6.4 Oberflächenintegrale 1. und 2. Art

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1 6.4 Oberflächenintegrale. und. Art 6.4. Integration über Flächen im Raum Es gibt verschiedene Möglichkeiten der arstellung von Flächen im Raum:. explizite arstellung als Graph z = f(x, y), was aber eigentlich heißt x F := y R3 : z = f(x, y) z bzw. F := x y f(x, y) R3 : (x, y) R,. implizite arstellung als Niveaufläche f(x, y, z) = c = const, 3. Parameterdarstellung. efinition 44: Es sei eine beschränkte, abgeschlossene Menge des R, und Φ : R 3 eine einmals stetig differenzierbare Funkion (jede Komponente sei eine einmal stetig differenzierbare Funktion). Unter einem regulären Flächenstück versteht man die Abbildung Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) T, (u, v) auf mit den Eigenschaften:. Für beliebige Punkte (u, v) = (u, v ) aus ist stets Φ(u, v) = Φ(u, v ). (ie Abbildung Φ ist eineindeutig.). Φ u (u, v) Φ v (u, v) = für alle (u, v). (ie Tangentialvektoren sind allen Punkten (u, v) linear unabhängig.) ie ituation ist ähnlich zum ebenen Fall, aber die Abbildung Φ bildet jetzt in den dreidimensionalen Raum ab:

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3 Bemerkung 3: Man nennt auch den Parameterbereich und die Kurvenscharen u Φ(u, v), v = const, v Φ(u, v), u = const, heißen Parameterlinien. ie Tangentialvektoren sind Φ u (u, v) = x u (u, v) y u (u, v) z u (u, v) mit deren Hilfe sich die Flächennormale zu und Φ v (u, v) = x v (u, v) y v (u, v) z v (u, v) n = Φ u Φ v Φu Φv ergibt. ie von Φu und Φv aufgespannte Ebene durch den Flächenpunkt Φ(u, v ) ist die Tangentialebene mit der Parameterdarstellung: Für eine reguläre Kurve γ(t) = das Bild Φ(u, v ) + λ Φu (u, v ) + Φ v (u, v ), λ, µ R. ( u(t) v(t) ) Φ( γ(t)) = Φ(u(t), v(t)), t t t, im Parameterbereich ist 3

4 eine reguläre Flächenkurve, deren Tangentialvektor d Φ(u(t), v(t)) dt = Kettenregel Φ u u(t) + Φ v v(t) in der Tangentialebene durch Φ(u, v) liegt. ie Bogenlänge ergibt sich wegen s = t t d Φ dt dt Φ ( ) = Φ Φ = Φu u(t) + Φv v(t) aus den metrischen Fundamentalgrößen ( ) Φu u(t) + Φv v(t) = Φ u Φ u u + Φ u Φ v u v + Φ v Φ u v E := Φ u Φ u, F := Φ u Φ v und G := Φ v Φ u. Mit Hilfe der metrischen Fundamentalgrößen läßt sich auch Φu Φv berechnen (deshalb sind die metrischen Fundamentalgrößen eigentlich von Interesse). Aus der Identität a b = a b sin ( a, b) = a b ( cos ( a, b) = = a b a b cos ( a, b) = a b ( a b) ist Φu Φv = Φu Φv ( Φu Φv ) = EG F. Beispiel 3: Bestimmung der metrischen Fundamentalgrößen für sphärische Koordinaten. x(ψ, ϕ) = r sin ψ cos ϕ, y(ψ, ϕ) = r sin ψ sin ϕ, z(ψ, ϕ) = r cos ψ, ψ π, ϕ π, und r ist der fest gewählte Radius der Kugeloberfläche, die Tangentialvektoren sind 4

5 Φψ = x ψ y ψ z ψ = r cos ψ cos ϕ r cos ψ sin ϕ r sin ψ und die metrischen Fundamentalgrößen sind und Φ ϕ = x ϕ y ϕ z ϕ = E := Φψ Φψ = r cos ψ cos ϕ + r cos ψ sin ϕ + r sin ψ = r, r sin ψ sin ϕ r sin ψ cos ϕ F := Φ ψ Φ ϕ = r cos ψ cos ϕ sin ψ sin ϕ + r cos ψ sin ϕ sin ψ cos ϕ =, G := Φϕ Φψ = r sin ψ sin ϕ + r sin ψ cos ϕ = r sin ψ. Beispiel 4: Bogenlänge (Länge) eines Kleinkreises auf einer Kugel mit dem Radius R. Ein Großkreis hat immer den Mittelpunkt im Mittelpunkt der Kugel und damit den Radius R, der Kleinkreis verläuft auf der Kugeloberfläche, sein Mittelpunkt befindet sich aber nicht im Kugelmittelpunkt und folglich ist sein Radius r kleiner als R. Er hängt vom eingezeichneten Öffnungswinkel ab. Wir wollen die Länge (Bogenlänge) aber mit Hilfe der Fundamentalgrößen berechnen. azu benötigen wir eine Parameterkurve, die das Urbild des Kleinkreises ist. Offensichlich ist die Kugeloberfläche rotationssymmetrisch und wir können einen Kleinkreis ( ) ψ(t) wie im Bild angegeben betrachten. Er entsteht aus der ebenen Kurve γ(t) = ϕ(t) mit ψ(t) = ψ und ϕ(t) = t, t π. ann ergibt sich die Bogenlänge = Länge des Kleinkreises zu s = π Φ(ψ(t), π ϕ(t)) dt = = π E ψ (t) + F ψ(t) ϕ(t) + G ϕ (t) dt + + R sin ψ(t) dt = π R sin ψ Flächeninhalt x(u, v) ei Φ : R R R 3, Φ(u, v) = y(u, v), die Parameterdarstellung eines regulären Flächenstücks. Ein kleines Teilstück lässt sich näherungsweise z(u, v) darstellen 5

6 als Parallelogramm O, das den Flächeninhalt O( O) = Φu (u, v ) Φv (u, v ) u v = EG F u v besitzt. Wird nun durch ein Netz von Parameterlinien in n Teilstücke,, n, zerlegt und jedes Teilstück i durch das entsprechende Parallelogramm mit dem Flächeinhalt O i = Φ u (u i, v i ) Φ v (u i, v i ) u v approximiert, dann ergibt sich bei stets fei- ner werdender Teilung der Grenzwert lim n ( u) + ( v) n i= den Flächeninhalt von. Φ u (u i, v i ) Φ v (u i, v i ) u v = Φ u (u, v) Φ v (u, v) du dv R er Flächeninhalt O() eines regulären Flächenstücks Φ : R 3 ist O() = Φu (u, v) Φv (u, v) du dv = EG F du dv mit den metrischen Fundamentalgrößen E, F und G. as skalare Flächenelement (Oberflächenelement) ist do = Φ u (u, v) Φ v (u, v) du dv und das vektorielle Flächenelement (Oberflächenelement) ist d O = ( Φu (u, v) Φv (u, v)) du dv. Beispiel 5: Oberfläche des Torus. er Torus entsteht durch die rehung des Kreises x = R + r sin ψ, z = r cos ψ, ϕ π, mit festem innerem und äußerem Radius r bzw. R, r < R, d.h. Φ(ψ, ϕ) = (R + r sin ψ) cos ϕ (R + r sin ψ) sin ϕ r cos ψ 6

7 mit den Tangentialvektoren Φψ (ψ, ϕ) = r cos ψ cos ϕ r cos ψ sin ϕ r sin ψ und den Fundamentalgrößen: ann ist O() = und Φϕ (ψ, ϕ) = (R + r sin ψ) sin ϕ (R + r sin ψ) cos ϕ E = Φ ψ Φ ψ = r, F = Φ ψ Φ ϕ =, G = (R + r sin ψ). = πr r(r + r sin ψ) dϕ dψ = π π π r(r + r sin ψ) dϕ dψ R + r sin ψ dψ = πr (Rψ r cos ψ) π = 4π rr Oberflächenintegral einer skalaren Funktion efinition 45: Ist Φ : R R 3 eine Parameterdarstellung des regulären Flächenstücks und f ein auf stetiges kalarenfeld, dann nennt man f do := f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Φ u (u, v) Φ v (u, v) du dv = f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) EG F du dv das Oberflächenintegral. Art von f über. 7

8 RBerechnung des Oberflächenintegrals I = f do.. chritt: ie Parameterdarstellung und den Parameterbereich angeben Φ : R 3, evtl. stückweise.. chritt: ie Ableitungen Φu und Φv sowie das Oberflächenelement berechen. do := Φu (u, v) Φv (u, v) du dv = EG F du dv 3. Eintragen und Ausrechnen. Beispiel 6: as elektrostatische Potential U( a) einer homogenen mit ichte ρ geladenen Fläche im Punkt a = (a x, a y, a z ) T ist nach Coulomb U(a) = ρ x a do = ρ do. (x a x ) + (y a y ) + (z a z ) Ist der Kegelmantel x + y = z, z und a = (,, ) T, so ergibt sich ist Φt = cos ϕ sin ϕ Φ(t, ϕ) = und Φϕ = mit der Parameterdarstellung t cos ϕ t sin ϕ t, ϕ π, t, da für z = t die Gleichung sich als x + y = t darstellen lässt, also einen Kreis beschreibt, t sin ϕ t cos ϕ die metrischen Fundamentalgrößen E = Φt Φt =, F = Φt Φϕ = und G = Φϕ Φϕ = t und das skalare Oberflächenelement do = EG F dt dϕ = t, (da t ) und das elektrostatische Potential 8

9 berechnet sich zu U( a) = π = ρ π 4 ρ t + (t ) t dϕ dt = ρ π 4(t ) dt + ρ π t t + t t t + dt t t + dt = ρ π = ρ π = ρ π( ) + ρ π = (ρ π) t t + dτ (τ) + = ρ π arsinh (τ) (t ) ρ π dt = ρ π = ρ π ln (τ + dt t t + dτ τ + 4 (τ) + ) ( ln( + ) ln( + ) ) = ρ π ln + = ρ π ln(3 + ). efinition 46: Ist ein durch die Parameterdarstellung Φ : R R 3 gegebenes reguläres Flächenstück mit der Normalenrichtung n = Φ u Φv in jedem Φ u Φv Flächenpunkt und v ein auf stetiges Vektorfeld, dann nennt man das Flächenintegral der saklaren Normalkomponente v n, also v d O := ( v n)do = v ( Φ u Φ v ) Φu do = Φv Oberflächenintegral. Art bzw. Fluß von v durch. [ v, Φ u, Φ v ] Φu Φv do ] Bemerkung 3: as patprodukt [ v, Φu, Φv berechnet sich aus der eterminante von v, Φ u und Φ v wie folgt ] [ v, Φ u, Φ v = det v x u x v v y u y v v 3 z u z v. 9