Matrizen und lineare Gleichungssysteme

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1 KAPITEL Matrizen und lineare Gleichungssysteme Matrizen Lineare Gleichungssysteme Gauß-Algorithmus 23 4 Gauß-Jordan-Algorithmus Invertierbare Matrizen Anwendungen von linearen Gleichungssystemen 248 Lernziele Begriffe: Matrix, Element bzw Komponente einer Matrix, Zeilenvektor, Spaltenvektor, Typ der Matrix, Rechenregeln für Matrizen: Gleichheit, Multiplikation mit Zahl, Addition bzw Subtraktion, Matrizenmultiplikation, lineares Gleichungssystem, Lösungsmenge, äquivalente Umformungen, Gauß-Algorithmus, Gauß-Jordan-Algorithmus, Zeilen-Stufen-Form eines linearen Gleichungssystems, Lösungsverhalten, Lösbarkeitsentscheidung, transponierte Matrix, inverse Matrix, orthogonale Matrix 223

2 Matrizen und lineare Gleichungssysteme Matrizen Was ist eine Matrix? Definition Eine Matrix vom Typ m n oder eine m n-matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten: a a 2 a n a A = 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Die Zahlen a ij R heißen Komponenten oder Elemente der Matrix A Man schreibt abkürzend: A = a ij m i=, n j= = a ij m n Die m -Matrizen bzw n-matrizen werden Spaltenmatrizen oder Spaltenvektoren bzw Zeilenmatrizen oder Zeilenvektoren genannt, sie haben die Form s = a a 2 a m bzw z = a a 2 a n Die Matrix A = a ij m n besteht aus m Zeilenvektoren mit je n Komponenten a i a i2 a in, i m, bzw aus n Spaltenvektoren mit je m Komponenten a j a 2j a mj, j n 224

3 Matrizen Definition 2 Zwei Matrizen A = a ij und B = b ij heißen gleich man schreibt dafür A = B, wenn sie vom gleichen Typ m n und ihre Komponenten gleich sind, dh a ij = b ij für alle i m, j n 2 Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Skalar Die Matrix, deren Komponenten alle gleich Null sind, heißt Nullmatrix O Definition 3 Für Matrizen A = a ij und B = b ij gleichen Typs m n und jede Zahl λ R ist die Summe A + B und das λ-fache von A komponentenweise definiert: A + B = a ij + b ij m n und λa = λa ij m n Die Differenz zweier Matrizen gleichen Typs ist definiert als A B = A + B = a ij b ij m n Hieraus folgen die Rechenregeln: Für beliebige Matrizen A, B, C gleichen Typs m n und beliebige reelle Zahlen λ, ν gilt: A + B = B + A Kommutativität, 2 A + B + C = A + B + C Assoziativität, 3 A + O = A Nullelement, 4 A + A = O, inverses Element der Addition, 5 λµa = λµa, 6 A = A 7 λ + µa = λa + µa, 8 λa + B = λa + λb 225

4 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 3 Matrizenmultiplikation Definition 4 Das Produkt einer m k-matrix A = a ij m n = a a 2 Zeilendarstellung a m mit einer k n-matrix B = b ij k n = b b2 bn Spaltendarstellung ist definiert durch AB := a b a b2 a bn a 2 b a 2 b2 a 2 bn, a m b a m b2 a m bn mit a i bj = k a ir b rj = a i b j + a i2 b 2j + a ik b kj r= Beispiel 5 Matrizenmultiplikation Matrix A, vom Typ 3 3, Zeile 2 Zeile 3 Zeile Matrix B vom Typ 3 2, Spalte 2 Spalte 3 Spalte

5 Matrizen Dann ist A B = C eine Matrix vom Typ 3 2 und wird wie folgt berechnet: = Man kann das ganze auch in einem Schema darstellen: Matrix C sofort: A B C = , hier sieht man den Typ der Bemerkung 6 Man beachte, dass das Produkt Zeile mal Spalte eine Zahl ist 2 Das Produkt AB zweier Matrizen ist nur dann erklärt, wenn die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist 3 Auf diese Weise stellt A x = b tatsächlich das lineare Gleichungssystem siehe später dar Für die Multiplikation von Matrizen gelten die folgenden Rechenregeln: Für beliebige m n-matrizen A, A, A 2, n r-matrizen B, B, B 2 und r s- Matrix C gilt: A + A 2 B = A B + A 2 B, AB + B 2 = AB + AB 2, Distributivgesetze, 2 αab = α AB = Aα B, α R, 3 ABC = ABC, Assoziativität der Matrizenmultiplikation, 4 E m A = AE n = A, Einheitsmatrizen E n, E m 5 Aber im Allgemeinen ist AB BA Beispiel 7 Es sei A = 2 0 und B = dann gilt 2 AB = = = = BA 227

6 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 4 Spezielle Matrizen Wir benötigen noch weitere spezielle Matrizen, wir kennen bereits die Nullmatrix O, deren Elemente alle Null sind und die Einheitsmatrix E n Die quadratische Matrix auf deren Hauptdiagonale Einsen stehen und alle anderen Elemente Null sind heißt Einheitsmatrix oder n n-einheitsmatrix wenn der Typ von Bedeutung ist und wird mit E bzw E n bezeichnet Es sei A eine quadratische Matrix vom Typ n n : a a 2 a n a A = 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn, dann heißt die Menge der Elemente {a ii } n i= Hauptdiagonale von A und die Menge der Elemente {a jn+ j } n j= Nebendiagonale von A Die Matrix A ist eine obere Dreiecksmatrix, wenn von Null verschiedene Elemente nur auf bzw über der Hauptdiagonale stehen, dh a ij = 0 für i > j Dagegen ist A eine untere Dreiecksmatix, wenn von Null verschiedene Elemente nur auf bzw unterhalb der Hauptdiagonale stehen, dh a ij = 0 für i < j Man kann noch stärker unterteilen, indem man nicht nur von unterer/oberer Dreiecksmatrix sondern von rechter/linker unterer/oberer Dreiecksmatrix spricht Eine Matrix, wo nur auf der Hauptdiagonale von Null verschiedene Elemente stehen, heißt DiagonalmatrixGraphisch kann man das wie folgt veranschaulichen: Hauptdiagonale Nebendiagonale Oberes Dreieck Hauptdiagonale Hauptdiagonale Hauptdiagonale Unteres Dreieck Obere Dreiecksmatrix Untere Dreiecksmatrix Diagonalmatrix Auch bei einer rechteckigen Matrix A vom Typ m n wollen wir gelegentlich von einer oberen Dreiecksmatrix sprechen,dh, dass alle Elemente a ij = 0 für i > j sind 228

7 2 Lineare Gleichungssysteme 2 Lineare Gleichungssysteme Definition 8 Ein lineares Gleichungssystem mit m linearen Gleichungen und n unbekannten x, x 2, x n hat die Form a x + a 2 x a n x n = b, a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2, a m x + a m2 x a mn x n = b m, mit den Koeffizienten a ij R und den Absolutgliedern b i R Hierfür schreibt man A x = b mit der Koeffizientenmatrix A = a ij m n, dem unbekannten Spaltenvektor x und dem Spaltenvektor der rechten Seite b Das lineare Gleichungssystem heißt homogen, wenn b = O gilt, andernfalls heißt es inhomogen Definition 9 Ein Spaltenvektor c = c c 2 c n heißt Lösung des Gleichungssystems bzw von A x = b, wenn für x i = c i, i =,, n, die m Gleichungen in bzw was dasselbe ist A c = b gilt Häufig wird eine Lösung in der Form x = c, x 2 = c 2,, x n = c n angegeben Handelt es sich um ein Gleichungssystem mit nur 2 oder 3 Unbekannten so schreibt man statt x, x 2, x 3 auch oft x, y, z Ein homogenes Gleichungssystem A x = O 229

8 Matrizen und lineare Gleichungssysteme besitzt stets mindestens eine Lösung, nämlich die triviale Lösung bzw Nulllösung x = x 2 = = x n = 0 Nicht jedes Gleichungssystem ist lösbar Im Allgemeinen treten folgende Fälle auf: Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung 2x + y = 3, 4x + 2y = 2 Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beiden Gleichungen als Geradengleichungen interpretiert Die Lösung des Gleichungssystems sind dann der/die Schnittpunkte der Geraden Im vorliegenden Fall sind die beiden Geraden aber parallel und sie schneiden sich folglich nicht Somit ist das Gleichungssystem nicht lösbar 2 Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung x + 3y = 9, 2x + y = 4 Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beiden Gleichungen als Geradengleichungen interpretiert Die Lösung des Gleichungssystems sind dann der/die Schnittpunkte der Geraden Im vorliegenden Fall schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt Somit hat das Gleichungssystem die Lösung x = 3 und y = 2 3 Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen 4x 2y = 6, 2x + y = 3 Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beiden Gleichungen als Geradengleichungen interpretiert Die Lösung des Gleichungssystems sind dann der/die Schnittpunkte der Geraden Im vorliegenden Fall sind die beiden Geraden aber identisch und damit ist jeder Punkt der Geraden Lösung Somit besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen Eine weitere Frage ist, ob es günstige Darstellungen von Gleichungssystemen gibt Wie man leicht nachrechnet hat das Gleichungssystem x + 3y = 9, 2x + y = 4 die gleiche Lösungsmenge wie das Gleichungssystem x + 3y = 9, y = 2 Dies führt auf den Begriff der Äquivalenz von linearen Gleichungssystemen: 230

9 3 Gauß-Algorithmus Definition 0 Zwei Gleichungssysteme A x = b, und B x = c heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge besitzen Die Umformungen werden übersichtlicher, wenn sie an der sogenannten erweiterten Koeffizientenmatrix a a 2 a n b a A b := 2 a 22 a 2n b 2 a m a m2 a mn b n ausgeführt werden Man erweitert die Koeffizientenmatrix A um die Absolutglieder rechte Seite und trennt sie durch einen senkrechten Strich von der Koeffizientenmatrix Die obigen Gleichungsumformungen entsprechen dann den elementaren Zeilenumformungen der erweiterten Koeffizientenmatrix A b : Vertauschen zweier Zeilen, 2 Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl α 0, 3 Addition bzw Subtraktion des Vielfachen einer Zeile zu bzw von einer anderen Folglich gilt: Satz Entsteht B c durch endlich viele elementare Zeilenumformungen, dann sind A x = b und B x = c äquivalent 3 Gauß-Algorithmus Ziel des nach C F Gauß benannten Gaußschen Algorithmus ist es, die erweiterte Koeffizientenmatrix durch äquivalente Umformungen in eine obere Dreiecksmatrix zu überführen Es ist am einfachsten, den Algorithmus am Beispiel zu erläutern Dazu betrachten wir das Gleichungssystem x + x 2 + x 3 = 2, 2x + 3x 2 + x 3 = 3 x x 2 2x 3 = 6 23

10 Matrizen und lineare Gleichungssysteme Man hat 3 Möglichkeiten ein solches System in Schemaform zu lösen: Gleichungsform x + x 2 + x 3 = 2 2x + 3x 2 + x 3 = 3 x x 2 2x 3 = 6 Wir vereinfachen unser Gleichungssystem dadurch, dass wir durch äquivalente Umformungen x aus der 2 und 3 Gleichung bzw Zeile eliminieren Wir behalten die Gleichung/Zeile bei und erzeugen neue 2 bzw 3 Gleichungen/Zeilen Die neue 2 Gleichung/Zeile entsteht durch Multiplikation der Gleichung/Zeile mit 2 und Addition des Ergebnisses zur 2 Gleichung/Zeile 2erster Gleichung/Zeile + zweite Gleichung/Zeile = neue zweite Gleichung/Zeile Analog verfahren wir mit der 3 Gleichung/Zeile indem wir die erste Gleichung/Zeile mit durchmultiplizieren und das Ergebnis zur 3 Gleichung/Zeile addieren: x + x 2 + x 3 = 2 x 2 x 3 = 2x 2 3x 3 = 8 Wir vereinfachen unser Gleichungssystem weiter indem durch äquivalente Umformungen x 2 aus der 3 Gleichung/Zeile eliminiert wird Wir behalten die Gleichung/Zeile und die 2 Gleichung/Zeile bei und erzeugen eine neue 3 Gleichung/Zeile indem das 2-fache der 2 Gleichung/Zeile zur 3 Gleichung/Zeile addieren: x + x 2 + x 3 = 2 x 2 x 3 = 5x 3 = 0 Damit haben wir unser Gleichungssystem auf Dreiecksgestalt gebracht und können daraus ablesen, dass x 3 = 2 ist 2 In Tabellenform sieht das wie folgt aus x x 2 x

11 3 Gauß-Algorithmus Man kann diese Tabelle noch weiter verkürzen: x x 2 x Die 3 Variante ist die Matrizenform: z + z z + z z 2 + z Das Ergebnis kann weiter vereinfacht werden indem die 3 Gleichung/Zeile mit 5 durchmultipliziert wird 3 Gauß-Algorithmus-Abfolge Schritt: Man bringt durch eventuelle Zeilenvertauschung eine Zahl 0 vorzugsweise eine Eins an die erste Stelle der ersten Spalte x x 2 x 3 x 4 x n x n 2 Schritt: Man annuliert die darunter stehenden Zahlen durch Addition Subtraktion eines geeigneten Vielfachen der ersten Zeile von den nachfolgenden Zeilen und schreibt die entstehenden Zeilen mit der führenden Null darunter x x 2 x 3 x 4 x n x n

12 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 3 Schritt: Man führe den Algorithmus im um eine Zeile und Spalte führende Nullen reduzierten System wiederum aus indem man wieder an die erste Stelle erste Zeile, 2 Spalte, da nach der führenden Null eine Zahl 0 und annuliere die darunter stehenden Zahlen x x 2 x 3 x 4 x n x n Man führt den Algorithmus solange aus bis es keine Zeilen mehr zu modifizieren gibt Alle Zeilen, die erste Zeilen waren mit beginnen ergeben nun ein zum Ausgangsgleichungssystem äquivalentes Gleichungssystem, dass aber in Zeilenstufenform ist Es kann Zeilen geben, die nur aus Nullen mit Ausnahme der rechten Seite bestehen x x 2 x 3 x 4 x n x n Bemerkung 2 Kennzeichen der Zeilenstufenform In jeder stehen links vor nur Nullen Liest man von oben nach unten, so rückt um mindestens eine Stelle nach rechts Wenn man den Gauß-Algorithmus abgearbeitet hat, kann man nun das Ergebnis durch Rückwärtseinsetzen ausrechnen Dies ergibt den Gauß-Jordan-Algorithmus Im Beispiel 234

13 3 Gauß-Algorithmus und in Tabellenform sieht das wie folgt aus: x x 2 x und in Matrixform z 3 + z 2 z 3 + z z 2 + z Im nächsten Beispiel beantworten wir die Frage wie man am Gaußschen Algorithmus sieht, dass das Gleichungssystem unlösbar ist Beispiel 3 Wir betrachten des Gleichungssystem x x 2 + 2x 3 = 3 2x 2x 2 + 5x 3 = 4 x + 2x 2 x 3 = 3 2x 2 + 2x 3 = Wir formen zunächst äquivalent gemäß dem Gaußschen Algorithmus um: Im ersten Schritt behalten wir die erste Zeile bei: z z z 3 + z Jetzt vertauschen wir die 2 und die 3 Zeile und dividieren anschließend die neue 2 Zeile 235

14 Matrizen und lineare Gleichungssysteme durch 3 und behalten nun diese Zeile bei: z 2 z z Im nächsten Schritt addieren wir 2-fache der 2 Zeile zur 4 Zeile und behalten die 3 Zeile bei: z 2 + z z 3 + z Jetzt sieht man an der letzten Zeile, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist Denn die letzte Zeile ausgeschrieben bedeutet nichts anderes als was nie erfüllt werden kann 0x + 0x 2 + 0x 3 = 3 Als nächstes betrachten wir das folgende homogene Gleichungssystem Beispiel 4 x + 2x 2 5x 3 = 0 2x 3x 2 + 6x 3 = 0 Hier sind die äquivalenten Umformungen zunächst sehr einfach, wir behalten die Gleichung bei und addieren das 2-fache der ersten Gleichung zur 2 Gleichung, dh z + z 2 Wir führen zusätzlich einen Schritt der Rückwärtselimination aus: z + 2 z Offensichtlich können wir nicht mehr eliminieren und offensichtlich gibt es mindestens eine Lösung, nämlich die triviale Lösung Um uns einen Überblick über die Lösungsmenge zu verschaffen, schreiben wir die letzte Matrix wieder als Gleichungssystem auf: x + 3x 3 = 0 x 2 4x 3 = 0 236

15 3 Gauß-Algorithmus oder andres ausgedrückt, sowohl x als auch x 2 können in Abhängigkeit von x 3 dargestellt werden: x = 3x 3 x 2 = 4x 3 Setzt man nun x 3 Lösungen besitzt: = r R, so sieht man, dass das Gleichungssystem unendlich viele x = 3r, x 2 = 4r, x 3 = r, r R Oder anders geschrieben: x = 3 4 r, r R Durch Rückwärtssubstitution bzw Rückwärtselimination erhält man aus der Zeilenstufenform die Gauß-Jordan-Normalform Bemerkung 5 Allgemein gilt: Die erweiterte Koeffizientenmatrix A b wird mittels Gauß-Algorithmus in M d äquivalent umgeformt, mit M in Zeilenstufenform: d 0 d d d 4 M d = d r d r d m 2 Satz 6 Sei A eine m n Matrix und b ein Spaltenvektor der Länge m Dann gilt: Lösbarkeitsentscheidung: Ist eine der Zahlen d r+,, d m von Null verschieden, so ist M x = d nicht lösbar, und damit ist auch das Ausgangsgleichungssystem A x = b nicht lösbar 237

16 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 2 Anzahl der freien Variablen: Ist A x = b lösbar, dann enthält die allgemeine Lösung n r freie Variable, dabei ist n die Anzahl der Unbekannten 3 Lösungsstruktur: Ist das System A x = b lösbar, dann lässt sich die allgemeine Lösung in der Form v = v 0 + u, darstellen Dabei ist v 0 eine spezielle Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und u die allgemeine Lösung des zugeordneten homogenen Gleichungssystems Beweis: und 2 liest man aus 2 ab 3: Mit A u = 0 und A v0 = b gilt A v0 + u = b, andererseits folgt aus A v = b und A v0 = b, dass die Differenz u := v v0 das homogene Gleichungssystem A x = 0 löst # 4 Gauß-Jordan-Algorithmus Definition 7 Eine Matrix ist in Gauss-Jordan-Normalform, wenn Jede Zeile, die nur aus Nullen besteht, am unteren Ende der Matrix steht 2 Das erste, von Null verschiedene Element einer Zeile, eine ist Dieses Element sei führende Eins genannt 3 Die führende Eins einer jeden Zeile nach der ersten Zeile befindet sich rechts von der führenden Eins der vorherigen Zeile 4 Alle anderen Elemente einer Spalte, die eine führende Eins enthält, sind Null Es ist recht umständlich den Gauss-Algorithmus zu verwenden, um eine Gauss-Jordan- Normalform zu erhalten, da zunächst die Eliminationsschritte ausgeführt werden und dann die Rückwärtselimination erfolgt Man kann diese beiden Teile auch zu einem Algorithmus den wir Gauss-Jordan-Algorithmus nennen wollen vereinen Beispiel 8 Anwendung des Gauss-Jordan-Algorithmus: 238

17 4 Gauß-Jordan-Algorithmus Wir betrachten das Gleichungssystem 2x 3 2x 4 = 2 3x + 3x 2 3x 3 + 9x 4 = 2 4x + 4x 2 2x 3 + x 4 = 2 bzw in Matrixform Schritt: Man bringe, wenn nötig, durch Zeilenvertauschen ein von Null verschiedenes Element an die Spitze der ersten Spalte z z Schritt: Wenn das von Null verschiedene Element ungleich ist, so multipliziere man die Zeile in der mit der reziproken Zahl durch, um eine führende Eins zu erhalten: z Schritt: Man erzeuge in der Spalte in der sich das Pivotelement befindet über und unter diesem Nullen indem man geeignete Vielfache der Zeile, die die führende Eins enthält, zu allen anderen Zeilen addiert 4 z + z Schritt: Man behalte die Zeile, die die führende Eins enthält und alle Zeilen darüber bei und wende den und den 2 Schritt auf die Restmatrix an Dann wende man den 3 Schritt auf die gesamte Matrix an Man wiederhole den 4 Schritt bis die Gauss-Jordan-Normalform entstanden ist z + z z z 2 + z 3 z 2 + z z 3 + z 2 2 z 3 + z

18 Matrizen und lineare Gleichungssysteme Die Lösung des Gleichungssystems ist damit x 4 = 2, x 3 = 3, x 2 = t, x = t, bzw x x 2 x 3 x 4 = t 0 0, t R 5 Invertierbare Matrizen In diesem Abschnitt betrachten wir quadratische { n n Matrizen Mit E bezeichnen wir stets, wenn i = j, die Einheitsmatrix E = e ij n n mit e ij = 0, wenn i j Definition 9 Eine n n- Matrix A heißt invertierbar, wenn es eine n n-matrix B gibt, so dass gilt AB = BA = E In diesem Fall ist die Matrix B eindeutig bestimmt, sie wird mit A bezeichnet dh B := A, und heißt inverse Matrix oder die Inverse von A Die inverse Matrix ist eindeutig bestimmt, denn es gilt: Satz 20 Wenn es zur n n-matrix A zwei n n-matrizen B, C gibt mit BA = AC = E, dann ist A invertierbar und B = C = A Beweis: Es ist B = BE = BAC = BAC = EC = C Also gilt AB = AC = E und BA = CA = E und es gibt zu A keine andere Matrix mit dieser Eigenschaft; dh es ist B = A # Beispiel 2 Die Einheitsmatrix E = EE ist invertierbar mit E = E Für A = a c b d a, b, c, d R, mit ad bc 0 240

19 5 Invertierbare Matrizen ist A = ad bc d c b a Mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus kann man nun einen Algorithmus zur Berechnung inverser Matrizen angeben Es sei die n n-matrix in Zeilenform gegeben: a a A = 2 a n und wir suchen die inverse Matrix B = A in Spaltenform B = b b2 bn Außerdem stellen wir die Einheitsmatrix E ebenfalls in Spaltenform dar: B = e e 2 e n Dann ist AB = E A bk = a a 2 bk = e k, k =, 2,, n, a n dh die Spalten von A sind die Lösungen des Gleichungssystems A x = e k, k =, 2,, n Zur Vereinfachung des Algorithmus kann man statt nur einen Vektor anzufügen und den Gauß-Jordan-Algorithmus abzuarbeiten, sofort alle Spaltenvektoren der Einheitsmatrix anfügen, also die gesamte Einheitsmatrix anfügen Das ergibt folgenden Algorithmus: 24

20 Matrizen und lineare Gleichungssysteme Satz 22 Algorithmus zur Bestimmung der inversen Matrix Es sei A eine n n-matrix Man füge die n n Einheitsmatrix an die Matrix A an, dh man bilde die Matrix A E 2 Man erzeuge durch äquivalente Zeilenumformungen gemäß dem Gauß-Jordan- Algorithmus die Gauß-Jordan-Normalform der Matrix A E Ist die erzeugte Gauß-Jordan-Normalform von der Gestalt E B, so ist B die zu A inverse Matrix Ist es nicht möglich die Gestalt E B zu erhalten, dann ist A nicht invertierbar Beispiel 23 Man untersuche, ob die Matrix A = invertierbar ist Wir beginnen damit die Einheitsmatrix anzufügen und den Gauß-Jordan- Algorithmus abzuarbeiten: [A E] = z z z z 3 + z z + z 2 z z 2 z + z 3 z 2 + z Mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus kann auf der rechten Seite eine Einheitsmatrix erzeugt werden und damit existiert A und ist gleich A =

21 5 Invertierbare Matrizen Beispiel 24 Man überprüfe, ob die Matrix A = invertierbar ist und gebe gegebenenfalls die inverse Matrix an Wir beginnen wiederum mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus: A E = z 2 + z z z z + z 2 z z In der letzten Zeile ist es unmöglich an der 3 Stelle eine zu erzeugen, deshalb bricht der Algorithmus hier ab und die Matrix A ist nicht invertierbar Satz 25 Es sei A x = b ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten Wenn die zu A inverse Matrix A existiert, ist die Lösung des Gleichungssystems eindeutig bestimmt durch x = A b Beweis: Wir beweisen zunächst, dass x = A b eine Lösung ist: A x = AA b = AA b = E b = b Folglich erfüllt x = A b das Gleichungssystem und ist damit eine Lösung Wir zeigen nun die Eindeutigkeit: Es sei y eine Lösung des Gleichungssystems, dh A y = b, A A y = A b, beide Seiten der Gleichung wurden mit der existierenden inversen Matrix A multipliziert A A y = A b, die Matrizenmultiplikation ist transitiv E y = A b, A A = E y = A b 243

22 Matrizen und lineare Gleichungssysteme Folglich gibt es nur diese eine Lösung 5 Transponierte Matrix Definition 26 Jeder m n Matrix A = a ij m n zugeordnet ist die transponierte Matrix A T := a ji n m, deren i-te Zeile aus den Koeffizienten der i-ten Spalte von A besteht Aus den Spalten von A werden die Zeilen von A T und gleichzeitig werden dabei aus den Zeilen von A die Spalten von A T Beispiel 27 Sei A die folgende 4 3-Matrix eine 3 4-Matrix A = α β α x 2 0 β x 2 α 0, dann ist AT = α 4 x β 0 β 2 x Satz 28 Rechenregeln A + B T = A T + B T für Matrizen m n-matrizen A und B, 2 αa T = α A T für alle Matrizen A und α R, 3 A T T = A für alle Matrizen A, 4 AB T = B T A T, für alle m n-matrizen A und n r-matrizen B Beweis: bis 3 ergibt sich sofort Um 4 zu beweisen, beachte man, dass z s = α α 2 α n β β 2 β n = n α k β k = β β 2 β n k= α α 2 α n = st z T # 244

23 5 Invertierbare Matrizen Definition 29 Eine n n Matrix A heißt symmetrisch, wenn A = A T gilt, sie heißt schiefsymmetrisch, wenn A = A T gilt Bemerkung 30 Jede symmetrische Matrix A = A T = a ij n n ist wegen a ij = a ji symmetrisch zur Hauptdiagonalen der Matrix A Für jede n n Matrix A, sind die Matrizen A + A T und AA T symmetrisch Dagegen ist die Matrix A A T schiefsymmetrisch Satz 3 Rechenregeln für das Invertieren von quadratischen Matrizen Die Inverse einer invertierbaren n n-matrix A ist invertierbar; A = A 2 Das Produkt AB zweier invertierbarer n n-matrizen ist invertierbar; AB = B A 3 Die transponierte A T einer n n-matrix ist genau dann invertierbar, wenn A invertierbar ist In diesem Fall ist A T = A T Beweis zu : Die Definition der inversen Matrix besagt, dass es zur Matrix A eine Matrix B mit AB = BA = E gibt und diese eindeutig bestimmt ist, dh B = A bzw AA = A A = E 3 Lesen wir diese Gleichung nun bezogen auf A, so steht da, dass es eine Matrix gibt, die von rechts und von links mit A multipliziert gerade die Einheitsmatrix ergibt, also ist diese Matrix gerade die inverse Matrix zu A und die Gleichung 3 besagt gerade, dass A = A ist zu 2: Wie man leicht sieht gilt: B A AB = B A AB = B EB = B B = E 245

24 Matrizen und lineare Gleichungssysteme und auch ABB A = ABB A = AEA = AA = E Nach der Definition der inversen Matrix ist damit AB = B A zu 3: Wir haben nachzuweisen, dass falls A invertierbar ist, dann ist auch A T invertierbar und umgekehrt Außerdem haben wir zu zeigen, dass dann A T = A T gilt Wir nehmen daehalb zunächst an, dass A invertierbar ist und die inverse Matrix ist A, dh AA = A A = E AA T = A A T = E T A T A T = A T A T = E dh auch A T ist invertierbar und A T = A T Nehmen wir nun an, dass A T invertierbar ist, dh A T A T = A T A T = E transponieren A T A T T = A T A T T = E T A T T A = A A T T = E transponieren Folglich ist A invertierbar und es gilt A = A T T A T = A T # Beispiel 32 Man berechne, so möglich, die inverse Matrix zu A = und wir erhalten A = 3 4 Man berechne nun A T Wegen A T = A T ergibt sich A T =

25 5 Invertierbare Matrizen Definition 33 Eine Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt A T A = E Das bedeutet insbesondere, dass die inverse Matrix einer orthogonalen Matrix gerade die transponierte Matrix ist Beispiel 34 Die Matrix ist eine orthogonale Matrix, da A T A = 4 A = 2 = = E Foglich ist A = A T = Beispiel 35 Man löse das Gleichungssystem x + 2x 2 x 3 = b x + x 2 2x 3 = b 2 x x 2 x 3 = b 3 für b b 2 b 3 = 2 3, 0 4, Dazu ist es nicht erforderlich, dass das Gleichungssystem dreimal gelöst wird Man kann alle 3 rechten Seiten auf einmal einsetzen Man schreibt zunächst wie üblich die Koeffizientenmatrix 247

26 Matrizen und lineare Gleichungssysteme hin und fügt dann alle 3 rechten Seiten an: b x 6 Folglich hat das Gleichungssystem für b 2 = 2 die Lösung x 2 = 3 2, b 3 3 x 3 b 0 x 9 b 5 für b 2 = die Lösung x 2 = 3 4 und für b 2 = 3 die b 3 4 x 3 b 3 2 Lösung x x 2 x 3 = Die Ursache hierfür ist, dass die Eigenschaft des Gleichungssystems genau eine/unendlich viele/keine Lösung besitzt nicht von der rechten Seite, sondern nur von der Koeffizientenmatrix abhängt 6 Anwendungen von linearen Gleichungssystemen 6 Interpolation Es sei eine Menge von Datenpunkten gegeben: x, y, x 2, y 2,, x n, y n Gesucht ist ein Polynom, dessen Graph durch die Datenpunkte verläuft Man zeigen, dass es ein eindeutig bestimmtes Polynom höchstens n Grades gibt, dessen Graph durch alle Datenpunkte verläuft: y = a 0 + a x + a n 2 x n 2 + a n x n Die unbestimmten Koeffizienten a 0, a,, a n werden durch einsetzten der Datenpunkte bestimmt 248

27 6 Anwendungen von linearen Gleichungssystemen Beispiel 36 Datenpunkte: ; 6, 2; 3, 3; 2 Zu bestimmen ist ein Polynom 2Grades Wir erhalten folgendes Gleichungssystem: yx = a 0 + a x + a 2 x 2 y = 6 = a 0 + a + a 2 y2 = 3 = a 0 + 2a + 4a 2 y3 = 2 = a 0 + 3a + 9a 2 Lösung des Gleichungssystems: z 2 z z 3 z z z 3 + z 3 z 3 + z 2 2 z 2 + z 3 z z Lösung des Gleichungssystems ist a =, a 2 = 6, a 3 =, folglich verläuft die Parabel durch alle Datenpunkte yx = 6x + x 2 62 Kryptographie Unter der Kryptographie versteht man den Prozess des Ver- und Entschlüsselung von Nachrichten Das Wort kommt vom griechischen Wort kryptos, was soviel wie versteckt bedeutet Heutzutage werden komplizierte Methoden angewandt um Nachrichten zu ver- und entschlüsseln Ein ziemlich schwer zu brechender Kode entsteht bei der Verwendung riesiger Kodierungsmatrizen Der Empfänger entschlüsselt die Nachricht mit Hilfe der Dekodierungsmatrix, die die inverse Matrix zur Kodierungsmatrix ist Wir erläutern das an folgendem einfachen Beispiel Wir wollen die Nachricht Mathematik ist leicht verschlüsseln Dazu ordnen wir zunächst jedem Buchstaben des Alphabets eine Zahl zu, der Einfachheit halber sei das die Position des Buchstaben im Alphabet, also A ist, B ist 2, usw Der Zwischenraum zwischen 2 Worten erhalte die Zahl 27 M A T H E M A T I K I S T L E I C H T

28 Matrizen und lineare Gleichungssysteme Diese Nachricht wird nun mit Hilfe der Kodierungsmatrix A = verschlüsselt Da wir eine 3 3-Matrix zur Kodierung verwenden wollen, unterteilen wir die in Zahlen übertrage Nachricht in 3 -Matrizen: Wir multiplizieren nun jede der Spaltenmatrizen mit der Kodierungsmatrix, was in einem Schritt mittels Matrizenmultiplikation in der folgenden Weise gemacht werden kann: Die Nachricht wird somit als = , 2, 35, 3, 8, 99, 27, 29, 00, 78, 36, 6, 9, 47, 244, 42, 4, 35, 47, 28, 6 übetragen Um die Nachricht zu dekodieren benötigen wir nun die inverse der Kodierungsmatrix Berechnung der Dekodierungsmatrix: 4 z + z z z z 2 z 3 z z z z3 z 2 z

29 6 Anwendungen von linearen Gleichungssystemen und damit ist die Dekodierungsmatrix A = Fasst man nun die kodierte Nachricht wieder in 3 -Spaltenvektoren zusammen und wendet darauf die Dekodierungsmatrix an, so ergibt sich der ursprüngliche Text der Nachricht 25