Die Faktorenanalyse. Anwendung dann, wenn zwischen beobachtbaren und nicht direkt beobachtbaren Variablen ein kausales Verhältnis vermutet wird

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1 Die Faktorenanalyse Zielsetzung Datenreduktion: eine größere Anzahl von Variablen auf eine kleinere Anzahl unabhängiger Einflussgrößen zurückführen Grundlegende Idee Direkt beobachtbare Variablen spiegeln oftmals den Einfluss von Größen wider, die im Hintergrund stehen und sich einer direkten Beobachtung entziehen. Anwendung dann, wenn zwischen beobachtbaren und nicht direkt beobachtbaren Variablen ein kausales Verhältnis vermutet wird

2 Voraussetzungen der Faktorenanalyse metrisch skalierte Variablen Variablen, die untereinander korreliert sind Tests, erster Einblick mittels Korrelationsmatrix Rückführung der Variablen auf hinter ihnen stehende Einflussgrößen sollte mittels inhaltlicher Überlegungen gestützt sein

3 Das Modell der Faktorenanalyse z 1 = a 11 F 1 + a 12 F a 1m F m + a 1 U 1 z 2 = a 21 F 1 + a 22 F a 2m F m + a 2 U z n = a n1 F 1 + a n2 F a nm F m + a n U n z i die i = 1 bis n standardisierten Variablen, F j die j = 1 bis m Faktoren, a ij die Regressionskoeffizienten der Variablen auf die Faktoren und U i die Einzelrestfaktoren der jeweiligen Variablen

4 Wichtige Begriffe der Faktorenanalyse Ladung: Korrelationskoeffizient zwischen Faktor und Variablen quadrierte Ladung gibt den Varianzanteil einer Variablen an, den ein Faktor zu erklären vermag Kommunalität: Summe der quadrierten Ladungen einer Variablen mit den extrahierten Faktoren gibt an, welcher Varianzanteil der Variablen durch alle gemeinsamen Faktoren insgesamt erklärt wird Eigenwert: Summe der quadrierten Ladungen eines Faktors Division durch die Anzahl der Variablen ergibt den Anteil an der Gesamtvarianz, den der Faktor erklärt

5 Das Modell der Faktorenanalyse z 1 = a 11 F 1 + a 12 F a 1m F m + a 1 U 1 2 z 2 = a 21 F 1 + a 22 F a 2m F m + a 2 U z n = a n1 F 1 + a n2 F a nm F m + a n U n z i die i = 1 bis n standardisierten Variablen, F j die j = 1 bis m Faktoren, a ij die Regressionskoeffizienten der Variablen auf die Faktoren und U i die Einzelrestfaktoren der jeweiligen Variablen

6 Arten der Faktorenanalyse Hauptkomponentenanalyse: Faktoren, die die gesamte Varianz der Variablen erklärt U i werden als Null angenommen Faktorenanalyse im engeren Sinne: verzichtet auf diese Annahme Schätzung des Varianzanteils jeder Variablen, der durch die gemeinsamen Faktoren erklärt wird Problem der Kommunalitätenschätzung

7 Verfahrensschritte der Hauptkomponentenanalyse I 1) Faktorenextraktion Identifizierung der Faktoren, auf die die Ursprungsvariablen zurückzuführen sind aufbauend auf Korrelationsmatrix so, dass die Faktoren jeweils möglichst viel der verbleibenden Varianz erklären und miteinander unkorreliert sind 2) Festlegung der Anzahl der Faktoren Anfangslösung: - viele Faktoren mit teils nur geringem Erklärungswert - max. bis zur Anzahl der Variablen Begrenzung der endgültig zu extrahierenden Faktoren

8 Festlegung der Anzahl der Faktoren erfordert subjektive Vorgaben Gängige Kriterien: 1) Kaiser-Kriterium: Faktoren mit Eigenwert > 1 2) Scree-Plot Trennung der Faktoren von Geröll 3) Inhaltlich interpretierbare Faktoren 4) Theoretische Vorgaben

9 erfahrensschritte der Hauptkomponentenanalyse II 3) Faktorenrotation und Faktorinterpretation Anfangslösung: - nur eine von unendlichen Lösungen des Extraktionsproblems - nur selten interpretierbar Gesucht: - gut interpretierbar: Einfachstruktur - Rotation dient Suche nach Einfachstruktur - orthogonale oder schiefwinklige Rotation nach der Rotation: - Interpretation der Faktoren - Betrachtung der Faktorladungen, die ein Mindestmaß überschreiten - Faustregel: Betrag > 0,5 - aber: andere Ladungen nicht unbeachtet lassen!

10 Verfahrensschritte der Hauptkomponentenanalyse III 4) Bestimmung der Faktorwerte häufig Hauptzielsetzung der Faktorenanalyse - für jeden Fall: soviel Faktorenwerte wie Faktoren extrahiert wurden - Beobachtungswerte werden mit den Ladungen des Faktors multipliziert und anschließend aufsummiert - dienen der Charakterisierung der Fälle anhand der Faktoren - Höhe gibt für die einzelnen Fälle Auskunft über ihre relative Position: - 0 = Durchschnitt - negativer Wert unterdurchschnittlich - positiver Wert überdurchschnittlich

11 Probleme der Faktorenanalyse komplexes Verfahren, das subjektive Vorgaben des Anwenders erwartet Annahme der Orthogonalität der Faktoren vs. eingeschränkter Nutzen der Faktoren nach schiefwinkliger Rotation Missings fehlende Werte Ratsam: iteratives Vorgehen, Austesten unterschiedlicher Voreinstellungen und Verfahre Auswirkung kritischer Annahmen testen Ergebnisse verschiedener alternativer Verfahren mit unterschiedlichem Annahmensatz einander gegenüberstellen Suche nach plausibelsten Lösungen

12 Anwendung der Faktorenanalyse Explorativ: Entdeckung unabhängiger Einflussgrößen Hypothesengenerierungsinstrument Konfirmatorisch: Überprüfung theoretisch fundierter Vermutungen Hypothesenprüfungsinstrument Datenreduktion, Bildung komplexer Indikatoren Grundlage anderer Verfahren, die unkorrelierte Variablen voraussetzen Literatur zum Nachvollziehen : Backhaus et al.: Multivariate Analysemethoden, Berlin 1997