Lineare Algebra I (WS 12/13)

Transkript

1 Lineare Algebra I (WS 12/13) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke Alexander Lytchak 1 / 12

2 Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen nun allgemeiner Gleichungssysteme der Form a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2.. a m1 x a mn x n = b m Dies sind m lineare Gleichungen in n Unbekannten x j R mit Koeffizienten a ij R, b i R, wobei 1 i m, 1 j n. Wir sprechen auch von einem linearen Gleichungssystem über R. Dieses Gleichungssystem heißt homogen, falls b 1 = b 2 =... = b m = 0. Alexander Lytchak 2 / 12

3 Koeffizientenmatrix Wir fassen die Koeffizienten des obigen Gleichungssystem zu einem rechteckigen Schema zusammen, der sogenannten Koeffizientenmatrix a 11 a a 1n a 21 a a 2n A := (a ij ) 1 i m, 1 j n :=.... a m1 a m2... a mn mit m Zeilen und n Spalten. Wir sprechen auch von einer (m n)-matrix. Im Moment ist es nur eine Schreibweise, ohne inhaltliche Bedeutung. Die i-te Zeile hat Einträge a i1, a i2,..., a in. Wir nennen sie auch den i-ten Zeilenvektor. Die j-te Spalte hat die Einträge a 1j, a 2j,...a mj und heißt der j-te Spaltenvektor. Der Eintrag a ij steht an der Kreuzung der i-ten Zeile und j-ten Spalte. Alexander Lytchak 3 / 12

4 Erweiterte Koeffizientenmatrix Wir ordnen unserem Gleichungssystem eine (m (n + 1))-Matrix zu, die sogenannte erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b 2 (A b) :=..... a m1 a m2... a mn b m Die besondere Rolle der letzten Spalte wird durch den Strich betont. Das lineare Gleichungssystem bestimmt eine erweiterte Koeffizientenmatrix. Umgekehrt ist jede (m (n + 1))-Matrix die erweiterte Koeffizientenmatrix genau eines linearen Gleichungssystems (bis auf die Wahl der Namen der Unbekannten). Dabei steht jede Zeile der Matrix für eine Gleichung. Alexander Lytchak 4 / 12

5 Wir schreiben Ax = b, um das der Matrix (A b) entsprechende lineare Gleichungssystem zu bezeichnen. Dabei ist A die Koeffizientenmatrix, eine (m n)-matrix, b ist der letzte Spaltenvektor von (A b), also eine (m 1)-Matrix, und x ist das als n-dimensionaler Spaltenvektor aufgefasste n-tupel (x 1,..., x n ), also eine (n 1) Matrix. Im Moment ist es nur eine Schreibweise. Später wird Ax tatsächlich die Bedeutung einer Multiplikation erhalten. Alexander Lytchak 5 / 12

6 Gaußsches Eliminationsverfahren Wir beschreiben das sogenannte Gaußsche Eliminationsverfahren, einen Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Wir betrachten wieder unser Gleichungssystem Ax = b mit erweiterter Koeffizientenmarix (A b) := a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m Alexander Lytchak 6 / 12

7 Elementare Zeilenumformungen Wir betrachten nun die folgenden Operationen, genannt elementare Zeilenumformungen auf der erweiterten Koeffizientenmatrix Vertauschung zweier Zeilen. (Komponentenweise) Addition des λ-fachen der k-ten Zeile zur l-ten Zeile, wobei λ R und 1 k, l m, k l. Diese Operationen sind umkehrbar: Kann die erweiterte Koeffizientenmatrix (A b) durch elementare Zeilenumformungen in die erweiterte Koeffizientenmatrix (A b ) transformiert werden, so geht auch (A b) aus (A b ) durch elementare Zeilenumformungen hervor. Alexander Lytchak 7 / 12

8 Proposition Angenommen, die erweiterte Koeffizientenmatrix (A b ) geht aus der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b) durch elementare Zeilenumformungen auseinander hervor. Dann stimmen die Lösungsmengen der entsprechenden linearen Gleichungssysteme überein. Alexander Lytchak 8 / 12

9 Zeilenstufenform Definition Ein lineares Gleichungssystem ist in Zeilenstufenform, falls die (nicht erweiterte) Koeffizientenmatrix A in Zeilenstufenform vorliegt: Entweder sind alle Koeffizienten gleich 0, oder es gibt ein 1 r m und eine Folge 1 j 1 < j 2 <... < j r n mit den folgenden Eigenschaften: Für alle 1 i r gilt a ij = 0, falls j < j i. Es gilt a ij = 0, falls i > r. Für alle 1 i r gilt a iji 0. Insbesondere sind alle Zeilen unterhalb der r-ten Zeile gleich 0. Die von Null verschiedenen Elemente a iji, i = 1,..., r heißen Pivotelemente des Gleichungssystems, bzw. der Koeffizientenmatrix. Proposition Jedes lineare Gleichungssystem lässt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform bringen. Alexander Lytchak 9 / 12

10 Ist ein lineares Gleichungssystem in Zeilenstufenform gegeben, so lässt sich dieses sehr einfach lösen. Angenommen es existiert ein b i 0 mit i > r. Dann ist die Lösungsmenge leer. Andernfalls bestimmen wir die Lösungsmenge wie folgt: Für jede beliebige Wahl der n r Zahlen x j R für 1 j n, j j 1, j 2,..., j r, genannt freie Parameter, existiert genau eine Wahl der verbleibenden Komponenten x j1,..., x jr, so dass (x 1,..., x n ) das Gleichungssystem löst. Denn durch die r-te Gleichung ist wegen a rjr 0 und a rj = 0 für j < j r die Komponente x jr eindeutig durch die Komponenten x jr +1,..., x n, b r festgelegt: x jr = 1 a rjr (b r a r jr +1x jr a rn x n ). Danach legt die (r 1)-te Gleichung die Komponente x jr 1 eindeutig fest und so weiter. Umgekehrt sind natürlich durch jede Lösung (x 1,..., x n ) des Gleichungssystems die Komponenten x j, j j 1,..., j r eindeutig bestimmt. Alexander Lytchak 10 / 12

11 Zusammengefasst erhalten wir also: Satz Es sei wie oben ein lineares Gleichungssystem über R in Zeilenstufenform gegeben. Es sei L R n die Lösungsmenge. Entweder ist L leer oder es existiert eine eineindeutige Beziehung zwischen Elementen von R n r und von L: Zu jedem (n r)-tupel (λ 1,..., λ n r ) R n r können wir die durch diese Elemente eindeutig bestimmte Lösung (x 1,..., x n ) des Gleichungssystems berechnen, bei der die freien Parameter x j, j j 1,..., j r gleich λ 1,..., λ n r gesetzt wurden. Umgekehrt bestimmt jedes n-tupel (x 1,..., x n ) L eindeutig die Komponenten x j, j j 1,..., j r. Alexander Lytchak 11 / 12

12 Dieser Satz und die beiden Propositionen davor erlauben es, die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems in der sogenannten Parameterform anzugeben, wobei die Parameter λ 1,..., λ n r R frei gewält werden können. Alexander Lytchak 12 / 12