Geometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Geometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene"

Transkript

1 Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 207. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden, Ebenen Geometrie 2 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene. Vektoren, Definitionen und Beispiele Im zwei- oder dreidimensionalen Raum betrachten wir ein beliebiges Punktepaar (A, E), wobei A den Anfangspunkt und E den Endpunkt bezeichnet, und bezeichnen dieses Paar als Pfeil. Eine Menge von parallelen Pfeilen mit gleicher Orientierung und gleicher Länge bezeichnet man als Vektor, Kurzbezeichnung a mit Länge oder Betrag a. Zwei Vektoren heißen parallel ( a b), wenn alle zugehörigen Pfeile parallel sind.

2 Geometrie 3 Vektoroperationen Addition: c = a+ b (Parallelogrammregel) Rechenregeln: a+ b = b+ a ( a+ b)+ c = a+( b+ c) a+ 0 = a a+( a) = 0 Geometrie 4 Multiplikation mit einer Zahl λ R: c = λ a c a, Länge von c ist gleich der Länge von a multipliziert mit dem Faktor λ, a = a Rechenregeln (λ,µ R): λ (µ a) = (λ µ) a (λ+µ) a = λ a+µ a λ ( a+ b) = λ a+λ b Definition: Man nennt drei Vektoren a, b, c linear abhängig, wenn reelle Zahlen α,β,γ mit (α,β,γ) (0,0,0) existieren, so dass α a+β b+γ c = 0.

3 Geometrie 5.2 Vektorrechnung der Ebene unter Verwendung eines Koordinatensystems Vorgabe eines Nullpunktes O und von zwei linear unabhängigen Vektoren e, e 2 (Basisvektoren) mit Länge. Die zwei Vektoren sollen außerdem senkrecht aufeinander stehen. Bild: Geometrie 6 Dann kann jeder beliebige Vektor x eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden x = x e +x 2 e 2 und zu seiner Beschreibung genügen die Koordinaten x,x 2 x = x x 2 Jeder Punkt P(x, y) des (kartesischen) Koordinatensystems ist Endpunkt eines Vektors x, dem Ortsvektor von P mit Bezeichnung: OP Länge (Betrag) des Vektors = Abstand des Punktes P vom Nullpunkt x = x 2 +y 2 = OP Abstand von zwei Punkten P(x,y ) und S(x 2,y 2 ): PS = OS OP = (x2 x ) 2 +(y 2 y ) 2

4 Geometrie 7 Wir betrachten die Menge aller Ortsvektoren gleicher Länge r: x 2 +y 2 = r 2 EinKreis istdiemengeallerpunkte, fürdiederabstandvomnullpunkt konstant = r ist. x 2 +y 2 = 4 Geometrie 8.3 Geraden in der Ebene Parameterdarstellung Sei P ein Punkt auf einer Gerade g mit Ortsvektor r = OP und a ein zu g paralleler Vektor ( a g). Dann lautet eine Parameterdarstellung der Geraden r = OP +t a (t R), wobei r = x y den Ortsvektor zu einem Punkt P(x,y) auf der Geraden, a den Richtungsvektor, t den Parameter bezeichnet. r = OP +t P P 2 (t R) ist Parameterdarstellung der Geraden durch die Punkte P,P 2.

5 Geometrie 9 x y = 2 +t, t R Eine parameterfreie Darstellung dieser Geraden lautet: y y = y 2 y x 2 x (x x ) = y = a x+b, wobei a den Anstieg, b den Achsenabschnitt bezeichnet. Geometrie 0 Beispiel x y = 2 +t, t R Umwandlung in eine parameterfreie Darstellung:

6 Geometrie.4 Verschiebung des Koordinatensystems x = x+u y = y +v bzw. x = x u y = y v Kreis x 2 +y 2 = r 2 und Verschiebung des Koordinatensystems (x u) 2 +(y v) 2 = r 2 Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt M(u,v) und Radius r im x,y -Koordinatensystem. Geometrie 2 2 Vektorrechnung des Raumes unter Verwendung eines Koordinatensystems 2. Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt Vorgabe eines Nullpunktes und von drei linear unabhängigen Vektoren e, e 2, e 3 (Basisvektoren) mit Länge. Die drei Vektoren sollen außerdem senkrecht aufeinander stehen und ein Rechtssystem bilden. Bild:

7 Geometrie 3 Dann kann jeder beliebige Vektor x eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden x = x e +x 2 e 2 +x 3 e 3 und zu seiner Beschreibung genügen die Koordinaten x,x 2,x 3 R x = Jeder Punkt P(x, y, z) des (kartesischen) Koordinatensystems ist Endpunkt eines Vektors x, dem Ortsvektor von P mit Bezeichnung: OP Länge (Betrag) des Vektors = Abstand des Punktes P vom Nullpunkt x x 2 x 3 x = x 2 +y 2 +z 2 = OP Geometrie 4 Skalarprodukt: a b := a b cos ( a, b) a a b b = a 2 b 2 = a b +a 2 b 2 +a 3 b 3 a 3 b 3 Rechenregeln: a b = b a a a = a 2 a b = a b = 0 Anwendung:

8 Geometrie 5 Vektorprodukt: c := a b mit c a und c b a, b, c bilden ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel) und c = a b sin ( a, b) a a 2 b b 2 = a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b a b 3 a 3 b 3 a b 2 a 2 b Rechenregeln: a b = b a a ( b+ c) = a b+ a c a b = a b = a b, (β b) b = 0 Geometrie 6 Anwendung: Flächeninhalt eines Dreiecks

9 Geometrie 7 Spatprodukt: [ a b c] := ( a b) c Bild: Rechenregeln: [ a b c] = a b c cos ( a b, c) [ a b c] = [ b a c] a, b, c linear abhängig = [ a b c] = 0 Anwendung: Volumenberechnung Geometrie Geraden und Ebenen Gerade Sei P ein Punkt auf einer Gerade g mit Ortsvektor r = OP und a g. Dann lautet eine Parameterdarstellung der Geraden r = r(t) = OP +t a (t R), x wobei r = y Ortsvektor zu einem Punkt P(x,y,z) z auf der Geraden, a Richtungsvektor, t Parameter. r = OP +t P P 2 (t R) ist Parameterdarstellung der Geraden durch die Punkte P,P 2.

10 Geometrie 9 Beispiele:. P (,2,3) a = P (,2,3) P 2 (,2,3) 3. P (,2,0) a = 2 0 Geometrie 20 speziell Geraden in der Ebene (z = 0) Sei n ein Normalenvektor zum Richtungsvektor a (d.h. n a = 0). 0 = ( r r ) n = (x x )n +(y y )n 2 = n x+n 2 y d, wobei d = n r = n x +n 2 x 2 bzw. y = n n 2 x+ d n 2.

11 Geometrie 2 Ebene: Sei P ein Punkt auf einer Ebene E mit Ortsvektor r = OP und a, b linear unabhängige, die Ebene aufspannende Vektoren. Dann lautet eine Parameterdarstellung der Ebene x r(s,t) = OP +t a+s b (s,t R), wobei r(s,t) = y z Ortsvektor von Punkt P(x,y,z) auf der Ebene, s,t Parameter. r(s,t) = OP +t P P 2 +s P P 3 (s,t R) ist Parameterdarstellung der Ebene durch die Punkte P,P 2,P 3. Geometrie 22 P (,2,3),P 2 (2,3,0),P 3 (, 2,). 2 r(s,t) = 2 +t +s , (s,t R) Parameterfreie Darstellung einer Ebene: Sei n Normalenvektor der Ebene mit n = a b. Man erhält r n = OP n+t a n+s b n bzw. 0 = ( r OP ) n = (x x ) n +(y y ) n 2 +(z z ) n 3 als parameterfreie Darstellung der Ebene, d.h. eine Gleichung der Form: A x+b y+c z = D

12 Geometrie 23 Mit n n = n 2 +n 2 2 +n2 3 n n 2 n 3 Normalenvektor der Länge erhält man als Spezialfall die sog. Hessesche Normalform der Ebene: 0 = ( r OP ) n n = (x x ) n n +(y y ) n2 n +(z z ) n3 n a Mit der Bezeichnung: n n = b folgt ax+by +cz = d 0, c wobei d 0 = x a+y b+z c der (orientierte) kürzeste Abstand der Ebene vom Nullpunkt ist. Geometrie 24

13 Geometrie 25 3 Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden, Ebenen Abstand des Punktes P(x,y,z) von einer Ebene: d = ( OP OP ) n n r(s,t) = 2 3 +t 3 +s 2 4 2, (s,t R) und P(,,2): Geometrie 26 Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden Zwei Geraden g,g 2 können - parallel sein, - einen Schnittpunkt besitzen oder - windschief sein.

14 Geometrie 27 Beispiele:. r (t) = 2 +t 0, r 2(s) = s 3 0 3, (s,t R) r (t) = 2 +t r (t) = 5 +t 2, r 2(s) =, r 2(s) = s +s 2 5, (s,t R) 3 4 3, (s,t R) Geometrie 28 Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen Zwei Ebenen E,E 2 können - parallel sein - eine Schnittgerade besitzen oder - identisch sein. Beispiele:. ǫ : 3x+2z = 0, ǫ 2 : 3x+2z = 4 2. ǫ : 3x+2y z = 3, ǫ 2 : 3x+2y z + = 0 3. ǫ : 3x+2z = 4, ǫ 2 : 6x+4z = 8

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,

Mehr

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015 Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt

Mehr

Formelsammlung Analytische Geometrie

Formelsammlung Analytische Geometrie Formelsammlung Analytische Geometrie http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. August 6 Inhaltsverzeichnis 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene......................................... 6..

Mehr

Mathematik Analytische Geometrie

Mathematik Analytische Geometrie Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,

Mehr

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil 1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg

Mehr

Basistext Geraden und Ebenen

Basistext Geraden und Ebenen Basistext Geraden und Ebenen Parameterdarstellung Geraden Eine Gerade ist durch zwei Punkte P und Q, die auf der Geraden liegen, eindeutig festgelegt. Man benötigt zur Darstellung den Vektor. Dieser wird

Mehr

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x = Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.

Mehr

Analytische Geometrie II

Analytische Geometrie II Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor

Mehr

Vektoren, Vektorräume

Vektoren, Vektorräume Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010

Mehr

00. Einiges zum Vektorraum R n

00. Einiges zum Vektorraum R n 00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen

Mehr

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter

Mehr

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64 1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:

Mehr

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01 . Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:

Mehr

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme?

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs

Mehr

Vektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1

Vektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren Kapitel 13 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren 131 Denition: Vektoren im Zahlenraum Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen,

Mehr

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt: Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:

Mehr

3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60

3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt

Mehr

Definition von R n. Parallelverschiebungen in R n. Definition 8.1 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R... R (n-mal), d.h.

Definition von R n. Parallelverschiebungen in R n. Definition 8.1 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R... R (n-mal), d.h. 8 Elemente der linearen Algebra 81 Der euklidische Raum R n Definition von R n Definition 81 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R R (n-mal), dh R n = {(x 1, x 2,, x n ) : x

Mehr

Kapitel VI. Euklidische Geometrie

Kapitel VI. Euklidische Geometrie Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und

Mehr

Zusammenfassung der Analytischen Geometrie

Zusammenfassung der Analytischen Geometrie Zusammenfassung der Analytischen Geometrie 1. Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation, Linearkombinationen) 1. Gegeben sind die Punkte A(2-6 ) und B(-1 14-4), 4 4 sowie die Vektoren

Mehr

Vektorrechnung Raumgeometrie

Vektorrechnung Raumgeometrie Vektorrechnung Raumgeometrie Sofja Kowalewskaja (*1850, 1891) Hypatia of Alexandria (ca. *360, 415) Maria Gaetana Agnesi (*1718, 1799) Emmy Noether (*1882 1935) Émilie du Châtelet (*1706, 1749) Cathleen

Mehr

Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt

Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches

Mehr

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier

Mehr

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme 1 Inhalt Einleitung 2 1 Koordinatensysteme 2 1.1 Kartesisches Koordinatensystem 2 1.2 Polarkoordinaten 3 1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten 3

Mehr

3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen . Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen

Mehr

Vektorgeometrie. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)

Vektorgeometrie. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) fua3673 Fragen und Antworten Vektorgeometrie (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis Vektorgeometrie im Raum. Fragen................................................. Allgemeines..........................................

Mehr

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1 2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach

Mehr

Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra

Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 1 /27 Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra 8. Das Skalarprodukt, metrische

Mehr

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch. Januar Inhaltsverzeichnis Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt. Aufgaben....................................................

Mehr

Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen

Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen von Richard Mohr. Auflage Hanser München 0 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 446 455 4 Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei

Mehr

Das Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie "Träger" oder "Fahrer".

Das Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie Träger oder Fahrer. Was ist ein Vektor? Das Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie "Träger" oder "Fahrer". Vektoren sind Listen von Zahlen. Man kann einen Vektor darstellen, indem man seine Komponenten

Mehr

Grundlagen der Vektorrechnung

Grundlagen der Vektorrechnung Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt

Mehr

Lehrskript Mathematik Q12 Analytische Geometrie

Lehrskript Mathematik Q12 Analytische Geometrie Lehrskript Mathematik Q1 Analytische Geometrie Repetitorium der analytischen Geometrie Eine Zusammenfassung der analytischen Geometrie an bayerischen Gymnasien von Markus Baur, StR Werdenfels-Gymnasium

Mehr

Algebra 3.

Algebra 3. Algebra 3 www.schulmathe.npage.de Aufgaben 1. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 3), B( ) sowie für jedes a (a R) ein Punkt P a (a a a) gegeben. a) Zeigen Sie, dass alle Punkte

Mehr

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. 1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit

Mehr

Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik:

Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: Vektorrechnung 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: - skalare Größen: Länge [m], Zeit [sec], Masse [kg], Energie [N m], elektr. Spannung [V ],... gekennzeichnet durch: Maßzahl ( R) [Maßeinheit]

Mehr

Vorkurs Mathematik B

Vorkurs Mathematik B Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein

Mehr

Geometrie Q11 und Q12

Geometrie Q11 und Q12 Skripten für die Oberstufe Geometrie Q und Q. E: x + 3x 4 = 0 A 3 H. Drothler 0 www.drothler.net Geometrie Oberstufe Seite Inhalt 0. Das räumliche Koordinatensystem... 0. Vektoren...3 03. Vektorketten...4

Mehr

Mathematik. Lernbaustein 6

Mathematik. Lernbaustein 6 BBS Gerolstein Mathematik Mathematik für die Berufsoberschule II Lernbaustein 6 Modellieren von Realsituationen mit Hilfe der Vektorrechnung www.p-merkelbach.de/bos/mathe/matheskript-bos- Lernbaustein

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2013/14): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2013/14): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 3/4): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe 4) Im R 3 seien die beiden Ebenen E : 6x+4y z = und E : +s +t 4 gegeben.

Mehr

Analytische Geometrie I

Analytische Geometrie I Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend

Mehr

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2 Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit

Mehr

Von einem Vektor spricht man, wenn mehrere reelle (manchmal auch komplexe) Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge zusammengefasst werden.

Von einem Vektor spricht man, wenn mehrere reelle (manchmal auch komplexe) Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge zusammengefasst werden. 2. Vektorrechnung 2.1 Begriffe Von einem Vektor spricht man, wenn mehrere reelle (manchmal auch komplexe) Zahlen in einer estimmten Reihenfolge zusammengefasst werden. Schreit man die Zahlen untereinander,

Mehr

Arbeitsblatt 1 Einführung in die Vektorrechnung

Arbeitsblatt 1 Einführung in die Vektorrechnung Arbeitsblatt Einführung in die Vektorrechnung Allgemein Vektoren sind physikalische Größen und durch ihre Richtung und ihren Betrag festgelegt. Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil dargestellt,

Mehr

Geometrische Objekte im 3-dimensionalen affinen Raum oder,... wie nützlich ist ein zugehöriger Vektorraum der Verschiebungen

Geometrische Objekte im 3-dimensionalen affinen Raum oder,... wie nützlich ist ein zugehöriger Vektorraum der Verschiebungen Geometrische Objekte im -dimensionalen affinen Raum Bekanntlich versteht man unter geometrischen Objekten Punktmengen, auf die man die üblichen Mengenoperationen wie z.b.: Schnittmenge bilden: - aussagenlogisch:

Mehr

Analytische Geometrie Seite 1 von 6. Die Addition von Vektoren kann veranschaulicht werden durch das Aneinanderhängen von Pfeilen.

Analytische Geometrie Seite 1 von 6. Die Addition von Vektoren kann veranschaulicht werden durch das Aneinanderhängen von Pfeilen. Analytische Geometrie Seite 1 von 6 1. Wichtige Formeln AB bezeichnet den Vektor, der die Verschiebung beschreibt, durch die der Punkt A auf den Punkt B verschoben wird. Der Vektor, durch den die Verschiebung

Mehr

Inhaltsverzeichnis Band 2b Analytische Geometrie. 1. Vektoralgebra

Inhaltsverzeichnis Band 2b Analytische Geometrie. 1. Vektoralgebra Inhaltsverzeichnis Band b Analytische Geometrie Auf der beigefügten CD befinden sich zwei Verzeichnisse: Inhalt_Mathcad und Inhalt_pdf In diesen Verzeichnissen sind alle Mathcad-Dateien (***.xmcd) und

Mehr

einführendes Beispiel: In der Skizze ist die durch die Punkte A(2, 4, 3) B(2, 6, 2) C(4, 4, 2) festgelegte Ebene ε dargestellt.

einführendes Beispiel: In der Skizze ist die durch die Punkte A(2, 4, 3) B(2, 6, 2) C(4, 4, 2) festgelegte Ebene ε dargestellt. 6 4. Darstellung der Ebene 4. Die Parametergleichung der Ebene einführendes Beispiel: In der Skizze ist die durch die Punkte A(2, 4, 3) B(2, 6, 2) C(4, 4, 2) festgelegte Ebene ε dargestellt. 0 2 r uuur

Mehr

1 Einführung in die Vektorrechnung

1 Einführung in die Vektorrechnung 3 1 Einführung in die Vektorrechnung Neben der Integral- und Differentialrechnung ist die Vektorrechnung eine der wichtigsten mathematischen Disziplinen für die Ausbildung in einem Ingenieurfach, da in

Mehr

Lineare Algebra in der Oberstufe

Lineare Algebra in der Oberstufe Lineare Algebra in der Oberstufe Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. April 2016 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 11. April 2016 1 / 21 Übersicht Ziel dieses Kapitels

Mehr

2.2 Kollineare und koplanare Vektoren

2.2 Kollineare und koplanare Vektoren . Kollineare und koplanare Vektoren Wie wir schon gelernt haben, können wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängern oder verkürzen. In Abbildung 9 haben u und v die gleiche Richtung,

Mehr

Rechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene

Rechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene Rechnen mit 1. im Koordinatensystem 1.1. Freie in der Ebene 1) Definition Ein Vektor... Zwei sind gleich, wenn... 2) Das ebene Koordinatensystem Wir legen den Koordinatenursprung fest, ferner zwei zueinander

Mehr

1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt

1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt Version vom 4. Januar 2007 Gleichungen von Geraden in der Ebene 1999 Peter Senn * 1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt In dieser Form lautet die Gleichung der Geraden wie folgt: g:

Mehr

6. Vektor- und Koordinaten-Geometrie.

6. Vektor- und Koordinaten-Geometrie. 6. Vektor- und Koordinaten-Geometrie. Jeder endlichen Menge, etwa der Menge kann man durch M = {,,, }. R 4 (M) = { a 1 + a 2 + a 3 + a 4 a i R } die Menge der formalen Linearkombinationen zuordnen. Es

Mehr

Vektorprodukte und analytische Geometrie

Vektorprodukte und analytische Geometrie KAPITEL 4 Vektorprodukte und analytische Geometrie 4. Vektorprodukte.................................... 8 4. Skalarprodukt für Vektoren im R n.......................... 8 4. Anwendung des Skalarprodukts..........................

Mehr

Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen

Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Michael Goerz 8. April 006 Inhalt Vektoren, Geraden und Ebenen. Länge eines Vektors.......................... Skalarprodukt..............................

Mehr

a b b 1 b 2 bzgl. einer ONB (Orthonormalbasis) heißt der a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b b 3 a 1 b 2 a 2 b 1

a b b 1 b 2 bzgl. einer ONB (Orthonormalbasis) heißt der a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 VIII. Vektor- und Spatprodukt ================================================================== 8.1 Das Vektorprodukt -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe

Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe Was ist ein Vektor? Wie lassen sich Vektoren darstellen? Theorie 1 2 / 2 Grundbegriffe Antwort : Ein Vektor ist die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten

Mehr

3.6 Einführung in die Vektorrechnung

3.6 Einführung in die Vektorrechnung 3.6 Einführung in die Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors 2 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor 4 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 5 3. Addition von zwei Vektoren..................................

Mehr

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n-

Mehr

4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-7.. Aufgabe G (Geraden im R ) Bestimmen

Mehr

Lektionen zur Vektorrechnung

Lektionen zur Vektorrechnung Die Homepage von Joachim Mohr Start Mathematik Lektionen zur Vektorrechnung in Aufgaben Diese Datei kann auch als PDF-Datei heruntergeladen werden. Download... Es handelt sich um " Basisaufgaben " der

Mehr

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man

Mehr

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester 2012 c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe 1: Berechnen Sie den Abstand d der Punkte P 1 und

Mehr

Lösungen der Übungsaufgaben III

Lösungen der Übungsaufgaben III Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben III C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim 6. Man konstruiere die Winkelhalbierende eines beliebigen Winkels analog zur Konstruktion

Mehr

Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. 13)

Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. 13) Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. ) Sei V Vektorraum über R. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung V V R, (x, y) x, y mit den Eigenschaften () x, y = y, x (symmetrisch), () ax, y = a x, y und x +

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz wwwmathe-aufgabencom September 6 Abituraufgaben (Haupttermin) Aufgabe

Mehr

Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen

Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Sommersemester 2012 Bernhard Burgeth Universität des Saarlandes c 2010 2012, Bernhard Burgeth 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 2 1 Vektoren in der Ebene und

Mehr

5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge.

5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge. 1. Definition von drei Vektoren sind l.u. 2. Wie überprüft man 3 Vektoren mit Hilfe eines LGS auf lineare Unabhängigkeit? 3. Definition von Basis?... wenn sich der Nullvektor nur als triviale LK darstellen

Mehr

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 2016 A. Kersch

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 2016 A. Kersch Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 206 A. Kersch Vektoren. Vektorrechnung Definition Ein Vektor ist eine gerichtete Größe welche einen Betrag ( Zahl und eine Richtung ( in 2D, 2 in 3D hat. Alternativ

Mehr

Studiengänge) Beispiele

Studiengänge) Beispiele Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche Studiengänge) Beispiele Prof. Dr. Udo Hebisch Diese Beispielsammlung ergänzt das Vorlesungsskript und wird ständig erweitert. DETERMINANTEN Determinanten

Mehr

Outline. 1 Vektoren im Raum. 2 Komponenten und Koordinaten. 3 Skalarprodukt. 4 Vektorprodukt. 5 Analytische Geometrie. 6 Lineare Räume, Gruppentheorie

Outline. 1 Vektoren im Raum. 2 Komponenten und Koordinaten. 3 Skalarprodukt. 4 Vektorprodukt. 5 Analytische Geometrie. 6 Lineare Räume, Gruppentheorie Outline 1 Vektoren im Raum 2 Komponenten und Koordinaten 3 Skalarprodukt 4 Vektorprodukt 5 Analytische Geometrie 6 Lineare Räume, Gruppentheorie Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende

Mehr

Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans

Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans josef.coenen@web.de Abitour Analytische Geometrie Leistungskurs Aufgaben 1. Welche Lagebeziehungen zwischen

Mehr

1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 )

1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 ) Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 Vorlesung Elektrodynamik LAG PD Dr. Angelika Chassé) Vektoralgebra 3D euklidischer Raum R 3 ). Grundbegriffe = Vektordefinition

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie

Lineare Algebra und analytische Geometrie TI voyage 200 Kompaktwissen Lineare Algebra und analytische Geometrie Eine kleine Hilfe für Schüler der DSB Seite 2 TI voyage 200 Kompaktwissen Algebra/Geometrie Diese Anleitung soll helfen, Aufgaben aus

Mehr

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen

Mehr

Arbeitsblatt Mathematik 2 (Vektoren)

Arbeitsblatt Mathematik 2 (Vektoren) Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW Hochschule für Technik Institut für Mathematik und Naturwissenschaften Arbeitsblatt Mathematik (Vektoren Dozent: - Brückenkurs Mathematik / Physik 6. Aufgabe Gegeben

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Themen des Pflichtteils... Analysis Von der Gleichung

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt

Mehr

5.4 Vektorgeometrie. 1 Repetition der Vektorgeometrie I Freie Vektoren, Ortsvektoren Die skalare Multiplikation eines Vektors...

5.4 Vektorgeometrie. 1 Repetition der Vektorgeometrie I Freie Vektoren, Ortsvektoren Die skalare Multiplikation eines Vektors... 5.4 Vektorgeometrie Inhaltsverzeichnis Repetition der Vektorgeometrie I. Freie Vektoren, Ortsvektoren................................... Die skalare Multiplikation eines Vektors.............................3

Mehr

Lehrplan 2013: Klassenstufe 11: 2015/16 Klassenstufe 12: 2016/17 Analytische Geometrie und Vektorrechnung

Lehrplan 2013: Klassenstufe 11: 2015/16 Klassenstufe 12: 2016/17 Analytische Geometrie und Vektorrechnung Lehrplan 2013: Klassenstufe 11: 2015/16 Klassenstufe 12: 2016/17 Analytische Geometrie und Vektorrechnung Erfurt, 05.03.2015 Wolfgang Häfner Analytische Geometrie und Vektorrechnung Änderungen im Lehrplan

Mehr

Analytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden

Analytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden Analytische Geometrie - Schnittwinkel. Möglichkeiten und Formeln Gerade / Gerade: cos( ) = u u 2 u u 2 Gerade / Ebene: sin( ) = n u n u Ebene / Ebene: cos( ) = n n 2 n n 2 u, u 2 Richtungsvektoren der

Mehr

Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra

Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra Inhalt 0. Inhalt 1. Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Verfahren. Vektorrechnung 3. Lagebestimmungen von Punkt, Geraden und Ebenen 4. Skalarprodukt, Längen

Mehr

2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n

2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n 2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n f ist in dem Fall ein Weg in R n. Das Bild f(t) des Weges wird als Kurve

Mehr

Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test

Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Wintersemester 2012/2013 Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test Aufgabe 1: Bruchrechnung Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf (a) x x 2 1

Mehr

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung: Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben

Mehr

x 3 Genau dann liegt ein Punkt X mit dem Ortsvektor x auf g, wenn es ein λ R gib,t so dass

x 3 Genau dann liegt ein Punkt X mit dem Ortsvektor x auf g, wenn es ein λ R gib,t so dass V. Geradengleichungen in Parameterform 5. Definition ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 3 v a x x x Definition und Satz :

Mehr

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1 Analytische Geometrie mit dem Voyage. Vektoren Vektoren lassen sich definieren in eckigen Klammern. Setzt man ein Semikolon zwischen die einzelnen Komponenten, so ergibt sich ein Spaltenvektor. Ein Spaltenvektor

Mehr

Vektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben.

Vektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben. Vektorgeometrie 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren u 14, 5 11 10 v 2 und w 5 gegeben. 10 10 a) Zeigen Sie, dass die Vektoren einen Würfel

Mehr

Übung Elementarmathematik im WS 2012/13. Lösung zum Klausurvorbereitung IV

Übung Elementarmathematik im WS 2012/13. Lösung zum Klausurvorbereitung IV Technische Universität Chemnitz Fakultät für Mathematik Dr. Uwe Streit Jan Blechschmidt Aufgabenkomplex 7 - Vektoren Übung Elementarmathematik im WS 202/3 Lösung zum Klausurvorbereitung IV. (5 Punkte -

Mehr

Vektorprodukt. Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin & &

Vektorprodukt. Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin & & Vektorprodukt Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin 18.02.2004 & 17.02.2005 & 11.07.2005 zu den Vorlesungen Lineare Algebra und analytische Geometrie I (L) im WS 2003/2004, Mathematik

Mehr

Lösungen der 1. Lektion

Lösungen der 1. Lektion Lektionen der Vektorrechnung in Aufgaben Lösungen Schickt mir bei Entdeckung eines Fehlers oder Unklarheiten bitte eine e-mail! Lösungen der 1. Lektion Es ist hier unerheblich, wie Vektoren definiert werden.

Mehr

8 SKALARPRODUKT VON VEKTOREN BERECHNEN GEOMETRISCHER GRÖSSEN

8 SKALARPRODUKT VON VEKTOREN BERECHNEN GEOMETRISCHER GRÖSSEN 8 SKALARPRODUKT VON VEKTOREN BERECHNEN GEOMETRISCHER GRÖSSEN 7 7. a) s = ; s = 5, 5, 5 Über den Satz des Pythagoras ist die Länge der Vektoren bestimmbar. Die Länge von = ist = + +. s 6,9 m und s 6,97

Mehr

Definition, Grundbegriffe, Grundoperationen

Definition, Grundbegriffe, Grundoperationen Aufgaben 1 Vektoren Definition, Grundbegriffe, Grundoperationen Lernziele - einen Vektor korrekt kennzeichnen bzw. schreiben können. - wissen, was ein Gegenvektor ist. - wissen, wie die Addition zweier

Mehr

Die Nummerierung des Buches wurde für die leichtere Orientierung beibehalten. 1. VEKTOREN UND IHRE GEOMETRISCHE BEDEUTUNG

Die Nummerierung des Buches wurde für die leichtere Orientierung beibehalten. 1. VEKTOREN UND IHRE GEOMETRISCHE BEDEUTUNG 1 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken aus Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I von Hans Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie das Buch auch

Mehr

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen mit Hilfe der Normalenform

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen mit Hilfe der Normalenform Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen mit Hilfe der Normalenform Bernhard Scheideler Albrecht-Dürer-Gymnasium Hagen Hilfen zur Analytischen Geometrie (). Dezember 0 Inhalt: Die Lagebeziehungen zwischen

Mehr

Vektoren - Basiswechsel

Vektoren - Basiswechsel Vektoren - Basiswechsel Grundprinzip Für rein geometrische Anwendungen verwendet man üblicherweise die Standardbasis. Damit ergibt sich in den Zahlenangaben der Koordinaten kein Unterschied zu einem Bezug

Mehr

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition) Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Kapitel 2 Analytische Geometrie 21 Vektoren Die Elemente des kartesischen Produktes R n, d h die n Tupel oder Zeilenvektoren (a 1,, a n ) mit a k R für k n, interpretiert man als Punkte eines n dimensionalen

Mehr