Einige Grundlagen der Verzahnungstheorie

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Gabriel Eberhardt
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Einige Grundlagen der Verzahnungstheorie 1 Wichtige Kenngrößen Die Relativbewegung zweier Zahnräder entsteht durch das Abrollen der beiden zugrundeliegenden Wälzkreise, aufeinander (Abb. 1).

1 Einige Grundlagen der Verzahnungstheorie 1 Wichtige Kenngrößen Die Relativbewegung zweier Zahnräder entsteht durch das Abrollen der beiden zugrundeliegenden Wälzkreise, aufeinander (Abb. 1). Die Zahnflanken, sind geeignete Hüllkurvenpaare bei dieser Relativbewegung. Bezeichnen z 1 und z 2 die Zähnezahlen der Zahnräder und r 1, die Radien der Wälzkreise, dann gilt: z 1 z 2 = r 1 (1) Gibt man also z 1, z 2 und einen der beiden Wälzkreisradien vor, dann ist der zweite Wälzkreisradius bestimmt. Idealerweise sollten die Zähnezahlen z 1, z 2 teilerfremd sein, da sich dies günstig auf den Verschleiß auswirkt: Dadurch wird die Anzahl der Drehungen, nach denen dieselben zwei Zähne wieder zum Eingriff kommen, möglichst groß. t w t s r 1 r 1 O 1 O 2 r 1 f r1 + k Abbildung 1: Kenngrößen einer Stirnradverzahnung Die Bogenlänge, die ein Zahn mit einer benachbarten Lücke einnehmen kann, ist auf beiden Wälzkreisen und gleich groß und wird als Teilung t bezeichnet: t = 2πr 1 z 1 = 2π z 2 (2) Um einen kollisionsfreien Lauf zu vermeiden, wird die Zahnstärke s d.i. die Bogenlänge, die auf jedem der beiden Wälzkreise für einen Zahn zur Verfügung steht etwas kleiner

2 als t 2 gewählt, während man die Lückenweite w d.i. die Bogenlänge auf den beiden Wälzkreisen für eine Zahnlücke entsprechend größer als t 2 wählt. Üblicherweise setzt man dieses Flankenspiel s f mit s f = t 20 an und berechnet dann Zahnstärke und Lückenweite durch s := 1 2 (t s f ), w := 1 2 (t + s f ). (4) Der zum auf q i liegenden Bogen mit der Länge s gehörende Zentriwinkel γ i ist somit im Bogenmaß durch gegeben. (3) γ i = s r i (5) Die Zähne auf jedem Zahnrad treten zwischen dem Kopfkreis und dem Fußkreis auf. Die Kopfhöhe k und die Fußhöhe f werden vom jeweiligen Wälzkreis nach oben bzw. nach unten gemessen. Sie berechnen sich über den sogenannten Modul m := t π (6) durch k := m; f := 6 m. (7) 5 Anmerkung: Die Teilung t ist der Umfang u eines Wälzkreises gebrochen durch die Zähnezahl z des betreffenden Zahnrades, während der Modul der Durchmesser d des Wälzkreises gebrochen durch z ist: t = u z, m = d z. 2 Evolventenverzahnung Ist P der momentane Eingriffspunkt zweier Zahnflanken und M der zu diesem Zeitpunkt vorliegende Berührpunkt der beiden Wälzkreise, dann heißt der Winkel α zwischen der Wälztangente t M und der Geraden MP Eingriffswinkel. Fordert man man, dass dieser Winkel α konstant ist 1, dann ergibt sich als Ortskurve von P diese heißt Eingriffslinie jene durch M gehenden Geraden e, die mit t M den Winkel α einschließt. (In Abb. 2 ist eine gegenseitige Lage der beiden Zahnräder dargestellt, bei welcher M und P momentan zusammenfallen.) Die (relevanten Bereiche der) Zahnflanken und sind dann Stücke von Evolventen jener beiden zu und konzentrischen Kreisen c1 und c 2, die e als Tangente besitzen. In diesem Fall spricht man daher von einer Evolventenverzahnung. Die beiden Kreise c1 und c 2 heißen Grundkreise. Ihre Radien berechnen sich durch r 1 = r 1 cos α, r 2 = cos α. (8)

3 c1 e M = P t M α Abbildung 2: Evolventenverzahnung Es seien O 1, O 2 die Mittelpunkte der beiden Wälzkreis, (und somit auch jene von c1 und c2 ). Legt man den Ursprung des verwendeten Koordinatensystems in O 1, dann wird der Grundkreis c1 durch ( ) c r 1(u) = 1 cos u r1 sin u (9) parametrisiert und eine zu c1 gehörende Evolvente etwa durch ( ) r (u) = 1 (cos u + u sin u). (10) (sin u u cos u) r 1 (Siehe [1, S. 22]; die dort auftretende Integrationskonstante haben wir hier mit b 0 = 0 gewählt.) Analog erhält man eine Parametrisierung der zweiten Kreisevolvente. Das Profil eines Zahnes und der benachbarten Lücke (siehe Abb. 2) besteht dann etwa aus einem Bogen auf dem Kopfkreis (blau), zwei kongruenten Evolventenbögen (rot), zwei geeigneten Verbindungskurven (grün) und einem Bogen auf dem Fußkreis (blau). Anmerkung: Viele weitere Details zur ebenen Verzahnungstheorie und insbesondere zur Evolventenverzahnung findet man z.b. in [2, S. 216 ff]. 1 Üblicherweise wird α = 20 gewählt.

4 3 Schrägverzahnung Für eine Verzahnung mit geraden Zahnflanken sind die beiden Evolventenzahnprofile lediglich in Achsenrichtung zu extrudieren. Um schrägverzahnte Zahnräder zu erhalten, wird hingegen jedes dieser beiden Zahnprofile einer geeigneten Schraubung um die Achse des jeweiligen Zahnrades unterworfen. Dabei geht man von einem Evolventenzahnradpaar mit den Wälzkreisen und und den Grundkreisen c1 and c 2 aus (Abb. 2). Die (parallelen) Achsen der beiden Zahnräder seien a 1 und a 2, der Eingriffswinkel sei α und r 1, seien die Radien der beiden Wälzkreise und. Dann berechnen sich die Grundkreisradien r1, gemäß (8) durch r 1 = r 1 cos α, r 2 = cos α. e a 1 a 2 π 1 β P c 2 a 2 e r 2 r 1 r 1 P α a 1 c 1 Abbildung 3: Konstruktion schrägverzahnter Evolventenzahnräder: Nach Wahl eines geeigneten Eingriffswinkels α und eines Schraubwinkels β sind die Schraubparameter p 1, p 2 der beiden Schraubungen durch (8) und (11) festgelegt. Man betrachtet nun die Eingriffslinie e als Grundriss einer Geraden e, die zur Grundrissebene π 1 unter einem Winkel β geneigt ist und π 1 im Berührpunkt P von and schneidet (Abb. 3). Dann kann man die beiden einander in P berührenden Kreisevolventen und

5 als achsennormale Querschnitte zweier Schraubtorsen Φ 1 and Φ 2 mit den Achsen a 1 und a 2 auffassen, die beide dieselbe Gerade e als Erzeugende besitzen. (vgl. mit [1, Abschnitt 8.5, S. 94 ff.]). Die zugehörigen Schraubparameter p 1, p 2 müssen dabei so gewählt werden: p 1 = r 1 tan β, p 2 = r 2 tan β (11) Man beachte, dass p 1 und p 2 unterschiedliche Vorzeichen haben die Schraubung um a 1 ist eine Rechts- und jene um a 2 eine Linksschraubung! Gemäß [1, Prop. 8.13, S. 95] berühren Φ 1 und Φ 2 dann einander entlang ihrer gemeinsamen Erzeugenden e. Das bedeutet, dass wir durch die Verschraubung der beiden Kreisevolventen und ein Zahnflankenpaar erhalten, das einander längs der gesamten gemeinsamen Erzeugenden e berührt. Zahnradpaare, die auf diese Weise entstehen, heißen schrägverzahnte Evolventenzahnradpaare. 2 Literatur [1] A. Gfrerrer, J. Lang, for Mechanical Engineers (Lecture Notes), Graz University of Technology, [2] W. Wunderlich, Ebene Kinematik, Bibliographisches Institut, Mannheim, Zu den Eigenschaften und Vorteilen von schrägverzahnten gegenüber geradverzahnten Evolventenzahnradpaaren siehe [1, S. 97].

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