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3 Grundlegendes zur...4 Prismen...5 Prismen - Würfel...6 Prismen - Quader...7 Aufgaben zu Würfeln und Quadern...8 Textaufgaben zu Würfeln und Quadern...9 Prismen - Zylinder...10 Prismen - Zylinder: Übung Textaufgaben zu Prismen - Zylinder...12 Prismen Trapezsäule...13 Prismen Dreiecksäule...14 Aufgaben zu Trapez- und Dreiecksäulen...15 Textaufgaben zu Trapez- und Dreiecksäulen...16 Spitze Körper...17 Spitze Körper - Pyramide...18 Spitze Körper - Pyramide: Übung Textaufgaben zu Spitze Körper - Pyramide...20 Spitze Körper - Kegel...21 Spitze Körper - Kegel: Übung Textaufgaben zu Spitze Körper - Kegel...23 Kugel...24 Kugel: Übung Textaufgaben zur Kugel...26 Vermischte Aufgaben...27 Glossar...28 lbma03q13-3 Seite 3 / 28

4 Grundlegendes zur Ein geometrischer Körper umschließt einen Raum, der durch eine bestimmte Anzahl von geraden oder gebogenen Flächen begrenzt wird. Körper haben in der Regel drei Ausdehnungen oder Dimensionen: Länge, Breite und Höhe. Von allen Körpern lassen sich mit bestimmten Formeln der Rauminhalt oder das Volumen, die Oberfläche und der Mantel berechnen. Die Sonderform eines Körpers ist die Kugel, die auf einem Kreis basiert und weder eine Grund- noch Deckfläche besitzt. Geometrische Körper lassen sich in drei verschiedene Gruppen einteilen, von denen nach jeweils unterschiedlichen Formeln die Oberfläche, das Volumen und der Mantel berechnet werden. lbma03q13-3 Seite 4 / 28

5 Prismen Prismen (Einzahl Prisma), werden auch gerade Körper oder Säulen genannt. In Abhängigkeit von der Grundfläche heißen sie z. B. Würfel, Quader, Zylinder, Dreiecksäule und Trapezsäule. Der Mantel bildet stets ein Rechteck. Die Oberfläche setzt sich aus dem Mantel und der doppelten Grundfläche zusammen. lbma03q13-3 Seite 5 / 28

6 Prismen - Würfel Ein Würfel entsteht, wenn Sie die Merkmale des Quadrats in die dritte Dimension übertragen. Würfel Ein Würfel ist ein Körper, der ausschließlich aus Quadraten besteht. Formel für die Volumenberechnung: V = a a a = a³ Wenn Sie aus einem gegebenen Rauminhalt eines Würfels die Seitenlänge ermitteln möchten, müssen Sie die dritte Wurzel dieses Wertes bilden. Das heißt: Sie suchen die Zahl, die zweimal mit sich selbst multipliziert genau den vorgegebenen Wert ergibt. Das mathematische Zeichen für die Wurzel ist. Formel für die Mantelberechnung M = 4 a² Formel für die Oberflächenberechnung: O = 6 a² Also: lbma03q13-3 Seite 6 / 28

7 Prismen - Quader Sie erkennen es sicher sofort: Im Quader spiegeln sich die Eigenschaften eines Rechtecks wider. Quader Ein Quader ist ein Körper, der entweder nur aus Rechtecken besteht oder aus Rechtecken und Quadraten. Formel für die Volumenberechnung: V = a b h Formel für die Mantelberechnung M = 2 a h + 2 b h = 2 h (a + b) Formel für die Oberflächenberechnung O = 2 a b + 2 a h + 2 b h = 2 (a b + a h + b h) lbma03q13-3 Seite 7 / 28

8 Aufgaben zu Würfeln und Quadern An dieser Stelle finden Sie im Lernprogramm eine interaktive Übungsaufgabe. Berechnen Sie bitte die in der Tabelle fehlenden Werte! Runden Sie die Ergebnisse nicht! Würfel Würfel Quader Quader Quader a 4,5 cm dm 60 mm dm 1,8 m b cm dm 40 dm 8 cm m h mm dm 50 mm 9 cm 1,95 m A mm² dm² mm² 56 cm² m² V cm³ dm³ mm³ 504 cm² m³ M cm² 100 dm² mm² cm² 11,895 m² O cm² dm² mm² mm² m² lbma03q13-3 Seite 8 / 28

9 Textaufgaben zu Würfeln und Quadern Bitte berechnen Sie die Textaufgaben zum Thema " - Würfel und Quader"! 1. Wie groß ist das Fassungsvermögen eines würfelförmigen Behälters mit einer inneren Seitenlänge von 22,5 cm? 2. Wie groß ist der Rauminhalt einer Werkstatt, die 7,40 m lang, 4,20 m breit und 4,10 m hoch ist? 3. Die Gärtnerei Tausendschönchen soll für ein Hotel in Bayern 55 Balkon-Blumenkästen bepflanzen. Wie viele m 3 Pflanzerde müssen die Mitarbeiter bereit stellen, wenn jeder Kasten 80 cm lang und 22 cm breit ist und die Erde 18 cm hoch eingefüllt werden soll? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf einen ¾-m 3 auf oder ab!) 4. Ein quaderförmiges Aquarium hat bei einer Seitenlänge a von 5 dm und einer Seitenlänge b von 25 cm ein Fassungsvermögen von 50 dm 3. a) Wie viele Meter Metallrahmen brauchte man zur Herstellung des Aquariums mindestens? b) Wie viele Quadratmeter Glas brauchte man, wenn die Rückseite aus einer Spiegelfläche und der Boden aus Plastik bestünde? 5. Ein Quader mit einer Länge von 55 cm, einer Breite von 45 cm und einer Höhe von 72 cm soll zu Dekorationszwecken von allen Seiten mit Stoff bespannt werden. Wie viele dm² Stoff wird insgesamt benötigt, wenn 1/10 als Verschnitt hinzugerechnet wird? lbma03q13-3 Seite 9 / 28

10 Prismen - Zylinder Prismen müssen nicht unbedingt Ecken aufweisen. Zylinder Ein Zylinder ist ein Prisma mit einem Kreis als Grundfläche. Formel für die Volumenberechnung V = r² À h Formel für die Mantelberechnung M = 2 r À h = d À h Formel für die Oberflächenberechnung O = 2 r² À + d À h = À (2 r² + d h) lbma03q13-3 Seite 10 / 28

11 Prismen - Zylinder: Übung 1 An dieser Stelle finden Sie im Lernprogramm eine interaktive Übungsaufgabe. Berechnen Sie bitte die in der Tabelle fehlenden Werte! Rechnen Sie dabei mit À = 3,14, runden Sie alle Ergebnisse grundsätzlich auf eine Stelle nach dem Komma und rechnen Sie ausnahmsweise auch mit diesen gerundeten Ergebnissen weiter! Zylinder Zylinder Zylinder Zylinder Zylinder r 1,5 cm mm mm 5,2 m cm d cm 32 mm dm m 48 cm h 5 cm 56 mm 50 dm m cm A ~ cm² ~ mm² ~ dm² ~ m² ~ cm² V cm³ mm³ dm³ 6.622,6368 m² cm³ M cm² ~ mm² dm² ~ m² cm² O cm² mm² dm² m² cm² lbma03q13-3 Seite 11 / 28

12 Textaufgaben zu Prismen - Zylinder Bitte berechnen Sie die Textaufgaben zum Thema " - Zylinder"! 1. Kaufmann Supergünstig hat für Werbezwecke vor seinem Geschäft eine 2,20 m hohe Litfasssäule aufgestellt. Ihr Durchmesser beträgt 120 cm. Wie viele dm 2 Werbefläche hat Herr Supergünstig dadurch zur Verfügung? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf eine Stelle!) 2. Eine Dose mit einem Innendurchmesser von 9 cm ist 11,5 cm hoch mit Cappuccino-Pulver gefüllt. a) Wie viele cm 3 Cappuccino-Pulver enthält die Dose? b) Wie viele cm 3 Luft enthält die Dose, wenn sie insgesamt eine Innenhöhe von 13 cm hat? 3. Im Ölhafen der Stadt Ölburg stehen 24 Benzintanks mit einem Innendurchmesser von 15 m und einer Höhe von 7,50 m. a) Wie viele m 3 Benzin lagert in den Tanks, wenn alle voll gefüllt sind? b) Ein Tankwagen hat einen zylindrischen Laderaum mit einem Innendurchmesser von 2,50 m und einer Länge von 6 m. Wie oft muss dieser gefüllt werden, bis ein Benzintank leer ist? 4. Ein Kochtopf hat eine kreisförmige Grundfläche mit einem Durchmesser von 24 cm. Er hat eine maximale Füllhöhe von 25 cm, ist jedoch nur zu 4/5 mit Wasser gefüllt. Wie viele cm 3 Wasser enthält der Kochtopf? lbma03q13-3 Seite 12 / 28

13 Prismen Trapezsäule Trapezsäule Eine Trapezsäule ist ein Prisma, dessen Grundfläche ein Trapez ist und dessen Seitenflächen Rechtecke sind. Formel für die Volumenberechnung ht = Höhenlinie im Trapez hk = Körperhöhe, d.h. Höhe der Trapezsäule Auf die Darstellung der übrigen Formeln verzichten wir an dieser Stelle lbma03q13-3 Seite 13 / 28

14 Prismen Dreiecksäule Dreiecksäule Eine Dreiecksäule ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Dreieck ist und dessen Seitenflächen Rechtecke sind. Formel für die Volumenberechnung h a bzw. h b bzw. h c: Höhenlinien im Dreieck h K : Körperhöhe, d.h. Höhe der Dreiecksäule Auf die Darstellung der übrigen Formeln verzichten wir an dieser Stelle lbma03q13-3 Seite 14 / 28

15 Aufgaben zu Trapez- und Dreiecksäulen An dieser Stelle finden Sie im Lernprogramm eine interaktive Übungsaufgabe. Berechnen Sie bitte die in der Tabelle fehlenden Werte! Trapezsäule Trapezsäule Dreiecksäule Dreiecksäule a 5 cm 8,2 dm 6 cm 7,8 dm c 7 cm dm - - m cm 12 dm - - h a 3 cm dm 3 cm dm h K 8 cm 12 dm 7,5 cm 25 dm V cm³ 259,2 dm² cm³ 331, dm³ lbma03q13-3 Seite 15 / 28

16 Textaufgaben zu Trapez- und Dreiecksäulen Bitte berechnen Sie die Textaufgaben zum Thema " - Trapez- und Dreiecksäulen"! 1. Der 98,7 km lange Nord-Ostsee-Kanal hat die Form eines gleichschenkligen Trapezes. Am Grund hat er eine Breite von 40 m. Von Ufer zu Ufer misst der Kanal 102 m. Das Wasser steht durchschnittlich 11 m hoch. Wie viele m 3 Wasser befinden sich durchschnittlich im Nord-Ostsee-Kanal? 2. Die Fahrbahnen einer vierspurigen Schnellstraße sind je 7,50 m breit, die Standspur auf jeder Seite ist 2 m breit und der Mittelstreifen 2,50 m. Die Schnellstraße verläuft auf einem Damm von 3 m Höhe. Die Sohle des Dammes ist an jeder Seite 2,40 m breiter als die gesamte Fahrbahnbreite einschließlich Standspur und Mittelstreifen. a) Welchen Flächeninhalt hat der Querschnitt des Dammes? b) Wie viele m 3 Erde müssen für 50 m Schnellstraßenlänge aufgeschüttet werden? 3. Ein gläsernes Prisma hat als Grund- und Deckfläche ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. Die beiden Schenkel sind jeweils 3 cm lang. Die Säule ist 4 cm hoch. Berechnen Sie das Volumen des Prismas! 4. Ein hölzerner Eckschrank mit dreieckiger Grundfläche hat eine vordere Breite von 70 cm. Seine beiden Schenkel sind jeweils 50 cm lang. Der Schrank ist 120 cm hoch und hat ein Fassungsvermögen von cm 3. a) Wie tief (in cm) ist der Schrank? b) Wie viele m 2 Holz waren zu seiner Herstellung nötig (ohne Einlegeböden)? lbma03q13-3 Seite 16 / 28

17 Spitze Körper Spitze Körper verlaufen von unten nach oben spitz zu. Sie haben keine Deckfläche. In Abhängigkeit von der Grundfläche unterscheidet man Pyramiden und Kegel. Für die Berechnung gelten spezielle Formeln, die aus den Grundformeln abgeleitet sind. In diesen Abschnitt stellen wir die allgemeinen Berechnungsformeln vor. Das Volumen eines spitzen Körpers berechnet sich mit der dargestellten Formel. Da diese Körper spitz zulaufen, muss Ihr Volumen kleiner sein als das von geraden Körpern. Die Oberfläche setzt sich aus der Grund- und Mantelfläche zusammen. lbma03q13-3 Seite 17 / 28

18 Spitze Körper - Pyramide Ein allseits bekannter spitzer Körper ist die Pyramide. Pyramide Eine Pyramide hat als Grundfläche ein beliebiges Vieleck, z.b. Quadrat, Rechteck oder gleichseitiges Dreieck. Der Mantel einer Pyramide besteht stets aus Dreiecken. Die folgende Tabelle enthält die jeweiligen Formeln für die gängigsten Pyramidenformen. h a = Höhenlinie im gleichseitigen Dreieck (in der Grundfläche) h Da = Höhenlinie im Dreieck über der Seite a (im Seitendreieck) h Db = Höhenlinie im Dreieck über der Seite b (im Seitendreieck) h K = Körperhöhe, d.h. Höhe der Pyramide lbma03q13-3 Seite 18 / 28

19 Spitze Körper - Pyramide: Übung 1 An dieser Stelle finden Sie im Lernprogramm eine interaktive Übungsaufgabe. Berechnen Sie bitte die in der Tabelle fehlenden Werte! Runden Sie - falls erforderlich - gemäß der Rundungsregel. Grundfläche: Quadrat Grundfläche: Rechteck Grundfläche: gleichseitiges Dreieck a 15 cm 18 cm m b cm cm m c m h a - - m A cm² 108 cm² 315,63 m² h K 16,36 cm 24 cm ~ m h Da 18 cm 24,2 cm 24 m h Db - 25,6 cm m h Dc - - m V cm³ cm³ 2.459,81 m³ M cm² cm² m² O cm² cm² m² lbma03q13-3 Seite 19 / 28

20 Textaufgaben zu Spitze Körper - Pyramide Bitte berechnen Sie die Textaufgaben zum Thema " - Pyramide"! 1. Eine Pyramidenkerze mit quadratischer Grundfläche ist 12 cm hoch. Sie hat eine Grundfläche von 324 cm 2. Die Fläche eines Seitendreiecks beträgt 135 cm 2. Berechnen Sie die Oberfläche der Kerze und ihr Volumen! 2. Die Cheopspyramide in Ägypten hat eine quadratische Grundfläche. Ursprünglich betrug die Seitenlänge des Quadrates 230,3 m. Die Original-Höhe betrug 146,6 m. a) Wie viele m 3 Steine wurden für den Bau der Pyramide benötigt? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle hundert m 3!) b) Heute beträgt die Seitenlänge des Quadrates nur noch 227,5 m und sie ist nur noch 137 m hoch. Wie groß ist das Volumen der heutigen Pyramide, wenn man davon ausgeht, dass es sich nach wie vor um einen spitzen Körper handelt? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle fünfzig m 3!) c) Wie viele m 3 Steine sind demnach inzwischen abhanden gekommen? 3. Eine kleine Marmor-Pyramide mit quadratischer Grundfläche (A = 6,25 cm²) ist 2,5 cm hoch. Wie schwer ist die Pyramide, wenn 1 cm³ Marmor 2,8 g wiegt? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle g!) lbma03q13-3 Seite 20 / 28

21 Spitze Körper - Kegel Auch aus einem Kreis lässt sich ein spitzer Körper ableiten. Das Ergebnis ist dann ein Kegel. Kegel Ein Kegel hat als Grundfläche einen Kreis. Sein Mantel ist stets ein Teil eines Kreises, jedoch in der Regel mit einem anderen Radius. Formel für die Volumenberechnung Auf die Darstellung der übrigen Formeln verzichten wir an dieser Stelle. lbma03q13-3 Seite 21 / 28

22 Spitze Körper - Kegel: Übung 1 An dieser Stelle finden Sie im Lernprogramm eine interaktive Übungsaufgabe. Berechnen Sie bitte die in der Tabelle fehlenden Werte! Rechnen Sie dabei mit À = 3,14, runden Sie alle Ergebnisse grundsätzlich auf eine Stelle nach dem Komma und rechnen Sie ausnahmsweise auch mit diesen gerundeten Ergebnissen weiter! Kegel Kegel Kegel Kegel r 3,5 cm dm ~ m mm d cm dm m 400 mm h 6 cm dm 15,5 m mm A ~ cm² 706,5 dm² 50,27 m² ~ mm² V cm³ dm³ ~ m³ mm³ lbma03q13-3 Seite 22 / 28

23 Textaufgaben zu Spitze Körper - Kegel Bitte berechnen Sie die Textaufgaben zum Thema " - Kegel"! 1. Ein kegelförmiges Turmdach ist 2,10 m hoch und hat einen Durchmesser von 300 cm. a) Wie groß (in dm 2 ) ist die Grundfläche des Turmdaches? b) Welchen Raum (in dm 3 ) umschließt das Turmdach? 2. Wie viel Flüssigkeit (in cm 3 ) befinden sich in einem kegelförmigen Sektglas, das bis 1 cm unter den Glasrand mit Sekt gefüllt ist? Der Kegel hat einen Durchmesser von 5,5 cm und eine Höhe von 13,6 cm! (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle cm 3!) 3. Ein Fahrbahnmarkierungskegel bedeckt eine kreisförmige Grundfläche von A = 708,86 cm 2. Wie hoch ist der Kegel, wenn er ein Volumen von ,2 cm 3 hat? 4. In einem Steinbruch liegen 522,5 m 3 Schotter kegelförmig auf Halde. Die Grundfläche der Schotterhalde hat einen Umfang von 50,24 m. a) Wie groß ist die Grundfläche der Halde? b) Wie hoch ist sie? c) Wie viele LKW-Fahrten sind nötig, wenn der gesamte Schotter von einem LKW mit 18 t Ladegewicht weggeschafft werden soll und 1 m 3 Schotter 1,6 t wiegt? lbma03q13-3 Seite 23 / 28

24 Kugel Für die Kugel gelten ganz spezielle Regeln, denn es gibt weder eine Grundfläche noch einen Mantel. Das Volumen einer Kugel berechnen Sie mit der dargestellten Formel. Die Oberfläche lässt sich mit der dargestellten Formel berechnen. Sowohl Volumen als auch Oberfläche können über den Radius oder den Durchmesser berechnet werden. lbma03q13-3 Seite 24 / 28

25 Kugel: Übung 1 An dieser Stelle finden Sie im Lernprogramm eine interaktive Übungsaufgabe. Berechnen Sie bitte die in der Tabelle fehlenden Werte! Rechnen Sie dabei mit À = 3,14 und runden Sie alle Ergebnisse grundsätzlich auf eine Stelle nach dem Komma! Kugel Kugel Kugel Kugel r 2,3 cm mm dm m d cm 58 mm dm m O ~ cm² ~ mm² 12,56 dm² ~ m² V ~ cm³ ~ mm³ ~ dm³ 14,13 m³ lbma03q13-3 Seite 25 / 28

26 Textaufgaben zur Kugel Bitte berechnen Sie die Textaufgaben zum Thema " - Kugel"! 1. Ein aufgeblasener kugelförmiger Luftballon hat einen inneren Durchmesser von 25 cm. Wie viele cm 3 Luft enthält er? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle cm 3!) 2. Eine Pflanzschale hat die Form einer Halbkugel. Ihr Durchmesser beträgt 1,5 m. Wie viele m³ Blumenerde benötigt Gärtner Piepenbrink, um insgesamt fünf gleich große Pflanzschalen mit Erde zu füllen? 3. Dekorateur Max Gestalter benötigt für die Dekoration eines Schaufensters 6 Styropor- Halbkugeln mit einem Durchmesser von je 40 cm. Wie groß ist das Gesamtvolumen der Halbkugeln! lbma03q13-3 Seite 26 / 28

27 Vermischte Aufgaben Bitte berechnen Sie die Textaufgaben zum Thema ""! 1. Auf einem Grundstück von 11,5 a werden 23 LKW-Ladungen mit je 5 m 3 Mutterboden gleichmäßig verteilt. Wie hoch (in cm) ist die Schicht Mutterboden auf dem Grundstück? 2. Der sichtbare kegelförmige Teil einer Boje ist 60 cm hoch und hat einen Durchmesser von 50 cm. Wie groß ist das Volumen der Boje? 3. Ein Rundholz aus einem Kinder-Baukasten hat einen Radius von 1,5 cm und eine Länge von 80 mm. Berechnen Sie seine Oberfläche und sein Volumen. 4. Ein 2,5 km langer Hochwasserdeich ist unten 8 m breit und oben 3,80 m. Er hat eine Höhe von 2,80 m. Wie viele m 3 Erde mussten für den Deich insgesamt aufgeschüttet werden? 5. Ein 4,80 m hohes Turmdach hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche (Seitenlänge: 4 m). Welchen Rauminhalt schließt das Turmdach ein? 6. In einem Gewächshaus sind 275 laufende Meter Heizrohre installiert. Wie viele dm 3 Wasser enthalten diese Rohre bei einem inneren Durchmesser von 45 mm? 7. In einem zylindrischen Glas mit einer Innenhöhe von 20 cm und einem Innendurchmesser von 12 cm befinden sich insgesamt cm 3 Flüssigkeit. Wie viele cm 3 Flüssigkeit könnte das Glas zusätzlich aufnehmen, wenn es bis 1 cm unter dem Rand gefüllt wäre? lbma03q13-3 Seite 27 / 28

28 Glossar Dreiecksäule Eine Dreiecksäule ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Dreieck ist und dessen Seitenflächen Rechtecke sind. Kegel Ein Kegel hat als Grundfläche einen Kreis. Sein Mantel ist stets ein Teil eines Kreises, jedoch in der Regel mit einem anderen Radius. Körper Ein geometrischer Körper umschließt einen Raum, der von einer bestimmten Anzahl gerader oder gebogener (gekrümmter) Flächen begrenzt wird. Körper haben in der Regel drei Ausdehnungen (Dimensionen), nämlich Länge, Breite und Höhe. Kugel Eine Kugel ist ein geometrischer Körper, bei dem alle Punkte auf der Oberfläche von einem Punkt M (Mittelpunkt) den gleichen Abstand r (Radius) haben. Sie entsteht durch Rotation (Drehung) eines Kreises. Eine Kugel hat keinen Mantel, sondern nur eine Oberfläche. Prismen Prismen verlaufen von unten nach oben gerade hoch. Das heißt: Grundfläche und Deckfläche sind stets gleich groß. Diese Flächen können beliebige Vielecke oder Kreise sein. Pyramide Eine Pyramide hat als Grundfläche ein beliebiges Vieleck, z.b. Quadrat, Rechteck oder gleichseitiges Dreieck. Der Mantel einer Pyramide besteht stets aus Dreiecken. Quader Ein Quader ist ein Körper, der entweder nur aus Rechtecken besteht oder aus Rechtecken und Quadraten. Spitze Körper Sie laufen von unten nach oben spitz zu, haben also keine Deckfläche, sondern nur eine Grundfläche. Sie werden auch zugespitzte Körper genannt. Würfel Ein Würfel ist ein Körper, der ausschließlich aus Quadraten besteht. Zylinder Ein Zylinder ist ein Prisma mit einem Kreis als Grundfläche. lbma03q13-3 Seite 28 / 28