Studientag zur Algorithmischen Mathematik

Transkript

1 Studientag zur Algorithmischen Mathematik Minimale aufspannende Bäume und Matchings Winfried Hochstättler Diskrete Mathematik und Optimierung FernUniversität in Hagen 22. Mai 2011

2 Outline Minimale aufspannende Bäume Die Cayley-Formel Bipartites Matching Stabile Hochzeiten

3 Minimale aufspannende Bäume Problem Input: zusammenhängender Graph G = (V, E) mit Kantengewichten w : E R + Output: Baum, in dem jeder Knoten vorkommt, mit minimalem Gesamtgewicht.

4 Problem Minimale aufspannende Bäume Input: zusammenhängender Graph G = (V, E) mit Kantengewichten w : E R + Output: Baum, in dem jeder Knoten vorkommt, mit minimalem Gesamtgewicht

5 Problem Minimale aufspannende Bäume Input: zusammenhängender Graph G = (V, E) mit Kantengewichten w : E R + Output: Baum, in dem jeder Knoten vorkommt, mit minimalem Gesamtgewicht

6 Der Greedy-Algorithmus von Kruskal

7 Der Algorithmus von Jarník und Prim

8 Der Algorithmus von Borůvka wiederhole (1) jeder Knoten markiert Kante minimalen Gewichts an ihm (2) schrumpfe Komponenten zu Knoten

13 Der Algorithmus von Borůvka wiederhole (1) jeder Knoten markiert Kante minimalen Gewichts an ihm (2) schrumpfe Komponenten zu Knoten 4 5

15 Kreiskriterium und Schnittkriterium Sei (V, T ) ein minimaler aufspannender Baum von G = (V, E). Für e / T sei C(T, e) := der eindeutige Kreis in T + e (der Fundamentalkreis).

16 Kreiskriterium und Schnittkriterium Sei (V, T ) ein minimaler aufspannender Baum von G = (V, E). Für e / T sei C(T, e) := der eindeutige Kreis in T + e (der Fundamentalkreis). Für e T sei D(T, e) := alle Kanten zwischen den zwei Komponenten von T \ e. Wir nennen D(T, e) den Fundamentalschnitt.

17 Kreiskriterium und Schnittkriterium Sei (V, T ) ein minimaler aufspannender Baum von G = (V, E). Für e / T sei C(T, e) := der eindeutige Kreis in T + e (der Fundamentalkreis). Für e T sei D(T, e) := alle Kanten zwischen den zwei Komponenten von T \ e. Wir nennen D(T, e) den Fundamentalschnitt. Kreiskriterium: Jedes e E \ T hat in C(T, e) maximales Gewicht. e C

18 Kreiskriterium und Schnittkriterium Sei (V, T ) ein minimaler aufspannender Baum von G = (V, E). Für e / T sei C(T, e) := der eindeutige Kreis in T + e (der Fundamentalkreis). Für e T sei D(T, e) := alle Kanten zwischen den zwei Komponenten von T \ e. Wir nennen D(T, e) den Fundamentalschnitt. Kreiskriterium: Jedes e E \ T hat in C(T, e) maximales Gewicht. Schnittkriterium: Jedes e T hat in D(T, e) minimales Gewicht. e C

19 Die Cayley-Formel Satz Die Anzahl T n der knotengelabelten aufspannenden Bäume des K n ist n n 2.

20 Die Cayley-Formel Satz Die Anzahl T n der knotengelabelten aufspannenden Bäume des K n ist n n 2. Beweis. Mit doppeltem Abzählen.

21 Die Cayley-Formel Satz Die Anzahl T n der knotengelabelten aufspannenden Bäume des K n ist n n 2. Beweis. Mit doppeltem Abzählen.Wir zählen die knoten- und kantengelabelten Wurzelbäume gelabelten aufspannenden Bäume des K n.

22 Die Cayley-Formel Satz Die Anzahl T n der knotengelabelten aufspannenden Bäume des K n ist n n 2. Beweis. Mit doppeltem Abzählen.Wir zählen die knoten- und kantengelabelten Wurzelbäume gelabelten aufspannenden Bäume des K n. Jeden knotengelabelten Baum kann man auf n Arten wurzeln und auf (n 1)! Arten kantenlabeln. Die gesuchte Zahl A n ist also. A n = n!t n.

23 Die Cayley-Formel Satz Die Anzahl T n der knotengelabelten aufspannenden Bäume des K n ist n n 2. Beweis. A n = n!t n. Nun fassen wir die Kantenlabel als Reihenfolge auf, in der wir die Kanten des Wurzelbaumes wählen.

24 Die Cayley-Formel Satz Die Anzahl T n der knotengelabelten aufspannenden Bäume des K n ist n n 2. Beweis. A n = n!t n. Nun fassen wir die Kantenlabel als Reihenfolge auf, in der wir die Kanten des Wurzelbaumes wählen. Den Anfang können wir immer frei wählen, haben also stets n Möglichkeiten.

25 Die Cayley-Formel Satz Die Anzahl T n der knotengelabelten aufspannenden Bäume des K n ist n n 2. Beweis. A n = n!t n. Nun fassen wir die Kantenlabel als Reihenfolge auf, in der wir die Kanten des Wurzelbaumes wählen. Den Anfang können wir immer frei wählen, haben also stets n Möglichkeiten. Für das Ende müssen wir die Wurzel einer anderen Komponente wählen. Dafür haben wir im k-ten Schritt n k Möglichkeiten.

26 Die Cayley-Formel Satz Die Anzahl T n der knotengelabelten aufspannenden Bäume des K n ist n n 2. Beweis. A n = n!t n. Nun fassen wir die Kantenlabel als Reihenfolge auf, in der wir die Kanten des Wurzelbaumes wählen. Den Anfang können wir immer frei wählen, haben also stets n Möglichkeiten. Für das Ende müssen wir die Wurzel einer anderen Komponente wählen. Dafür haben wir im k-ten Schritt n k Möglichkeiten. Also ist A n = n n 1 (n 1)!.

27 Die Cayley-Formel Satz Die Anzahl T n der knotengelabelten aufspannenden Bäume des K n ist n n 2. Beweis. A n = n!t n. Nun fassen wir die Kantenlabel als Reihenfolge auf, in der wir die Kanten des Wurzelbaumes wählen. Den Anfang können wir immer frei wählen, haben also stets n Möglichkeiten. Für das Ende müssen wir die Wurzel einer anderen Komponente wählen. Dafür haben wir im k-ten Schritt n k Möglichkeiten. Also ist A n = n n 1 (n 1)!.

28 Bipartites Matching Ein Graph G = (U V, E) heißt bipartit, wenn u, u U : {u, u } / E und v, v V : {v, v } / E.

29 Bipartites Matching Ein Graph G = (U V, E) heißt bipartit, wenn u, u U : {u, u } / E und v, v V : {v, v } / E. Eine Menge von paarweise nicht adjazenten Kanten heißt Matching. Ein Matching ist maximal, wenn es die größtmögliche Anzahl Kanten hat, es ist perfekt, wenn alle Knoten getroffen werden.

30 Bipartites Matching Ein Graph G = (U V, E) heißt bipartit, wenn u, u U : {u, u } / E und v, v V : {v, v } / E. Eine Menge von paarweise nicht adjazenten Kanten heißt Matching. Ein Matching ist maximal, wenn es die größtmögliche Anzahl Kanten hat, es ist perfekt, wenn alle Knoten getroffen werden. Ein M-alternierender Weg, ist ein Weg, der abwechselnd Matchingund Nichtmatchingkanten benutzt. Ein M-augmentierender Weg ist ein M-alternierender Weg, der in nicht gematcheten Knoten beginnt und endet.

31 Bipartites Matching Ein Graph G = (U V, E) heißt bipartit, wenn u, u U : {u, u } / E und v, v V : {v, v } / E. Eine Menge von paarweise nicht adjazenten Kanten heißt Matching. Ein Matching ist maximal, wenn es die größtmögliche Anzahl Kanten hat, es ist perfekt, wenn alle Knoten getroffen werden. Ein M-alternierender Weg, ist ein Weg, der abwechselnd Matchingund Nichtmatchingkanten benutzt. Ein M-augmentierender Weg ist ein M-alternierender Weg, der in nicht gematcheten Knoten beginnt und endet. Eine Knotenüberdeckung ist eine Menge von Knoten, die von jeder Kante mindestens einen Endknoten enthält.

32 Ein Matchingalgorithmus Satz Sei M ein Matching in einem bipartiten Graphen. Dann gilt: M ist maximal M-augmentierenden Weg

33 Ein Matchingalgorithmus Satz Sei M ein Matching in einem bipartiten Graphen. Dann gilt: M ist maximal M-augmentierenden Weg Beispiel: Prinzip Matching-Algorithmus:

34 Die Sätze von König und Frobenius Satz (König) Sei G = (U V, E) bipartit. Dann gilt: max{ M M ist Matching} = min{ C C ist Knotenüberdeckung}.

35 Die Sätze von König und Frobenius Satz (König) Sei G = (U V, E) bipartit. Dann gilt: max{ M M ist Matching} = min{ C C ist Knotenüberdeckung}. Beweis. Offensichtlich kann kein Matching größer als eine Knotenüberdeckung sein. Ist eine Farbklasse ganz gematched, so fertig.

36 Die Sätze von König und Frobenius Satz (König) Sei G = (U V, E) bipartit. Dann gilt: max{ M M ist Matching} = min{ C C ist Knotenüberdeckung}. Beweis. Andernfalls

37 Die Sätze von König und Frobenius Satz (König) Sei G = (U V, E) bipartit. Dann gilt: max{ M M ist Matching} = min{ C C ist Knotenüberdeckung}. Beweis. Andernfalls sei U 2 der Menge der im Algorithmus nicht erreichten Knoten von U und V 2 die Menge der erreichten Knoten von V 1.

38 Die Sätze von König und Frobenius Satz (König) Sei G = (U V, E) bipartit. Dann gilt: max{ M M ist Matching} = min{ C C ist Knotenüberdeckung}. Beweis. Andernfalls sei U 2 der Menge der im Algorithmus nicht erreichten Knoten von U und V 2 die Menge der erreichten Knoten von V 1. Dann gibt es keine Kanten von U \ U 2 nach V \ V 1, und keine Matchingkante von V 1 nach U 2.

39 Die Sätze von König und Frobenius Satz (König) Sei G = (U V, E) bipartit. Dann gilt: max{ M M ist Matching} = min{ C C ist Knotenüberdeckung}. Beweis. Andernfalls sei U 2 der Menge der im Algorithmus nicht erreichten Knoten von U und V 2 die Menge der erreichten Knoten von V 1. Dann gibt es keine Kanten von U \ U 2 nach V \ V 1, und keine Matchingkante von V 1 nach U 2. Andererseits sind alle Knoten von V 1, U 2 gematched.

40 Die Sätze von König und Frobenius Satz (König) Sei G = (U V, E) bipartit. Dann gilt: max{ M M ist Matching} = min{ C C ist Knotenüberdeckung}. Beweis. Andernfalls sei U 2 der Menge der im Algorithmus nicht erreichten Knoten von U und V 2 die Menge der erreichten Knoten von V 1. Dann gibt es keine Kanten von U \ U 2 nach V \ V 1, und keine Matchingkante von V 1 nach U 2. Andererseits sind alle Knoten von V 1, U 2 gematched. Also ist C = V 1 U 2 eine Knotenüberdeckung und C = M.

41 Die Sätze von König und Frobenius Satz (König) Sei G = (U V, E) bipartit. Dann gilt: max{ M M ist Matching} = min{ C C ist Knotenüberdeckung}. Satz (Heiratssatz von Frobenius)) Sei G = (U V, E) bipartit. Dann gilt: G hat perfektes Matching U = V H U : N(H) H.

42 Die Sätze von König und Frobenius Satz (König) Sei G = (U V, E) bipartit. Dann gilt: max{ M M ist Matching} = min{ C C ist Knotenüberdeckung}. Satz (Heiratssatz von Frobenius)) Sei G = (U V, E) bipartit. Dann gilt: G hat perfektes Matching U = V H U : N(H) H. Beweis. Falls es kein perfektes Matching gibt, so ist M = C U + C V < n = C V + V \ C.

43 Die Sätze von König und Frobenius Satz (König) Sei G = (U V, E) bipartit. Dann gilt: max{ M M ist Matching} = min{ C C ist Knotenüberdeckung}. Satz (Heiratssatz von Frobenius)) Sei G = (U V, E) bipartit. Dann gilt: G hat perfektes Matching U = V H U : N(H) H. Beweis. Falls es kein perfektes Matching gibt, so ist M = C U + C V < n = C V + V \ C. Also ist C U < V \ C N(C U).

44 Stabile Hochzeiten