Verlag. Harri Deutsch

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1 Verlag Harri Deutsch

2 Statik insbesondere Schnittprinzip

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4 G. Knappstein Statik insbesondere Schnittprinzip

5 Der utor Dipl.-Ing. Gerhard Knappstein war nach seiner usbildung zum Werkzeugmacher und dem Maschinenbaustudium als Konstrukteur und erechnungsingenieur in der Industrie tätig. Er ist Mitarbeiter im achbereich Maschinenbau achgebiet Technische Mechanik an der Universität Siegen. Die Webseite zum uch Der Verlag Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH Gräfstraße rankfurt am Main ibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISN Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. lle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des uches oder von Teilen daraus sind vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner orm (otokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet werden. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen utor und Verlag für die Richtigkeit von ngaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung. 4., erweiterte uflage 2011 c Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, rankfurt am Main, 2011 Druck: fgb freiburger graphische betriebe < Printed in Germany

6 Vorwort Das uch wendet sich in erster Linie an Studierende in den nfangssemestern technischer achrichtungen an achhochschulen und Universitäten. Es entspricht dem Lehrstoff des Teilgebiets Statik starrer Körper im Grundlagenfach Technische Mechanik. In der vorliegenden uflage wird das Schnittprinzip (Schnittmethode oder Schnittverfahren) weiterhin besonders ausführlich behandelt, weil ihm in der Technischen Mechanik eine grundlegende edeutung zukommt. esondere ufmerksamkeit habe ich den Zeichnungen gewidmet, da Studierende dadurch viel schneller und besser über schwierigere Sachverhalte im ilde sind, als das je mit Text geschehen könnte. eobachten kann man immer wieder bei den Studierenden, welch große Schwierigkeiten sie beim Lösen von Mechanikaufgaben haben, obwohl sie glauben, die - oft einfachen - Gesetzmäßigkeiten der Mechanik vollkommen verstanden zu haben. Um hier zu mehr Verständnis beizutragen, wird die vorgetragene Theorie zusätzlich mit vielen ausführlich gelösten eispielen verständlich gemacht. Zum Erreichen eines optimalen Lernerfolgs, sollte sich der Lernende die Mühe machen, mit leistift und Papier die eispiele und ufgaben durchzuarbeiten. Der Übende kann testen, ob er in der Lage ist, ein Problem selbständig zu lösen. Unbedingt erforderlich ist, dass ufgabenlösungen nicht nach Schema, sondern mit Verstand und den Grundgesetzen der Mechanik durchzuführen sind. Hilfreich ist oft, die eispiele und ufgaben zu zweit oder zu dritt durchzuarbeiten, zu vergleichen und die Lösungen zu diskutieren. Da oft viele Studienanfänger den Weg von der Problemstellung zur Lösung verlieren, wenn man ihn nicht systematisch anlegt, wird ergänzend die Technik des ufgabenlösens in einem eigenen Kapitel behandelt. Weiterhin werden Leitlinien zum Lösen von Mechanik- ufgaben als grundsätzliches Lösungsverfahren angegeben. Im nhang werden die Grundbegriffe der Vektorrechnung erläutert. Die vorliegende 4. uflage wurde durch den neuen bschnitt rbeit, Potential, Prinzip der virtuellen Verrückungen, Stabilität einer Gleichgewichtslage ergänzt. ußerdem habe ich das Kapitel ufgaben mit ausführlichen Lösungen neu gestaltet und auf 114 ufgaben erweitert, eine Reihe von Ergänzungen eingearbeitet sowie im nhang eine Zusammenstellung der Grundlagen (ormelsammlung) aufgenommen. Mein Dank gilt rau Nicole Dröge für die Mitarbeit bei der Umsetzung der Texte und ilder der neuen ufgaben in eine elektronische orm. Dem Verlag Harri Deutsch danke ich für die gute Zusammenarbeit. Siegen Gerhard Knappstein

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8 Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 1 1 Grundbegriffe egriffserklärung Statik starrer Körper Kräfte und Kräftearten Streckenlasten Was ist ein mechanisches System Einteilung der Kräfte ufgabe der Statik Modellbildung, Ersatzsystem, Idealisierung Rechnerische earbeitung von Gleichgewichtsproblemen Lagerungen Lagerungen in Lagerungen im Raum Verbindungselement zwischen zwei Körpern in bgrenzen (ufteilen) eines mechanischen Systems Das reimachen eispiele zum reimachen Erstarrungsmethode xiome der Statik Das Gleichgewichtsaxiom Das Reaktionsaxiom (Wechselwirkungsgesetz) Das xiom von der Verschiebbarkeit einer Kraft auf ihrer Wirkungslinie Das xiom vom Kräfteparallelogramm Schnittprinzip (Schnittmethode oder Schnittverfahren) ragen und ntworten... 26

9 VIII Inhaltsverzeichnis 2 Kräfte mit einem gemeinsamen ngriffspunkt (zentrales Kräftesystem) Zusammensetzung und Zerlegen von Kräften in, Komponentendarstellung eispiel Gleichgewicht in Drei nichtparallele Kräfte im Gleichgewicht eispiele Räumliches zentrales Kräftesystem ragen und ntworten llgemeines Kräftesystem llgemeines Kräftepaar und Moment des Kräftepaares Moment einer Kraft, Versatzmoment (Parallelverschiebung einer Kraft), Momentensatz Resultierende und resultierendes Moment ebener Kraftsysteme Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen im ebenen Kräftesystem eispiele Gleichgewicht bei vier Kräften in (Verfahren nach CULMNN) eispiel llgemeines Kräftesystem im Raum Moment einer Kraft (Momentenvektor) Gleichgewichtsbedingungen eispiele ragen und ntworten Schnittprinzip beim Lager sowie beim Gelenk Einteilige ebene Tragwerke Statische estimmtheit eispiele... 61

10 Inhaltsverzeichnis IX 4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke Statische estimmtheit eispiele Räumliche Tragwerke eispiel ragen und ntworten Schnittprinzip bei Seil, Kette und beim Stab für ebene Kraftsysteme Seil und Kette eispiele Stab, ebenes achwerk Statische estimmtheit beim achwerk ufbau eines achwerks Ermittlung der Stabkräfte Knotenpunktverfahren RITTERsches Schnittverfahren Nullstäbe erkennen ragen und ntworten Schnittprinzip bei alken, Rahmen, ogen und bei räumlich belasteten Tragwerken Schnittgrößen am alken eispiel Differentielle Zusammenhänge zwischen elastung und Schnittgrößen Wichtige ussagen zu den Schnittgrößen Q und M eispiele Punktweise Ermittlung der Schnittgrößen Übersichtstabellen zu den Schnittgrößen Q und M in bhängigkeit von elastung, Lagerung und Verbindungsart Schnittgrößen beim Rahmen eispiel

11 X Inhaltsverzeichnis 6.3 Schnittgrößen beim ogen eispiel Schnittgrößen bei räumlich belasteten Tragwerken eispiele ragen und ntworten Der Schwerpunkt Massen- bzw. Gewichtsschwerpunkt eispiel Volumenschwerpunkt eispiel lächenschwerpunkt eispiel Linienschwerpunkt eispiel Tabellen mit Schwerpunktkoordinaten Regeln von PPPUS und GULDIN bei Rotationskörpern Oberflächenberechnung von drehsymmetrischen Körpern eispiel Volumenberechnung von drehsymmetrischen Körpern eispiel ragen und ntworten Haftung und Reibung COULOMsches Reibungsgesetz eispiele Haftung und Reibung an Schrauben Reibung am Keil Seilhaftung und Seilreibung eispiel Rollwiderstand (rollende Reibung) ragen und ntworten

12 Inhaltsverzeichnis XI 9 Das biegeschlaffe Seil Seil mit beliebigem Durchhang Seil mit geringem Durchhang eispiel ragen und ntworten Standsicherheit Definition der Standsicherheit eispiele rbeit rbeit einer Kraft, Potential Prinzip der virtuellen Verrückungen Ermittlung von Schnitt- und Reaktionskräften Stabilität einer Gleichgewichtslage eispiele nhang Zeichenvereinbarungen Rechtwinkliges Rechts-Koordinatensystem Einige Grundbegriffe der Vektorrechnung (mit eispiel: Räumlich belastetes mechanisches System) Skalare Vektoren Gleichheit von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ddition und Subtraktion von Vektoren Einheitsvektor Vektoren im rechtwinkligen Koordinatensystem Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) eispiel: Räumlich belastetes mechanisches System CREMON-Plan nschauungsmodelle zum Schnittprinzip Schaumgummi-alken mit biegesteifem Stoß alken auf zwei Stützen mit drei herausnehmbaren Stäben achwerk Zur Technik des ufgabenlösens Das Verstehen der ufgabe Das ufstellen des Lösungsplanes Die Lösung Kontrolle der Lösung Wie eignen wir uns die Technik des ufgabenlösens an? Lehrbeispiel

13 XII Inhaltsverzeichnis 7 Leitlinien zum Lösen von Mechanik-ufgaben aus der Statik ufgaben mit ausführlichen Lösungen. 203 ufgaben zum Thema llgemeines Kräftesystem (ufgabe 1 - ufgabe 45) ufgaben zum Thema Gelenkträger, Dreigelenkbogen (ufgabe 46 - ufgabe 53) ufgaben zum Thema achwerk (ufgabe 54 - ufgabe 63) ufgaben zum Thema an mechanischen Systemen (ufgabe 64 - ufgabe 79) ufgaben zum Thema Schwerpunkt (ufgabe 80 - ufgabe 86) ufgaben zum Thema Haftung und Reibung (ufgabe 87 - ufgabe 101) ufgaben zum Thema Kräftesystem im Raum (ufgabe ufgabe 111) ufgaben zum Thema iegeschlaffes Seil (ufgabe ufgabe 113) ufgaben zum Thema Standsicherheit (ufgabe 114) Zusammenstellung von Grundlagen aus der Statik (ormelsammlung) Kräfte, Lagerungen, reimachen, xiome, Schnittprinzip Zentrales Kräftesystem llgemeines Kräftesystem Ebenes achwerk Schnittgrößen am alken Schwerpunkt Haftung und Reibung iegeschlaffes Seil rbeit; Potential; Prinzip der virtuellen Verrückungen; Stabilität einer Gleichgewichtslage Das griechische lphabet Vorsätze und Vorsatzzeichen für dezimale Teile und Vielfache von Einheiten Einheitennamen und Einheitenzeichen Einige ormeln aus der Mathematik Literatur Sachwortverzeichnis

14 Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben XIII Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben Mechanisches Stoffgebiet Erläuterung "Info"-ild Seite Dachbinder-Konstruktion aus achwerk und Vollwandträger; uflagerkräfte 20 eispiele Erstarrungsmethode Erstarrungsmethode Kran-Konstruktion; uflagerkräfte 21 Kräfte mit einem gemeinsamen ngriffspunkt Mast mit Einzelkräften in einer Ebene; resultierende Kraft 30 Kräfte mit einem gemeinsamen ngriffspunkt Knotenpunkt eines achwerks; Kräfte in den Stäben 33 Gleichgewicht bei drei Kräften in (zentrales Kräftesystem) Gleichgewicht bei drei Kräften in (zentrales Kräftesystem) analytische und zeichnerische Lösung; Lagerkräfte analytische und zeichnerische Lösung; Lagerkräfte 34 35

15 XIV Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben Mechanisches Stoffgebiet Räumliches zentrales Kräftesystem Erläuterung "Info"-ild Seite Räumliches achwerk; 37 estimmung der Stabkräfte llgemeines llgemeines llgemeines Gleichgewicht bei vier Kräften in (Verfahren nach CULMNN) llgemeines Kräftesystem im Raum Einseitig eingespannter Träger; uflagerreaktionen alken, gelagert mit einem festen Lager und einem Stab; uflagerreaktionen System, gelagert mit einem festen Lager und einem losen Lager; uflagerreaktionen Stabgestützte Scheibe, CULMNNsche Gerade; Stabkräfte gelagerter Quader; resultierendes Moment llgemeines Kräftesystem im Raum; skalare Gleichgewichtsbedingungen Schnittprinzip beim Lager Starre Platte durch sechs Stäbe gestützt; Stabkräfte Träger auf 2 Stützen mit Kragteil; Lagerkräfte 55 61

16 Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben XV Mechanisches Stoffgebiet Schnittprinzip beim Lager Erläuterung "Info"-ild Seite Einseitig eingespanntes Tragwerk; 62 Lagerreaktionen Schnittprinzip beim Gelenk Dreigelenkbogen; Lager- und Gelenkkräfte 64 Schnittprinzip beim Gelenk Schnittprinzip bei räumlichen Systemen Gelenkbalken; Lager- und Gelenkkräfte Räumlich gelagerter Träger; Lager- und Stabkräfte Schnittprinzip bei Seil und Kette Lastaufhängung mit Ketten; Kräfte in den Ketten 74 Schnittprinzip bei Seil und Kette Mit Seilen und losem Lager gelagerter alken; Kräfte in den Seilen 75 Schnittprinzip beim Stab Einfaches ebenes achwerk; Stabkräfte 78

17 XVI Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben Mechanisches Stoffgebiet Schnittprinzip beim Stab achwerk; Stabkräfte Erläuterung "Info"-ild Seite 79 Schnittprinzip beim Stab achwerk; Stabkräfte 80 Schnittprinzip am alken Schnittprinzip am alken Schnittprinzip am alken Schnittprinzip am alken Schnittprinzip am alken Schnittprinzip am alken. Punktweise erechnung der Schnittgrößen Schnittprinzip am Rahmen alken auf 2 Stützen mit Kragteil; alken auf 2 Stützen mit Kragteil und Einzelkraftbelastung; alken auf 2 Stützen mit konstanter Streckenlast; alken auf 2 Stützen mit elastung durch ein äußeres Moment; Gelenkbalken mit dreiecksförmiger Streckenlast; alken auf 2 Stützen; Rahmen mit einem beweglichen Lager; Schnittprinzip am ogen ogen mit einem beweglichen Lager; 114

18 Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben XVII Mechanisches Stoffgebiet Schnittprinzip bei räumlichen Systemen Erläuterung "Info"-ild Seite Räumlich belasteter alken; 118 Schnittgrößen Schnittprinzip bei räumlichen Systemen Räumlich gekröpfter Träger; Schnittgrößen 120 Zusammengefügter Körper; Schwerpunktkoordinate; nwendung Momentensatz 126 Gewichtsschwerpunkt Massenschwerpunkt 126 Kreiskegelstumpf; Schwerpunktkoordinate 128 us Grundformen aufgebaute läche; Schwerpunktkoordinaten 130 Ebener Linienzug; Schwerpunktkoordinaten 131 Zylindrisches Gefäß; PPPUS-GULDINsche Regel; Oberfläche 134 Quader mit eingesetztem Kunststoffzylinder; Schwerpunktkoordinaten Volumenschwerpunkt lächenschwerpunkt Linienschwerpunkt Oberflächenberechnung von Rotationskörpern Volumenberechnung von Rotationskörpern Drehsymmetrischer Ringkörper; PPPUS-GULDINsche Regel; Volumen 135

19 XVIII Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben Mechanisches Stoffgebiet Haftung und Reibung Erläuterung "Info"-ild Seite Masse an rauer Wand; 137 Haftungskraft Haftung und Reibung Haftung und Reibung Masse auf rauer schiefer Ebene; Haftkraft zwischen Masse und schiefer Ebene Walze auf rauer schiefer Ebene; Kräfte zwischen Walze und schiefer Ebene und Kraft im Seil; Haftungskoeffizient Haftung und Reibung Haftung und Reibung Körper auf rauer schiefer Ebene; maximal mögliche Kraft. Wann setzt Kippen ein? Rolle an rauer Wand; maximal mögliche Kraft Haftung und Reibung Ringspurzapfen; Grenzdrehmoment 143 Seilhaftung und Seilreibung Seil mit Haftung; Grenzen für die Kraft 147 iegeschlaffes Seil Über eine Rolle geführtes Seil; Länge des vertikalen Seilstückes 152

20 Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben XIX Mechanisches Stoffgebiet Standsicherheit Erläuterung "Info"-ild Seite Standsicherheit einer Zugmaschine auf geneigter ahrbahn 157 Standsicherheit Kippgefahr beim Stehaufmännchen 158 Prinzip der virtuellen Verrückungen Kniehebelpresse; Kräfte im Gleichgewicht 167 Prinzip der virtuellen Verrückungen Scherenhebebühne; Hub- und Haltekraft 168 Prinzip der virtuellen Verrückungen Prinzip der virtuellen Verrückungen ROERVLsche Waage; Kräfte im Gleichgewichtsfall laschenzug; Gleichgewicht am laschenzug Prinzip der virtuellen Verrückungen Scherenkonstruktion; Lagerreaktionen 172 Prinzip der virtuellen Verrückungen Stabilität einer Gleichgewichtslage Gelenkträger; uflagerreaktionen Ringkörper mit zwei miteinander verbundenen Massen; Stabiles Gleichgewicht?

21 XX Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben Mechanisches Stoffgebiet Erläuterung "Info"-ild Seite Stabilität einer Gleichgewichtslage Stab mit zwei Gewichten; Stabile Gleichgewichtslagen? 177 Stabilität einer Gleichgewichtslage Vektorrechnung beim räumlich belasteten System alken mit eder; Kräfte im Gleichgewicht, stabiles Gleichgewicht? Räumlich gelagerter Träger; Lager- und Stabkräfte Zur Technik des ufgabenlösens: Ebenes, allgemeines Kräftesystem Lehrbeispiel: Scheibe mit vier Kräften in einer Ebene; estimmung der Kräfte für das Gleichgewicht ufgaben im nhang Laufkatze eines Kranes; resultierende Kraft Drei Kräfte in einer Ebene; resultierende Kraft 204 Rundhaken; resultierende Kraft 205 Kräfte in ; resultierende Kraft, Moment der Kräfte 206

22 Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben XXI Mechanisches Stoffgebiet Erläuterung "Info"-ild Seite Drei Kräfte in einer Ebene; 208 resultierende Kraft und Moment ünf Kräfte in einer Ebene; Resultierende 209 Seilaufhängung; Seilkräfte 211 Seil mit zwei Lasten; Seilkräfte 212 Tragwerk aus zwei Stäben; Stabkräfte 213 llgemeines Kräftesystem bgespannter Mast; Komponenten und Lage der Seilkraft 214 Zwei gelagerte Walzen; uflagerreaktionen 216 Walze über Hindernis; Horizontale Zugkraft 218 Walze am Hindernis; Horizontale Zugkraft beim bheben G r 218

23 XXII Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben Mechanisches Stoffgebiet Erläuterung "Info"-ild Seite Gelagerte Kugel; 219 Seilkraft und Normalkraft r Zwei verbundene Walzen; Seilkraft und Winkel 220 Kräfte an einem Punkt; Lage der Kräfte für Gleichgewicht 221 Zwei Walzen auf Hubgabel; 223 Winkel für Gleichgewichtslage r 2 alken; Lagerkräfte 224 Scheibe; Lagerkräfte 225 Scheibenförmiger Körper; uflagerreaktionen 226 alken mit Kragteil; uflagerreaktionen 227 Schräg gelagerter Träger; uflagerreaktionen 227

24 I Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben XXIII Mechanisches Stoffgebiet Erläuterung "Info"-ild Seite Wagen auf schiefer Ebene; 228 uflagerreaktionen bgestütztes ahrzeug; uflagerreaktionen 229 Gelagerter Lastwagen; Lager- und Haltekräfte für Gleichgewicht 230 Träger auf 2 Stützen; uflagerreaktionen 231 bgewinkelter Träger auf 2 Stützen; uflagerreaktionen 232 Geknickter Träger auf 2 Stützen; uflagerreaktionen 233 Träger auf 2 Stützen mit Kragteil; uflagerreaktionen 234 achwerk mit Seilscheibe; uflagerreaktionen und Stabkräfte C 235 Einseitig eingespannter Träger; uflagerreaktionen 236 Gekrümmter alken; uflagerreaktionen 237

25 XXIV Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben Mechanisches Stoffgebiet Erläuterung "Info"-ild Seite System mit zwei Seilrollen; 238 Stabkräfte efestigte Stange; Seilkraft und Stangenkraft 239 Lagerung von 3 Walzen; Untersuchung der Gleichgewichtslage 240 Gegabelter alken mit Rollen; uflagerreaktionen 241 Tragwerk aus Rahmen und ogen; uflagerreaktionen 242 Tragwerk aus alken und ogen; uflagerreaktionen 243 Gelenkträgersystem; uflagerreaktionen und Gelenkkräfte 244 Greifzange mit Werkstück; Seilkräfte, Stabkraft, Greifkraft 245

26 Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben XXV Mechanisches Stoffgebiet Erläuterung "Info"-ild Seite Spannvorrichtung; uflagerreaktionen, Gelenkkraft, Spannkraft 246 System aus alken und Stäben; uflagerreaktionen, Gelenkkräfte, Stabkräfte 247 Speichenrad; Kräfte in den Speichen 248 ufgehängte quadratische Scheibe; Winkel für die Gleichgewichtslage 249 Sechseckscheibe mit drei Stäben; Stabkräfte 250 Mehrteilige ebene Tragwerke Mehrteilige ebene Tragwerke Mehrteilige ebene Tragwerke Mehrteilige ebene Tragwerke Mehrteilige ebene Tragwerke Gelenkträger; uflagerreaktionen, Gelenkkräfte GERER-Träger; uflagerreaktionen, Gelenkkräfte Gelenkträger; uflagerreaktionen, Gelenkkraft Dreigelenkkonstruktion; uflagerreaktionen, Gelenkkraft, Dreigelenkbogen; uflagerreaktionen, Gelenkkraft

27 XXVI Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben Mechanisches Stoffgebiet Mehrteilige ebene Tragwerke Erläuterung "Info"-ild Seite Dreigelenkbogen; uflagerreaktionen, Gelenkkraft 259 Mehrteilige ebene Tragwerke Tragwerk mit Umlenkrolle; uflagerreaktionen, Gelenkkraft 260 Mehrteilige ebene Tragwerke Dreigelenkrahmen; uflagerreaktionen, Gelenkkraft 261 rbeitsbühne; uflagerreaktionen, Stabkräfte 265 Rolle am achwerk; Seilkraft, uflagerreaktionen, Stabkräfte 266 Transportgestell; Seilkraft, Stabkräfte 268 Rettungsleiter; uflagerreaktionen, Stabkräfte 269 achwerkkonstruktionen achwerkkonstruktionen achwerkkonstruktionen achwerkkonstruktionen achwerkkonstruktionen achwerk; uflagerreaktionen, Stabkräfte 270

28 Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben XXVII Mechanisches Stoffgebiet Erläuterung "Info"-ild Seite achwerkkran; 271 Stabkräfte achwerk; Stabkräfte achwerk mit abgewinkeltem Träger; uflagerreaktionen, Stabkräfte n Wand befestigtes achwerk; uflagerreaktionen, Stabkräfte achwerk mit nicht einfachem ufbau; Stabkräfte 276 achwerkkonstruktionen achwerkkonstruktionen achwerkkonstruktionen achwerkkonstruktionen achwerkkonstruktionen an mechanischen Systemen an mechanischen Systemen alken mit Strebe; uflagerreaktionen, Eingespannter alken; uflagerreaktionen, an mechanischen Systemen an mechanischen Systemen an mechanischen Systemen Gelenkträger; maximale iegemomente Träger auf 2 Stützen mit Kragteil; uflagerreaktionen, Träger auf 2 Stützen; uflagerreaktionen,

29 XXVIII Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben Mechanisches Stoffgebiet an mechanischen Systemen Erläuterung "Info"-ild Seite bgeknickter Träger auf 2 Stützen;. 287 uflagerreaktionen, iegemomentenverlauf an mechanischen Systemen an mechanischen Systemen an mechanischen Systemen alken mit auskragendem ogen; bgeknickter Träger auf 2 Stützen; uflagerreaktionen, Schräger alken mit Streckenlast; an mechanischen Systemen an mechanischen Systemen Gegabelter alken mit Pendelstab; uflagerreaktionen, Rahmen; uflagerreaktionen, an mechanischen Systemen Dreigelenkrahmen; uflagerreaktionen, Gelenkkraft, 301 an mechanischen Systemen Schnittgrößen an mechanischen Systemen an mechanischen Systemen Gerader Träger mit Kragteilen; uflagerreaktionen, Teilweise gekrümmter Träger; bgewinkelter Träger; uflagerreaktionen,, maximales iegemoment

30 Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben XXIX Mechanisches Stoffgebiet an mechanischen Systemen Erläuterung "Info"-ild Seite Halbkreisförmige Rinne; 310 Momenten- und Querkraftverlauf lüssigkeit Schwerpunkt Geradlinig begrenzte Querschnittsfläche; Lage des Schwerpunktes 312 Schwerpunkt Kreisrunder Querschnitt mit ussparung; Lage des Schwerpunktes r 313 Schwerpunkt Stanzteil; Linien- und lächenschwerpunkt 313 Schwerpunkt ufgehängte Scheibe; lächenschwerpunkt 315 Schwerpunkt Räumlich abgewinkelter Körper; Volumenschwerpunkt 316 Schwerpunkt (PPPUS- GULDIN) Drehsymmetrischer Ringkörper; Volumen, Oberfläche, Gewichtsschwerpunkt 317 Schwerpunkt (PPPUS- GULDIN) Drehsymmetrischer Ringkörper; Volumen, Oberfläche, Gewichtsschwerpunkt 319 Haftung und Reibung Gestützte Halbkugel; erforderliche Last für Gleichgewicht 321

31 XXX Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben Mechanisches Stoffgebiet Haftung und Reibung Erläuterung "Info"-ild Seite Halbzylinder in Ecke; 323 Erforderlicher Haftungskoeffizient S r Haftung und Reibung Gelagerte Scheibe (raue und glatte Wand); 323 Erforderlicher Haftungskoeffizient, Stangenkraft Haftung und Reibung rett über Graben; Untersuchung der Gleichgewichtslage 325 Haftung und Reibung rett über Graben; Untersuchung der Gleichgewichtslage 326 Haftung und Reibung Wagen auf schiefer Ebene; Erforderlicher Reibungskoeffizient 327 Haftung und Reibung Zwei aufeinanderliegende Klötze; erforderliche Kraft zum Herausziehen 329 Haftung und Reibung Leiter; maximale Schrägstellung Haftung und Reibung Rammbär; erforderliche Kraft zum Hochheben 331

32 Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben XXXI Mechanisches Stoffgebiet Haftung und Reibung Erläuterung "Info"-ild Seite Keile; 333 Hebe- und Senkkraft Haftung und Reibung Stabwerk durch Seile gehalten; Seilkräfte, Stabkräfte, Haftungskoeffizient 334 Haftung und Reibung andbremse; remskraft, Selbsthemmung 337 Haftung und Reibung Zwei durch ein Seil verbundene Quader; erforderlicher Haftungskoeffizient 338 Haftung und Reibung örderband; erforderliches ntriebsmoment, andkräfte und Lagerkräfte 340 Haftung und Reibung Kraftfahrzeug (rollende Reibung); ntriebsmoment C 341 Kräftesystem im Raum Kräfte an einem Knoten; Stabkräfte 344 Kräftesystem im Raum Dreibock; Stabkräfte 344

33 XXXII Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben Mechanisches Stoffgebiet Kräftesystem im Raum Dreibein; Stabkräfte Erläuterung "Info"-ild Seite 346 Kräftesystem im Raum Räumlicher Rahmen; Lagerkräfte und Seilkraft 348 Kräftesystem im Raum Sechskomponentenwaage; Stabkräfte 350 Kräftesystem im Raum Räumlich gelagerte Platte; Einheitsvektoren, Stabkräfte 351 Kräftesystem im Raum Räumlich gelagerte Platte; uflagerreaktionen, Stabkräfte 354 Kräftesystem im Raum Räumlich gelagerter Körper; uflagerreaktionen, Seilkräfte y 356 Kräftesystem im Raum Räumlich gelagerter Quader; Stabkräfte 359

34 Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten eispiele und ufgaben XXXIII Mechanisches Stoffgebiet Erläuterung "Info"-ild Seite Kräftesystem im Raum Räumlich belasteter Träger; 360 iegeschlaffes Seil Seil unter Eigengewicht; Integrationskonstanten der Seillinie, Seillänge, Seilkraft 363 iegeschlaffes Seil Standsicherheit Seil mit konstanter Streckenlast; Horizontalzug, Seillänge, maximale Seilkraft utodrehkran; Standsicherheit

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36 0 Einleitung Die Mechanik ist ein grundlegendes Teilgebiet der Physik. Sie hat die ufgabe, die in der Natur auftretenden ewegungen der Körper einschließlich der ewegung mit der Geschwindigkeit Null, also die Ruhe, zu beschreiben. ußerdem beschäftigt sie sich mit den durch Kräfte hervorgerufenen ormänderungen. Unter der Technischen Mechanik verstehen wir die klassische Mechanik mit Zuschnitt auf die ehandlung ingenieurtechnischer Probleme. Das folgende Schema gibt eine grobe Einteilung der Technischen Mechanik. Technische Mechanik Kinematik Lehre von den ewegungen (ohne etrachtung der Kräfte) Dynamik Lehre von den Kräften und den mit ihnen im Zusammenhang stehenden ewegungen Statik Kräfte sind im Gleichgewicht (Zeit spielt keine Rolle) Kinetik ewegungen von Massen unter der Wirkung von Kräften estigkeitslehre (auch Elastostatik genannt) Eine weitere Einteilung nach der eschaffenheit der Körper ist ebenso üblich. So sprechen wir je nach ggregatzustand der Körper von der Mechanik fester Körper, der Mechanik flüssiger Körper und der Mechanik gasförmiger Körper. Die festen Körper können wir unterteilen in starre Körper, elastische Körper oder plastische Körper. Verformungen und eanspruchungen von elastischen Körpern zu ermitteln, ist ufgabe der estigkeitslehre, zu deren ehandlung mindestens aus dem Gebiet der Statik Grundkenntnisse vorhanden sein müssen.

37 2 Notizen

38 1 Grundbegriffe Die Statik ist die Lehre von der Wirkung von Kräften auf Körper in Ruhe bzw. im Gleichgewicht (ild 1.1). Im olgenden werden weitere Grundbegriffe und Erfahrungstatsachen erläutert, die bei der Untersuchung statischer Probleme immer wieder auftauchen. S G ild 1.1: Gewicht in Ruhelage; Seilkraft S wirkt der Gewichtskraft G entgegen Gewicht in Ruhelage 1.1 egriffserklärung Statik starrer Körper Sind die Deformationen an einem festen Körper infolge der auf ihn wirkenden Kräfte so klein, dass dabei die Änderung der Geometrie des Gebildes auf die statische erechnung praktisch ohne Einfluss bleibt, so wird der Körper idealisiert zu einem starren Körper (ild 1.2). Ein starrer Körper ändert unter Einfluss von Kräften seine Gestalt nicht. Die Lehre von der Wirkung von Kräften auf starre Körper im Gleichgewicht nennen wir Statik starrer Körper. 1.2 Kräfte und Kraftarten In der Statik ist die Kraft einer der wichtigsten egriffe. Die Kraft kann an ihrer Wirkung erkannt und gemessen werden. Zum eispiel verspüren wir beim Heben eines Körpers über unsere Muskelkraft das Eigengewicht des Körpers. Die Einzelkraft ist eine vektorielle Größe und etrag ist durch drei estimmungsstücke zu beschreiben (ild 1.3): 1. etrag (Größe) der Kraft, Wirkungslinie 2. Richtung der Kraft (Wirkungslinie und Richtungssinn Richtungssinn), ngriffspunkt 3. ngriffspunkt der Kraft. Die zeichnerische Darstellung einer Kraft erfolgt durch einen Pfeil, der gemäß ild 1.3 die Richtung bestimmt und dessen Länge den absoluten etrag angibt, wozu ein Umrechnungs- ild 1.3: Darstellung einer Einzelkraft maßstab (z.. Kräftemaßstab Körper vor der elastung ild 1.2: m Starrer Körper deformierbarer Körper 2 kn = ) notwendig ist. 1cm Körper nach der elastung Hinweis: Da aus der zeichnerischen Darstellung einer Kraft durch einen Pfeil der Vektorcharakter eindeutig hervorgeht, schreiben wir meistens nur noch an den Pfeil den entsprechenden Schriftbuchstaben (z.. statt r ). deformierbarer Körper Körper nach der elastung starrer Körper

39 4 Grundbegriffe Die Einheit der Kraft ist das NEWTON (N), benannt nach dem englischen Naturforscher ISC m NEWTON, N = kg. 2 s Je nach Einwirkung auf einen Körper können die Kräfte in verschiedenen ormen auftreten (siehe folgende Tabelle). Es sind dies folgende Kraftarten: Kraftart Symbol Dimension (beispielhaft) emerkung eispiel Einzelkraft N kn MN wirkt auf einem Punkt (Idealisierung, da Kräfte nur auf lächen wirken) Stabkräfte, Lagerkräfte Linienkraft (Streckenlast) lächenkraft N/m kn/m MN/m 2 N/m 2 kn/m 2 MN/m wirkt längs einer Linie (Idealisierung) wirkt flächenhaft verteilt Gewichtskraft eines Trägers Schneelast, Windlast, Erddruck, lächenlager Volumenkraft 3 N/cm 3 kn/m 3 MN/m wirkt räumlich verteilt an allen Elementen eines Körpers Schwerkraft, spezifische Gewichte Zu beachten ist außerdem die rt der ufbringung der äußeren Kräfte. ei allmählich anwachsender elastung über einen längeren Zeitraum verteilt sprechen wir von einer statischen elastung. Tritt eine plötzliche elastung in Verbindung mit ewegungsenergie (z.. Stoß) auf, so wird neben dem Eigengewicht noch kinetische Energie wirksam, so dass eine dynamische elastung vorliegt und äußere und innere Kräfte nicht im Gleichgewicht sind. 1.3 Streckenlasten x Streckenlasten (usdruck Linienlasten ist auch gebräuchlich) sind über eine gewisse Strecke kontinuierlich verteilt am alken angreifende Lasten (ild 1.4). Die Maßangabe ist Kraft je Längeneinheit (z.. N/m, kn/m). Streckenlasten sind zum eispiel: Eigengewichte von alken, Schneelast, durch Wind oder elektromagnetische elder verursachte elastung. Sie werden mit q bezeichnet. Die Streckenlast kann sich also von Punkt zu Punkt ändern. ür Gleichgewichtsbetrachtungen können wir die Streckenlast über die Länge durch die Resultierende R q im Schwerpunkt der Intensitätsfläche ersetzen (siehe nachfolgende eispiele). Die Resultierende R q ergibt sich aus der Integration über die Länge (entspricht der eingeschlossenen läche q x -Linie). unter der ( ) q( x) ild 1.4: alken mit Streckenlast q( x ) NEWTON, ISC ( ), englischer Naturforscher. Entdecker des Gesetzes der Gravitation.

40 Was ist ein mechanisches System? 5 eispiele: Konstante Streckenlast q = q 0 = konstant q 0 R q = l (lächeninhalt des Lastrechtecks) ild 1.5: l 2 l 2 l Konstante Streckenlast und deren Resultierende R q Dreiecksförmige Streckenlast q 0 R 1 q = q 0 l 2 (lächeninhalt des Lastdreiecks) l l l 3 1 ild 1.6: Dreiecksförmige Streckenlast und deren Resultierende R q Trapezförmige Streckenlast q 0 l q 1 q 0 l 1 2 l 1 ( q 2 q ) l 1 l 3 (Überlagerung von konstanter Streckenlast und Dreieckslast) l ild 1.7: Ersatz der trapezförmigen Streckenlast durch zwei resultierende Einzelkräfte 1.4 Was ist ein mechanisches System? Eine Maschine, ein Tragwerk oder eine andere technische Konstruktion bezeichnen wir als ein mechanisches System. Mechanische Systeme sind z.. in den ildern 1.8, 1.9, 1.10 und 1.11 dargestellt. Ein mechanisches System besteht aus mehreren Teilen oder Körpern, die unter gewissen Voraussetzungen als starr angesehen werden können und aufeinander Kräfte ausüben. a) b) c) G ild 1.8: eispiele für mechanische Systeme: a) Schere b) Spannsystem c) usleger mit Rolle

41 6 Grundbegriffe 1.5 Einteilung der Kräfte äußere Kräfte innere Kräfte - bekannte vorgegebene (eingeprägte) Kräfte (ild 1.9), hervorgerufen durch z.. Gewichtskräfte, Wind- und Schneelasten, Zahnräder, Reibungswiderstände, Zerspanungswiderstände - Reaktionskräfte (Zwangskräfte) (ild 1.9) z.. uflagerreaktionen Kräfte innerhalb eines mechanischen Systems oder eines starren Körpers, z.. - Reaktionskräfte im starren Körper (ild 1.11) - Reaktionskräfte in den Verbindungsstellen zwischen zwei starren Körpern (ild 1.10) bekannte vorgegebene Kräfte M H V q q Reaktionskräfte G G reikörperbild M 0 M 0 H V q G C 1 2 q G 1 G V G H innere Kräfte G H G V ild 1.10: Zur egriffsbestimmung innere Kräfte ; Gelenkträger C reikörperbild ild 1.9: Zur egriffsbestimmung äußere Kräfte 1 = 2 3 = innere Kräfte 4 4 = = ild 1.11: Zur egriffsbestimmung innere Kräfte ; starrer Körper Innere Kräfte treten stets paarweise auf. Die Einteilung nach äußeren und inneren Kräften ist relativ. Sie hängt davon ab, welches System wir untersuchen (betrachten, abgrenzen) wollen. assen wir das Gesamtsystem in ild 1.10 als das System auf, welches wir insgesamt betrachten wollen, so sind die im Gelenk G zwischen den beiden starren Körpern 1 und 2 wirkenden Kräfte G und G innere Kräfte. H V Trennen wir dagegen das Gesamtsystem (ild 1.10) und betrachten nur den Körper 1 oder nur den Körper 2 als unser System, so sind die Kräfte G und G jetzt äußere Kräfte (ild 1.12). H V Hier und im olgenden wird manchmal das Wort Kräfte im verallgemeinerten Sinne gebraucht. Es umfasst sowohl Kräfte als auch Momente.

42 ufgabe der Statik 7 H V q G 1 G H G V G GH G H V 2 C alle Kräfte sind hier äußere Kräfte ild 1.12: Gelenkträger nach ild 1.10 im Gelenk G getrennt Dies gilt auch sinngemäß für den in ild 1.11 dargestellten Gesamtkörper (siehe ild 1.13). 4 = 4 3 = alle Kräfte sind hier äußere Kräfte ild 1.13: Geschnittener Körper nach ild ufgabe der Statik Mit den Verfahren der Statik werden die von den bekannten vorgegebenen Kräften verursachten unbekannten Reaktionskräfte (an den uflagern (ild 1.14b) oder an den Verbindungsstellen oder im starren Körper (ild 1.14c)) ermittelt, die vorhanden sein müssen, damit das betrachtete System im Gleichgewicht gehalten wird. 1 2 a) b) H V 1 2 1, 2 H, V, bekannt unbekannt c) H V M Q N N M Q 1 2 linker Teil rechter Teil, 2,, V, 1 2 H bekannt M, Q, N unbekannt ild 1.14: Unbekannte Kräfte ermitteln a) Träger auf zwei Stützen (Prinzipskizze) b) reikörperbild c) reikörperbild für linken und rechten Teil

43 8 Grundbegriffe 1.7 Modellbildung, Ersatzsystem, Idealisierung Die earbeitung eines technischen Problems bei mechanischen Systemen erfordert meistens eine Modellbildung. Hierunter verstehen wir eine Idealisierung (z.. punktförmiger Kraftangriff; starrer Körper), das heißt, Vereinfachung des Problems durch Weglassung unwesentlicher Größen und Eigenschaften, die auf das Ergebnis von vernachlässigbarem Einfluss sind. Durch die ildung von Ersatzsystemen wird ein statisches Problem überschaubarer. Es werden edingungen formuliert unter denen die Ersatzsysteme gültig sind. 1.8 Rechnerische earbeitung von Gleichgewichtsproblemen Die zur Lösung von Gleichgewichtsproblemen erforderlichen rbeiten müssen meistens in folgenden Schritten ausgeführt werden: eschreibung der Wirklichkeit: Geometrie, Lasten (z.. in orm einer technischen Zeichnung). nker Riemenscheibe G G 1 2 Elektromotorenwelle mit estund Loslager; Zeichnung Dachbinder mit Pendelstütze; Zeichnung bgrenzen (ufteilen) eines mechanischen Systems. nker Riemenscheibe vertikale Stütze mit Konsole aus -Trägern; Zeichnung 1 2 planmäßiges Vorgehen G G 1 2 Es werden die mit der Strichlinie umfahrenen Teile betrachtet. Modellbildung: nfertigen einer idealisierten Darstellung (Prinzipskizze; Ersatzsystem). G 1 G Das reimachen (efreiungsprinzip; nfertigen eines reikörperbildes). H V G 1 G 2 H V H M M 1 V 1 2 reikörperbilder oder freigemachte Systeme Erfüllung des Gleichgewichts: ufstellen der Gleichgewichtsbedingungen. uflösung der Gleichungen nach den Unbekannten. Zuvor prüfen, ob die Zahl der Gleichungen mit der Zahl der Unbekannten übereinstimmt. Überprüfung der Ergebnisse (z.. mittels der nschauung). Es gilt, dieses sehr hilfreiche planmäßige Vorgehen immer wieder anzuwenden. In der Regel wird dem Lernenden in den nfangssemestern eine idealisierte Darstellung (Ersatzsystem) gegeben, so dass er sofort mit dem Punkt (Das reimachen) beginnen kann.

44 Lagerungen Lagerungen Maschinen und Tragwerke sind mit ihrer Umgebung durch Lager verbunden. Die Lager übertragen Kräfte. Diese Kräfte von der Umgebung auf den Körper bezeichnen wir als Lagerreaktionen. Jede Lagerreaktion übt einen Zwang auf den Körper aus (wirkt als essel) Lagerungen in Lagerung Symbol freigemachte Lagerstelle Loses Lager (einwertig) nzahl der unbekannten Lagerreaktionen (esseln) Seil 1 Lose Lager (einwertig) Pendelstütze 1 Rollkufe Loses Lager (einwertig) glatte Oberfläche 1 este Lager (zweiwertig) 2 estes Lager (zweiwertig) raue Oberfläche 2 "verschiebliche Einspannung" Parallelführungen (zweiwertig) 2

45 10 Grundbegriffe Lagerung Symbol freigemachte Lagerstelle "verschiebliche Einspannung" Schiebehülse (zweiwertig) nzahl der unbekannten Lagerreaktionen (esseln) 2 Einspannung (dreiwertig) Lagerungen im Raum Lagerung freigemachte Lagerstelle nzahl der unbekannten Lagerreaktionen (esseln) einwertiges Lager nur eine Kraft in Längs- achsenrichtung des Verbindungsstückes 1 Verbindungsstück einwertige Lager Kugel glatte Oberfläche 1 zweiwertige Lager 2 Rolle auf rauer Oberfläche zweiwertiges Lager Rad mit zweiseitigem Spurkranz auf Schiene 2

46 Lagerungen 11 Lagerung freigemachte Lagerstelle nzahl der unbekannten Lagerreaktionen (esseln) dreiwertige Lager dreiwertige Lager Kugel in Gelenkpfanne (Kugelgelenk) 3 3 raue Oberfläche vierwertiges Lager raue Oberfläche oder scharfe Spitze 4 reibungsfreies Scharnier (axial verschiebbar) fünfwertiges Lager 5 olzenlager (axial fest) sechswertiges Lager 6 Einspannung Verbindungselement zwischen zwei Körpern in Verbindungselement Momentengelenk (Gelenk) freigemachte Verbindungsstelle (Verbindungsreaktionen) nzahl der Verbindungsreaktionen G 1 2 zwischen den beiden Körpern bestehen die Gesetzmäßigkeiten nach dem Wechselwirkungsgesetz (actio = reactio) G x G x G z 2 G z

47 12 Grundbegriffe 1.10 bgrenzen (ufteilen) eines mechanischen Systems Dieses Thema finden wir auch unter Schritt (earbeitung von Gleichgewichtsproblemen), Seite 8. eim bgrenzen wird festgelegt, welcher Körper oder welcher Teil eines mechanischen Systems betrachtet wird, z.. die gesamte Konstruktion (ild 1.15b) (wenn wir nur die uflager zu berechnen und zu konstruieren haben, brauchen wir ja nur die uflagerkräfte in und ), nur den Vollwandträger (ild 1.15c), nur den achwerkträger (ild 1.15d), nur einzelne Teile des achwerkträgers (ilder 1.15e und 1.15f). Die Umrisslinie des jeweils zu betrachtenden Körpers oder Teils ist hier durch eine gestrichelte Linie dargestellt. Vollwandträger 3 1 q 3 1 q 3 1 q a) achwerkträger b) c) 3 1 q 3 1 q 3 1 q d) ild 1.15: Zum bgrenzen (Gemischtbauweise: Vollwand / achwerk) e) f) 1.11 Das reimachen In der Statik starrer Körper können nur ufgaben richtig gelöst werden, wenn tatsächlich alle am betrachteten Körper angreifenden Kräfte in die Untersuchung einbezogen werden. Um alle am Körper angreifenden Kräfte richtig zu erfassen, sollte jeder statischen Untersuchung das sogenannte reimachen des Körpers vorausgehen. reimachen heißt: Wir nehmen die Nachbarkörper, die den zu betrachtenden Körper berühren, Stück für Stück weg und bringen als Ersatz dafür an den erührungsstellen diejenigen Kräfte an, die von den weggenommenen Körpern auf den betrachteten Körper wirken. Oder anders ausgedrückt: Unter dem reimachen des betrachteten Körpers verstehen wir das Loslösen (durch gedankliches Schneiden) dieses Körpers von seinen indungen und Ersatz der Wirkung der indungen bzw. uflager auf den Körper durch die Reaktionskräfte.

48 Das reimachen 13 Der Richtungssinn der Kräfte an den Lager- bzw. Verbindungsstellen ist beim reimachen unbekannt außer im Seil und an der glatten Oberfläche. Wir nehmen zuerst einen Richtungssinn an. Die Richtigkeit dieser nnahme ergibt sich infolge erechnung aus dem Vorzeichen der gesuchten Größe (+ : die Kraft wirkt in dem angenommenen Richtungssinn, - : die Kraft wirkt dem angenommenen Richtungssinn entgegen). Den betrachteten Körper mit allen angreifenden Kräften nennen wir freigemachten Körper. Das ild dazu heißt reikörperbild. ür das richtige und sichere reimachen sind die folgenden Sachverhalte bei verschiedenen Lagerungen und bstützungen der auteile sehr wichtig. auteillagerung und eispiel Lagerungsteile mechanisches System reikörperbild Seile und ähnliche flexible Körper (z.. Ketten, Riemen, Drähte) können nur Zugkräfte in Seilrichtung aufnehmen. Der Richtungssinn dieser Kräfte (Zug) geht stets vom ngriffspunkt am freigemachten Körper weg. Seil Seilkraft S (Zugkraft) freigemachter Kranhaken Pendelstäbe (Pendelstützen) können je nach elastungsanordnung Zug- oder Druckkräfte aufnehmen, deren Wirkungslinie die Verbindungsgerade der Gelenkpunkte ist. Der Richtungssinn der Druckkräfte geht von außen auf den ngriffspunkt am freigemachten Körper zu; bei Zugkräften ist es umgekehrt. Einzige Voraussetzung für einen Pendelstab ist, dass er nur an zwei Punkten mit Nachbarbauteilen gelenkig verbunden ist und keine Kräfte an anderen Stellen aufnimmt. Die beiden Kräfte an den Gelenkpunkten sind im Gleichgewicht, das heißt, sie haben die gleiche Wirkungslinie, gleichen etrag und sind entgegengesetzt gerichtet (Gleichgewichtsaxiom). G Pendelstütze Pendelstütze Stäbe 1, 2, 3, 4 und 5 sind Pendelstäbe G Kräfte sind hier als D Druckkräfte eingezeichnet. ei dieser elastungsanordnung ist die Stütze druckbeansprucht. freigemachte Pendelstütze D Die orm des D Pendelstabes hat keinen Einfluss auf die Wirkungslinie, den etrag und den Richtungssinn der Kräfte. freigemachte Pendelstütze D freigemachter Z Stab 1 1 Z Kräfte sind hier als Zugkräfte eingezeichnet. Hier ist der Stab 1 auf Zug beansprucht.

49 14 Grundbegriffe auteillagerung und eispiel Lagerungsteile mechanisches System reikörperbild ortsetzung Pendelstäbe (Pendelstützen) Z Der Stab 1 ist falsch freigemacht! Z Stab 1 ist kein Pendelstab mehr, weil noch eine zusätzliche Kraft 2 außerhalb der Gelenkpunkte angreift. Loslager nehmen nur Kräfte senkrecht zur Stützfläche auf. Ein estlager kann eine Lagerkraft beliebiger Größe und Richtung aufnehmen. eim reimachen (Kräfte in einer Ebene) ersetzen wir die Lagerkraft durch zwei senkrecht aufeinander stehende Komponenten, z.. einer Horizontalkomponente und einer Vertikalkomponente. Eine Einspannung kann eine nach Größe und Richtung unbekannte Lagerkraft und ein Einspannmoment aufnehmen. Die Lagerkraft wird beim reimachen (elastung in einer Ebene) durch zwei senkrecht aufeinander stehende Komponenten ersetzt. Eine gekrümmte glatte Stützfläche (ohne Reibung) (auch Kante und Ecke mit sehr kleinem Rundungsradius) kann nur eine Kraft aufnehmen. Ihre Wirkungslinie verläuft durch den erührungspunkt und den Krümmungsmittelpunkt. Loslager Träger estlager erührungspunkt allseits glatte Oberflächen X Krümmungsmittelpunkt Y Einzelheit Y H V freigemachter Träger M 90 H V freigemachter Träger C freigemachter Träger Einzelheit X erührungspunkt ei der reibungsfreien Rolle sind die Kräfte an den Seilenden gleich groß. S= H reibungsfreie Rolle V freigemachte Rolle

50 Das reimachen 15 auteillagerung und eispiel Lagerungsteile mechanisches System reikörperbild este Rolle (Umlenkrolle, drehbar um ) ohne Reibung reibungsfrei S =S Zwei gegeneinander gedrückte Körper übertragen eine Kontaktkraft, die nach dem Prinzip actio = reactio entgegengesetzt gleich groß auf jeden Körper wirkt. Wir können sie durch ihre Komponenten, die Normalkraft N und die Tangentialkraft T ersetzen. Die Kraft T liegt in der tangentialen erührungsebene, während die Kraft N senkrecht zur erührungsebene wirkt. ei rauen Oberflächen sind T und N vorhanden, während bei glatten Oberflächen nur die Normalkraft N auftritt. Raue erührungsflächen können Normal- und Tangentialkräfte aufnehmen. Die Wirkungslinie der Normalkraft N verläuft stets senkrecht zur erührungsebene. Infolge der rauen Oberflächen kann zwischen den Körpern eine tangentiale Kraft übertragen werden. Ihre Wirkungslinie liegt stets in der erührungsebene. Der Richtungssinn ist entgegen der ewegungsrichtung, in welche sich der Körper bewegen möchte. Da die Körper noch gegeneinander haften, nennen wir die Kraft Haftungskraft H. Überschreitet die Kraft einen gewissen Grenzwert, so reiben die Körper gegeneinander. Infolge der Rauigkeit wird eine tangentiale Reibungskraft R übertragen, welche der ewegung entgegen gerichtet ist. tangentiale erührungsebene Körper 1 Körper 2 erührungsebene G raue Oberflächen ei der festen Rolle ohne Reibung können die Seilkräfte durch nwendung des Verschiebungs-und Parallelogrammaxioms direkt in der Lagerstelle der festen Rolle angesetzt werden. Körper 1 T N N T Körper 2 Gleitreibung; Haftung Körper bewegt sich nach rechts G G H R N N freigemachte Körper N N H R freigemachte Unterlagen (Zwischen freigemachtem Körper und freigemachter Unterlage bestehen die Gesetzmäßigkeiten nach dem Wechselwirkungsgesetz actio = reactio.)

51 16 Grundbegriffe eispiele zum reimachen mechanisches System 3 1 Träger 2 1, 2 und 3 sind Seile reikörperbild des jeweils abgegrenzten, betrachteten Körpers oder Teils hier wird nur der Träger betrachtet S 1 S 2 hier wird nur der Knoten betrachtet S 3 S 1 S 2 hier wird das Seil 3 geschnitten und der gesamte untere Teil betrachtet S Seile können nur Zugkräfte aufnehmen; die Seilkräfte sind als Zugkräfte einzuzeichnen 1 2 q 3 M q x 3 M z 1 Seil S x z Seil I S I Pendelstab S I Pendelstab

52 Das reimachen 17 mechanisches System G reikörperbild des jeweils abgegrenzten, betrachteten Körpers oder Teils Dreigelenkbogen Pendelstütze rechter Teil x z linker Teil G Gesamtsystem G x z x z z G x G x G z Dreigelenkbogen G z z x x z z linker Teil rechter Teil q 0 G q 0 linker Teil G H G V G V G H V rechter Teil M H I 2 α x z α hier wurde das gesamte achwerk als ein starrer Körper betrachtet S 3 x S 1 z hier wird nur der Knoten betrachtet S 8 S S 9 10 hier wird nur der obere Teil betrachtet (Schnitt durch die Stäbe 8, 9 und 10) S 8 S 9 S 10 x z α hier wird der untere Teil betrachtet (Schnitt durch die Stäbe 8, 9 und 10) S 4 S 5 S 1 S 2 I hier wird nur der Knoten I betrachtet