Lösung Serie 3 (Modellieren (SIMULINK + MATLAB))

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1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Lösung Serie 3 (Modellieren (SIMULINK + MATLAB Dozent: Roger Burkhardt Klasse: Studiengang ST Büro: Semester: 1. Aufgabe Auf eine Masse (m = 0kg, v(0 = 0 m wirkt die Antriebskraft: s 0N x < 0m 50N 0m x < 10m F Antrieb = 450N x 0 N 10m x < 0m m 100N x.5 N 0m x < 40m m 0N x 40m Modul: MDS Datum: FS010 (a Erstelle ein SIMULINK-Modell um die Bewegung der Masse unter Berücksichtigung von Gleitreibung (µ = 0.5 und Luftreibung (c w = 0.8, ρ = 1.9 kg m 3 und A = 1m zu untersuchen. Modell: Graphen: Bewegung:

2 Kräfte: (b Bestimme die maximale Geschwindigkeit und die maximale Beschleunigung, die der Körper erreicht. Siehe auch entsprechendes Steuerungsskript (s serie3 aufgabe1.m: v max = m s a max = 1.5 m s (c Nach welcher Zeit und in welcher Entfernung zum Startpunkt kommt der Körper zum stehen? Siehe auch entsprechendes Steuerungsskript (s serie3 aufgabe1.m: x max = 44.33m t max = 6.38s (d Welche Arbeit 1 verrichten die drei Kräfte einzeln und gesamthaft? Skizziere zudem den zeitlichen Verlauf der geleisteten Arbeit und erkläre kurz mit Worten den Sachverhalt. Arbeit: W (t = t 0 dw = t 0 dw = F ds F ds = t 0 F ds dt dt = t 0 F v dt Modell: Der Integrator Integrator bestimmt die zeitabhängigen Arbeitsfunktionen! Graphen: 1 Arbeit (verwende einen weiteren Integrator beim Modellieren: dw = F ds W = s end s star dw Seite / 15

3 . Aufgabe Ein Masse (m = 1kg sei am einen Ende einer horizontalen Feder (k = 100 N m angebracht. Auf der anderen Seite der Feder sei ein Motor, welcher das zweite Ende in horizontaler Richtung auslenken kann: x M = x sin (ωt (dabei bezeichnet x = 0.5m die Amplitude (maximale Auslenkung und ω die Kreisfrequenz der Schwingung (ω = πf. Zum Startzeitpunkt sei die Feder entspannt und die Masse in Ruhe. (a Erstelle ein SIMULINK-Modell um die Bewegung der Masse zu untersuchen (mit Einfluss von Gleitreibung (µ = 0.3. (b Bestimme den zeitlichen Verlauf der Auslenkung der Masse für ω 1 = 1.5 1, s ω = 8.5 1, ω s 3 = 10 1, ω s 4 = und ω s 5 = 0 1. Erkläre die gefundenen s Resultate kurz. Seite 3 / 15

4 3. Aufgabe Gegeben sei die folgende Anordnung: x 0 x Auf einem Tisch liegt ein Seil (m Seil = 1.5kg, = m. Zwischen dem Seil und der Tischoberfläche wirken Reibungskräfte (µ gleit = 0.15, µ haft = 0.. (a Bestimme alle Kräfte, welche auf das Seil einwirken und stelle die Bewegungsgleichung auf. Grundsätzlich wirken die folgenden drei Kräfte: Gewichtskraft des Seils: Bei der Gewichtskraft des Seils unterteilen wir das Seil in eine liegende Hälfte mit der Länge l liegend = x und in eine hängende Hälfte mit l haengend = x. Das liegende Seilstück hat die Masse m liegend = m Seil l l liegend = m Seil x Seil und es wirkt somit die Kraft G liegend = m liegend g auf die Tischoberfläche. Das hängende Seilstück hat die Masse m haengend = m Seil x und somit wirkt die Kraft G haengend = m haengend g in x-richtung. Seite 4 / 15

5 Normalkraft: Da der Tisch das Seil (nur den liegenden Teil des Seils halten muss wirkt die Normalkraft N = G liegend auf das Seil. Somit heben sich diese beiden Kräfte gegenseitig auf (Zwangskraft. Reibungskraft: Hier müssen wir zwischen Haftreibung R haft Nµ haft und Gleitreibung R gleit = Nµ gleit unterscheiden. Beide Kräfte hemmen die Bewegung und wirken daher in negative x-richtung. Bewegungsgleichung: a Seil = F res = G haengend R = m Seil a Seil 1 m Seil x = g x x gµ = g (1 + µ x gµ ( mseil x xg m Seil gµ (b Wie gross darf x 0 (Anfangslänge des herunterhängenden Seilstücks maximal sein, dass das Seil noch nicht vom Tisch gleitet? Damit dass Seil auf dem Tisch liegen bleibt, muss die Haftreibung grösser als die Gewichtskraft des hängenden Seilstücks sein: G haengend = R haft,max m Seil xg = m Seil x x = ( x µ haft gµ haft x (1 + µ haft = µ haft x = 1 µ haft 1 + µ haft = 1 m 0. = m (c Erstelle ein Modell um die Bewegungsgleichung numerisch zu lösen (x 0 = 0.5m. Erzeuge die Graphen x (t, v (t und bestimme die Zeit bis das Seil ganz vom Tisch gerutscht ist. Modell: Seite 5 / 15

6 Graphen: Zeit bis das Seil vom Tisch gerutscht ist: t fall = 1.17 (d Bestimme die Reibungsarbeit. Die Reibungsarbeit kann man auf verschiedene Arten bestimmen: Energiesatz: Wir haben eine bestimmte Anfangsenergie ( E start = m liegend gh + m hängend g h x 0 und eine bestimmte Endenergie ( E end = m Seil g h l Seil + 1 m Seilvend Da wir Reibungsverluste haben, ist die Energie am Anfang grösser als die Energie am Ende. Die Differenz der Energien entspricht gerade den Seite 6 / 15

7 Reibungsverlusten: W Reibung = E start E end = ( m liegend gh + m haengend g h x 0 x 0 = m Seil gh + m ( Seil x 0 g = m Seil gl Seil v end gx 0 ( m Seil g h h x 0 ( m Seil g h 1 m Seilv end 1 m Seilv end Die Endgeschwindigkeit beträgt (mittels Simulation v end 4.1 m s und somit erhält man: W Reibung = m Seil gl Seil v end gx 0 = 1.5kg 9.81 m (m ( 4.1 m s s (m 9.81 m (0.5m s (m = 1.19J Mit einem Energiebehälter: Das Modell kann mit einem zusätzlichen Integrator ausgestattet werden, welcher die einzelnen Verluste dw = F ds = m Seil l liegend gµ gleit ds = m Seil l liegend gµ gleit v ds dt }{{} dt = m Seil (l seil x gµ gleit vdt aufsummiert. Graph für (kummulierte Reibungsarbeit: 4. Aufgabe Gegeben sei ein Fadenpendel: ϕ l m Seite 7 / 15

8 (a Bestimme alle Kräfte, die auf die Masse einwirken (mit und ohne Luftwiderstand, und stelle die Bewegungsgleichung auf. Auf den Massenpunkt wirken die folgenden drei Kräfte: Gewichtskraft: G = mg wirkt immer nach unten. Seilkraft: Die Gewichtskraft kann in eine radiale G radial = G cos (ϕ und eine tangentiale Komponente G tangential = G sin (ϕ zerlegen. Die Seilkraft muss: im Stillstand gerade die radiale Komponente der Gewichtskraft aufheben. Somit gilt für die Seilkraft: F Seil = mg cos (ϕ wenn sich die Masse bewegt, muss die Seilkraft einerseits die radiale Komponente der Gewichtskraft neutralisieren und zudem noch die Bahnrichtung verändern (Zentripedalkraft. Somit gilt: F Seil = mg cos (ϕ + m v l Reibungskraft: Für die Reibungskraft gilt: F Luftreibung = 1 c wσav Diese Kraft wirkt der Bewegung (Geschwindigkeit entgegen. Die resultierende Kraft beträgt somit: ( ( 0 F res = + (mg cos (ϕ + m v sin (ϕ mg l cos (ϕ + 1 c wσav ( cos (ϕ sin (ϕ Bewegungsgleichung: Zweidimensionale Bewegung: ( mg cos (ϕ + m v l ( mg + mg cos (ϕ + m v l sin (ϕ + 1c wσav cos (ϕ cos (ϕ + 1c wσav sin (ϕ F res = m a ( x = m y Eindimensionale Bewegung: F res,bahn = ma Bahn mg sin (ϕ 1 c wσav Bahn = ma Bahn a Bahn = g sin (ϕ 1 m c wσavbahn ( xbahn = g sin 1 l m c wσavbahn Seite 8 / 15

9 (b Erstelle das entsprechende Modell (m = kg, l = 1m, ϕ (0s = ϕ 0 = π 4, A = 10cm, c w = 0.5. (c Erzeuge die folgenden Graphen: ϕ (t x (t, y (t und y (x E kin (t, E pot (t und E ges (t x (t, y (t und ϕ (t: Bahnkurve y (x: Seite 9 / 15

10 E kin (t, E pot (t und E ges (t: 5. Aufgabe Ein dünner Stab (m stab = kg, L = 1m ist in der Mitte an einer vertikal angebrachten Schiene befestigt und kann daran gleiten (µ gleit = 0.. Der Besfestigungspunkt sei mit einer Feder (k = 500 N m, l ruhe = 1m gegen oben fest verbunden. Zudem kann sich der Stab um den Aufhängungspunkt frei drehen. Zum Startzeitpunkt befindet sich die Anordnung in Ruhe und der Stab ist horizontal ausgerichtet. Nun wird am rechten Ende des Stabes eine Masse (m = 5kg angebracht. y x m s S ϕ m (a Bestimme alle Kräfte und Momente (bezüglich des Drehpunktes. Seite 10 / 15

11 Translation (Kräfte auf die Stabmitte: F G = (m + m S g Rotation (Momente bezüglich S: ( 1 F F = kx 0 ( 1 0 M = mg sin (ϕ (b Erstelle ein SIMULINK-Modell um die Bewegung des Systems zu untersuchen (Translation des Schwerpunktes und Rotation um den Schwerpunkt. (c Skizziere den zeitlichen Verlauf für: die Position des Schwerpunktes, und den Winkel ϕ sowie die Bahnkurve, die das rechte Stabende durchfährt. Schwerpunkt: Seite 11 / 15

12 Winkel: Bahnkurve: 6. Aufgabe In einem vertikal stehenden quadratischen Rahmen ist ein Massenpunkt (m = 10kg mit vier identischen Federn (k = 1kN/m, Ruhelänge der Federn l 0 = 0.5m befestigt: Seite 1 / 15

13 (a Erstelle ein Simulink-Modell um die Bewegung der Masse zu beschreiben (Anfangsbedingungen: x(0 = 0., y(0 = 0.3, v x (0 = v y (0 = 0. Seite 13 / 15

14 (b Skizziere die Bahnkurve, auf welcher sich die Masse bewegt. Bahnkurve: Position (Koordinaten: Geschwindigkeit: Beschleunigung: Seite 14 / 15

15 (c Skizziere die Graphen für kinetische und potentielle Energie, Federenergie und Gesamtenergie. Seite 15 / 15