9. Übungsblatt zur Vorlesung Schließende Statistik WS 2000/2001

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1 Universität des Saarlandes Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie Prof. Dr. Volker Steinmetz Dipl. Math. Christoph Stahl 9. Übungsblatt zur Vorlesung Schließende Statistik WS 000/00 Aufgabe 54 Siggi Spieler ist ast in einer ame-show. Um die nächste Runde zu erreichen, muß Siggi das nächste Spiel unbedingt gewinnen. Dieses funktioniert wie folgt: Siggi werden die Augen verbunden; dann wird er zu einem Schrank mit drei Schubladen geführt. Der Spielleiter erklärt Siggi, daß in jeder Schublade schwarze und weiße Kugeln liegen und daß in der ersten Schublade das Verhältnis der schwarzen zu den weißen Kugeln 3:, in der zweiten :3 und in der dritten 4: ist. Siggi darf nun mit verbundenen Augen eine Schublade öffnen - wobei er natürlich nicht sieht, welche - und aus dieser eine Kugel entnehmen. Anschließend wird die Schublade wieder geschlossen und Siggi darf die Augenbinde abnehmen, so daß er sehen kann, von welcher Farbe die Kugel ist, die er entnommen hat: sie ist weiß. Daraufhin wird er vom Spielleiter gefragt, welche Schublade er geöffnet hat. Siggi hat ein sehr gutes ehör, wodurch es ihm gelingt, trotz des Raunens, welches durch das Publikum geht, die Worte seiner Ex-Frau Sabrina Sorglos zu verstehen, welche ihm zuruft, daß er auf die zweite Schublade tippen soll. Da er aber nicht sicher ist, ob er seiner Ex-Frau vertrauen kann, möchte er die Hypothese, daß er auf die zweite Schublade tippen soll, mit einem geeigneten statistischen Test-Verfahren überprüfen. (a) Übersetzen Sie die im Text gegebenen Informationen in die Sprache der Test-Theorie, d.h. geben Sie folgendes an: (i) Die ZV Y gem. beschreibt. der ersten ds, die den interessierenden Umweltausschnitt (ii) Die Verteilungsannahme gem. der zweiten ds. (iii) Die Stichprobe X gem. der dritten ds. eben Sie insbesondere an, ob es sich um eine einfache Stichprobe handelt und von welchem Umfang n N die Stichprobe ist. Wie lautet der Stichproben-Raum X und welche Stichproben- Realisation liegt hier vor? (b) eben Sie die Nullhypothese H 0 sowie die zugehörige Menge W 0 an. Vergessen Sie nicht, auch H und W anzugeben! (c) eben Sie alle Alternativ-Tests zum Testen von H 0 an. Bestimmen Sie diejenigen unter diesen Tests, welche Tests zum Niveau = 0.3 sind. Zeigen Sie, daß in dieser Teilmenge ein gleichmäßig bester Test existiert und untersuchen Sie diesen auf Unverfälschtheit. Aufgabe 55 Y N(µ, σ 0) sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit unbekanntem Erwartungswert µ und bekannter Varianz σ 0. Leiten Sie die ütefunktion zu dem Test-Problem H 0 : µ µ 0 gegen H : µ > µ 0 her, wenn die Fragestellung mit einem auß-test überprüft wird.

2 Aufgabe 56 Der einen Entscheidungsträger interessierende Umweltausschnitt werde durch eine Zufallsvariable Y mit der Verteilungsannahme W = {Q Y, Θ = R} beschrieben. Es seien Θ und ]0, [ fest gewählt. Die folgenden Abbildungen geben (etwas stilisiert) die ütefunktionen i : Θ [0, ], i =,..., 4 von Alternativtests δ,..., δ 4 für Hypothesen über wieder: Test δ Test δ () () 0 0 Test δ 3 Test δ 4 3 () 4 () 0 Für welche Tests δ i, i =,..., 4 treffen die folgenden Behauptungen zu? (a) δ i ist ein Test zum Niveau für die Hypothesen H 0 : und H : >. (b) δ i ist ein Test zum Niveau für H 0 : = und H :. (c) δ i ist ein Test zum Niveau für H 0 : und H : <. 0 (d) Bei δ i erreicht die Fehlerwahrscheinlichkeit. Art einen Wert größer als für H 0 : und H : <. (e) δ i erkennt die Verletzung von H 0 : mit Wahrscheinlichkeit, wenn das wahre hinreichend groß ist.

3 Aufgabe 57 Es sei δ : X {d 0, d } ein Test zum Niveau ]0, [ für die Hypothesen H 0 : Q Y W 0 und H : Q Y W. Es bezeichne K den kritischen Bereich und A den Annahmebereich des Tests δ. Diskutieren Sie die folgenden Aussagen: (a) W 0 W = (b) K A (c) A K = X (d) A X (e) X \ A = {x X δ(x) = d } (f) Die Fehlerwahrscheinlichkeit. Art ist gleich. (g) Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers. Art ist gleich - Wahrscheinlichkeit des Fehlers. Art. (h) H 0 heißt einfach, wenn gilt #(W 0 W ) = (i) Man begeht einen Fehler. Art, wenn man H 0 annimmt, obwohl Q Y W. (j) A = {x X δ(x) = d 0 } (k) δ {d } = K (l) δ {d 0 } δ {d } (m) Man begeht einen Fehler. Art, wenn man H 0 ablehnt, obwohl Q Y W 0. (n) δ {d 0 } δ {d } δ {d 0, d } (o) δ mit δ = d für alle x X ist ein Test zum Niveau Aufgabe 58 A coin is tossed five times. To test the hypothesis H 0 : P(H) = 0, 5 against H : P(H) = 0, 3 we decide to accept H 0 if the total number of heads is at least two (where H stands for head). Calculate and β (errors of the first and second kind) for this test. Aufgabe 59 Die AB mbh, ein weithin bekannter Hersteller von Apfelsaft, möchte die Qualität einer Abfüllanlage überprüfen. Die Abfüllmenge der Anlage, mit der 0,7-Liter-Flaschen abgefüllt werden sollen, ist aus technischen ründen nicht immer genau gleich 0,7 Liter, sondern schwankt zufällig in der Nähe dieses Wertes. Aufgrund von sich häufenden Beschwerden der Kunden ist sich die AB mbh nicht sicher, ob die Abfüllanlage zur Zeit korrekt arbeitet; vielmehr besteht rund zur Annahme, daß die durchschnittliche Abfüllmenge auf weniger als 0,7 Liter gesunken ist. Aufgrund von Erfahrungswerten aus der Vergangenheit geht die AB mbh davon aus, daß die Abfüllmenge als normalverteilte Zufallsvariable mit Varianz 0,005[l ] angenommen werden kann. (a) Führen Sie zum Signifikanzniveau = 0, 05 einen Test zur Überprüfung der im Text geschilderten Annahme durch, wenn bei einer einfachen Stichprobe folgende Abfüllmengen gemessen wurden: 0,7l, 0,67l, 0,68l, 0,65l, 0,7l, 0,67l. Vergessen Sie nicht, Verteilungsannahme, Hypothesen usw. anzugeben!

4 (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Test fälschlicherweise zu dem Ergebnis, daß die Anlage noch korrekt arbeitet, zu kommen, wenn eine einfache Stichprobe vom Umfang 6 gezogen wird und die durchschnittliche Abfüllmenge tatsächlich nur noch 0,67l beträgt? Aufgabe 60 Umfangreiche Messungen beim Münchner Oktoberfest ergaben, daß die abgezapfte Biermenge je Maßkrug normalverteilt ist mit einem Durchschnitt von 0,95 l. Umfragen bei Oktoberfestbesuchern ergaben, daß dieser Durchschnittswert akzeptabel sei. Sie fordern jedoch, daß die Abweichungen von diesem Wert die Bedingung erfüllen, daß von 0000 Maßkrügen höchstens 8 eine Füllmenge von 0,9 l oder weniger enthalten. Ein Vertreter der Festleitung beruhigt die Besucher, ihre Forderung werde erfüllt. Eine Studentin der Statistik erklärt sich bereit, die Behauptung der Festleitung zu überprüfen. Sie zieht eine einfache Stichprobe vom Umfang n=3 und erhält als Stichproben-Varianz den Wert (0, 035) l. Ist die Behauptung abzulehnen ( = 0, 05)? Formulieren Sie zuvor geeignete Hypothesen. Aufgabe 6 Mit einem Würfel werden im Rahmen eines esellschaftsspiels folgende Ergebnisse erzielt (einfache Stichprobe), n i bezeichne die Anzahl der Würfe mit Augenzahl i: i n i (a) Überprüfen Sie bei = 0, 05, ob es sich um einen regulären Würfel handelt. Formulieren Sie vorher entsprechende Hypothesen. (b) Erzielt der Würfel (im Vergleich zu einem regulären Würfel) bevorzugt Punktzahlen kleiner oder gleich 3? Prüfen Sie eine entsprechende Hypothese auf dem Signifikanzniveau 0,0. Aufgabe 6 Von einer Zufallsvariable Y sei bekannt, daß sie normalverteilt ist mit unbekanntem Erwartungswert µ und unbekannter Varianz σ. Zu Y sei eine einfache Stichprobe X = (X,..., X n ) vom Umfang n N mit Realisation x = (x,..., x n ) gegeben. (a) Zeigen Sie: für ]0, [ ist mit dem ( ) -Quantil λ der t n -Verteilung durch [ x λ s n, x + λ ] s n ein zweiseitiges Konfidenzintervall für µ zur Sicherheitswahrscheinlichkeit gegeben. (b) eben Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für µ zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 0,95 an, falls x = (,, 0, 4, 9, 8)! Nehmen Sie Stellung zu der Aussage Der wahre Parameter µ liegt mit 95 % Wahrscheinlichkeit in diesem Intervall.! (c) egeben seien die Hypothesen H 0 : µ = 5 und H : µ 5. eben Sie an, wie Sie diese Hypothesen mit Hilfe von (a) und (b) testen können, ohne daß Sie weitere Rechnungen anstellen müssen! Zu welcher Entscheidung kommen Sie?

5 Aufgabe 63 Es sei bekannt, daß Intelligenzquotienten normalverteilt sind mit Standardabweichung 5. Behauptet wird, daß der Erwartungswert gleich 00 sei. Diese Hypothese soll mit einem Signifikanzniveau von 0% beidseitig überprüft werden. Zu diesem Zweck wird eine Zufallsstichprobe vom Umfang 000 erhoben, in der sich ein mittlerer IQ von 0 ergibt. Wie lautet die Hypothesenentscheidung? Aufgabe 64 Let X,..., X 5 be a sample from B(, p), where p is unknown and 0 p. Consider the simple null hypothesis H 0 : X i B(, p), that is, under H 0, p = 0.5. Then H : X i B(, p), p 0.5. Compute the average number of s, namely X = 5 X i, and 5 accept H 0 if X 0.5 c, where c is to be determinated. Let = 0.. Choose c such that the size of the test is. Aufgabe 65 Bei einer politischen Wahl habe sich jeder Bürger zwischen den Kandidaten A und B zu entscheiden. Aufgrund der Befragung einer Zufallsstichprobe von n = 400 Wählern aus der betreffenden rundgesamtheit soll mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95 % die einseitige Nullhypothese W (A) getestet werden, wobei W (A) den Anteil der Wähler von A in der rundgesamtheit bedeute. (Hierbei darf angenommen werden, daß bei jeder der 400 Personen ermittelt werden kann, ob sie für A oder für B votieren wird.) (a) eben Sie an, wie viele Wähler von A sich in der Zufallsstichprobe mindestens befinden müßten, damit die Nullhypothese ggf. abgelehnt werden könnte! (b) Berechnen Sie für den Fall, daß in der rundgesamtheit W (A) = 0.5 ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Nullhypothese nicht abgelehnt werden kann! (c) Formulieren Sie das Ergebnis von (b) unter Verwendung eines der Begriffe Fehler. Art oder Fehler. Art! i= Aufgabe 66 Der Bekanntheitsgrad eines Markenprodukts betrug vor einer Werbekampagne p 0 = 0,67. Es soll untersucht werden, ob die Kampagne die Bekanntheit verändert hat. Bei einer einfachen Stichprobe von 00 Personen kannten 59 das Produkt. Testen Sie zum Niveau = 0,05, ob sich der Bekanntheitsgrad verändert hat. E N D E