Bericht zur Prüfung im Oktober 2007 über Finanzmathematik und Investmentmanagement

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1 Berich zur Prüfung im Okober 7 über Finanzmahemaik und Invesmenmanagemen (Grundwissen) Peer Albrech (Mannheim) Am 5 Okober 7 wurde zum zweien Mal eine Prüfung im Fach Finanzmahemaik und Invesmenmanagemen nach PO III (Grundwissen Teil A) durchgeführ Es waren 55 Teilnehmerinnen und Teilnehmer zu verzeichnen Die Prüfung besand aus einer 9-minüigen Klausur, in der vier Aufgaben gesell wurden, die sämlich zu bearbeien waren Um die Klausur zu besehen, mussen mindesens 45 von 9 möglichen Punken erziel werden Aufgabe : ( Minuen) Unersellen Sie in dieser Aufgabe, dass Sie eine Akie zum Zeipunk durch den erkauf von Fuures absichern wollen Ihr Porefeuille umfass Akien ernachlässigen Sie bei Ihrer Analyse sämliche Marking o Marke-Effeke Der gegenwärige Kurs der Akie im Zeipunk Null beräg EUR, der erwaree Kurs in Zeipunk beläuf sich auf 4 EUR und die Sandardabweichung des Kurses im Zeipunk ha einen er von 4 EUR Der frisigkeisunabhängige sichere Markzins für Kapialanlage und Kapialaufnahme berage r 4 % Alle Fuures beziehen sich auf eine Einhei des Basisiels Gehen Sie zunächs davon aus, dass der in Frage kommende Fuure im Zeipunk fällig is a) Berechnen Sie den arbiragefreien Preis im Zeipunk dieses Fuures mi Hilfe des Cos of Carry-Ansazes b) ieviele Fuures müssen Sie verkaufen, wenn Sie ein varianzminimales Hedge ansreben? Führen Sie die Ableiung zur Besimmung des varianzminimalen Hedges explizi durch! Nun sei am Mark kein Fuure verfügbar, der am Ende Ihres Planungshorizons im Zeipunk fällig wird Sa dessen seh ein Fuure zur erfügung, der eine Reslaufzei von zwei Perioden ha und somi im Zeipunk fällig wird c) Berechnen Sie den Preis des Fuures mi zwei Perioden Reslaufzei im Zeipunk und darüber hinaus den erwareen Preis des Fuures im Zeipunk Eins (der Fuure ha dann noch eine Periode Reslaufzei) d) ie viele Fuures müssen Sie nun für ein varianzminimales Hedge verkaufen? ergleichen Sie Ihr jeziges Ergebnis mi demjenigen aus Teilaufgabe b Seie von 7

2 Lösungsskizze: s a) Cos of Carry-Formel: F(s, ) K ( + r Hier somi: F(,) K ( + r) (4) 8 s ) b) Hedgeposiion G in : G n(k K ) x (F F ) (K ) x (F 8) Da der Fuure in ausläuf, gil F K Es folg G K ( x) + 8x ar(g) ( x) ar(k ) Offenbar gil: ar (G) x Somi sind x Fuures zu verkaufen c) i) F(,) K ( + r) (4) 6 3 ii) (,) K ( + r) K (4) F E[F(,)] (4)E(K ) (4)(4) 496 d) Für die Hedgeposiion G in gil nun: G n (K K ) x (F F ) (K ) x[k (4) 63] ar(g) ar[ K x K (4)] ( 4x) 6( 4 x) ar[( (4) x) K ] ar (K ) d ar(g / dx) 3( 4x)( 4) 4x x 965 Es sind somi weniger Fuures zu verkaufen als in Fall b Seie von 7

3 Aufgabe : (5 Minuen) a) Es bezeichne den Sandard-ienerprozess Berachen Sie den Prozess 3 i) Besimmen Sie Drif und Diffusion des Prozesses ii) Sellen Sie als sochasische Differenialgleichung dar b) Auf der Grundlage einer Lagrange-Opimierung ergib sich die folgende funkionale Form für die ( μ, σ) -Koordinaen der (rein riskanen) Randporfolios (lokal varianzminimalen Porfolios): σ 5μ μ + 5 Besimmen Sie die Gleichung der Tangenialgeraden uner der Annahme eines sicheren Zinses von r 5! Lösungsskizze: a) i) Zu besimmen is Drif μ und Diffusion F(, x) x 3 x σ nach dem Lemma von Io Bezeichne und μ bzw σ Drif bzw Diffusion des Sandard-ienerprozesses, so gil nach Io: μ (, x) F + F μ + F σ σ (, x) σ F x Nun gil x F x, Fx 3x, Fxx 6x μ, σ Es folg: μ σ (,x) x + 3x (,x) 3x und dami μ (, ) σ (, ) 3 x xx ii) Es gil demnach Seie 3 von 7

4 d d + (3 )d b) Nach oraussezung gil (I) σ 5μ μ + 5 Die Gleichung der Tangenialgeraden is allgemein gegeben durch (a > ) (II) μ 5 + aσ Einsezen von (II) in (I) ergib: σ 5(5 + aσ) 5a σ (5 + aσ) + 5 5aσ + 65 Dies führ zu der Gleichung (III) (5a ) σ 5aσ + 65 Besimmung der Nullsellen führ auf 9 5a ± a 4(5a )65 4 5a ± 65 a (I) σ, a a Eine einwerige Nullselle lieg dann vor, wenn die Diskriminane gleich null is, dh es muss gelen: a 65 Aufgrund von a > folg hieraus a 86 Die Gleichung der Tangenialgeraden is somi gegeben durch () μ σ Aufgabe 3: (5 Minuen) Einem Invesor mi einem Budge von EUR sehen die folgenden 3 Anlagealernaiven zur erfügung: Kauf von Akien der Maurer-AG zum Kurs von 7 EUR pro Sück Erwerb von Europäischen erkaufsopionen auf diese Akie mi einem Basispreis 7 EUR und einer Reslaufzei von einem Jahr zum Kurs von EUR pro Sück 3 Erwerb von Zero Bonds mi Reslaufzei von Jahr mi einem Kaufkurs von 9538 EUR und einem Rückzahlungskurs von EUR pro Sück Der Kurs des Zero Bonds ergebe sich aus der am Mark herrschenden Zinssrukur ernachlässigen Sie im Folgenden Ganzzahligkeisbedingungen a) Berechnen Sie die Jahresrendie des Zero Bonds Seie 4 von 7

5 b) Berechnen Sie den fairen Preis einer Europäischen Kaufopion mi idenischer Reslaufzei und gleichem Basispreis wie der Pu Unersellen Sie dabei arbiragefreie Markpreise c) Der Invesor möche ein Porfolio aus Akien und erkaufsopionen bilden ie viele Akien und erkaufsopionen kann er erwerben, falls die Anzahl der Pus der Anzahl der Akien ensprechen soll (: Pu Hedge)? d) ie groß is der minimale er des Porfolios nach einem Jahr? e) Der Invesor möche nun ein Porfolio aus Kaufopionen und Zero Bonds bilden, das die gleiche Risikosrukur am Ende der Laufzei wie das oben genanne Porfolio aus Pus und Akien aufweis ie viele Calls ha er zu kaufen und wie hoch is der Anlageberag in Zero Bonds? f) Die Maurer-AG soll nunmehr in auf der Basis einer Europäischen Pu-Opion abgesicher werden Zur erfügung sehen nur Pus auf einen Akienindex mi Kursenwicklung {I } Unersellen Sie die Beziehung: S α + β I ie viele Index-Pus zum Ausübungspreis 7 müssen erworben werden, dami das wergesichere Porfolio eine (posiive) deerminisische absolue erunergrenze besiz? elchen er nimm diese Preisunergrenze an? Begründen Sie Ihre Anwor! Lösungsskizze: 9538 a) r 5 (5%) 9538 b) Pu-Call-Pariä C C P S X( + r) 7 7(5) c) x 7 + x x /8 5 d) Pu Hedge-Posiion: x[s + max(7 S,)] x max(s,7) Minimum somi: 7 x 875 e) (I) In : Seie 5 von 7

6 x max(s 7,) + y 5max(S,7) Auswerung in S 7: y 875, y 875 (II) In : 3333x (875) 3333x x 5 Fazi: Erwerb von 5 Calls und 875 Einheien des Zerobond (Invesiionsberag 83333) f) Ansaz für Hege-Posiion G in : G S + x max(7 I,) x P α + βi + x max(7 I,) x P Ausübungssiuaion I < 7: G α + βi Für + 7x x I x P x β resulier Unergrenze: G α + 7β βp α + β(7 P ) Aufgabe 4: ( Minuen) Gegeben sei eine DAX-Bearanleihe mi Nennwer N und 3 Jahren Laufzei ährend der Laufzei finden Zinszahlungen der Höhe Z sa Am Ende der Laufzei erhäl der Invesor mindesens den Nennwer zurück Im Falle einer negaiven DAX-Enwicklung über die 3- Jahresperiode erhäl der Invesor zusäzlich einen Bonus in Höhe von α% der (relaiven) DAX-eränderung a) elches Rückzahlungsprofil weis diese Bearanleihe auf? b) Zerlegen Sie den Rückfluss in 3 geeigne, um die Opionskomponene zu explizieren! elche Opion is hier eingebee? c) Führen Sie (srukurell) eine Markbewerung der DAX-Bearanleihe im Zeipunk durch elche Größen müssen hierbei spezifizier werden? [Sezen Sie hierzu frisigkeisunabhängige Zinssäze voraus] Seie 6 von 7

7 Lösungsskizze: a) Rückzahlungsprofil { Z,Z,Z3} mi Z Z Z Z 3 Z + max N, N α DAX(3) DAX() DAX(3) Z + max N, N + α DAX() b) DAX(3) max N, N + α DAX() DAX() DAX(3) N + max, α N DAX() α N N + max{dax() DAX(3),} DAX() Die involviere Opion is eine Long Posiion in einer dreijährigen Puopion auf den DAX, wobei der Ausübungspreis dem Ausgangsniveau des DAX ensprich, dh X DAX() c) Das Rückzahlungsprofil is gemäß a) und b) gegeben durch Z,Z,Z + N + h P }, wobei P 3 max{dax() DAX(3),} und h α N / DAX() { 3 Die sicheren Zahlungsbesandeile können zur Bewerung zum sicheren laufzeikongruenen Zins abgezins bzw mi den ensprechenden Zerobondpreisen muliplizier werden Der Markwer der Opion beräg P, wobei P auf der Grundlage einer Opionspreisformel zu spezifizieren is Bezeichnen wir den frisigkeisunabhängigen Zins mi r, so gil für den Markwer M in : M Z( + r) α N + P DAX() + Z( + r) + (Z + N)( + r) 3 Alernaiv: M α, DAX N() Zb + Zb + (Z + N)b3 + P i wobei b ( + r) (i,,3) i Seie 7 von 7

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