KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II

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1 KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Bestimme alle Winkel in [0 ; 360 ], die Lösungen der gegebenen Gleichung sind, und zeichne sie am Einheitskreis ein. 1) sin(α) = 0,4 2) cos(β) = 0,8 3) tan(γ) = 0,8 Aufgabe 1.2. Im folgenden Zeigerdiagramm ist der Funktionsgraph einer allgemeinen Sinusfunktion f(t) = A sin(ω t + ϕ) dargestellt. a) Zeichne die Startposition des Zeigers ein. b) Bestimme die Amplitude A, die Kreisfrequenz ω und den Nullphasenwinkel ϕ. c) Gib eine Funktionsgleichung der dargestellten, allgemeinen Sinusfunktion an. Datum: 3. Februar

2 Aufgabe 1.3. Ermittle die Parameter A, ω, ϕ und c der dargestellten Sinusfunktionen y(x) = A sin(ω x + ϕ) + c. a) b) c) d) Aufgabe 1.4. Berechne alle Winkel in [0 rad; 2π rad], die Lösungen der folgenden Gleichungen sind: a) sin(2 x 3) = 0,7 b) cos(3 x + 5) = 0,1 c) tan(2 x 1) = 42 Aufgabe

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4 1.1 1) α 1 = 336,4..., α 2 = 203,5... 2) β 1 = 36,8..., β 2 = 323,1... 3) γ 1 = 38,6..., γ 2 = 218, a) b) A = 5, ω = 0,5, ϕ = π oder: ϕ = 7π ( 4 ) 4 π c) f(t) = 5 sin 0,5 t a) y = 2 sin (0,5 x) b) y = 8 sin ( ) ( 2x π c) y = 2 sin x 3π a) x 1 = 1, rad, x2 = 5, rad, x3 = 2, rad, x4 = 5, rad ) ( 1 d) y = 0,5 sin 4x 3π 2 ) b) x 1 = 0, rad, x2 = 3, rad, x3 = 5, rad, x4 = 1, rad, x5 = 4, rad, x6 = 6, rad a) x 1 = 1, rad, x2 = 2, rad, x3 = 4, rad, x4 = 5, rad 1.5 a) d = 121 m, ω 0,21 min 1, c = 74,5 m b) t 1 = 40,78... s, t2 = 86,71... s = Gondel ist rund 46 Sekunden in einer Höhe von mindestens 60 m. c) v 2,827 km/h, 12 gleichmäßig verteilte Gondeln = Winkel zwischen zwei benachbarten Gondeln π 6 rad. ϕ wird gegen den Uhrzeigersinn von der rechten horizontalen Lage gemessen = ϕ = π = 11π 6 6 4

5 2. Winkelfunktionen am Einheitskreis Wir haben die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens bereits im rechtwinkligen Dreieck folgendermaßen definiert: sin(α) = G H, cos(α) = A H, tan(α) = G A H G α A i) Erkläre, warum hiermit die Winkelfunktionen ausschließlich für Winkel zwischen 0 und 90 ( spitze Winkel ) definiert sind. ii) Leite aus der Definition den Zusammenhang sin(α) cos(α) = tan(α) ab. Im Folgenden erweitern wir den Definitionsbereich der Winkelfunktionen auf beliebige Winkel. Von einem Kreis mit Radius 1 ( Einheitskreis ) zeichnen wir nur ein Viertel und wählen am Kreisbogen einen Punkt P. Ausgehend von P konstruieren wir folgendermaßen zwei rechtwinklige Dreiecke: 1. Quadrant (0 < α < 90 ) 1) Erkläre, warum der Punkt P = (x P y P ) tatsächlich die x-koordinate x P = cos(α) und die y-koordinate y P = sin(α) hat. 2) Erkläre, warum die senkrechte Kathete im großen Dreieck tatsächlich die Länge tan(α) hat. 3) Berechne mit dem Taschenrechner sin(90 ), cos(90 ) und tan(90 ). Kannst du eine plausible Erklärung für die Ergebnisse finden? 5

6 Um sin(α) und cos(α) nun auch für größere Winkel zu definieren, lassen wir den Punkt P am Kreisbogen weiter gegen den Uhrzeigersinn laufen. Jedem Winkel α entspricht genau ein Punkt P = (x P y P ) am Einheitskreis: 2. Quadrant (90 < α < 180 ) Die Eigenschaft des Punkts P im ersten Quadranten nehmen wir als Ausgangspunkt für die Definition von sin(α) und cos(α) für jeden beliebigen Winkel, nämlich: cos(α) = x P bzw. sin(α) = y P. Erkläre, warum cos(α) für Winkel zwischen 90 und 180 negativ ist, während sin(α) positiv ist. Welches Vorzeichen hat daher sin(α) cos(α)? Damit uns der Zusammenhang tan(α) = sin(α) aus dem ersten Quadranten auch im zweiten cos(α) Quadranten erhalten bleibt, haben wir für die Definition von tan(α) die Hypotenuse wie zuvor nach rechts verlängert. 6

7 Erkläre, warum mit diesen Definitionen auch im dritten und vierten Quadranten die Gleichung tan(α) = sin(α) erfüllt ist. cos(α) 3. Quadrant (180 < α < 270 ) 4. Quadrant (270 < α < 360 ) Beispiel 2.1. Trage in der folgenden Tabelle die Vorzeichen der Winkelfunktionen in den vier Quadranten sowie die Werte an deren Schnittstellen ein Qu Qu Qu Qu. 360 sin(α) cos(α) tan(α) Erkläre, warum sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1 für jeden Winkel α gilt. Anmerkung: sin 2 (α) ist die Kurzschreibweise für sin(α) sin(α) Berechne mit dem Taschenrechner sin(20 ) und sin(380 ). Gib eine plausible Erklärung, wie die Winkelfunktionen für Winkel größer als 360 definiert werden. 7

8 Auch für negative Winkel können wir auf diese Weise die Winkelfunktionen definieren, indem wir so oft 360 addieren, bis wir einen Winkel im Bereich von 0 bis 360 erhalten, z.b.: sin( 420 ) = sin( 60 ) = sin(300 ). i) Erkläre, warum der eingezeichnete Winkel α eine Lösung der Gleichung sin(α) = 0,6 ist. ii) Erkläre, warum die Gleichung noch eine zweite Lösung zwischen 0 und 360 besitzt. Zeichne den zweiten Winkel ein. iii) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang sin(α) = sin(180 α) iv) Berechne mit dem Taschenrechner beide Lösungen. i) Erkläre, warum der eingezeichnete Winkel α eine Lösung der Gleichung cos(α) = 0,8 ist. ii) Erkläre, warum die Gleichung noch eine zweite Lösung zwischen 0 und 360 besitzt. Zeichne den zweiten Winkel ein. iii) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang cos(α) = cos(360 α) iv) Berechne mit dem Taschenrechner beide Lösungen. 8

9 i) Erkläre, warum der eingezeichnete Winkel α eine Lösung der Gleichung tan(α) = 0,75 ist. ii) Erkläre, warum die Gleichung noch eine zweite Lösung zwischen 0 und 360 besitzt. Zeichne den zweiten Winkel ein. iii) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang tan(α) = tan(180 + α) iv) Berechne mit dem Taschenrechner beide Lösungen. i) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang sin( α) = sin(α) ii) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang cos( α) = cos(α) iii) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang tan( α) = tan(α) 9

10 Allgemein nennt man Funktionen mit der Eigenschaft f( x) = f(x) gerade Funktionen, und solche mit der Eigenschaft f( x) = f(x) ungerade Funktionen, d.h. Sinus und Tangens sind ungerade Funktionen, während Cosinus eine gerade Funktion ist. 3. Funktionsgraphen der Winkelfunktionen Zur Messung von Winkeln gibt es neben dem zuvor verwendeten Gradmaß (Einheit: Grad, kurz: ) auch das sogenannte Bogenmaß (Einheit: Radiant, kurz: rad). Dazu betrachten wir einen Kreissektor mit Radius 1. Den Winkel messen wir dann im Bogenmaß, indem wir die Länge des Kreisbogens angeben. Genauer: Der Winkel b rad ist jener Winkel, bei dem der Bogen des Kreissektors die Länge b hat. 1) Begründe die folgende Formel für die Bogenlänge b eines Kreissektors mit Radius r = 1 und Zentriwinkel α (in Grad): b = 2 π 360 α Die Bogenlänge b ist also direkt proportional zum Zentriwinkel α. Daher können wir Winkel von Grad in Radiant und umgekehrt mittels Schlussrechnungen umwandeln. 2) Erkläre, warum 360 = 2 π rad gilt, und rechne die folgenden Winkel zwischen Gradmaß und Bogenmaß um: Gradmaß Bogenmaß 2 π rad 1 rad Für jeden Winkel x können wir am Einheitskreis genau einen zugehörigen Sinuswert sin(x) bestimmen, daher sprechen wir auch von der Winkelfunktion Sinus. Sehen wir uns den Funktionsgraph von y = sin(x) für Winkel x [0 rad; 2π rad] an. 10

11 Funktionsgraph der Sinusfunktion 1) Erkläre bei welchen Winkeln der Sinuswert minimal, maximal bzw. Null ist. 2) Erkläre, warum der Funktionsgraph nicht stückweise gerade, sondern wellenförmig verläuft. Auch nach einer vollständigen Umdrehung können wir den Punkt am Einheitskreis weiter rotieren lassen, und so den Funktionsgraphen von y = sin(x) für beliebige Winkel x bestimmen. Erkläre, warum sin(x + 2 π) = sin(x) für alle Winkel x gilt. Die Sinusfunktion ist daher eine periodische Funktion mit Periodenlänge T = 2 π. 11

12 Erkläre anhand des Einheitskreises, wie die Lücken zu ergänzen sind, und vergleiche mit dem nebenstehenden Funktionsgraphen. Sinusfunktion: y = sin(x) Definitionsmenge: D = Wertemenge: W = Periodenlänge: T = Nullstellen: Cosinusfunktion: y = cos(x) = sin ( x + π 2 ) Der Funktionsgraph entsteht durch Verschiebung von y = sin(x) um nach. Definitionsmenge: D = Wertemenge: W = Periodenlänge: T = Nullstellen: Tangensfunktion: y = tan(x) = sin(x) cos(x) Definitionsmenge: D = Wertemenge: W = Periodenlänge: T = Nullstellen: Polstellen: 12

13 Arcussinusfunktion: y = arcsin(x) Die Funktion x sin(x) nimmt auf dem Intervall [ π; π ] jeden Funktionswert im Intervall 2 2 genau einmal an. Definitionsmenge von y = arcsin(x): D = Wertemenge von y = arcsin(x): W = Arcuscosinusfunktion: y = arccos(x) Die Funktion x cos(x) nimmt auf dem Intervall [0; π] jeden Funktionswert im Intervall genau einmal an. Definitionsmenge von y = arccos(x): D = Wertemenge von y = arccos(x): W = Arcustangensfunktion: y = arctan(x) Die Funktion x tan(x) nimmt auf dem Intervall ] π; π [ jeden Funktionswert in 2 2 genau einmal an. Definitionsmenge von y = arctan(x): D = Wertemenge von y = arctan(x): W = 13

14 4. Allgemeine Winkelfunktionen Die Funktion y(x) = A sin (ω x + ϕ) + c heißt allgemeine Sinusfunktion. A... Amplitude ω... Kreisfrequenz ϕ... Nullphasenwinkel Erkläre, warum die Funktionswerte von y(x) = A sin(x) genau im Intervall [ A; A] liegen. = A > 1 bewirkt eine in -Richtung. = 0 < A < 1 bewirkt eine in -Richtung. y 1 = y 2 = y 3 = Erkläre, warum y(x) = sin(ω x) die Periodenlänge T = 2 π ω hat. = ω > 1 bewirkt eine in -Richtung. = 0 < ω < 1 bewirkt eine in -Richtung. y 1 = y 2 = y 3 = 14

15 Erinnere dich, dass der Funktionsgraph von g(x) = f(x+2) durch Verschiebung des Funktionsgraphen von f um 2 Einheiten nach links entsteht. (Es ist ja g(0) = f(2), g(1) = f(3),... ) Erkläre, warum der Funktionsgraph von y(x) = A sin (ω x + ϕ) durch Verschiebung des Funktionsgraphen von y(x) = A sin (ω x) um ϕ/ω Einheiten nach links entsteht. = ϕ > 0 bewirkt eine um nach. = ϕ < 0 bewirkt eine um nach. y 1 = y 2 = (Wegen der Periodizität kann der Funktionsgraph von y 2 durch eine Links- oder Rechtsverschiebung zustande gekommen sein.) Erinnere dich, dass der Funktionsgraph von g(x) = f(x)+2 durch Verschiebung des Funktionsgraphen von f um 2 Einheiten nach oben entsteht. (Es ist ja g(0) = f(0) + 2, g(1) = f(1) + 2,... ) Erkläre, warum der Funktionsgraph von y(x) = A sin (ω x + ϕ) + c durch Verschiebung des Funktionsgraphen von y(x) = A sin (ω x + ϕ) um c Einheiten nach oben entsteht. = c > 0 bewirkt eine um nach. = c < 0 bewirkt eine um nach. y 1 = y 2 = 15

16 Funktionsgraph Funktionsgleichung Die Parameter einer allgemeinen Sinusfunktion y(x) = A sin(ω x + ϕ) können wir am Funktionsgraphen folgendermaßen ablesen: 1) Amplitude A > 0 ablesen: A = 2) Periodenlänge T > 0 ablesen: T = = ω = 3) Verschiebung in y-richtung ablesen: c = 4) Verschiebung in x-richtung ablesen ( ± ϕ ) : ω = y(x) = = ϕ = Die Parameter A, ϕ und ω können wir auch in einem sogenannten Zeigerdiagramm interpretieren. Die Amplitude A legt die Länge des Zeigers fest, der Nullphasenwinkel ϕ den Startwinkel und die Kreisfrequenz ω die Winkelgeschwindigkeit: Beispiel 4.1. ( f(t) = 5 sin 0,5 t + 5 π ) 4 = A = 5, ω = 0,5, ϕ = 5 π 4 16

17 Beispiel 4.2. Berechne alle Winkel in [0 rad; 2π rad], die die Gleichung cos(3 x) = 0,2 erfüllen. Lösung. Die Periodenlänge beträgt T = 2π/3. Aufgrund der Kreisfrequenz ω = 3 erwarten wir 2 3 = 6 Lösungen im Intervall [0 rad; 2π rad]: Durch Umformen erhalten wir die erste Lösung: cos(3 x) = 0,2 = x = arccos( 0,2) = 0, rad 3 Durch Addieren der Periodenlänge finden wir zwei weitere Lösungen der Gleichung: x 1 = 0, rad x 2 = x 1 + T = 2, rad x 3 = x 2 + T = 4, rad Für die zweite Hälfte der Lösungen verwenden wir den Zusammenhang cos(z) = cos(2 π z): cos(3 x) = cos(2 π 3 x) = 0,2 = 2 π 3 x = arccos( 0,2) = x = 2 π arccos( 0,2) 3 = 1, rad x 4 = 1, rad x 5 = x 4 + T = 3, rad x 6 = x 5 + T = 5, rad 17

18 5. Weitere Aufgabenstellungen Aufgabe 5.1. Erkläre am Einheitskreis, warum sin(α + 90 ) = cos(α) und cos(α + 90 ) = sin(α) gilt. Aufgabe Amplitude: A = 2 ma, Periodendauer: T = 0,25 s = Frequenz: f = 1 = 24 Hz, y(t) = 2 sin ( 6π t) 6 T 125 Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.