E. AUSBAU DER INFINITESIMALRECHNUNG

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1 151 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken aus Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I von Hans Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie das Buch auch kaufen und im Verlauf der Vorlesung MAT 182 vollständig durcharbeiten. Für Ihre eigenen Bedürfnisse in dieser Vorlesung MAT 182 dürfen Sie dieses PDF-Dokument abspeichern und beliebig ändern. Für eine weitergehende Verwendung ausserhalb der Vorlesung MAT 182 kontaktiere man bitte vorgängig den Dozenten Christoph Luchsinger, Universität Zürich. Das Copyright ist bei Birkhäuser! E. AUSBAU DER INFINITESIMALRECHNUNG 17. UMKEHRFUNKTIONEN

2 Umkehrfunktionen (17.2) Zyklometrische Funktionen a) Einleitung Oft stellt sich die Aufgabe, zu einem gegebenen Wert einer trigonometrischen Funktion, z.b. dem Sinus, den zugehörigen Winkel (hier stets im Bogenmass gemessen) zu bestimmen. Anders formuliert: In der Gleichung (1) y = sin x ist y gegeben und x gesucht, d.h., wir müssen diese Gleichung nach x auflösen.

3 17.2 Zyklometrische Funktionen 153 Zusammenfassend lässt sich in Worten sagen: arcsin y ist die Zahl aus [ π 2, π 2 ], deren Sinus = y ist. Da also zu jedem y aus [ 1, 1] eine eindeutig bestimmte Zahl arcsin y gehört, wird durch die Zuordnung y arcsin y eine neue Funktion definiert, die Arcussinus-Funktion, kurz der Arcussinus. Ihr Definitionsbereich ist das Intervall [ 1, 1]. Ganz analog erhält man zu den übrigen trigonometrischen Funktionen die neuen Funktionen Arcuscosinus, Arcustangens, Arcuscotangens (vgl. (17.2.c) bis (17.2.e)). Man fasst diese Funktionen unter den Namen zyklometrische Funktionen oder Arcus-Funktionen zusammen. Bevor wir die übrigen Arcus-Funktionen behandeln, untersuchen wir noch einige weitere Eigenschaften des Arcussinus, die aber entsprechend angepasst auch für die andern Arcus-Funktionen gelten und weiter unten nicht eigens erwähnt werden. Definitionsgemäss bedeuten für x [ π 2, π 2 ] und y [ 1, 1] die Aussagen y = sin x und x = arcsin y dasselbe. Formelmässig ausgedrückt: (2) y = sin x x = arcsin y. In einer solchen Situation spricht man von Umkehrfunktionen oder von inversen Funktionen (vgl. (17.3)). Man sagt, der Arcussinus sei die Umkehrfunktion des Sinus (oder die zum Sinus inverse Funktion) und umgekehrt. Was geschieht, wenn man zwei zueinander inverse Funktionen zusammensetzt? Ersetzt man in der Formel y = sin x die Zahl x durch arcsin y, was wegen (2) zulässig ist, so erhält man (3) y = sin(arcsin y), (y [ 1, 1]). Ebenso kann man in x = arcsin y für y den Wert sin x einsetzen und findet (4) x = arcsin(sin x), (x [ π 2, π 2 ]). Zum Schluss dieser Überlegungen geben wir noch den Graphen der Arcussinus-Funktion an. Wir gehen aus von der Beziehung (2) y = sin x x = arcsin y für x [ π 2, π 2 ]. Der Graph der (auf das Intervall [ π 2, π 2 ] eingeschränkten) Funktion y = sin x besteht aus allen Punktepaaren (x, y) mit y = sin x, (x [ π 2, π 2 ]). Wegen (2) beschreiben genau dieselben Punktepaare auch die Beziehung x = arcsin y. Mithin haben y = sin x

4 Umkehrfunktionen und x = arcsin y denselben Graphen. In der Darstellung x = arcsin y ist nun aber die unabhängige Variable nicht wie üblich x, sondern y, was ungewohnt ist. Um auf das vertraute Bild zu kommen, müssen wir also noch x und y vertauschen, was einer Spiegelung an der Geraden y = x entspricht. Somit wird der Graph der Arcussinus-Funktion erhalten, indem man den Graphen der auf [ π 2, π 2 ] eingeschränkten Sinusfunktion an der Geraden y = x spiegelt: Ganz entsprechende Überlegungen gelten für die übrigen zyklometrischen Funktionen, die nun im einzelnen besprochenen werden. b) Arcussinus Der Vollständigkeit halber fassen wir die bereits angestellten Überlegungen nochmals zusammen: Der Definitionsbereich der Arcussinus-Funktion ist das Intervall [ 1, 1]. y [ 1, 1] gilt: arcsin y ist die Zahl aus [ π 2, π ], deren Sinus = y ist. 2 Für jedes

5 17.2 Zyklometrische Funktionen 155 Beispiele, Taschenrechner

6 Umkehrfunktionen c) Arcuscosinus Genau wie beim Sinus liegen auch die Werte des Cosinus stets im Intervall [ 1, 1]. Der Arcuscosinus ist also nur für y [ 1, 1] definierbar. Der untenstehenden Skizze des Graphen entnimmt man, dass die Gleichung y = cos x bei gegebenem y genau eine Lösung hat, wenn man (wie schon vorher im Sinne einer Konvention) fordert, dass x [0, π] sein soll. Mit dieser Abmachung definiert man in fast völliger Analogie zum Arcussinus den Arcuscosinus: Der Definitionsbereich der Arcuscosinus-Funktion ist das Intervall [ 1, 1]. Für jedes y [ 1, 1] gilt: arccos y ist jene Zahl aus [0, π], deren Cosinus = y ist.

7 17.2 Zyklometrische Funktionen 157 d) Arcustangens Im Gegensatz zu sin und cos nimmt die Funktion tan alle Werte zwischen und an. Dies bedeutet, dass der Arcustangens für alle y R definiert werden kann. Zur Erzwingung der Eindeutigkeit beschränkt man sich hier auf das offene Intervall ( π 2, π 2 ). Für die Intervallgrenzen ± π 2 ist der Tangens ja nicht mehr definiert! Die Arcustangens-Funktion ist für jede reelle Zahl definiert. Für jedes y R gilt: arctan y ist jene Zahl aus ( π 2, π ), deren Tangens = y ist. 2

8 Umkehrfunktionen e) Arcuscotangens Hier geht alles analog zum Arcustangens; die Konvention ist die, dass man sich auf das offene Intervall (0, π) einschränkt. Die Arcuscotangens-Funktion ist für jede reelle Zahl definiert. Für jedes y R gilt: arccot y ist jene Zahl aus (0, π), deren Cotangens = y ist.

9 17.3 Umkehrfunktionen 159 (17.3) Umkehrfunktionen Für die ausführlichen Definitionen und Hinweise lesen Sie bitte die Seiten im Storrer. Wir besprechen hier a) Was will man machen und was kann dabei schiefgehen? b) Wie schränkt man sich dann ein, damit es nicht mehr schiefgeht? c) Was kann man dann alles Schönes machen? d) Berühmte Beispiele a) Was will man machen und was kann dabei schiefgehen?

10 Umkehrfunktionen b) Wie schränkt man sich dann ein, damit es nicht mehr schiefgeht?

11 17.3 Umkehrfunktionen 161 c) Was kann man dann alles Schönes machen?

12 Umkehrfunktionen d) Berühmte Beispiele

13 17.4 Die Ableitung der Umkehrfunktion 163 (17.4) Die Ableitung der Umkehrfunktion Wir repetieren hier erstmal die wichtigsten Ableitungen und Stammfunktionen von sinus, cosinus und Konsorten und ihrer Umkehrfunktionen. Diese sind in früheren Kapiteln zum Teil einfach ohne Begründung angegeben worden. Bald werden wir verstehen, warum diese so aussehen.

14 Umkehrfunktionen Graphische Darstellung zur Herleitung der Formel

15 17.4 Die Ableitung der Umkehrfunktion 165 Rechenbeispiele Damit ist Kapitel 17 aus Storrer I fertig besprochen. Lesen Sie jetzt Kapitel 17 im Storrer I selber durch; danach lösen Sie mindestens 3 Aufgaben aus (17, ) Aufgaben, vergleichen mit den Lösungen am Schluss des Buches und dann lösen Sie das Übungsblatt dazu und gehen in die Übungsstunde.