22 Cauchyscher Integralsatz und Cauchysche Integralformel

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1 22 Cuchyscher Integrlstz und Cuchysche Integrlformel 22. Komplexe Wegintegrle Wir sehen uns nun die Integrtion im Komplexen n. Komplexe Wegintegrle definieren wir ähnlich wie Wegintegrle im R 2. Definition 22. Sei D C, f : D C sei eine stetige Funktion, und : [,b] C sei ein stetig differenzierbrer Weg, der gnz in D verläuft. Dnn heißt ds Integrl b f ( (t) ) (t)dt (22.) ds Wegintegrl von f längs des Weges. Wir bezeichnen dieses Integrl mit f(z)dz. In (22.) ht mn über eine komplexwertige Funktion g(t) := f ( (t) ) (t) uf einem Intervll [,b] zu integrieren. Diese Integrtion erklären wir wie folgt: b g(t)dt := b (Re g)(t)dt + i b (Im g)(t)dt. Setzt sich ein Weg us stetig differenzierbren Wegen,..., n zusmmen und ist f stetig, so definieren wir f(z)dz := f(z)dz f(z)dz. n Einige Eigenschften komplexer Wegintegrle ) f(z)dz hängt nur von der Kurve Γ := {(t) C : t [,b]} und deren Orientierung b, nicht von der Prmetrisierung. Genuer: Sind : [,b] C und 2 = [c,d] C zwei stetig differenzierbre und doppelpunktfreie Wege, die die gleiche Kurve Γ erzeugen und die gleiche Orientierung von Γ induzieren, so ist f(z)dz = f(z)dz. 2 b) c) Diesen gemeinsmen Wert nennt mn Kurvenintegrl von f über Γ, und wir schreiben für ihn f(z)dz. Γ ( ) f(z) + g(z) dz = f(z)dz + g(z)dz. f(z)dz = 2 f(z)dz + f(z)dz 2 (Summe von Wegen). 350

2 d) e) f(z)dz = f(z)dz (entgegengesetzter Weg). f(z)dz L() mx f(z). z Γ f) Seien ˆD, D offen, g : ˆD D holomorphe Funktion, ˆ : [,b] ˆD stetig differenzierbrer Weg, := g ˆ und f stetig uf D. Dnn ist f(z)dz = f ( g(ζ) ) g (ζ)dζ. g) Sei ein stückweise differenzierbrer Weg mit zugehöriger Kurve Γ, und f n seien stetige Funktionen uf Γ, die gleichmäßig gegen eine Funktion f uf Γ konvergieren. Dnn ist f stetig und lim n ˆ f n (z)dz = f(z)dz. Es folgen noch zwei weitere Berechnungsmöglichkeiten für komplexe Wegintegrle. h) Seien f = u + iv : D C stetig und = x + iy : [,b] D ein stetig differenzierbrer Weg. Dnn ist b ( f(z)dz = u ( x(t),y(t) ) ẋ(t) v ( x(t),y(t) ) ) ẏ(t) dt + i b ( v ( x(t),y(t) ) ẋ(t) + u ( x(t),y(t) ) ) ẏ(t) dt. Schreibt mn nämlich die beiden Integrle uf der rechten Seite unter ein Integrlzeichen, so erhält mn den Integrnden f ( (t) ) ẋ(t) + if ( (t) ) ẏ(t) = f ( (t) ) (t). i) Sei D C offen. Eine holomorphe Funktion F : D C heißt Stmmfunktion von f : D C, wenn F (z) = f(z) für lle z D. Besitzt f : D C uf D eine Stmmfunktion F und ist : [,b] C ein stückweise stetig differenzierbrer Weg, der gnz in D verläuft, so ist f(z)dz = F ( (b) ) F ( () ). Beweis f(z)dz = = b b f ( (t) ) (t)dt = b F ( (t) ) (t)dt d ( F ( (t) )) dt = F ( (b) ) F ( () ), dt 35

3 wobei wir die Kettenregel und den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung benutzt hben. Wir berechnen nun einige der für die Funktionentheorie wichtigsten Integrle. Beispiel Sei B die Kreisscheibe mit Mittelpunkt c C und Rdius r > 0. Der Rnd von B ist die geschlossene Kurve {z C : z c = r}. Wir vereinbren, geschlossene Kurven immer im Gegenuhrzeigersinn zu orientieren, sofern nicht usdrücklich etws nderes gesgt wird. Mit dieser Vereinbrung ist { (z c) n 0 flls n Z\{ } dz = 2πi flls n =. Der Fll n ist einfch, d die Funktion F(z) = (z c)n+ n+ eine Stmmfunktion für f(z) = (z c) n uf C\{c} ist und d die Kurve in diesem Gebiet liegt. Die Kreislinie wird beispielsweise prmetrisiert durch : [0, 2π] c + re it. Also ist für n nch Eigenschft (i) (z c) n dz = F ( (2π) ) F ( (0) ) = F(c + r) F(c + r) = 0. Für n = rechnen wir mit der Definition (22.) 2π z c dz = 2π (t) c (t)dt = re it ireit dt = i 0 Beispiel 2 Sei wieder B = {z C : z c < r}. Dnn ist { wenn z c < r 2πi ζ z dζ = 0 0 wenn z c > r. 2π 0 dt = 2πi. Ein Vorgehen wie in Beispiel ist wenig ussichtsreich. Durch einen Trick reduzieren wir ds Problem uf den Fll z = c, den wir in Beispiel betrchtet hben. Sei zunächst z c < r. Wir setzen w := z c mit ζ und erhlten wegen ζ c w = z c < r ζ z = ζ c (z c) = ζ c w = ζ c (geometrische Reihe). Wegen w < ist w n eine bsolut konvergente Mjornte für ( ) n z c = w n. ζ c 352 w n

4 Diese Reihe konvergiert dher gleichmäßig uf (Stz 2.5). Nch Eigenschft (g) (die ntürlich entsprechend uch für Reihen = Folgen von Prtilsummen gilt) ist für lle z mit z c < r ls z c ζ z dζ = ζ c ( ) n z c dζ = ζ c (z c) n dζ (ζ c) n+, und dies ist gleich 2πi nch Beispiel. Für z mit z c > r schreiben wir ( ζ c n z c) und erhlten nlog ζ z dζ = (ζ c) n dζ = 0. (z c) n+ Beispiel 3 Die Funktion Ln ist uf der geschlitzten Ebene C\(, 0] eine Stmmfunktion für f(z) =. Also gilt für jeden Weg in C\(, 0] mit Anfngspunkt z 0 und Endpunkt z z z dz = Lnz Lnz 0. Insbesondere ist für : [ π + ε,π ε] C, t re it mit r,ε > 0, d.h. für einen Kreis um 0 mit Rdius r, der eine kleine Lücke n der negtiven reellen Achse ufweist, z dz = ln r + i(π ε) ( ln r + i( π + ε) ) = i(2π 2ε). Für ε ց 0 erhält mn ds Integrl über dem Vollkreis dz = lim i(2π 2ε) = 2πi z εց0 z =r in Übereinstimmung mit Beispiel Der Cuchysche Integrlstz Wir lernen nun eines der zentrlen Resultte der Funktionentheorie kennen. Stz 22.2 (Cuchyscher Integrlstz) Sei G C ein einfch zusmmenhängendes Gebiet, ein in G verlufender stückweise stetig differenzierbrer und geschlossener Weg, und f : G C eine holomorphe Funktion. Dnn ist f(z)dz = 0. ζ z 353

5 Wegen der Bedeutung dieses Stzes wollen wir uns seinen Beweis in einer einfchen Sitution nsehen. Wichtigstes Hilfsmittel für den Beweis ist Lemm 22.3 (Integrllemm von Gourst) Sei D C offen und f holomorph uf D. Dnn gilt für den Rnd jeder Dreiecksfläche D f(z)dz = 0. Mit nderen Worten: der Cuchysche Integrlstz gilt für Dreiecksränder. Beweis Für jedes Dreieck bezeichnen wir mit L( ) seinen Umfng, und wir setzen ( ) := f(z)dz. Durch Seitenhlbierung teilen wir ds Ausgngsdreieck in vier kongruente Teildreiecke,..., 4. Wegen Eigenschften (c) und (d) ist dnn ( ) = f(z)dz = 4 j= j f(z)dz = 4 ( j ). j= Unter den vier Integrlen ( j ) wählen wir ein betrgsgrößtes us. Ds zugehörige Dreieck bezeichnen wir mit. Dnn gilt ( ) 4 ( ) und L( ) = 2 L( ). Dieses Vorgehen wiederholen wir für und erhlten ein Dreieck 2. So fortfhrend entsteht eine Folge 2... bgeschlossener Dreiecke mit ( ) 4 n ( n ) und L( n ) = L( ). (22.2) 2n Der Durchschnitt n= n besteht us genu einem Punkt c. D c D und f uf D holomorph ist, gibt es eine uf D stetige Funktion g mit g(c) = 0 so, dss f(z) = f(c) + f (c)(z c) + (z c)g(z) für lle z D (22.3) (vgl. Beweis von Stz 4.2). Die linere Funktion z f(c) + f (c)(z c) besitzt offenbr eine Stmmfunktion. Dher ist n ( f(c) + f (c)(z c) ) dz = 0 für n, 354

6 und us (22.3) folgt durch Integrieren über n Mit Eigenschft (e) und (22.2) folgt und weiter ( n ) = (z c)g(z)dz n für n. ( n ) L( n ) mx z n (z c)g(z) L( n ) 2 mx z n g(z) ( ) 4 n ( n ) 4 n L( n ) 2 mx z n g(z) = L( )2 mx z n g(z). Wegen g(c) = 0 und der Stetigkeit von g findet mn für jedes ε > 0 ein n mit mx z n g(z) < ε. Also ist ( ) εl( ) 2 für jedes ε > 0 und folglich ist ( ) = 0. Beweis des Cuchyschen Integrlstzes für Sterngebiete Wir zeigen nun die folgende Aussge: Ist G ein Sterngebiet mit Zentrum c und f holomorph uf G, so ist F(z) := f(ζ)dζ eine Stmmfunktion von f. Wenn ds gezeigt ist, [c,z] ist klr, dss für jeden geschlossenen stückweise stetig differenzierbren Weg in G ds Integrl f(z)dz = 0 ist. Wir müssen zeigen, ds F in jedem Punkt z 0 G komplex differenzierbr ist und dss F (z 0 ) = f(z 0 ). Sei z so nhe n z 0, dss uch die Strecke [z 0,z] noch gnz in G liegt. Nch dem Lemm von Gourst ist f(ζ)dζ = 0 [c,z 0 ]+[z 0,z]+[z,c] z z 0 c G und demzufolge Wir definieren F(z) = F(z 0 ) + F (z) := [z 0,z] { F(z) F(z0 ) z z 0 für z z 0 f(z 0 ) für z = z 0 f(ζ)dζ. (22.4) und zeigen, dss F n der Stelle z 0 stetig ist. Wegen (22.4) und dζ = z z [z 0,z] 0 ist F (z) F (z 0 ) = ( f(ζ) f(z0 ) ) dζ, z z [z 0,z]

7 worus mit Abschätzung (e) folgt F (z) F (z 0 ) z z 0 L([z 0,z]) mx 0) ζ [z 0,z] = mx f(ζ) f(z 0 ) 0 für z z 0 ζ [z 0,z] wegen der Stetigkeit von f. Also ist F stetig in z 0. Hier ist noch eine Verllgemeinerung des Cuchyschen Integrlstzes uf nicht einfch zusmmenhängende Gebiete. Stz 22.4 Sei G C ein Gebiet und f holomorph uf G. Weiter seien und 2 zwei geschlossene doppelpunktfreie stückweise stetig differenzierbre Wege, die gnz in G verlufen. Dbei soll gnz im Innengebiet von 2 verlufen, und ds Ringgebiet zwischen und 2 liege gnz in G. Hben ußerdem und 2 die gleiche Orientierung, so ist f(z)dz = f(z)dz. 2 2 G 22.3 Die Cuchysche Integrlformel Eine überrschende Konsequenz des Cuchyschen Integrlstzes ist die folgende Cuchysche Integrlformel. Stz 22.5 Sei G ein einfch zusmmenhängendes Gebiet und ein doppelpunktfreier geschlossener stückweise stetig differenzierbrer Weg, der positiv (d.h. im Gegenuhrzeigersinn) orientiert ist. Ist f uf G holomorph und liegt z 0 G im Innengebiet von, so ist 2πi f(z) z z 0 dz = f(z 0 ). (22.5) 356

8 Zur Berechnung des Integrls uf der linken Seite von (22.5) benötigt mn lediglich die Funktionswerte von f uf der Kurve Γ = {(t) C : t [,b]}. Die Cuchysche Integrlformel (22.5) zeigt dher, dss die Funktionswerte von f im Inneren der Kurve Γ durch die Funktionswerte uf Γ bereits vollständig und eindeutig bestimmt sind. Es ist lso nicht möglich, f im Inneren von Γ bzuändern, ohne die Holomorphie zu zerstören. Liegt z 0 im Außengebiet von Γ, so ist ntürlich f(z) dz = 0 2πi z z 0 nch dem Cuchyschen Integrlstz. Die Cuchysche Integrlformel liefert uch einen bequemen Weg zur Berechnung gewisser komplexer Wegintegrle über geschlossenen Kurven. Beispiel 4 Sei G die Hlbebene {z C : Im z > 2} und Γ der Kreis um 2i mit dem Rdius. Um dz zu bestimmen, schreiben wir Γ z 2 +4 Γ z dz = Γ (z 2i)(z + 2i) dz = f(z) Γ z 2i dz mit der uf G holomorphen Funktion f(z) =. Nch der Cuchyschen Integrlformel ist z+2i z dz = f(z) 2πi dz = 2πi f(2i) = = π Γ z 2i 4i 2. Γ Für f(z) = und Γ = {z C : z = } erhlten wir us (22.5) ntürlich ds bereits beknnte Ergebnis dz = 2πi f(0) = 2πi. z Γ 22.4 Entwicklung holomorpher Funktionen in Potenzreihen In Stz 2.4 hben wir festgestellt, dss jede Potenzreihe f(z) = n(z z 0 ) n mit Konvergenzrdius R > 0 uf {z C : z z 0 < R} holomorph ist und dss die bgeleitete Potenzreihe f (z) = n= n n(z z 0 ) n ebenflls den Konvergenzrdius R ht. Hierus folgt ntürlich, dss holomorphe Funktionen, die sich durch Potenzreihen drstellen lssen, unendlich oft komplex differenzierbr sind. Wir werden nun sehen, dss mn jede holomorphe Funktion lokl in eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzrdius entwickeln knn. Dies folgt leicht us dem folgenden Lemm. 357

9 Lemm 22.6 Sei ein stückweise stetig differenzierbrer Weg in C mit zugehöriger Kurve Γ, und sei f : Γ C stetig. Dnn ist die Funktion F(z) := f(ζ) 2πi ζ z dζ, z C\Γ holomorph uf C\Γ, und für jedes z 0 C\Γ konvergiert die Potenzreihe n (z z 0 ) n mit n = 2πi f(ζ) dζ (ζ z 0 ) n+ uf jeder offenen Kreisscheibe um z 0, die Γ nicht trifft, gegen F(z). Aus diesem so gennnten Entwicklungslemm folgt ntürlich, dss F uf C\Γ unendlich oft komplex differenzierbr ist. D die Koeffizienten einer Potenzreihe F(z) = n(z z 0 ) n durch n = F (n) (z n! 0 ) gegeben sind, folgt weiter F (n) (z 0 ) = n! 2πi f(ζ) dζ. (22.6) (ζ z 0 ) n+ Ds Entwicklungslemm ordnet lso jeder uf Γ stetigen Funktion f eine uf C\Γ holomorphe Funktion F zu. Der Zusmmenhng zwischen f und F ist jedoch recht lose. So gilt i.. NICHT, dss lim z z0 F(z) = f(z 0 ) für z 0 Γ. Dies ändert sich uf Grund der Cuchyschen Integrlformel, wenn wir von vornherein f ls holomorph in einer Umgebung von Γ nnehmen. Stz 22.7 (Entwicklungsstz) Sei D C offen, z 0 D, und B sei die größte offene Kreisscheibe um z 0, die komplett in D liegt. Dnn ist jede uf D holomorphe Funktion f um z 0 in eine Potenzreihe n(z z 0 ) n entwickelbr, die uf B gegen f konvergiert. Die Koeffizienten n ergeben sich us n = 2πi f(ζ) dζ, (22.7) (ζ z 0 ) n+ wobei B irgendeine Kreisscheibe um z 0 ist, die kleiner ls B ist (so dss ihr Rnd komplett in D liegt). Insbesondere ist f uf D beliebig oft komplex differenzierbr, und in jeder Kreisscheibe B B um z 0 gelten die Cuchyschen Integrlformeln f (n) (z) = n! 2πi f(ζ) (ζ z) dζ, n+ z B, n 0. (22.8) Beweis D f holomorph ist, gilt die Cuchysche Integrlformel f(z) = f(ζ) 2πi ζ z dζ, z B. 358

10 Ds Entwicklungslemm (ngewndt uf Γ := und F := f uf B ) liefert die Behuptung. Funktionen, die uf einer offenen Menge D C einml komplex differenzierbr sind, sind dort lso beliebig oft komplex differenzierbr, und sie lssen sich uf jeder Kreisscheibe in D in eine gegen diese Funktion konvergierende Potenzreihe entwickeln. Vergleichen Sie dies mit der Sitution im Reellen! Beispiel 5 Sei Γ eine stückweise gltte geschlossene und doppelpunktfreie Kurve, die den Nullpunkt umschließt. Mit den uf gnz C holomorphen Funktionen f(z) = und g(z) = sinz erhält mn für n 0 Γ z n+ dz = n! 2πif(n) (0) = { 2πi für n = 0 0 für n > 0 und mit k 0. n! sin z 2πi Γ z dz = n+ g(n) (0) = 0 flls n gerde flls n = 4k + flls n = 4k + 3 Beispiel 6 Die Cuchysche Integrlformeln können uch zur Berechnung reeller Integrle genutzt werden. Als Beispiel sehen wir uns ds Integrl cosx + x 2 dx n. Für R > 0 bestehe die Kurve Γ R us der Strecke [ R,R] und dem oberen Hlbkreis um 0 von R bis R. Für die uf C\{+i} holomorphe Funktion f(z) = eiz + z = eiz /(z + i) 2 z i =: g(z) z i gilt nch der Cuchyschen Integrlformel (22.5) f(z)dz = 2πig(i) = 2πi e 2i = π e Γ R 0 Γ R R (bechte, dss g in einer Umgebung der oberen Hlbebene holomorph ist). 359

11 Dieses Ergebnis ist unbhängig von R. Ds Teilintegrl über die Strecke [ R,R] ist [ R,R] f(z)dz = R R e ix R + x dx = 2 R cos x R + x dx+i 2 R sin x R + x dx = 2 R cos x + x 2 dx, d x sin x +x 2 eine ungerde Funktion ist. Ds zweite Teilintegrl über dem Hlbkreis H R := {Re it : t [0,π]} läßt sich bschätzen durch f(z)dz = H R π e ireit 0 + (Re it ) 2 Rieit dt t+isin t) eir(cos Rπ mx t [0,π] + R 2 e 2it Rπ R 2 mx e R sin t = Rπ t [0,π] R 2 Dieses Teilintegrl konvergiert lso für R gegen 0. In π R e = cosx f(z)dz = Γ R R + x dx + f(z)dz 2 H R für R >. konvergieren somit ds linke Integrl gegen π e und ds rechte gegen 0. Also ist cos x R cos x dx = lim + x2 R R + x dx = π 2 e. Beispiel 7 Der Entwicklungsstz gestttet häufig die unmittelbre Bestimmung des Konvergenzrdius einer Potenzreihe. Als Beispiel betrchten wir die Funktion f(z) = z/(e z ).Diese ist zunächst für lle z C mit e z, d.h. für lle z 2kπi mit k Z, definiert. Wegen e z = z ( + z 2! + z2 3! +...) können wir ber f(0) = festlegen und erhlten eine Funktion, die uch in einer Umgebung der 0 holomorph ist. Wir können f lso in einer Umgebung der 0 in eine Potenzreihe entwickeln, und diese konvergiert uf der größten offenen Kreisscheibe um 0, die im Holomorphiegebiet liegt. Ihr Konvergenzrdius ist lso 2π. 6πi 4πi 2πi 2πi 4πi 6πi 360

12 Beispiel 8 Möchte mn eine holomorphe Funktion f um einen Punkt z 0 in eine Potenzreihe n(z z 0 ) n entwickeln, so knn mn die Koeffizienten n nch n = f(n) (z 0 ) n! oder n = 2πi f(ζ) dζ (ζ z 0 ) n+ berechnen, wobei B eine bgeschlossene Kreisscheibe um z 0 ist, die komplett im Holomorphiebereich von f liegt. Häufig ist es jedoch einfcher, bereits beknnte Potenzreihenentwicklungen zu benutzen. Als Beispiel betrchten wir die uf G = C\{, 2} holomorphe Funktion f(z) = 3. Nch dem Entwicklungsstz knn mn diese Funktion in eine Potenzreihe um den Punkt z 0 = i entwickeln, und der Konvergenzrdius dieser Potenzreihe ( z)(2+z) ist 2 (wrum?). Aus der Prtilbruchzerlegung 3 ( z)(2 + z) = 2 + z + z folgt, dss wir lediglich die Funktionen z und z in Potenzreihen um 2+z z i entwickeln müssen. Dher benutzen wir die uns beknnte geometrische Reihe die für z < konvergiert. Es ist sowie 2 + z = 2 + i + z i = 2 + i z = i (z i) = i z n = z, + z i 2+i z i i = 2 + i n (z i)n ( ) (2 + i) n = i (z i) n ( i) n, wobei die Reihen für z i <, d.h. für z i < 5 und für z i <, d.h. für 2+i z i < 2 konvergieren. Für z i < 2 konvergieren lso beide Reihen, und wir erhlten f(z) = n(z i) n mit n = ( )n (2 + i) + für n = 0,, 2,.... n+ ( i) n Eigenschften holomorpher Funktionen Wir sehen uns in diesem Abschnitt weitere Eigenschften holomorpher Funktionen n. Aus der Cuchyschen Integrlformel (22.5) folgt für jede Funktion f, die holomorph uf einer Umgebung der Abschließung der Kreisscheibe 36 i

13 U r (z 0 ) := {z C : z z 0 < r} ist, dss f(z) dz = f(z 0 ). 2πi z z 0 Mit der Stndrdbschätzung (Eigenschft (e) des Wegintegrls) folgt die Mittelwertungleichung f(z 0 ) mx z f(z). Dies läßt sich wesentlich verllgemeinern. Stz 22.8 (Cuchysche Ungleichung) Sei f holomorph in einer Umgebung des bgeschlossenen Kreises B r (z 0 ). Dnn gilt für jedes k N und jede positive Zhl d < r f (k) r (z) k! mx f(ζ) für lle z B d k+ r d (z 0 ). ζ z 0 =r Der folgende Identitätsstz zeigt einen überrschend engen Zusmmenhng zwischen den Werten einer holomorphen Funktion uf. Stz 22.9 (Identitätsstz für holomorphe Funktionen) Sei G ein Gebiet, und f und g seien uf G holomorph. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent. ) f(z) = g(z) für lle z G. b) f(z n ) = g(z n ) für eine Folge (z n ) prweise verschiedener Punkte z n G, die sich in G häufen. c) Es gibt ein z 0 G mit f (n) (z 0 ) = g (n) (z 0 ) für lle n 0. Eine holomorphe Funktion ist lso bereits durch die Funktionswerte n bzählbr unendlich vielen Stellen festgelegt, wenn sich diese Stellen im Holomorphiegebiet häufen. Folgerung 22.0 Ist G C ein Gebiet, ds ein Intervll I R umfsst, und ist f eine komplexwertige Funktion uf I, so gibt es höchstens eine uf G definierte holomorphe Funktion F, die uf I mit f übereinstimmt. Mn knn lso die reelle Sinusfunktion nur uf eine einzige Weise zu einer uf C holomorphen Funktion fortsetzen. Mit dem Identitätsstz lssen sich uch nlytische Identitäten fortsetzen ( Permnenzprinzip ). Stellen wir uns vor, wir hätten z e 2 ls holomorphe Funktion uf gnz C definiert, wüssten ber nur für lle reellen z und w, dss e z+w = e z e w. Für ein fixiertes w R betrchten wir die Funktionen f(z) := e w+z und g(z) := e w e z uf C. Diese sind holomorph uf C und stimmen uf R überein. Nch dem Identitätsstz stimmen sie uf C überein, d.h. es ist f(z) = g(z) bzw. e w+z = e w e z für lle z C und w R. 362

14 Wir wiederholen diese Überlegung mit fixiertem z C und erhlten die Gültigkeit von e w+z = e w e z für lle w und z us C. Mit dem Entwicklungsstz erhält mn us Stz 22.9 leicht den folgenden Identitätsstz. Stz 22. (Identitätsstz für Potenzreihen) Seien f(z) := n(z z 0 ) n und g(z) := b n(z z 0 ) n Potenzreihen mit Konvergenzrdien R > r > 0. Stimmen f und g uf einer Umgebung U ρ (z 0 ) mit r > ρ > 0 (oder nur in unendlich vielen prweise verschiedenen Punkten dieser Umgebung) überein, so ist n = b n für lle n N 0 und dher R = r und f(z) = g(z) für lle z U R (z 0 ). Beispiel 9 Die durch f(z) = cos z definierte Funktion ist uf C\{ ± π 2, ±3π 2, ± 5π 2,...} holomorph und knn nch dem Entwicklungsstz in eine Potenzreihe cos z = n z n mit Konvergenzrdius π/2 entwickelt werden. Es ist lso ( z2 2! + z4 4!... ) (0 + z + 2 z ) =. Cuchyprodukt und Koeffizientenvergleich liefern bei z 0 : 0 = z : = 0 z 2 : 2 2 = 0 z 3 : 3 2 = 0 z 4 : = 0 u.s.w. Hierus erhält mn ncheinnder 0 =, = 0, 2 =, 2 3 = 0, 4 = 2 Also ist cos z = + z z = Eine Funktion, die uf der gesmten komplexen Ebene definiert und dort holomorph ist, heißt gnz. Gnze Funktionen sind z.b. die komplexe Exponentilfunktion und die komplexen Sinus- und Kosinusfunktionen. Stz 22.2 (Stz von Liouville) Jede beschränkte gnze Funktion ist konstnt. 363

15 Eine bemerkenswerte Anwendung findet dieser Stz beim Beweis des Fundmentlstzes der Algebr. Stz 22.3 (Fundmentlstz der Algebr) Jedes Polynom vom Grd n besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle. Hierus folgt leicht, dss jedes Polynom P vom Grd n genu n komplexe Nullstellen besitzt (gezählt unter Berücksichtigung ihrer Vielfchheiten) und dss jedes solche Polynom eindeutig in Linerfktoren zerlegt werden knn: n n P(z) = k z k = n (z z r ) ( n 0), k=0 r= wobei z,...,z n die Nullstellen von P sind. Beim Beweis von Stz 22.3 nimmt mn n, dss P(z) 0 für lle z C. Dnn ist /P(z) erklärt, und mn zeigt, dss diese Funktion beschränkt ist. Nch Liouville ist dnn /P(z) konstnt. Widerspruch. Unser letztes Ziel in diesem Abschnitt ist ds Mximumprinzip. Wir beginnen mit einem eng verwndten Resultt. Stz 22.4 (Offenheitsstz) Sei D C offen und f : D C holomorph und nirgends lokl konstnt. Dnn bildet f offene Mengen uf offene Mengen b. Nirgends lokl konstnt bedeutet: uf keiner Umgebung eines Punktes us D konstnt. Dieser Stz schließt die Existenz holomorpher Funktionen mit gewissen Eigenschften us. Z.B. gibt es keine nichtkonstnte holomorphe Funktion, deren Rel- oder Imginärteil oder deren Betrg konstnt ist. D nirgends lokl konstnte holomorphe Funktionen offene Mengen uf offene Mengen bbilden und d stetige Funktionen zusmmenhängende Mengen in zusmmenhängende Mengen überführen, knn mn den Offenheitsstz uch so formulieren: Folgerung 22.5 Sei f holomorph und nicht konstnt im Gebiet G. Dnn ist f(g) wieder ein Gebiet. Diese Eigenschft holomorpher Funktionen heißt Gebietstreue. Stz 22.6 (Mximumprinzip) Sei G ein Gebiet und f eine uf G holomorphe Funktion, die in G ein lokles Mximum ihres Absolutbetrges nnimmt. Dnn ist f konstnt uf G. Beweis Sei c G und U G eine Umgebung von c mit f(z) f(c) für lle z U. Dnn ist f(u) {w C : w f(z) }, d.h. f(u) ist keine offene Umgebung von f(z). Nch dem Offenheitsstz ist f konstnt. 0 f(c) f(u) 364

16 Folgerung 22.7 (Mximumprinzip für beschränkte Gebiete) Sei G ein beschränktes Gebiet und f eine uf G stetige und in G holomorphe nichtkonstnte Funktion. Dnn nimmt f sein Mximum nur uf dem Rnd von G n: f(z 0 ) < mx z G f(z) für z 0 G. Der Beweis ist klr: Als stetige Funktion muss f uf G ds Mximum nnehmen. Lokle Mxim in G gibt es jedoch nicht, d f nicht konstnt ist. Beispiel 0 Wir suchen mx z z 2. D die Funktion f(z) = z 2 uf C holomorph ist, muss ds gesuchte Mximum uf dem Rnd der Einheitskreisscheibe zu finden sein. Mit z = z(t) = e it, 0 t 2π, erhält mn z(t) 2 2 = e i2t 2 = ( cos 2t) 2 + (sin 2t) 2 = 2( cos 2t). Dieser Ausdruck wird mximl für cos 2t =, lso für t = π und t = 3π. Also 2 2 ist mx z 2 = 2 ( ( ) ) = 2, z und ds Mximum wird n den Stellen z = e iπ/2 und z 2 = e 3iπ/2 ngenommen. Anwendung des Mximumprinzips uf /f liefert schließlich Stz 22.8 (Minimumprinzip) Sei f holomorph im Gebiet G, und f besitze in G ein lokles Minimum, d.h. es gebe ein c G und eine offene Umgebung U G von c mit f(c) = inf z U f(z). Dnn ist f(c) = 0, oder f ist konstnt in G. Deutet mn die reelle Zhl f(z) ls Höhe in Punkt z G, so erhält mn über G C = R 2 die Fläche im R 3, die mn gelegentlich die nlytische Lndschft von f nennt. Ds Mximumprinzip läßt sich dnn wie folgt ussprechen: In der nlytischen Lndschft einer holomorphen Funktion gibt es keine echten Gipfel. 365