Statistiktutorium (Kurs Frau Jacobsen)

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1 Statistiktutorium (Kurs Frau Jacobsen) von Timo Beddig 1

2 Grundbegriffe p = Punktschätzer, d.h. der Mittelwert aus der Stichprobe, auf Basis dessen ein angenäherter Wert für den unbekannten Parameter der Grundgesamtheit bestimmt wird. 1- α = Vertrauens- oder Überdeckungswahrscheinlichkeit, gibt an, mit welcher Sicherheit man seinem Konfidenzintervall vertrauen kann. α = Irrtumswahrscheinlichkeit (auch das Signifikanzniveau),die Wahrscheinlichkeit mit der man sich bei der Bestimmung des Konfidenzintervalls irrt, bzw. mit der man bereit ist, ein Fehlerrisiko bei der Schätzung einzugehen. 2

3 Zur Veranschaulichung: Untere Intervallgrenze Grundbegriffe Punktschätzung einer Stichprobe Obere Intervallgrenze [ ] Konfidenzintervall 3

4 Zur Veranschaulichung: Punktschätzung µ (eigentlich unbekannt) [ I ] [ I ] [ I ] [ I ] [ I ] [ I ] [ I ] [ I ] [ I ] [ I ] 90% Konfidenzintervall, d.h. das 9 der 10 Konfidenzintervalle aus 10 verschiedenen Stichprobenden Parameter µ enthalten! Irrtumswahrscheinlichkeit = 10%, d.h. α= 0,1 und 1- α = 0,9!!! 4

5 Zum Verdeutlichen I: Punktschätzung Bsp.: Von den Studenten der FH Bonn werden 100 zufällig ausgewählt. Davon sind 20 weiblich. Der wahre Anteil der weiblichen Studenten soll aufgrund dieses Stichprobenergebnisses mit einem 90% Konfidenzintervall geschätzt werden. Man hat hier keinen Plan wie sich die weiblichen Studenten in der Grundgesamtheit verteilen!!! Deshalb berechnet man die Ober- bzw. Untergrenze von π!!! o u 0,20*(1 0,20) 0,20 1,65* 0, ,20*(1 0,20) 0,20 1,96* 0,

6 Zur Verdeutlichung II: Punktschätzung Mit 90% Wahrscheinlichkeit liegt also der wahre Anteil der Studentinnen (in der Grundgesamtheit) zwischen 13,4% und 26,6%! (Intervall [0,134;0,266]) WICHTIG: Hier wurde ein 90% Konfidenzintervall benutzt!!! D.h. u 0,950 = 1,65!! Bitte in der Klausur genau darauf achten wie groß α und damit auch das sich daraus ergebende Konfidenzintervall ist! Das Parameterschätzen wird also gemacht, wenn man keine Ahnung darüber hat, wie sich ein bestimmtes Merkmal wirklich in der Grundgesamtheit verteilt. Ausgehend von einer repräsentativen Umfrage wird etwa der Mittelwert oder, wie meist in unseren Fällen, die relative Häufigkeit geschätzt!!! 6

7 H o : Die Nullhypothese Entspricht der Unschuldsvermutung ( So lange nichts anderes bewiesen ist, wird diese angenommen! ) H 1 : Die zu überprüfende Hypothese (Einshypothese) => Bestätigt sich diese, bzw. liegen starke Indizien gegen H o vor, so wird H o verworfen und H 1 angenommen! 7

8 Zweiseitig Es wird hier überprüft, ob H0: π = X oder H1: π X. Bsp.: H0: π = 0,20 H1: π 0,20 p=0,23 Signifikanzniveau = 5% n= 400 Entspricht einem Konfidenzintervall von 95%, 1-α=0,95 Somit ergibt sich aufgrund der Normalverteilung u 0,975 = 1,96. 8

9 Zweiseitig p o 0,2 1,96 * 0,2 (* 1 0,2) 400 0,239 p u 0,2 1,96 * 0,2 (* 1 0,2) 400 0,161 Das Intervall [0,161;0,239] wird als Bereich der schwachen Indizien gegen H0 bezeichnet! D.h. falls der Punktschätzer p in diesem Bereich liegt, so bleibt H0 bestehen!! Im Bsp. Ist p=0,23 in diesem Bereich, und deshalb wird H0: π = 0,20 beibehalten!!! 9

10 Zweiseitig 10

11 Einseitig Hier wird überprüft, ob H1: π > oder π < X und somit H0: π oder π X. 11

12 Einseitig Bsp.: Ein EU-Land will auf einem Signifikanzniveau von α = 0,05 überprüfen ob die relative Häufigkeit der Zuversichtlichen in diesem Land höher ist als EU weit. po u1 * (* 1 ) n p o 0,2 1,65 * 0,2 (* 1 0,2) 400 0,233 12

13 Einseitig Bsp.: Ein EU-Land will auf einem Signifikanzniveau von α = 0,05 überprüfen ob die relative Häufigkeit der Zuversichtlichen in diesem Land höher ist als EU weit. H 0 : 0,2 : 0, 2 H 1 po u1 * (* 1 ) n p o 0,2 1,65 * 0,2 (* 1 0,2) 400 0,233 13

14 Einseitig Bsp.: Ein EU-Land will auf einem Signifikanzniveau von α = 0,05 überprüfen ob die relative Häufigkeit der Zuversichtlichen in diesem Land geringer ist als EU weit. H 0 : 0,2 H 1 : 0, 2 p u 0,2 1,65 * 0,2 (* 1 0,2) 400 0,187 14

15 Zur Verdeutlichung I: Bei den Hypothesentests hat man bereits eine gewisse Vorstellung oder Vermutung über die Grundgesamtheit und möchte diese Vermutung durch eine Stichprobe bestätigen oder verwerfen. Bsp.: Auf dem Münchener Oktoberfest waren in den vergangenen Jahren durchschnittlich 60% der Besucher vollständig alkoholisiert! Es wurden nun 500 Besucher ordnungsgemäß getestet, von denen 210 total betrunken waren. Kann auf Basis der Stichprobe und einem Signifikanzniveau von 5% gesagt werden, dass sich die relative Häufigkeit der Volltrunkenen auf dem Oktoberfest verändert hat? H 0 : 0,6 H1 : 0, 6 15

16 Zur Verdeutlichung II: p= 0,42 α= 0,05 1- α = 0,95 u 0,975 = 1,96 => ZWEISEITIGES TESTEN!!! p o p u 0,6*(1 0,6) 0,6 1,96* 0, ,6*(1 0,6) 0,6 1,96* 0,

17 Zur Verdeutlichung III: Es ergibt sich ein Intervall der schwachen Indizien gegen H0 von [0,5570;0,6429]. Die relative Häufigkeit p=0,42 aus der Stichprobe liegt nicht in diesem Bereich!!! Deshalb wird Ho verworfen, mit einem Restrisiko von 5%, und H1 wird angenommen. Es liegt ein signifikantes Testergebnis vor, welches in diesem Fall bedeutet, dass allem Anschein nach, der prozentuale Anteil der Volltrunkenen auf dem Oktoberfest sich verändert hat! 17

18 Aufgabe Einzeln: Aufgabe 62 18

19 Aufgabe Einzeln: Aufgabe 63 19

20 Aufgabe Einzeln: Aufgabe 64 20

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