TEIL II LINEARE ALGEBRA

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1 TEIL II LINEARE ALGEBRA 1

2 Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme 101 Motivation Sei K ein fest gewählter Körper (zb K = R, C, Q, F p ) Betrachten das lineare Gleichungssystem (L) α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2n x n = β 2 α q1 x 1 + α q2 x α qn x n = β q mit q Gleichungen in n Unbekannten mit Koeffizienten α ij, β i in K (L) heißt homogen, falls β 1 = β 2 = = β q = 0, sonst inhomogen (L) heißt quadratisch, falls q = n ist 2

3 Eine n-folge ξ = (ξ 1,, ξ n ) K n heißt Lösung von (L), falls gilt α 11 ξ α 1n ξ n = β 1 α q1 ξ α qn ξ n = β q (in K) Erstes Ziel: Allgemeine Einsichten über Lösbarkeit und Lösungsmenge von (L) 3

4 Homogene Systeme Sei (H) das zugehörige homogene System, dh α 11 x α 1n x n = 0 α q1 x α qn x n = 0 (H) ist immer lösbar, denn (0,, 0) ist stets Lösung (ξ 1,, ξ n ) K n Lösung von (H), λ K Dann ist (λξ 1,, λξ n ) Lösung von (H) ξ = (ξ 1,, ξ n ) und ξ = (ξ 1,, ξ n) Lösungen von (H) ξ + ξ : = (ξ 1 + ξ 1,, ξ n + ξ n) ist Lösung von (H) 4

5 Also: Die Lösungsmenge von (H) ist eine Untergruppe der additiven Gruppe K n 5

6 Inhomogene Systeme Proposition Sei ξ eine Lösung von (L) ( Partikulärlösung ) Dann gilt {ξ K n ξ Lösung von (L)} = {ξ + η η Lösung von (H)} 6

7 Abhängigkeit von rechter Seite Halten jetzt α ij fest und untersuchen die Menge der q-tupel β 1 β q Kq für die (L β ) lösbar ist Es gilt: (L 0 ) lösbar (L β ) lösbar, λ K (L λβ ) lösbar (L β ), (L β ) lösbar (L β+β ) lösbar Also: {β K n : (L β ) lösbar } ist Untergruppe von K q 7

8 ϕ: K n K q (ξ 1,, ξ n ) (α 11 ξ α 1n ξ n,, α q1 ξ α qn ξ n ) ϕ ist ein Gruppenmorphismus, dh für alle ξ, ξ K n gilt ϕ(ξ + ξ ) = ϕ(ξ) + ϕ(ξ ) Die Lösungsmenge von (H) ist gleich dem Kern von ϕ: ker(ϕ) := {ξ K n : ϕ(ξ) = 0} ker(ϕ) ist eine Untergruppe von K n {β K q : (L β ) lösbar} ist gleich dem Bild von ϕ im(ϕ) := {ϕ(ξ): ξ K n } im(ϕ) ist eine Untergruppe von K q 8

9 Beispiel K = R, q = 3, n = 2 2x 1 + 3x 2 = 5 (L) 5x 1 = 7 x 1 + 4x 2 = 0 ϕ: R 2 R 3, (ξ 1, ξ 2 ) (2ξ 1 + 3ξ 2, 5ξ 1, ξ 1 + 4ξ 2 ) 9

10 102 Gausselimination Ziel: Algorithmus, um im konkreten Fall Lösbarkeit zu entscheiden und Lösungsmenge zu bestimmen Definition Eine q n-matrix über K ist ein rechteckiges Schema A: = α 11 α 1n α 21 α 2n =: [α ij ] 1 i q 1 j n =: [α ij ] α q1 α qn mit α ij K Die α ij heißen Koeffizienten von A 10

11 Die i-te Zeile von A ist die n-folge (α i1,, α in ) Die j-te Spalte von A ist die q-folge Eine n n-matrix heißt quadratisch α 1j α qj Formale Definition: Eine q n-matrix über K ist eine Abbildung α: {1, 2,, q} {1, 2,, n} K, (i, j) α(i, j) = α ij Die Menge der q n-matrizen über K heiße K q n 11

12 Die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems (L) ist die Matrix A = [α ij ] 1 i q 1 j n K q n Die erweiterte Koeffizientenmatrix von (L) ist die Matrix α 11 α 1n β 1 A : = Kq (n+1) α q1 α qn β q Lineare Gleichungssysteme werden bijektiv durch ihre erweiterte Koeffizientenmatrix beschrieben 12

13 Idee der Gausselimination Folgende Zeilen-Operationen an der Matrix A lassen die Lösungsmenge invariant: (1) Vertauschen zweier Zeilen: Sei i < l α 11 α 1n β 1 α i1 α in β i α l1 α ln β l α q1 α qn β qn α 11 α 1n β 1 α l1 α ln β l α i1 α in β i α q1 α qn β q 13

14 (2) Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen: Sei i < l und λ K α i1 α in β i α l1 α ln β l α i1 α in β i α l1 + λα i1 α ln + λα in β l + λβ i 14

15 Durch wiederholtes Anwenden von (1) und (2) lässt sich A auf Treppenform bringen: ( bedeutet Zahl 0) q = 5, n = 9, i = 3 m = 4, m 2 = 6, m 3 =

16 Treppenform Definition Eine q n Matrix hat Treppenform, falls ein 0 i 1 q existiert sodass m(i): = min{j : γ ij 0} für 1 i i 1 definiert und strengmonoton wachsend ist und γ ij = 0 für i > i 1, 1 j n + 1 Die m(i) heissen Pivotindizes, die γ im(i) Pivotelemente 16

17 Algorithmus für Gausselimination EINGABE: A = [a ij ] 1 i q 1 j n+1 lokale Variable r, s N, z K 0 Setze (r, s) = (1, 1) 1 FALLS (r > q oder s > n + 1) STOP 2 FALLS (a is = 0 für alle i r) setze s: = s + 1; GOTO 1 3 WÄHLE i 0 r mit a i0 s 0 FOR j = s, s + 1,, n + 1 setze (pro Koeffizient a ij ein Speicherplatz reserviert) ((r, s) bezeichnet Arbeitsfeld) z a rj ; a rj a i0 j, a i0 j z (Vertauschung von Zeilen mit Nummern i 0 und r) 17

18 4 FOR i = r + 1, r + 2,, q setze Z a is /a rs FOR j = s, s + 1,, n + 1 setze a ij a ij a rj z (Subtrahieren des z-fachen der r-ten Zeile von der i-ten) 5 Setze r r + 1; s s + 1; GOTO 1 Bemerkung Sogenannte Pivotstrategien definieren, wie i 0 im Schritt 3 zu wählen ist Diese sind für numerische Überlegungen wesentlich (Rundungsfehler), sollen aber hier nicht weiter verfolgt werden 18

19 Allgemein: Sei Lösung von Systemen in Treppenform γ 1m(1) x m(1) + γ 1n x n = δ 1 (L ) γ 2m(2) x m(2) + + γ 2n x n = δ 2 γ i0 m(i 0 )x mi0 + + γ i0 nx n = δ i0 ein Gleichungssystem in Treppenform: γ im(i) 0 für i i 0, m(i) < m(i + 1) für i < i 0 Die x m(1),, x m(i0 ) heißen gebundene Variable Die übrigen x i heißen freie Variable Lösung: Wählen ξ i K für freie x i beliebig Dann gibt es genau eine Wahl für gebundene ξ j, sodass (L ) erfüllt ist 19

20 Lösbarkeitskriterium für Systeme in Treppenform Sei (L ) wie vorher in Treppenform Dann gilt: (L ) unlösbar die i 0 -te Zeile ist von der Form 0 = δ i0 mit δ i0 0 20

21 Folgerungen 1 Der folgende Satz wird von zentraler Bedeutung sein Satz 1 Ein homogenes Gleichungssystem (H) über einem Körper K mit q Gleichungen in n Variablen hat eine Lösung ξ 0, falls q < n 21

22 Folgerungen 2 Satz 2 (L) Sei α 11 x α 1n x n = β 1 α q1 x α qn x n = β q ein Gleichungssystem über dem Körper K Sei E K ein Oberkörper Dann ist (L) lösbar über K (L) lösbar über E 22