Polynome und mehrfache Nullstellen. Polynome und mehrfache Nullstellen. Welche Gleichung kann dieses Polynom haben?

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1 und mehrfache n und mehrfache n gerade schräg sind Gefangene ihrer leicht durchschaubaren Eigenschaften. Stichwort: im Affenkasten n Linearfaktoren n Linearfaktoren doppelte einfache doppelte einfache x= -1 x= 2 x= -1 x= Welche Gleichung kann dieses Polynom haben? Welche Gleichung kann dieses Polynom haben? Diese Funktion Vieta Folie 11 5 Vieta, mehr 6 1

2 Was ist eigentlich ein Polynom? n n 1 n f ( x) a x a x... a x a n Ein Polynom ist eine Summe von Potenzfunktionen. Der höchste Exponent, der vorkommt, heißt Grad des Polynoms. 1. Grades sind die Geraden 2. Grades sind die Parabeln 3. Grades haben immer eine symmetrische s-form. 4. Grades haben höchstens 3 Extrema. Je höher der Grad, desto vielfältigere Formen sind möglich. 7 und ihre Linearfaktoren a ( x a ) f ( x) ( x a) q( x) Jede reelle erzeugt einen Linearfaktor. Wenn das Restpolynom auch noch die enthält, kann man den Linearfaktor mehrfach herausziehen. k f( x) ( x a) p( x) mit p( a) 0 Geht das maximal k-mal, dann heißt a k-fache, oder der Vielfachheit k 8 a und ihre Linearfaktoren k f( x) ( x a) p( x) mit p( a) 0 In der Nähe eine k-fachen verhält sich das Polynom wie sich die k-potenzfunktion im Ursprung verhält f ( x) ( x 5) ( x 2) x ( x 1) ( x 2) 2 2 f ( nahe 1) pos. Zahl ( x 1) neg. Zahl t ( x 1) und ihre Linearfaktoren f( x) ( x 5) ( x 2) x ( x 1) ( x 2) Qualitativer Graph eines durch Linearfaktoren gegeben Polynoms Vorzeichen Grad gerade gerade ungerade ungerade Ges. Verlauf Grad 10 Gesamtverlauf Ein Polynom n-ten Grades hat höchsten n n, mit ihrer Vielfachheit gezählt. Fundamentalsatz der Algebra (reell) 9 10 Übung 2 mit n Übung 2 mit n

3 Übung 3 mit n Übung 3 mit n Übung 4 mit n aus Linearfaktoren zeichnen Übung 4 mit n Funktionen als zentrales Werkzeug Potenzfunktionen Trigonometrische Funktionen Exponentialfunktionen Davon so manche Umkehrfunktionen Wurzelfunktionen Arkusfunktionen Logarithmusfunktionen Und das noch koppeln mit und Verkettung. / ^ 17 Funktionen als zentrales Werkzeug 18 3

4 Die Winkel-Funktionen Der Punkt Q läuft im vom Start (1/0). (mathematisch positiv = gegen die Uhr) Den von Q zurückgelegten Weg x nennt man auch das Bogenmaß des Winkels, um den sich Q gedreht hat. Kurz: x ist der Winkel im Bogenmaß Die Sinus-Funktion Dem Winkel x wird nun die Ordinate von Q zugeordnet. Die Funktion, die das leistet, heißt Sinus-Funktion. im x wird Argument einer Funktion Die Sinus-Funktion Eigenschaften der Sinus-Funktion im 21 Die Sinus-Funktion ist periodisch. Die Periode ist 2. Die Sinuswerte liegen zwischen -1 und + 1. Die Sinusbögen sind symmetrisch. Die Sinuskurve ist punktsymmetrisch zum Ursprung 22 Die Sinus-Funktion Dem Winkel x wird nun die Ordinate von Q zugeordnet. Die Funktion, die das leistet, heißt Sinus-Funktion. Die Kosinus-Funktion Dem Winkel x wird nun die Ordinate von Q zugeordnet. Die Funktion, die das leistet, heißt Sinus-Funktion. im 23 im Tangens Kosinus 24 4

5 Eigenschaften der Kosinus-Funktion Funktionen strecken und stauchen Die Kosinus-Funktion ist periodisch. Die Periode ist 2. Die Kosinuswerte liegen zwischen -1 und + 1. Die Kosinusbögen sind symmetrisch. Die Kosinuskurve ist symmetrisch zur y-achse Ein Faktor direkt beim x sorgt für waagerechtes Strecken und Stauchen Funktionen strecken und stauchen Posaune Die Klangfarbe zeigt sich durch ein anderes Obertonspektrum Schwebungen, sie entstehen, wenn dicht benachbarte Töne gemeinsam erklingen Fkt-Vari-Sin Funktionen variieren Sin-Ueb

6 Fkt-Vari-Sin Funktionen variieren Sin-Ueb Sinus von hand Zeichnen Sinus von hand Zeichnen Hand Übung mit Funktionsgraphen Sin-Ueb Sinus strecken und stauchen Welle

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