Netzwerk-Simplexalgorithmus und des Max-Cut-Problems. Ferner haben wir einige neue Aufgaben und aktuelle Literaturangaben hinzugefügt. Wir hoffen, dass damit unser Buch als Grundlage für Forschung und Lehre noch besser geeignet ist. Wir danken wiederum der Union der Deutschen Akademien der Wissenschaften und der Nordrhein-Westfälischen Akademie der Wissenschaften für die Unterstützung im Rahmen des Langzeitforschungsprojekts Diskrete Mathematik und Anwendungen. Weiter danken wir allen, die uns wertvolle Kommentare zur dritten Auflage gegeben haben, insbesondere Takao Asano, Christoph Bartoschek, Bert Besser, Ulrich Brenner, Jean Fonlupt, Satoru Fujishige, Marek Karpinski, Jens Maßberg, Denis Naddef, Sven Peyer, Klaus Radke, Rabe von Randow, Dieter Rautenbach, Martin Skutella, Markus Struzyna, Jürgen Werber, Minyi Yue und Guochuan Zhang. Auf der Internetseite vygen/co.html werden wir die Leser weiterhin auf dem Laufenden halten. Bonn, im August 2007 Bernhard Korte und Jens Vygen

6 Vorwort zur dritten englischen Auflage Nach fünf Jahren war es an der Zeit, eine vollständig überarbeitete und wesentlich erweiterte neue Auflage herauszugeben. Die wesentlichste Ergänzung ist ein ganz neues Kapitel über Standortprobleme. Für diese wichtige Klasse von NP-schweren Problemen waren noch vor acht Jahren keine Approximationsalgorithmen mit konstanter Gütegarantie bekannt. Heute gibt es einige sehr verschiedene, interessante Methoden, die zu guten Approximationsgarantien führen. Dadurch hat dieses Gebiet eine große Anziehungskraft entwickelt, auch für Lehrzwecke. In der Tat ist das neue Kapitel aus einer Spezialvorlesung über Standortprobleme hervorgegangen. Viele der anderen Kapitel sind wesentlich ergänzt worden. Neu hinzugekommen sind insbesondere Fibonacci-Heaps, Fujishiges neuer Algorithmus für maximale Flüsse, zeitabhängige Flüsse, Schrijvers Algorithmus zur Minimierung submodularer Funktionen und der Approximationsalgorithmus für Steinerbäume von Robins und Zelikovsky. Mehrere Beweise sind geglättet und viele neue Aufgaben und Literaturhinweise hinzugefügt worden. Wir danken allen, die uns mit ihren wertvollen Kommentaren zur zweiten Auflage geholfen haben, insbesondere Takao Asano, Yasuhito Asano, Ulrich Brenner, Stephan Held, Tomio Hirata, Dirk Müller, Kazuo Murota, Dieter Rautenbach, Martin Skutella, Markus Struzyna und Jürgen Werber. Besonders Takao Asanos Anmerkungen und Jürgen Werbers sorgfältige Durchsicht von Kapitel 22 haben wesentlich zur Verbesserung beigetragen. Auch möchten wir hier wieder der Union der deutschen Akademien der Wissenschaften und der Nordrhein-Westfälische Akademie der Wissenschaften für die ununterbrochene Unterstützung im Rahmen des langfristigen Forschungsprojekts Diskrete Mathematik und Anwendungen danken, das vom Bundesminister für Bildung und Forschung und vom Land Nordrhein-Westfalen finanziert wird. Bonn, im Mai 2005 Bernhard Korte und Jens Vygen

7 Vorwort zur zweiten englischen Auflage Es war für uns eine große Überraschung, dass die erste Auflage des vorliegenden Buches bereits nach rund einem Jahr vergriffen war. Die vielen positiven und sogar enthusiastischen Bemerkungen und Mitteilungen von Kollegen und aus der Leserschaft haben uns gefreut. Einige unserer Kollegen waren uns bei der Fehlersuche behilflich; insbesondere danken wir Ulrich Brenner, András Frank, Bernd Gärtner und Rolf Möhring. Selbstverständlich haben wir alle Korrekturen in diese Auflage eingearbeitet. Die Literaturverzeichnisse wurden sorgfältig aktualisiert. Im Vorwort zur ersten Auflage haben wir zwar alle Personen erwähnt, die uns bei der Erstellung des Buches geholfen haben, es aber leider versäumt, uns für die Unterstützung durch verschiedene Institutionen zu bedanken. Das wollen wir hier nachholen. Es ist selbstverständlich, dass ein Projekt wie dieses Buch, das sich über einen Zeitraum von sieben Jahren erstreckt hat, nicht ohne die Unterstützung verschiedener Forschungsförderer zustande kommen konnte. Dankend erwähnen möchten wir besonders das durch die Ungarische Akademie der Wissenschaften und die Deutsche Forschungsgemeinschaft geförderte bilaterale Forschungsprojekt, zwei Sonderforschungsbereiche der Deutschen Forschungsgemeinschaft, den Ministère Français de la Recherche et de la Technologie und die Alexander-von-Humboldt- Stiftung für ihre Unterstützung durch den Prix Alexandre de Humboldt sowie die EU-Kommission für die Teilnahme an zwei DONET-Projekten. Ganz besonders haben wir der Union der Deutschen Akademien der Wissenschaften und der Nordrhein-Westfälischen Akademie der Wissenschaften zu danken. Ihr langfristiges, vom Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF) und vom Land Nordrhein-Westfalen unterstütztes Projekt Diskrete Mathematik und Anwendungen spielte eine besondere Rolle bei der Entstehung dieses Buches. Bonn, im Oktober 2001 Bernhard Korte und Jens Vygen

8 Vorwort zur ersten englischen Auflage Kombinatorische Optimierung ist eines der jüngsten und aktivsten Gebiete der diskreten Mathematik und heute wahrscheinlich ihre treibende Kraft. Seit rund fünfzig Jahren ist die kombinatorische Optimierung ein eigenständiges Fachgebiet. Das vorliegende Buch beschreibt die wichtigsten Ideen, theoretischen Resultate und Algorithmen der kombinatorischen Optimierung. Wir haben es als ein fortgeschrittenes Lehrbuch konzipiert, das auch als aktuelles Nachschlagewerk der neuesten Forschungsergebnisse dienen kann. Es enthält die grundlegenden Definitionen und Resultate der Graphentheorie, der linearen und ganzzahligen Optimierung und der Komplexitätstheorie. Es deckt sowohl die klassischen als auch die neuesten Gebiete der kombinatorischen Optimierung ab. Wir haben den Schwerpunkt auf theoretische Resultate und beweisbar gute Algorithmen gelegt. Anwendungen und Heuristiken werden nur gelegentlich erwähnt. Die kombinatorische Optimierung hat ihre Wurzeln in der Kombinatorik, im Operations Research und in der theoretischen Informatik. Sie wird getragen von einer Vielzahl konkreter Anwendungsprobleme, die als abstrakte kombinatorische Optimierungsprobleme formuliert werden können. Wir konzentrieren uns auf das detaillierte Studium klassischer Probleme, die in vielfachen Zusammenhängen auftreten, und auf die zugrunde liegende Theorie. Die meisten Probleme der kombinatorischen Optimierung können auf natürliche Weise als Graphenproblem oder als (ganzzahliges) lineares Programm formuliert werden. Daher beginnt dieses Buch, nach einem einführenden Kapitel, mit den Grundlagen der Graphentheorie und denjenigen Ergebnissen aus der linearen und ganzzahligen Optimierung, die für die kombinatorische Optimierung besonders relevant sind. Danach werden die klassischen Gebiete der kombinatorischen Optimierung eingehend betrachtet: minimale aufspannende Bäume, kürzeste Wege, Netzwerkflüsse, Matchings und Matroide. Die meisten in den Kapiteln 6 14 besprochenen Probleme haben polynomielle ( effiziente ) Algorithmen, während die Mehrzahl der in den Kapiteln besprochenen Probleme NP-schwer sind, d. h. ein polynomieller Algorithmus existiert vermutlich nicht. In vielen Fällen kann man jedoch Approximationsalgorithmen mit einer gewissen Gütegarantie finden. Wir erwähnen auch einige andere Strategien zur Behandlung solcher schweren Probleme. Der Umfang dieses Buches geht in verschiedener Hinsicht über normale Lehrbücher der kombinatorischen Optimierung hinaus. Beispielsweise behandeln

9 XIV Vorwort zur ersten englischen Auflage wir auch die Äquivalenz von Optimierung und Separation (für volldimensionale Polytope), O(n 3 )-Implementierungen von Matching-Algorithmen, basierend auf Ohrenzerlegungen, Turingmaschinen, den (schwachen) Perfekte-Graphen-Satz von Lovász, MAXSNP-schwere Probleme, den Karmarkar-Karp-Algorithmus für Bin- Packing sowie neuere Approximationsalgorithmen für Mehrgüterflüsse, Survivable- Network-Design und das Euklidische Traveling-Salesman-Problem. Alle Resultate werden vollständig bewiesen. Natürlich kann kein Buch über kombinatorische Optimierung das Gebiet erschöpfend behandeln. Beispiele von Themen, die wir nur kurz streifen oder gar nicht erwähnen, sind Baumzerlegungen, Separatoren, submodulare Flüsse, Path-Matchings, Delta-Matroide, das Paritätsproblem für Matroide, Standort- und Scheduling-Probleme, nichtlineare Optimierung, semidefinite Optimierung, die Average-Case-Analyse von Algorithmen, kompliziertere Datenstrukturen, parallele und randomisierte Algorithmen sowie die Theorie der probabilistisch prüfbaren Beweise (den PCP-Satz zitieren wir ohne Beweis). Am Ende eines jeden Kapitels befinden sich Übungsaufgaben, die vielfach weitere Resultate und Anwendungen enthalten. Die vermutlich schwierigeren Aufgaben sind mit einem Sternchen markiert. Jedes Kapitel schließt mit einem Literaturverzeichnis, das auch weiterführende Literatur enthält. Dieses Buch ist aus mehreren Vorlesungen über kombinatorische Optimierung und aus Spezialvorlesungen über Themen wie polyedrische Optimierung und Approximationsalgorithmen entstanden. Somit bietet es sowohl Material für einführende als auch für fortgeschrittene Lehrveranstaltungen. Selbstverständlich haben wir viel aus Diskussionen mit Kollegen und Freunden und von deren Vorschlägen gelernt, und natürlich auch aus der vorhandenen Literatur. Besonderen Dank schulden wir András Frank, László Lovász, András Recski, Alexander Schrijver und Zoltán Szigeti. Unsere Kollegen und Studenten in Bonn, Christoph Albrecht, Ursula Bünnagel, Thomas Emden-Weinert, Mathias Hauptmann, Sven Peyer, Rabe von Randow, André Rohe, Martin Thimm und Jürgen Werber, haben verschiedeneversionen des Manuskriptssorgfältig gelesen und viele Verbesserungsvorschläge gemacht. Schließlich möchten wir dem Springer-Verlag für die äußerst effiziente Zusammenarbeit danken. Bonn, im Januar 2000 Bernhard Korte und Jens Vygen

10 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Enumeration Die LaufzeitvonAlgorithmen Lineare Optimierungsprobleme Sortieren Aufgaben Literatur Graphen Grundlegende Definitionen Bäume, Kreise und Schnitte Zusammenhang Eulersche und bipartite Graphen Planarität Planare Dualität Aufgaben Literatur Lineare Optimierung Polyeder DerSimplexalgorithmus Implementierungdes Simplexalgorithmus Dualität Konvexe HüllenundPolytope Aufgaben Literatur Algorithmen für lineare Optimierung Die Größe von Ecken und Seitenflächen Kettenbrüche Gauß-Elimination Die Ellipsoidmethode DerSatz vonkhachiyan SeparationundOptimierung Aufgaben Literatur...107

11 XVI Inhaltsverzeichnis 5 Ganzzahlige Optimierung Die ganzzahlige Hülle einespolyeders Unimodulare Transformationen Vollständige duale Ganzzahligkeit (TDI) Vollständig-unimodulare Matrizen Schnittebenen Lagrange-Relaxierung Aufgaben Literatur Aufspannende Bäume und Arboreszenzen Minimale aufspannende Bäume Arboreszenzenmit minimalemgewicht Polyedrische Darstellungen Das Packen von aufspannenden Bäumen und Arboreszenzen Aufgaben Literatur Kürzeste Wege KürzesteWege voneinerquelleaus KürzesteWege zwischenallenknotenpaaren Kreise mit minimalem durchschnittlichem Kantengewicht Aufgaben Literatur Netzwerkflüsse Das Max-Flow-Min-Cut-Theorem DerSatz vonmenger Der Edmonds-Karp-Algorithmus Blockierende Flüsse undfujishiges Algorithmus DerGoldberg-Tarjan-Algorithmus Gomory-Hu-Bäume Die minimale Kapazität eines Schnittes in einem ungerichteten Graphen Aufgaben Literatur Flüsse mit minimalen Kosten Formulierungdes Problems Ein Optimalitätskriterium DerMinimum-Mean-Cycle-Cancelling-Algorithmus Der Sukzessive-Kürzeste-Wege-Algorithmus OrlinsAlgorithmus DerNetzwerk-Simplexalgorithmus Zeitabhängige Flüsse Aufgaben Literatur...246

12 Inhaltsverzeichnis XVII 10 Maximale Matchings Bipartite Matchings Die Tutte-Matrix DerSatz vontutte Ohrenzerlegungen faktorkritischer Graphen Edmonds Matching-Algorithmus Aufgaben Literatur Gewichtete Matchings Das Zuordnungsproblem Abriss desgewichtetenmatching-algorithmus Implementierungdes gewichtetenmatching-algorithmus Postoptimierung Das Matching-Polytop Aufgaben Literatur b-matchings und T -Joins b-matchings T -Joins mit minimalemgewicht T -Joins und T -Schnitte DerSatz vonpadbergundrao Aufgaben Literatur Matroide UnabhängigkeitssystemeundMatroide AndereMatroidaxiome Dualität DerGreedy-Algorithmus DerSchnitt vonmatroiden Matroid-Partitionierung GewichteterSchnittvonMatroiden Aufgaben Literatur Verallgemeinerungen von Matroiden Greedoide Polymatroide Die Minimierung submodularer Funktionen SchrijversAlgorithmus Symmetrische submodulare Funktionen Aufgaben Literatur...383

13 XVIII Inhaltsverzeichnis 15 NP-Vollständigkeit Turingmaschinen Die Church schethese P und NP DerSatz voncook Einige grundlegende NP-vollständigeProbleme Die Klasse conp NP-schwereProbleme Aufgaben Literatur Approximationsalgorithmen Das Set-Covering-Problem Das Max-Cut-Problem Färbung Approximationsschemata Maximum-Satisfiability Der PCP-Satz L-Reduktionen Aufgaben Literatur Das Knapsack-Problem Das gebrochene Knapsack-Problem und das gewichtete Median-Problem Ein pseudopolynomieller Algorithmus Ein voll-polynomielles Approximationsschema Aufgaben Literatur Bin-Packing Greedy-Heuristiken EinasymptotischesApproximationsschema DerKarmarkar-Karp-Algorithmus Aufgaben Literatur Mehrgüterflüsse und kantendisjunkte Wege Mehrgüterflüsse Algorithmen für Mehrgüterflüsse Das gerichtete Kantendisjunkte-Wege-Problem Das ungerichtete Kantendisjunkte-Wege-Problem Aufgaben Literatur...526

14 Inhaltsverzeichnis XIX 20 Netzwerk-Design-Probleme Steinerbäume DerRobins-Zelikovsky-Algorithmus Survivable-Network-Design Einprimal-dualerApproximationsalgorithmus Jains Algorithmus Aufgaben Literatur Das Traveling-Salesman-Problem Approximationsalgorithmen fürdastsp Das euklidischetsp LokaleSuche Das Traveling-Salesman-Polytop UntereSchranken Branch-and-Bound Aufgaben Literatur Standortprobleme Das unbeschränkte Standortproblem Rundung von LP-Lösungen Primal-dualeAlgorithmen SkalierungundGreedy-Augmentierung Beschränkung der Standortanzahl LokaleSuche Beschränkte Standortprobleme Das universelle Standortproblem Aufgaben Literatur Symbolverzeichnis Personenverzeichnis Stichwortverzeichnis

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