Kapitel 1: Aussagenlogik und Mengenlehre

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1 the I : in/st Kpitel : Aussgenlogik und engenlehe.bill: Ohne Aussgenlogik keine Schltkeise und ohne Schltkeise keine Compute Kpitel, Folie

2 . Aussgenlogik und engenlehe the I : in/st A (A) (A) 3 (A) 4 (A) egtion (A) Α Α Kpitel, Folie

3 . Aussgenlogik und engenlehe the I : in/st A B (A,B) (A,B) 6 (A,B) Kpitel, Folie 3

4 . Aussgenlogik und engenlehe the I : in/st A B Konjunktion A B Disjunktion A B Impliktion A B Äquivlenz A B Kpitel, Folie 4

5 . Beeis von Sätzen mit Whheitsteln the I : in/st Beispiel Stz: (A B) (B A) (A B) A B A B B A (A B) (B A) Kpitel, Folie 5

6 . Beeis von Sätzen mit Whheitsteln the I : in/st Stz : (A B) ( B A) (A B) Diekte Beeis Indiekte Beeis Widespuchs- Beeis Beeis: diekt indiekt Widespuch A B A B A B B A (A B) Kpitel, Folie 6

7 . Rechengesetze the I : in/st De ogn sche Regeln (A B) A B (A B) A B Distibutivgesetze Α (Β C) (Α Β) (Α C) Α (Β C) (Α Β) (Α C) Tnsitivität de Impliktion (A B) (B C) (A C) Kpitel, Folie 7

8 . Quntoen the I : in/st ü lle es eistiet ein! es eistiet genu ein Kpitel, Folie 8

9 . ultiplee the I : in/st Eingng y Ausgng m z Ist z h (), so soll übetgen eden. Ist z lsch (0), so soll y übetgen eden. Kpitel, Folie 9

10 the I : in/st Kpitel, Folie 0 m y z. ultiplee y z A y z A y z A 3 y z A 4 Whheitstel ü den ultiplee y) z ( ) (z A A A A A 4 3 logische Ausduck ü den ultiplee:

11 . ultiplee the I : in/st Schltkeis (egto, Reihenschltung, Pllelschltung) A (z ) ( z y) & y m & z Kpitel, Folie

12 . engen the I : in/st Deinition: enge Geog Cnto (845-98) Unte eine enge vestehen i jede Zusmmenssung von bestimmten ohlunteschiedenen Objekten de Anschuung ode des Denkens, elche die Elemente von gennnt eden, zu einem Gnzen. Kpitel, Folie

13 the I : in/st Kpitel, Folie 3. engen { } { } { } \ : \ : : ) ( ) ( C Gleichheit Teilmenge von Obemenge von Veeinigung Duchschnitt Dieenz,dnn gilt

14 . Rechengesetze ü engen Fü eine enge und S,T,V P() gelten olgende Rechengesetze: S S S ( S T) V S ( T ) ( S T) V S ( T V) S C S S Ø S T S C ( C S ) ( T V) ( S T) ( S V) (T S, Ø, S, T, Ø V) S S S, C S S Ø S, (S S S, C Ø, T T) V, Ø S T C (S S S V), S Kommuttivität Assozitivität Distibutivität S, the I : in/st Kpitel, Folie 4

15 the I : in/st Kpitel, Folie 5. Rechengesetze ü engen ( ) ( ) ) ( \ ) \ ( ) \ ( \ ) \ ( ) ( ) \ ( ) \ ( \ ) ( \ \ ) \ ( V S T S V T S S V T S V T S V S T S V T S V T S V T S T S T S T S T S C C C C C C Fü eine enge und S,T,V P() gelten olgende Rechengesetze: De ognsche Regeln

16 . Beispiel eine Reltion the I : in/st {,,3,4 } {,b,c } R y (,y) y R (,) b (,b) c 3 b (,) (3,b) b 3 c (3,c) 4 c (4,c) R 3 4 Kpitel, Folie 6

17 . Beispiel zu Komposition the I : in/st 3 { m, m, m } { männl.,alte 30 } { m, m, m, m } { männl.,alte < 30 } { m, m, m, m } { eibl., Alte < 30 } R {( m, m ),( m, m ),( m, m )} 3 4 Vte von S S {( m, m ),( m, m )} R {( m }, m3 ),( m, m33) 3 Kpitel, Folie 7 3 Veheitet mit Schiegevte von

18 . Deinition: Reltion the I : in/st Die Reltion R heißt Releiv, lls (,) R ist. Symmetisch, lls (,y) R (y,) R Antisymmetisch, lls (,y) R (y,) R y Tnsitiv, lls (,y) R (y,z) R (,z) R Äquivlenzeltion: eleiv, symmetisch, tnsitiv y (,y) R Kpitel, Folie 8

19 . Beispiele ü Äquivlenzeltionen the I : in/st Restklssen modulo 5: R[0] { y Z: y 5q, 0,q Z} {..., 0, 5, 0, 5,0,... }, y mod 5 R[] R[] {..., - 9, - 4,, 6,,... } {..., - 8, - 3,, 7,,... },, R[3] {..., - 7, -, 3, 8,3,... }, Z R[0] R[4] {..., - 6, -, 4, 9,4,... }, R[] R[] R[3] R[4]. Kpitel, Folie 9

20 . Ptition eine enge the I : in/st Deinition: Eine enge von Teilmengen i lls i I j i i, j I, i ist. j, nennen i { } i i I mit Ptition von, Stz: Jede Äquivlenzeltion R ezeugt eine Ptition von, jede Ptition bestimmt eine Äquivlenzeltion. Kpitel, Folie 0

21 . Abbildungen the I : in/st : ( bildet nch b) : () y (jedem id eindeutig ein Element y () zugeodnet) De Gph von ist eine Reltion G () {(,y), y () }. Kuz: ist sujektiv : ist Abbildung von u ist injektiv : ist eineindeutige Abbildung von in ist bijektiv : ist sujektiv injektiv Kpitel, Folie

22 . ächtigkeit von engen the I : in/st Die engen A und B sind gleichmächtig bijektive Abbildung : A B A ist bzählb unendlich, lls A gleichmächtig zu ist. Die enge de gnzenzhlen ist bzählb unendlich. Die enge de tionlen Zhlen ist bzählb unendlich. Kpitel, Folie

23 Peno Aiome: Deinition de ntül. Zhlen the I : in/st ist eine enge, u de eine Abbildung cholge : eklät ist, die olgende Eigenschten besitzt: ()! ( ). () Die Abbildung cholge ist injektiv. (3) Ist und gilt ), b) ist n cholge (n), dnn ist. Induktionsiom Kpitel, Folie 3

24 . Vollständige Induktion the I : in/st AA(n) sei eine Aussge. Es gelte: i) A() ist h. Induktionsnng ii) n : A(k) sei h ü k n, dnn ist uch A(n) h. Induktionsschitt Es olgt, A(n) ist h ü lle n. Induktionsschluss Kpitel, Folie 4

25 . Teilbkeit the I : in/st Deinition: Sei n Z, m. Die Zhl m heißt Teile von n ( m n ), lls k Z: kmn Sei Z. D(){d : d } enge de Teile von Seien Z, b Z. D(,b)D() D(b). enge de gemeinsmen Teile ggt(,b)m{d D() D(b)}. gößte gemeinsme Teile Kpitel, Folie 5

26 . Beechnung des ggt Beechnung von ggt(,b), >b euklidische Algoithmus the I : in/st j bggt(,b) Stopp Stt (,b) b? nein bq (b,) 0 k k b q k q k q q k k ggt(,b) k k 3 0 höchstens b Schitte Kpitel, Folie 6

27 . Rtionle, eelle und komplee Zhlen Q enge de tionlen Zhlen R enge de eellen Zhlen C enge de kompleen Zhlen the I : in/st bzählb unendlich Z Q R Addition, ultipliktion zusätzlich: Subtktion zusätzlich: Division zusätzlich: Wuzelziehen 0 übebzählb unendlich n b, b 0 * z(,b) Guß sche Zhlenebene C zusätzlich: Wuzelziehen n b Kpitel, Folie 7

28 . Reelle Zhlen the I : in/st ist keine tionle Zhl q Annhme Q :q b (Dilemm des,b () mit b Pythgos) und,b teileemd.(*). ist eine gede Zhl (Wäe m,dnn ist 4m 4m ungede, Widespuch zu ()). k 4k b d.h. ist gemeinsme Teile von b k b ist gede und b. Widespuch zu (*) Kpitel, Folie 8

29 . Übebzählbe engen the I : in/st I { R: 0 < < } ist übebzählb Annhme : : I, ist bijektiv I {,,, } n n 0, (n), (n), Setzen b n 0 lls lls (n) -n (n) -n 0 0 y 0,b b... I Widespuch! Kpitel, Folie 9

30 . Komplee Zhlen Deinition: Die enge de kompleen Zhlen C entspicht R RR, in de neben de Addition eine zusätzliche ultipliktion eingeüht ist the I : in/st z z (,b ) (,b ) ( b b, b b ) Imginäe Einheit i i (0,),, i. : R ist bijektiv in C eingebettet: :R R * {z C:z,0 } R z,0 : Kpitel, Folie 30

31 . Polkoodintendstellung the I : in/st z ( cos ϕ i sinϕ ) ib (,b ) b z b, z(,b) cos ϕ sin ϕ b b b., ϕ Kpitel, Folie 3

32 . Dezimldstellung eine eellen Zhl Z ) Wähle y : y <y Ist y. the I : in/st y y ) Flls y, zelege [y,y) in 0 Teilintevlle beindet sich im - -ten Teilintevll - {0,,...,9}, y <y( - )0 - Ist, setze ± , - 3) Ist, zelege [, ) in 0 Teilintevlle beindet sich im - -ten Teilintevll,... ± j 0 j j. y y evtl. unendliche Pozess ± j 0 j j ±... 0, 3... Kpitel, Folie 3

33 the I : in/st Kpitel, Folie 33 0, 0 0, 0 0, 0 - < < < < < g g g g g g g g g n g n g. Divisionslgoithmus ü n Ν Allgemein: Teile k duch g k- ) Teile n duch g : ) Teile duch g - : 3) Teile - duch g - : 0 k k k k g g

34 the I : in/st Kpitel, Folie 34. g-dische Buchdstellung ü R ± ± j 0 j j g, g ). (, ) )(g )(g (g, Setzen j j ü g j 0 j 0 0 j 0 0 ± ± g Veboten:

35 . Beispiel Rundungsehle (Bill S.53) the I : in/st y z y z Rundungsehle (y z) ( y) Rundung z Rundung Kpitel, Folie 35

36 . Veknüpung the I : in/st -enge, : :(m,m ) m m m heißt Veknüpung - ist ssozitiv, lls (m m ) m 3 m (m m 3 ). - ist kommuttiv, lls m m m m -Ds Element e heißt neutl bezüglich lls e mm em m Kpitel, Folie 36

37 . Guppe the I : in/st -(G,, e) ist Guppe, lls - ist ssozitiv neutles Element e g G g - G :g g - g - ge (G,, e) ist belsche Guppe, lls zusätzlich gilt: - ist kommuttiv Kpitel, Folie 37

38 . Ring, Köpe the I : in/st (,, ) ist Ring, lls -(,) belsche Guppe mit neutlem Element e - ist ssozitiv, neutles Element e. -(b) c cb c, c (b) cc b,b,c -e e. (,, ) sei Ring und - sei kommuttiv -(\ {e }, ) ist Guppe ist Köpe Kpitel, Folie 38

39 . Stuktuehltende Reltionen the I : in/st G,, G, Hlbguppen R G G ist stuktuehltend, lls b, b R,, b, b R Stuktuehltende Abbildung :G G, b b, b G Kpitel, Folie 39

40 . onoid und Guppenhomomoph. the I : in/st G,, e, G,, e onoide (Guppen) :G G ist onoid (Guppen)-Homomophismus, lls b b,, G e e. bijektive Homomophismus Isomophismus. Kpitel, Folie 40

41 . Unteguppen the I : in/st Unteguppe Sei G,,e Guppe. U G ist Unteguppe, lls, b U b U e U U U Lemm Sei ein Guppenhomomophismus ken ke { G : e } ist Unteguppe von G. Bild Im {b G : G mit b } ist Unteguppe von G. Kpitel, Folie 4

42 . Äquivlenzeltionen the I : in/st Äquivlenzeltion u G ~ b b Ubildptition in G Stuktuehltend (Konguenzeltion) ~ b und c ~ d c ~ b d () Äquivlenzklssen [ ]{b G : b } [e ]{b G : e e b }Ken [ ] [b ]:[ b ] ohldeiniet nch () Kpitel, Folie 4

43 . Fktoguppe the I : in/st Fktoguppe G /ke {[ ],,[e ]} ist Guppe. Homomopiestz ü Guppen G /ke Im Kpitel, Folie 43

44 Zusmmenssung: Kpitel the I : in/st. Aussgenlogik De: Aussge Whheitsete - Veknüpung von Aussgen,,,, Whheitsteln - Beeise: diekt, indiekt, Widespuchsbeeis A B, B A (A B) notendig, hineichend - Logische Ausdücke und Schltkeise Kpitel, Folie 44

45 . engen, Reltionen, Abbildungen the I : in/st De: engen, Teilmengen, Veknüpungen,, \ -Reltion, Äquivlenz- und Odnungseltion Ptition -Abbildung :, G(){(,y): y()} spezielle Reltion sujektiv, injektiv, bijektiv - ächtigkeit von engen Kpitel, Folie 45

46 .3 Zhlenmengen the I : in/st - - Peno-Aiome vollständige Induktion Teilbkeit von Pimzhlen - Z,Q,R,C -Zhlendstellung duch g-dische Büche -Zhlendstellung im Compute Kpitel, Folie 46

47 .4 Guppen, Ringe, Köpe the I : in/st -(G, ) Guppe e, g - -(,, ) Ring e, e. (,) Guppe (belsch) -(,, ) Köpe Ring und (\{e}, ) belsche Guppe Hlbguppen, onoide, onoid- und Guppenhomomophismen, Unteguppen, Fktoguppen, Homomophiestz ü Guppen Kpitel, Folie 47