TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 Prof. Dr. D. Castrigiano Dr. M. Prähofer Zentralübung TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik 6. Hauptzweig des Logarithmus Mathematik für Physiker 4 (Analysis 3) 200W/ Wintersemester 200/ Lösungsblatt 2 ( ) (a) Begründen Sie, dass z z auf C := C \ R 0 eine Stammfunktion Log : C C besitzt, für die Log () = 0 gilt. Sie wird der Hauptzweig des Logarithmus genannt. (b) Berechnen Sie Log (re iϕ ) für r > 0, ϕ ] π, π[, indem Sie geeignete Kurvenintegrale auswerten. (c) Bestätigen Sie, dass Log (e z ) = z für z {z C : Im(z) < π} und e Log (z) = z für alle z C. (d) Unter welcher Bedingung gilt Log (wz) = Log (w) + Log (z)? Geben Sie ein Beispiel an, für das diese Beziehung verletzt ist. (a) z z ist auf C holomorph (Ableitung ), C ist sternförmig. Nach dem Cauchyschen Integralsatz gibt es also auf C eine Stammfunktion F von z z 2. Somit ist Log (z) := F (z) F () die gesuchte Stammfunktion. (b) Um von aus den Punkt re iϕ zu erreichen, wählen wir ein Kurvenstück entlang der reellen Achse, (s) = s, s [, r] für r, bzw., (s) = s, s [, r] für 0 < r < mit dem Wert z = r sds = ln r. Dann wird entlang einer Kreislinie integriert, 2 (t) = re it, t [0, ϕ] falls ϕ 0, bzw., 2 (t) = re it, t [0, ϕ] falls ϕ < 0. Dies ergibt 2 z = ϕ 0 ±ie ±it e ±it dt = ±i ϕ = iϕ Besteht die Kurve aus den beiden Kurvenstücken und 2, so ergibt sich z = = ln r + iϕ z + 2 z (c) Mit z = x + iy, y < π, ist Log (e z ) = Log (e x e iy ) = ln(e x ) + iy = z. Mit z = re iϕ C ist e Log (z) = e ln r+iϕ = e ln r e iϕ = z. (d) Für z = w = e i 3 4 π gilt Log (wz) = Log (e i 3 2 π ) = Log (e i 2 π ) = i π 2 i3 2 π = i3 4 π + i3 π = Log (w) + Log (z). 4 Jedoch, unter der Bedingung arg(w) + arg(z) ] π, π[ gilt immer Log (wz) = Log (w) + Log (z).

2 7. Anwendung der Cauchy-Integralformel Man berechne r z 2 + für die positiv orientierte Kurve r entlang des Rands einer Kreisscheibe mit Mittelpunkt 2i und jeweils dem Radius r = 2, e, bzw., π. Die Funktion z 2 + = (z+i)(z i) ist holomorph auf C := C \ {±i}. (a) Da Ũ 2 (2i) C, gilt nach dem Cauchyschen Integralsatz 2 z 2 + = 0. (b) Da i Ũe(2i) C \ { i}, gilt nach der Cauchyschen Integralformel mit f(z) = z i f(z) 2πi = 2πif( i) = z ( i) 2i = π. PBZ (c) (z+i)(z i) = 2 i z+i 2 i z i. Somit ist π e z 2 + = π 2 i z + i π 2 i z i = 2πi( 2 i) 2πi( 2 i) = 0

3 Hausaufgaben 8. Holomorphie und Cauchy-Riemann Differentialgleichungen Sei f : U C holomorph mit f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). (a) Beweisen Sie Teil (b) des Lemmas von Kap. 23 (6): Es gilt Im(f (z)) = y u(x, y) = x v(x, y) (b) Zeigen Sie v = 0. Welche zusätzlichen Voraussetzung benötigen Sie dazu? (a) Mit h = h + ih 2 ist ( ) h(f(z + h) f(z)) Im(f (z)) = lim Im h 0 h 2 h (v(x + h, y + h 2 ) v(x, y)) h 2 (u(x + h, y + h 2 ) u(x, y)) = lim (h,h 2 ) 0 h 2 + h2 2 { y u(x, y) für h = 0, = x v(x, y) für h 2 = 0. (b) v = x x v + y y v = x y u + y x u = 0. Dazu muss u 2-mal stetig differenzierbar sein, um den Satz von Schwarz anwenden zu können. Wir werden später sehen, dass diese Voraussetzung nicht nötig ist, da u und v automatisch beliebig oft stetig differenzierbar sind (Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen).

4 9. (Bonus) Umparametrisierung des komplexen Kurvenintegrals Seien f : C C stetig, : [a, b] C eine stückweise stetig differenzierbare Kurve und : [a, b ] C eine orientierungstreue Umparametrisierung von (d.h. = ϕ mit einer C -Parametertransformation ϕ : [a, b ] [a, b] und ϕ > 0). Man zeige: f(z) = f(z). Was passiert bei Umkehrung der Orientierung? f(z) Def = t=ϕ(s) dt=ϕ (s)ds = b a f( (s)) (s)ds = ϕ(b ) ϕ(a ) f((t)) (t)dt = b a b a f((ϕ(s))) (ϕ(s))ϕ (s)ds f((t)) (t)dt Def = f(z). Ist ϕ < 0, so vertauschen die Grenzen im vorletzten Schritt wegen ϕ(a ) = b und ϕ(b ) = a, wodurch sich das Vorzeichen umdreht, f(z) = f(z).

5 0. (Bonus) Stammfunktionen Geben Sie für die folgenden Funktionen, wenn möglich, Stammfunktionen an: (a) z z 5, (b) z z 2 für z 0, (c) z cos z, (d) z z 2, (e) z z für z <, (a) F (z) = 6 z6 + C, C C. (b) F (z) = z ist auf C \ {0} Stammfunktion, da F (z) = z 2. (c) sin z. (d) Die Funktion ist auf keiner offenen Menge holomorph (Cauchy-Riemann!), besitzt daher auch keine Stammfunktion. (e) Für z < ist z = z n. Eine Stammfunktion ist also z n n. n=0 (Für z ], [ ist das natürlich ln( z).) n=

6 . (Bonus) Cauchy-Integralsatz und -formel Man berechne sin z 2z π für die positiv orientierte Kurve entlang des Randes der Kreisscheibe mit dem Ursprung als Mittelpunkt und dem Radius (a) r =, bzw., (b) r = 2. (a) Der Integrand ist holomorph auf C \ { π 2 }. Die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius ist darin enthalten. Also gilt sin z 2z π = 0 (b) Mit f(z) = 2 sin z ist sin z 2z π = f(z) z π. 2 Es gilt π 2 U 2(0) und Ũ2(0) C, dem Holomorphiebereich von f. Somit ist f(z) z π = 2πif( π 2 ) = πi sin π 2 = iπ. 2

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