Ein Steilkurs über Martingale in diskreter Zeit

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1 Ei Steilkurs über Martigale i diskreter Zeit Matthias Birker WS 211/212 Dieser Text ist eie Eiladug, sich (i sehr kapper Form) mit der Theorie der (zeitdiskrete) Martigale zu beschäftige. Eie wesetlich grüdlichere Behadlug fidet sich beispielsweise bei Kleke K, speziell Kapitel 8 11 (das auch Leser as Herz gelegt sei, die a de im Text erwähte Übuge verzweifel). Beispiel 1. Die symmetrische gewöhliche Irrfahrt S = X X, X i u.i.v., P(X i = ±1) = 1/2 (S := ) wird us als Leib-ud-Mage-Beispiel diee. 1 Filtratioe Zur Erierug: Das übliche Grudobjekt der Wahrscheilichkeitstheorie ist ei Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P), bestehed aus Grudraum Ω, σ-algebra A auf Ω ud eiem Wahrscheilichkeitsmaß P auf A. Eie Filtratio (F ) ist eie aufsteiged geordete Familie vo Teil-σ-Algebre, d.h. F F +1 A für =, 1, 2,.... Eie aheliegede (ud ützliche) Iterpretatio ist, F als die Mege der bis zur Zeit etschiedee Ereigisse aufzufasse. Beispiel 2. Eie Folge vo Zufallsvariable (X ) defiiert via F := σ(x, X 1,..., X ) eie Filtratio (Übug: Überzeuge Sie sich davo). 2 Bedigte Erwartug G A eie (Teil-)σ-Algebra. We G edlich viele Atome A 1,..., A l hat, liegt es ahe, die bedigte Erwartug vo X, gegebe die Iformatio aus G folgedermaße zu defiiere: EX G (ω) = 1 P(A i ) EX1 A i für ω A i. (1) Ma verallgemeiert (1) folgedermaße: Eie reellwertige ZV Z heißt bedigte Erwartug vo X gegebe G (schreibe EX G ), we gilt 1. Z ist G -messbar, d.h. {Z B} G für jede messbare Teilmege B R, 2. EHZ = EHX für alle beschräkte G -messbare ZV H. (Übug: Überzeuge Sie sich, dass im Fall Ω < die Versio aus (1) diese Defiitio erfüllt.) Bericht 3. Für itegrierbares X existiert die bedigte Erwartug EX G ud ist bis auf f.s.-gleichheit eideutig bestimmt (Existez beispielsweise via Projektio auf de Uterraum der (quadratitegrable) G - messbare ZV). Nebe de übliche Eigeschafte vo Erwartugwerte (Liearität, Positivität) sid zwei wichtige Eigeschafte 1. E EX G G = EX G we G G ( Turmeigeschaft ), 2. EY X G = Y EX G sofer Y G -messbar ist (ud E XY < ). 1

2 3 Martigale Eie Folge itegrierbarer Zufallsvariable (M ) (so dass M F -messbar ist für =, 1,... ) heißt ei Martigal (bezüglich der Filtratio (F )), we EM F 1 = M 1 (f.s.) für = 1, 2,... (2) gilt. Es gilt da auch EM F m = M m (f.s.) für m (Übug). Die symmetrische Irrfahrt (Beispiel 1) ist ei Martigal (Übug). Bericht 4. We i (2) das = durch ersetzt wird, spricht ma vo eiem Submartigal, we es durch ersetzt wird, vo eiem Supermartigal. 3.1 Prävisible Prozesse, Spielstrategie, Gewiprozesse als Martigale H 1, H 2,... eie Folge (idividuell) beschräkter Zufallsvariable, so dass H i F i 1 -messbar ist für i = 1, 2,... (ma et da (H i ) i 1 auch prävisibel), (M ) ei Martigal. Da ist auch die Folge (Y ), defiiert durch Y :=, Y := H k (M k M k 1 ), = 1, 2,... (3) k=1 ei Martigal (Übug). We ma (M ) als de Gewiprozess eies Spielers, der i jeder Rude eie Eiheitseisatz i eiem faire Spiel wettet, iterpretiert, so ergibt dies für (Y ) folgede Iterpretatio: Dies ist der Gewiprozess eies Spielers, der jeweils vor der i-te Rude de H i -fache Eiheitseisatz setzt. Die Bedigug, dass H i F i 1 -messbar sei muss, beschreibt eie Spieler ohe hellseherische Fähigkeite: die Höhe des Eisatzes muss vor der Ketis des Ausgags der i-te Rude festgelegt werde. 4 Stoppzeite Eie Zufallsvariable τ mit Werte i {, 1,... } mit der Eigeschaft {τ } F, =, 1, 2,.... (4) heißt eie Stoppzeit (streggeomme: (F )-Stoppzeit). (4) läßt sich folgedermaße iterpretiere: Ma ka zu jedem Zeitpukt etscheide, ob τ bereits eigetrete ist. Äquivalet ka ma forder, dass {τ = } F für alle (Übug). Für eie Stoppzeit τ ist die τ-vergageheit F τ gegebe durch A F τ : A {τ } F für jedes (F τ ist eie σ-algebra, Übug). Eie wichtige Klasse vo Stoppzeite erhält ma mittels τ A := mi{k Z + : X k A}, we (X ) eie (F )-adaptierte Folge (sage wir, reellwertiger) Zufallsvariable ud A R (Überzeuge Sie sich, dass τ A eie Stoppzeit ist). Sid τ 1, τ 2 Stoppzeite, so auch τ 1 τ 2 ud τ 1 τ 2 (Übug). Warum ist mit τ stets auch τ + 5 eie Stoppzeit, τ 5 aber im Allgemeie icht? 5 Optioales Stoppe (M ) Martigal, τ beschräkte Stoppzeit (d.h. es gibt eie Kostate T mit der Eigeschaft P(τ T ) = 1). Da gilt Satz 5 (Optioal samplig-satz, Basisversio). E M τ = E M, allgemeier E Mτ F = Mτ =, 1,.... für 2

3 Zum Beweis argumetiere Sie beispielsweise folgedermaße: Überprüfe Sie zuächst, dass M τ = E M T F τ fast sicher (5) gilt. Tatsächlich gilt für A F τ E M τ 1 A = E = T k= k= M k1(τ = k)1 A = E E M T 1 Fk A {τ=k} = E T M k 1 A {τ=k} = E E M Fk T 1A {τ=k} k= k= E M T 1 A {τ=k} = E MT 1 A, k= wobei a geeigeter Stelle (wo?) die Martigaleigeschaft M k = EM T F k, die Tatsache A {τ = k} F k ud EE F k = E ausgeutzt werde. Aus (5) ergibt sich sofort die erste Behauptug (warum?). Für die zweite Behauptug beutze Sie die Turmeigeschaft der bedigte Erwartug beispielsweise folgedermaße: τ ist ebefalls eie Stoppzeit, die offebar τ τ ( T ) erfüllt. Überlege Sie sich, dass dies F τ F τ impliziert (ist das aschaulich eisichtig?). Demach gilt mit (5) M τ = E M T Fτ = E E M T Fτ Fτ = E M τ Fτ. Bericht 6. Ma ka i Satz 5 die Bedigug, dass τ beschräkt sei muss, falle lasse. Techisch ist da die etscheidede Bedigug, dass die Familie (M ) gleichgradig itegrierbar sei muss (Siehe K, Absch. 1.3). Gaz ohe Bediguge ka Satz 5 aber icht richtig sei, wie die gewöhliche Irrfahrt (Beispiel 1) mit τ {1} := mi{ : S = 1} zeigt: Wege der Rekurrez vo (S ) ist τ {1} < f.s., also S τ{1} = 1, somit ES τ{1} = 1 ES =. (Für die Glücksspieliterpretatio bedeutet dies: Ma ka im Prizip aus eiem faire Spiel sichere Gewi ziehe, we ma ggfs. beliebig lage spiele ud dabei beliebig hohe Schulde asammel darf.) Bemerkug 7. Aus Satz 5 folgt, dass das gestoppte Martigal (M τ ) ebefalls ei Martigal ist, we τ eie (beschräkte) Stoppzeit ud (M ) ei Martigal ist. 6 Kovergez Uter ( leichte ) Bediguge kovergiert ei Martigal (M ) fast sicher. Die auf Joseph Doob zurückgehede Beweisidee ist folgede: Wäre dies icht der Fall, so gäbe es a < b, so dass (M ) uedlich oft zwische (uterhalb) a ud (oberhalb) b oszilliert. Da köte ma mit folgeder Strategie beliebig große Gewi erziele: Steige ei, sobald M uter a fällt, halte, bis M über b steigt. Erziele midestes Gewi b a > aus jeder solche Aufkreuzug. Das widerspricht allerdigs de Beobachtuge aus Abschitt (3.1). Wir wolle diese Idee u präzisiere. Sei (M ) ei ach ute beschräktes Martigal, o.e. M für alle. (Warum ist die Aahme keie zusätzliche Eischräkug?) Seie a < b <. Setze Sie σ :=, τ k := if{ > σ k 1 : M a}, k = 1, 2,..., σ k := if{ > τ k : M b}, k = 1, 2,.... 3

4 (Mit Verabredug τ k = bzw. σ k =, we es kei passedes mehr gibt.) Überzeuge Sie sich, dass die τ k ud σ k Stoppzeite sid. Betrachte Sie beispielsweise eie Skizze, um sich zu vergewisser, dass (M ) im Zeititervall {τ k, τ k+1,..., σ k } die k-te Aufkreuzug vo (uterhalb) a ach (oberhalb) b ausführt (6) (sofer τ k, σ k < ). Sei U (a,b) := max{k : σ k } die Azahl abgeschlosseer solcher Aufkreuzuge bis zum Zeitpukt. Sei I :=, für 1 1 I := 1( k : τ k i < σ k )(M i+1 M i ), i= d.h. ur die Ikremete vo (M ) ierhalb der Aufkreuzugsitervalle zähle für (I ). Verifiziere Sie, dass E I F 1 = I 1 gilt, d.h. (I ) ist (ebefalls) ei Martigal. Warum gilt I (b a)u (a,b) + ( ) M M τu (a,b) (b a)u (a,b) + ( a)? (7) +1 (Hiweis: Für jedes k ist σ k 1 i=τ k (M i+1 M i ) = M σl M τk (b a).) Lemma 8 (Aufkreuzugsugleichug). Es gilt für jedes Offebar U (a,b) U (a,b) +1 mooto gege ei U (a,b) E U (a,b) a b a. (8) für alle, d.h. die Folge vo Zufallsvariable (U (a,b), also auch E U (a,b) = lim E U (a,b) a b a < : N) kovergiert (beutze Sie de Satz vo der mootoe Kovergez für das Gleichheitszeiche ud da (8) für die Abschätzug), isbesodere P ( U (a,b) < ) = 1. Betrachte Sie u Ereigisse (mit a < b, a, b Q, sage wir) C (a,b) := { } lim if X < a { } lim sup X > b. Argumetiere Sie, dass C (a,b) {U (a,b) }, folglich P (C (a,b) ) = ach obigem, ud daher auch P ( a<b a,b Q C (a,b) ) = (9) gilt. Warum habe Sie damit folgede Versio des Martigalkovergezsatzes bewiese? Satz 9. Ei ach ute beschräktes Martigal kovergiert mit Wahrscheilichkeit 1. Bericht 1. Die Kovergez M M f.s. muss i.a. icht die Kovergez der Erwartugwerte impliziere: Betrachte Sie beispielsweise die Irrfahrt aus Beispiel 1, die beim Auftreffe auf 1 gestoppt wird. Für gleichgradig itegrierbare Martigale gilt allerdigs auch EM EM. 4

5 7 Doobsche Ugleichug Im Allgemeie ist es sehr schwierig, aus der Verteilug eies stochastische Prozesses zu feste Zeite Iformatioe über das Pfadverhalte wie beispielsweise das laufede Maximum abzuleite. Im Fall vo Martigale sid die Verhältisse übersichtlicher: Satz 11 (Doobs L 2 -Ugleichug). Sei (M ) Martigal mit M ud EM 2 < für alle, M := max k M k. Da gilt E (M ) 2 4E M 2. Für festes λ > gilt λp(m λ) E M 1(M λ) ( E M 1(M λ) ). (1) Argumetiere Sie beispielsweise folgedermaße: τ := if{k : M k λ} ist eie (durch ) beschräkte Stoppzeit, also EM = EM τ = E M τ 1(M λ) + E M τ 1(M < λ) = E M τ 1(M λ) + E M 1(M < λ) λp(m λ) + E M 1(M < λ). Nu substrahiere E M 1(M < λ) auf beide Seite. Stets gilt E (M ) 2 = E (M ) 2 = M 2λ dλ, also (wege (M) 2 M 2 + M M 2 ist der Erwartugswert edlich) M 2 2λ dλ = E 2λ1(M λ) dλ = 2 E M 1(M λ) dλ = 2E M M Folger Sie mit der Cauchy-Schwarz-Ugleichug: E (M) 2 2 E M 2 E (M) 2. dλ λp(m λ) dλ = 2E M M Bericht 12. Die Ugleichug gilt wörtlich auch für Submartigale. Die Aahme M ist eigetlich icht otwedig (vereifacht hier ur die Argumetatio ei weig). Es gilt eie aaloge Aussage für jedes p > 1 statt p = 2 (Doobs L p -Ugleichug). 8 Die symmetrische gewöhliche Irrfahrt auf eiem Itervall Seie a, b Z, a < x < b, Z (x,a,b) die symmetrische gewöhliche Irrfahrt started i Z (x,a,b) = x, gestoppt, sobald Z (x,a,b) {a, b}. Prüfe Sie: ((b Z (x,a,b) )/(b a)) ud ((b Z (x,a,b) )(Z (x,a,b) a) ) sid Martigale. Köe Sie diese Iformatio beutze, um die Wahrscheilichkeit, dass der obere Rad getroffe wird, sowie die erwartete Zeit bis zum Treffe des Rads zu bereche? Literatur K A. Kleke, Wahrscheilichkeitstheorie, Spriger 26. 5