Bedingte Wahrscheinlichkeiten

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1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bei der Betrachtung der Ereignisse A und B eines Zufallsexperiments muss man die beiden im folgendem beschrieben zwei Situationen unterscheiden. 1. Das Ereignis A und B tritt ein, wenn jeder der beiden Ereignisse eintritt. Man sagt auch: wenn A und zugleich B eintreten. Hierfür schreibt man symbolisch: A B 2. Erhält man nach der Durchführung eines Zufallsexperiments Teilinformationen über den Ausgang, dann kann man unter Verwendung dieser Information Wahrscheinlichkeiten neu berechnen: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis B eintritt, wenn man weiß, dass das Ereignis A eingetreten ist, wird als bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A bezeichnet. Man schreibt dafür: P A (B) Im Baumdiagramm findet man die bedingte Wahrscheinlichkeit in der zweiten Stufe des Experiments. Die Wahrscheinlichkeit P(A B), dass A und zugleich B eintreten, ist in diesem Baumdiagramm die Pfadwahrscheinlichkeit des obersten Astes. Multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten dieses Astes, so ergibt sich: P(A B) = P(A) P A (B) Dabei muss P(A) 0 sein! Löst man diese Formel nach der bedingten Wahrscheinlichkeit P A (B) auf, so erhält man: P(A B) P A (B) = P(A) Seite 1 von 10

2 Beispielaufgabe: In einem Hotel werden 1000 skandinavische Gäste nach ihren Fremdsprachekenntnissen befragt. Das Ergebnis sieht wie folgt aus: F F E E E: Gast kann Englisch sprechen F: Gast kann Französisch sprechen 1. Das Ereignis E F beschreibt, dass die Person beide Sprachen sprechen kann. P(E F) = = 3 10 = 30% 2.Ein zufällig ausgewählter Urlauber spricht mit einer Wahrscheinlichkeit von P(F) = 400 = 4 = 40% Französisch Weiß man nun von einem Gast, dass er Englisch spricht, so ändert sich durch diese Zusatzinformation der Wert für die Wahrscheinlichkeit, dass die Person auch Französisch spricht: P (E F) P E (F) = = 0,3 P (E) 0,7 = ,9% Das Ganze dargestellt an einem Baumdiagramm sieht folgendermaßen aus: Seite 2 von 10

3 Umgehen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten Bei der Betrachtung der Ereignisse A und B eines Zufallsexperiments muss man die im Folgenden beschriebenen zwei Situationen genau unterscheiden. 1. Ereignis A sowie auch B tritt ein, wenn jedes der beiden Ereignisse eintritt. (A und B tritt zugleich auf) Symbolisch: A B 2. Erhält man nach der Durchführung eines Zufallsexperiments Teilinformationen über den Ausgang, dann kann man unter der Verwendung dieser Informationen Wahrscheinlichkeiten neu berechnen. Dass, das Ereignis A eingetreten ist, bezeichnet man als bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A bezeichnet. Symbolisch: Pᴀ(B) Für Pᴀ(B) = P(A B) oder erste Pfadregel P(A B) = P(A) Pᴀ(B) P(A) (Multiplikationsformel) Arbeitsweise: Beispiele: 1. Bei einem Verbrechen hat der Täter am Tatort ein Haar verloren. Es kommen 10 Millionen Menschen als Täter in Frage. Ein Teil dieser Menschen wird für einen Massentest ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei dem Test bei einer unschuldigen Person ein mit dem Täter übereinstimmendes DNA-Profil ergibt, beträgt nur 0,002%. Kann nach diesen Informationen davon ausgegangen werden, dass eine Person mit übereinstimmendem DNA-Profil der Täter ist? Was ist gegeben was ist gesucht? 1. Modellierung: Betrachte ein zur Situation passendes mehrstufiges Zufallsexperiment. Definiere die zugehörigen Ereignisse und wähle geeignete Kurzbezeichnungen für diese. Ordne nun den Ereignissen die gegebene Wahrscheinlichkeit zu. D: Person besitzt ein übereinstimmendes DNA-Profil T: Person ist Täter Gegeben: P(T) = P T (D) = 1 P T (D) = 0, Gesucht: P D (T) = 0, Seite 3 von 10

4 2. Veranschaulichung: Fertige ein passendes Baumdiagram oder eine Vierfeldtafel an. Bedenke, dass es beim Erstellen des Baumdiagramms grundsätzlich zwei Möglichkeiten gibt, je nachdem, welches Teilexperiment zuerst betrachtet wird. Es kann mit der relativen Häufigkeiten oder mit den absoluten Häufigkeiten gearbeitet werden. 3. Berechnung: Berechne die gesuchte(n) Wahrscheinlichkeit(en). Bei aufwendigeren Aufgaben sind hierfür meistens mehrere Rechenschritte erforderlich. P D (T)= P(D T) P(D) = 0, , , , ,005 = 0,5% 4. Interpretation: Interpretiere deine Ergebnisse um Sachzusammenhänge zu verstehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit übereinstimmendem DNA-Profil der Täter ist beträgt nur rund 0,5%. Wenn keine weiteren Indizien vorliegen, kann man kaum davon ausgehen, dass diese Peron der Täter ist. Seite 4 von 10

5 2. Ehrfahrungsgemäß sind ungefähr 0,05 Prozent aller Männer mit HIV infiziert. Wenn einer dieser Männer das Virus in sich trägt, so fällt der Test bei ihm mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,8% positiv aus. Wenn der Betroffene nicht infiziert ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei ihm negativ ausfällt 99%. Ein Mann erhält einen positives Testergebnis. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er tatsächlich infiziert ist? 1.Modellierung Die erste Stufe besteht in der Auswahl eines Mannes. Hierbei wird nur unterschieden, ob der Mann mit dem HIV-Virus infiziert ist oder nicht. Definiert man das Ereignis H: Der Mann ist mit HIV infiziert. So gilt nach dieser Voraussetzung P(H) = 0,0005 und damit P(H ) = 0,9995 In der zweiten Stufe wird das Ergebnis des HIV-Tests bei dem ausgewählten Mann betrachten und folgendes Ereignis definiert: D: Der Test diagnostiziert eine HIV-Infektion (positives Testergebnis). Der Angabe können die beiden folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten entnommen werden: Die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis, wenn der Mann infiziert ist, beträgt P H (D) = 99,8% = 0,998. Damit hat das Gegenereignis negatives Testergebnis, wenn der Mann infiziert ist die Wahrscheinlichkeit P H (D ) = 0,2% = 0,002 Die Wahrscheinlichkeit für ein negatives Testergebnis, wenn der Mann nicht infiziert ist, beträgt P H (D) = 99% = 0,99. Damit hat das Gegenereignis positives Testereignis, wenn der Mann nicht infiziert ist Die Wahrscheinlichkeit. P H (D ) = 1,0% = 0,01 2. Veranschaulichung an der Vierfeldertafel Annahme: Männer, die keiner Risikogruppe angehören, unterziehen sich einem HIV-Test. Die relative Häufigkeit = Wahrscheinlichkeit 0,05% von Infiziert 500 Männer infiziert nicht infiziert Die 500 Männer tragen mit einer Wahrscheinlichkeit 99,8% tragen den Virus in sich 499 Männer Die Männer tragen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,02% den Virus nicht in sich 1999 Männer D D H 500 Seite 5 von 10

6 H D D H 0, = H 0, = D D H H Von Männern erhalten 2498 die Diagnose HIV-Positiv. Wenn ein Mann positiv getestet wurde beträgt die Wahrscheinlichkeit deshalb nur = 0,20 = 20%, das er auch Träger des HIV-Virus ist. Seite 6 von 10

7 Unabhängige Ereignisse Zwei Ereignisse A und B werden als stochastisch unabhängig bezeichnet, wenn das Eintreten der Bedingung B die Wahrscheinlichkeit von A nicht beeinflusst. Das ist gleichbedeutend mit: P B (A) P(A B) P(B) = P(A) P(A B) = P(A) P(B) Da die letzte Gleichung auch die Fälle P(A) = 0 bzw. P(B) = 0 zulässt, benützt man sie für die Definition der stochastischen Unabhängigkeit. Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn P(A B) = P(A) P(B) ist. Andernfalls heißen sie stochastisch abhängig Beispiel Aufgabe: Es soll untersucht werden, ob es einem Zusammenhang zwischen dem Musikgeschmack und dem Geschlecht gibt. Hierfür betrachten wir das Ergebnis einer deutschlandweiten Umfrage zu diesem Thema, die Folgendes ergab: W W R 12,5% 17,5% 30,0% R 38,5% 31,5% 70,0% 51,0% 49,0% 100,0% R: Die Person hört gerne Rock n Roll W: Die Person ist weiblich Der Anteil der Rock n Roll Liebhaber unter den Frauen ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person die Rock n Roll Liebhaber ist unter der Bedingung, dass es eine Frau ist: P W (R) = P(M R) P(M) = 12,5% 51,0% 0,245 = 24,5% Diese bedingte Wahrscheinlichkeit müssen wir mit der totalen Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person Rock n Roll hört, vergleichen: P(R) = 30,0% P W (R) P(R) Die Werte für die beiden Wahrscheinlichkeiten unterscheiden sich deutlich. Wir deuten dieses Resultat dahingehend, dass ein Zusammenhang zwischen dem Musikgeschmack und dem Geschlecht besteht. Man bezeichnet die beiden Ereignisse R und W als stochastisch abhängig. Seite 7 von 10

8 Alle Wahrscheinlichkeiten, die in der oben angeführten Definitionsgleichung auftreten, finden wir in der Vierfeldertafel. Damit können wir den Nachweis der stochastischen Abhängigkeit der Ereignisse R: Rock n Roll Liebhaber und W: weiblich auch direkt führen. P(W R) = 12,5% aber P(W) P(R) = 0,51 0,30 = 15,3% W und R sind stochastisch abhängig Nun bestimme mithilfe der Daten aus der Vierfeldertafel, die folgenden Wahrscheinlichkeiten P W (R); P R (W); P R (W) und beschreibe sie in Worten. P W (R) = P(W R) = 17,5% 0,357 = 35,7% P(W ) 49,0% Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person ein Rock n Roll Liebhaber ist, unter der Bedingung, dass diese Person männlich ist. P ( R W) P R (W) = = 12,5% P(R) 30% = 0,416 = 41, 6 % Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person weiblich ist, unter der Bedingung, dass diese Person Rock n Roll Liebhaber ist. P R (W) = P(R W) = 38,5% = 0,55 = 55% P(R ) 70% Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person weiblich ist, unter der Bedingung, dass diese Person kein Rock n Roll Liebhaber ist. Es besteht hier nur ein statistischer Zusammenhang zwischen den Ereignissen W und R. Daraus kann man aber keinen kausalen Zusammenhang ableiten. Aus der Tatsache, dass P W (R) < P W (R) ist, folgt nicht, dass Männer aufgrund ihres Geschlechts zwangsläufig eher dazu neigen zu Rock n Roll zu hören. Aufgabe 1 (aus dem Abitur 1980) In einer Urne befinden sich 12 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Als Ergebnisraum verwenden wir Ω = {1; 2; 3; ; 12}. a) Zeige, dass die Ereignisse A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} und B = {1; 4; 7; 10} unabhängig sind. b) Gib zum Ereignis A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ein unabhängiges Ereignis mit P(C) = 0,5 an. Wie viele derartige Ereignisse C gibt es? c) Begründe, warum zwei Ereignisse D und E mit P(D) = P(E) = 3 abhängig sind. 4 Seite 8 von 10

9 a) (A B) = {1,4} P(A) = 6 = P(B) = 4 = P(A B) = 2 = 1 = P(A) P(B) 12 6 A und B sind stochastisch unabhängig b) C muss 6 Elemente enthalten und da P(A C) = P(A) P(C) = 1 = 3 gelten soll, 4 12 muss C genau drei Elemente mit A gemeinsam haben. z. B. C= {1; 2; 3; 9; 11; 12} Es gibt ( 6 3 ) (6 ) = 400 solche Ereignisse 3 c) Falls D und E unabhängig waren, müsste P(D E) = P(D) P(E) = 9 16 gelten. Die Zahl der Elemente der Schnittmenge von D und E liegt zwischen 6 und 9. Die Mächtigkeit des Ergebnisraums ist 12. Also ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge entweder 6 ; 7 ; 8 oder 9 9, aber nicht Aufgabe Personen, darunter 3000 Frauen, unterziehen sich einem Farbensehtest Personen bestehen diesen erfolgreich. 30 Frauen erweisen sich als farbenfehlsichtig. a) Wie viele Männer haben den Test bestanden? b) Überprüfe die Ereignisse F: Eine zufällig ausgewählte Person ist farbenfehlsichtig und W: Eine zufällig ausgewählte Person ist weiblich auf stochastische Abhängigkeit. c) Eine aus den Testteilnehmern zufällig ausgewählte Person ist farbensichtig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich dabei um eine Frau? a) Insgesamt unterziehen sich Personen diesem Farbsehtest, davon sind 3000 Personen weiblich = 7000 Personen sind männlich. Insgesamt haben 9340 Personen den Test bestanden, somit haben = 660 Personen den Test nicht bestanden. Von diesen 660 Personen waren 30 Frauen = 630 Personen die den Test nicht geschafft haben sind Männer. Somit sind von 7000 Männern, 630 durch den Test gefallen = 6370 Männer haben den Test bestanden. b) W W F F Seite 9 von 10

10 P(F W) = = 0,3 % P(F) P(W) = = 1,98% F und R sind stochastisch abhängig. c) gesucht: P F (W) P F (W) = P(F W) P(F) = 0,003 = 1 = 0,045 = 4,5% 0, Unter dieser Bedingung handelt es sich, bei der zufällig ausgewählten Person, somit nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% um eine Frau. Seite 10 von 10

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