Escher s Wallpapers. Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski. 8. April TU Berlin

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1 Sophia Lee Martin Swiontek Brzezinski TU Berlin 8. April 2014

2 Übersicht Einführung 1 Einführung 2 3

3 Kurzbiographie Maurits Cornelis Escher in Leeuwarden 1919: 1-wöchiges Architektur-Studium in Haarlem 1922 erster Besuch der Alhambra bis 1937 entstehen überwiegend mediterrane Landschaftsbilder 1936 zweiter Besuch der Alhambra verändert Eschers Thematik 1938 Beginn der Metamorphosen-Periode (Tag und Nacht 1938) ab 1946 verstärkt perspektivische Bilder (Oben und Unten 1947) in Hilversum Escher in Rom, 1930

4 Italienische Periode Amalfi-Küste Holzschnitt 1931 San Cosimo, Ravello Lithographie 1932

5 Metamorphosen-Periode ab 1938 Seepferdchen Symmetriezeichnung 11, 1938 Libellen Symmetriezeichnung 13, 1938

6 Unmögliche Figuren Treppauf und treppab, Lithographie 1960 Wasserfall, Lithographie 1961

7 Möbiusband und Perspektivität Möbiusband 2, Holzstich 1963 Oben und Unten, Lithographie 1947

8 Aus dem Alhambra-Palast... Die reichste Quelle der Inspiration, die ich je erschlossen. (Escher 1936)

9 Eschers Inspirationen Skizze, Alhambra 1936 Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene (G. Polya) Die regelmäßigen Planteilungen und Punktsysteme (F. Haag) Penrose-Dreieck (unmögliche Figuren) die Illustration einer nichteuklidischen Geometrie von Coxeter (fraktale Bilder)

10 Grundlegende Definitionen Kachel: Eine Kachel ist eine abgeschlossene Punktmenge der Ebene. Die inneren Punkte sind zusammenhängend. Als weitere Bedingung wird meist verlangt, dass die Kacheln keine Löcher enthalten dürfen. Parkettierung: Eine Parkettierung ist eine (abzählbare) Menge von Kacheln, die sowohl eine Packung (d.h. der Durchschnitt zweier Kacheln ist leer oder darf nur aus einem Teil des Randes der jeweiligen Kacheln bestehen ) als auch eine Überdeckung (d.h. jeder Punkt der Ebene gehört zu mindestens einer Kachel) ist.

11 Grundlegende Definitionen Kachel: Eine Kachel ist eine abgeschlossene Punktmenge der Ebene. Die inneren Punkte sind zusammenhängend. Als weitere Bedingung wird meist verlangt, dass die Kacheln keine Löcher enthalten dürfen. Parkettierung: Eine Parkettierung ist eine (abzählbare) Menge von Kacheln, die sowohl eine Packung (d.h. der Durchschnitt zweier Kacheln ist leer oder darf nur aus einem Teil des Randes der jeweiligen Kacheln bestehen ) als auch eine Überdeckung (d.h. jeder Punkt der Ebene gehört zu mindestens einer Kachel) ist.

12 Beispiele symmetrischer Kacheln Spiegelsymmetrische und drehsymmetrische Kacheln

13 Beispiele periodischer Parkette Translationssymmetrie

14 Beispiele periodischer Parkette Gleitspiegelsymmetrie

15 Beispiele periodischer Parkette Dreh- und Spiegelsymmetrie

16 Definition eines periodischen Parketts Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißt Symmetrie eines Parketts. Enthält die Symmetriegruppe eines Parketts zwei linear unabhängige Translationen, so heißt das Parkett periodisch und die entstehende Symmetriegruppe Wallpaper group.

17 Definition eines periodischen Parketts Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißt Symmetrie eines Parketts. Enthält die Symmetriegruppe eines Parketts zwei linear unabhängige Translationen, so heißt das Parkett periodisch und die entstehende Symmetriegruppe Wallpaper group. Jedes periodische Parkett kann weitere Symmetrien besitzen: Spiegelungen, Gleitspiegelungen und Drehsymmetrien.

18 Definition eines periodischen Parketts Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißt Symmetrie eines Parketts. Enthält die Symmetriegruppe eines Parketts zwei linear unabhängige Translationen, so heißt das Parkett periodisch und die entstehende Symmetriegruppe Wallpaper group. Jedes periodische Parkett kann weitere Symmetrien besitzen: Spiegelungen, Gleitspiegelungen und Drehsymmetrien.

19 Die Symmetriegruppe eines Parketts Die Symmetrien eines Parketts können hintereinander ausgeführt werden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung: Symmetrie Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Drehung um den Winkel α Umkehrung Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Drehung um den Winkel α

20 Die Symmetriegruppe eines Parketts Die Symmetrien eines Parketts können hintereinander ausgeführt werden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung: Symmetrie Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Drehung um den Winkel α Umkehrung Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Drehung um den Winkel α Die Symmetrien bilden daher eine Gruppe, Operation ist die Hintereinanderausführung der Abbildungen.

21 Die Symmetriegruppe eines Parketts Die Symmetrien eines Parketts können hintereinander ausgeführt werden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung: Symmetrie Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Drehung um den Winkel α Umkehrung Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Drehung um den Winkel α Die Symmetrien bilden daher eine Gruppe, Operation ist die Hintereinanderausführung der Abbildungen.

22 Die kristallographische Beschränkung Schreibe Drehwinkel einer Drehung in der Form n heißt Ordnung der Drehung. α = 2π n = 360 n. Satz über die kristallographische Beschränkung In jedem periodischen Parkett gibt es nur Drehungen der Ordnung 2, 3, 4 oder 6.

23 Beweis der kristallographischen Beschränkung Jede Kongruenzabbildung bildet ein Drehzentrum auf ein Drehzentrum gleicher Ordnung ab. Sei P ein Drehzentrum der Ordnung n und Q ein Drehzentrum der Ordnung n mit minimaler Entfernung zu P (=Extremalprinzip). Wir drehen P um Q mit Winkel α = 2π n und erhalten den Punkt P, der nach der vorausgeschickten Bemerkung ebenfalls ein Drehzentrum der Ordnung n ist.

24 Beweis der kristallographischen Beschränkung Jede Kongruenzabbildung bildet ein Drehzentrum auf ein Drehzentrum gleicher Ordnung ab. Sei P ein Drehzentrum der Ordnung n und Q ein Drehzentrum der Ordnung n mit minimaler Entfernung zu P (=Extremalprinzip). Wir drehen P um Q mit Winkel α = 2π n und erhalten den Punkt P, der nach der vorausgeschickten Bemerkung ebenfalls ein Drehzentrum der Ordnung n ist.

25 Die Wallpaper-groups Die 17 Wallpaper-groups werden wie folgt notiert: Ein Escher-Parkett besitzt keine Spiegelachsen, daher kommen nicht alle 17 Gruppen vor.

26 Gruppe ohne Drehungen Beispiel p1

27 Gruppe mit zweizähligen Drehzentren Beispiel p2

28 Gruppe mit dreizähligen Drehzentren Beispiel p3

29 Gruppe mit vierzähligen Drehzentren Beispiel p4

30 Gruppe mit sechszähligen Drehzentren Beispiel p6

31 Die 11 Laves-Netze (3,3,3,3,3,3) (6,3,3,3,3) (4,4,3,3,3) (4,3,4,3,3) (6,4,3,4) (6,3,6,3)

32 Die 11 Laves-Netze (12,12,3) (4,4,4,4) (8,8,4) (12,6,4) (6,6,6)

33 Definition des Escher-Parketts Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geraden Kanten und keine Spiegelsymmetrien gibt. Die Hälfte des Randes einer Kachel wird beliebig vorgegeben. Die andere Hälfte muss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Hälfte hervorgehen: T Linie geht durch Translation aus einer anderen Linie hervor G Linie geht durch Gleitspiegelung aus einer anderen Linie hervor C Linie ist punktsymmetrisch zur Mitte C n Linie geht durch Drehung um 2π n aus einer anderen Linie hervor, wobei n = 2, 3, 4, 6 Diese Notation und die Klassifizierung der stammt von Heinrich Heesch ( ).

34 Definition des Escher-Parketts Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geraden Kanten und keine Spiegelsymmetrien gibt. Die Hälfte des Randes einer Kachel wird beliebig vorgegeben. Die andere Hälfte muss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Hälfte hervorgehen: T Linie geht durch Translation aus einer anderen Linie hervor G Linie geht durch Gleitspiegelung aus einer anderen Linie hervor C Linie ist punktsymmetrisch zur Mitte C n Linie geht durch Drehung um 2π n aus einer anderen Linie hervor, wobei n = 2, 3, 4, 6 Diese Notation und die Klassifizierung der stammt von Heinrich Heesch ( ).

35 Die 28 grundlegenden

36 Grundtypen von Escher-Parkettierungen Typ 1 TTTT Netz (4,4,4,4) Gruppe p1

37 Grundtypen von Escher-Parkettierungen Typ 9 C 3 C 3 C 3 C 3 C 3 C 3 Netz (3,3,3,3,3,3) Gruppe p3

38 Grundtypen von Escher-Parkettierungen Typ 12 C 3 C 3 C 6 C 6 Netz (6,4,3,4) Gruppe p6

39 Grundtypen von Escher-Parkettierungen Typ 15 C 4 C 4 C 4 C 4 Netz (4,4,4,4) Gruppe p4

40 Grundtypen von Escher-Parkettierungen Typ 17 G 1 G 1 G 2 G 2 Netz (4,4,4,4) Gruppe pg

41 Einf uhrung TTTT Laves Netz (4,4,4,4) Gruppe p1 Typ 1 Pegasus, Symmetriezeichnung 105, 1959

42 C 4 C 4 C 4 C 4 Laves Netz (4,4,4,4) Gruppe p4 Typ 15 Symmetriezeichnung 104, 1959

43 C 3 C 3 C 3 C 3 C 3 C 3 Laves Netz (3,3,3,3,3,3) Gruppe p3 Typ 9 Symmetriezeichnung 25, 1939

44 G 1 G 1 G 2 G 2 Laves Netz (4,4,4,4) Gruppe pg Typ 17 Reiter, 1957

45 C 3 C 3 C 6 C 6 Laves Netz (6,4,3,4) Gruppe p6 Typ 12 Symmetriezeichnung 56, 1942

46 Literatur Einführung M. Dobrowolski, Mathematische Exkursionen: Gödel, Escher und andere Spiele, Oldenbourg 2010, S hebisch/cafe/mce/escher.html C. Escher

47 Abbildungsverzeichnis hebisch/cafe/mce/escher.html

48 Zusatzmaterial Tag und Nacht, Holzschnitt 1938 Acht Köpfe, Holzschnitt 1922

49 Zusatzmaterial Symmetriezeichnung 45, 1960

50 Die Untergruppe der Translationen Sind T u und T v die Translationen in die beiden verschiedenen Richtungen u und v, so sind die Translationen um ein (auch negatives) Vielfaches von u und v ebenfalls Symmetrien. T ij = T iu T jv, i, j Z sind dann ebenfalls Symmetrien, die zur Gruppe (Z 2, +) isomorph ist. Jede Symmetriegruppe eines periodischen Parketts enthält damit diese Untergruppe.

51 ... Küchenlatein für mich, der ich ein vollständiger Laie auf dem Gebiet der Mathematik war. (M.C. Escher über Erkenntnisse der theoretischen Mathematik) Eine Fläche, die man sich nach allen Seiten unbegrenzt fortgesetzt vorstellen muß, kann nach einer beschränkten Zahl von bestimmten Systemen bis ins Unendliche aufgefüllt werden oder aufgeteilt werden in gleichförmige mathematische Figuren, die sich an allen Seiten begrenzen ohne das leere Stellen übrigbleiben. (M. C. Escher, Regelmatige vlakverdeling, 1958)