Diplomprüfung für Volkswirte 2002/II

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1 Diplomprüfung für Volkswirte 00/II Prüfungsfach: Betriebswirtschaftslehre der Banken Zugelassene Hilfsmittel: - 5-seitige selbsterstellte Formelsammlung (DIN-A4) - nichtprogrammierbarer Taschenrechner - Lineal Thema 1: a) Warum ist es trotz Risikoaversion der Marktteilnehmer möglich, bei der Bewertung von Optionen Modelle zugrunde zu legen, deren Bewertungsgleichungen so aussehen, als sei die Welt risikoneutral? In welcher Form wird (1) im Binomialmodell der Aktienkursentwicklung () im Log-Normalverteilungsmodell der Aktienkursentwicklung jene Bewertungskorrektur vorgenommen, die die Bewertungsgleichungen so aussehen läßt, als sei die Welt risikoneutral? (50 Punkte) b) Erläutern Sie den Grenzübergang, der es ermöglicht, die binomiale Optionsbewertungsformel in die Black/Scholes-Formel zu überführen! Die entscheidenden Gedanken sind anhand von Formeln nachvollziehbar darzustellen. (130 Punkte) c) In welchen Fällen ist man bei der Berechnung von Optionswerten auf die Verwendung des binomialen Modells angewiesen? Erläutern Sie anhand einer Skizze und der grundlegenden Rechenformeln, wie dabei im einzelnen vorzugehen ist; beschränken Sie sich dabei auf einen der in Betracht kommenden Fälle, den Sie selbst auswählen dürfen! (60 Punkte) oder Thema : Es sind fünf der nachfolgenden sechs Aufgaben zu bearbeiten, wobei die Bearbeitung von Aufgabe 6 (Vermischte Verständnisfragen) obligatorisch ist. Würzburg, den 16. Juli 00 (Prof. Dr. E. Wenger)

2 Aufgabe 1: Portfolio Selection Ein Investor mit der Präferenzfunktion 1 Φ ( µ, σ ) = µ a σ verfügt über ein Anfangsvermögen von GE. Am Markt werden zwei Wertpapiere mit folgenden Kenndaten gehandelt: p i e i σ WP WP Dabei gilt folgende Notation: p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = 0 e~ i = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = 1 e i = E( e~ i ) cov e ~, ~ σ = Kovarianzmatrix mit den Elementen ( ) Unterstellen Sie, dass am Markt Leerverkäufe zulässig und die Wertpapiere beliebig teilbar sind. Sämtliche Teilaufgaben sind ohne Zuhilfenahme der Matrizenrechnung zu lösen! a) Berechnen Sie für den Fall ohne sichere Anlage das optimale Portfolio, falls der 1 Risikoaversionsparameter den Wert a = annimmt! Geben Sie den Erwartungswert 00 und die Varianz sowie die entsprechenden Stückzahlen von WP 1 und WP an! (15 Punkte) b) Nun bietet sich dem Investor zusätzlich die Möglichkeit, Geld im Sparstrumpf aufzubewahren. Ermitteln Sie, welchen Wert der Risikoaversionsparameter a annehmen muss, damit für den Investor das Portfolio mit einem Erwartungswert von 1450 GE das optimale Portfolio darstellt. Geben Sie die Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Stückzahlen an. Verdeutlichen Sie Ihre Lösung anhand einer Zeichnung. (0 Punkte) i e j c) Nehmen Sie nun unabhängig von der in der Kovarianzmatrix angegebenen Kovarianz an, dass der Korrelationskoeffizient ρ 1 = 1 beträgt. Berechnen Sie das varianzminimale Portfolio sowie die Gleichung des effizienten Randes. Verdeutlichen Sie den Verlauf des effizienten Randes anhand einer Grafik. d) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz des varianzminimalen Portfolios aus Teilaufgabe c), falls Leerverkäufe nicht zulässig sind.

3 3 Aufgabe : Kreditvertragstheorie Ein Investor hat die Wahl zwischen zwei sich gegenseitig ausschließenden Investitionsprojekten IP1 und IP. Beide Projekte erfordern im Zeitpunkt t = 0 eine Investition in Höhe von 000 DM. Im Zeitpunkt t = 1 entstehen die in der nachfolgenden Tabelle angeführten Zahlungsüberschüsse (Z n ). Darüber hinaus hat der Investor die Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zahlungsüberschüsse durch Erhöhung seines Arbeitseinsatzes zu verbessern; die entsprechend modifizierten Projekte seien mit IP1 + und IP + bezeichnet. Der erhöhte Arbeitseinsatz verursacht ein Arbeitsleid mit einem monetären Gegenwert in Höhe von 400 DM. Für einen potentiellen Kapitalgeber ist lediglich das Ergebnis der Investition beobachtbar, nicht aber die Projektwahl und der Arbeitseinsatz des Investors. Sowohl der Investor als auch seine Kapitalgeber sind risikoneutral. Der Kapitalmarkt verzinst sichere Anlagen mit 10 %. Die Zahlungsüberschüsse (Z n ) sowie die zugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten p(z n ) lauten für die einzelnen Projekte wie folgt: Zn p(z n /IP1) 0,14 0,5 0,3 0,31 p(z n /IP1 + ) 0,30 0,3 0,18 0, p(z n /IP) 0,0 0,0 0,3 0,3 p(z n /IP + ) 0,5 0,35 0,5 0,15 a) Welches Projekt wählt der Investor, falls er dieses voll aus eigenen Mitteln finanziert? b) Welchen Zinssatz muß eine Bank verlangen, damit sie sich, gemessen am Erwartungswert der Kreditrückzahlung, nicht schlechter stellt als bei einer Alternativanlage, wenn sie einen Kredit von.000 DM zur Finanzierung des Projektes ausreicht? Die Haftung des Investors bleibt auf die Zahlungsüberschüsse aus dem Projekt begrenzt. Ist der Investor noch bereit, diesen Zins zu zahlen? Nehmen Sie dabei an, daß die Bank das Ergebnis der Investition beobachten kann! Welches Projekt wird letztendlich realisiert? Berechnen Sie hierzu den kritischen Zinssatz sämtlicher Investitionsprojekte. (1 Punkte) c) Nehmen Sie bitte im folgenden an, daß der Investor das Investitionsprojekt nur zu DM 800 aus eigenen Mitteln und durch die Plazierung einer Beteiligung bei einem Kapitalgeber finanziert. Der Beteiligungsvertrag sieht vor, daß der Kapitalgeber in t = 1 60 % der Zahlungsüberschüsse erhält. Welches Projekt wird der Investor realisieren?

4 4 d) Es wird wie in Teilaufgabe c) ein Beteiligungsvertrag mit 60% Beteiligungsquote abgeschlossen, wobei aber die Zahlungsüberschüsse für den externen Kapitalgeber nicht mehr kostenlos beobachtbar sind. Die Kosten zur Überprüfung der Zahlungsüberschüsse belaufen sich auf 1.50 DM. Die Prüfkosten sind vom Investor zu tragen. Nur für den Fall, daß die dem Investor zustehenden Zahlungsüberschüsse nicht ausreichen, wird der externe Kapitalgeber zu Zahlung der Prüfkosten herangezogen. Im Falle einer (aufgedeckten) Falschmeldung verliert der Investor seinen Anteil an den Zahlungsüberschüssen. In diesem Fall erhält der externe Kapitalgeber den gesamten Zahlungsüberschuß abzüglich der Prüfkosten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muß der externe Kapitalgeber eine Ergebnismeldung des Investors von Null prüfen lassen? Diese Wahrscheinlichkeit sollte zur Einsparung von Prüfkosten so niedrig wie möglich sein, aber hoch genug, um dem Investor einen Anreiz zu geben, den tatsächlichen Zahlungsüberschuß zu melden. ( Punkte) e) Wie hoch fallen die gesamten Prüfkosten aus, wenn mit den errechneten Wahrscheinlichkeiten aus d) auch tatsächlich geprüft wird und das in Teilaufgabe c) bestimmte Investitionsprojekt zu einer eventuellen Realisation herangezogen wird? Zu welchen Teilen müssen die Prüfkosten vom Investor bzw. vom Kapitalgeber getragen werden? Bleiben beide Vertragsteile nach wie vor an einer Durchführung der Investition interessiert? Aufgabe 3: Optionspreistheorie und Portfolio-Insurance Es existieren europäische Optionen auf die Aktie der Siemens AG mit Basiskurs K = 60. Der Aktienkurs beträgt heute S = 56. Die Laufzeit der Option beträgt 3 Monate. Aus historischen Aktienkursen wurde für die jährliche Volatilität des Aktienkurses eine Schätzung von σ = 0,35 ermittelt. Der Kapitalmarktzins für risikolose Anlagemöglichkeiten und für Kreditaufnahmen beträgt einheitlich i = 6 % p. a. Dividenden fallen während der Laufzeit nicht an. Der Markt ist arbitragefrei, Steuern sind zunächst zu vernachlässigen und alle Investoren verhalten sich rational. Die für die Berechnung notwendigen Werte der Standardnormalverteilung N(x) können Sie der beigefügten Tabelle entnehmen. Wertetabelle: x N(x) - 0,3985 0,3451-0,3463 0,3646-0,35 0,4116-0,1443 0, ,5000 0,0485 0,5193 0,351 0,6376 0,418 0,6601

5 5 a) Ermitteln Sie zunächst den Wert einer Kaufoption nach Maßgabe der Black/Scholes-Formel! b) Wie hoch ist der Wert der entsprechenden Verkaufsoption? Welche Portfolioüberlegung erlaubt es, den Wert einer europäischen Verkaufsoption aus dem Wert einer Kaufoption abzuleiten? c) Sie haben vor 9 Monaten 500 Siemens-Aktien zu einem Kurs von 40 je Aktie erworben und liegen aktuell gut im Gewinn. Bezüglich der Entwicklung der Aktienmärkte in den nächsten Monaten sind Sie äußerst skeptisch, wollen aber aus steuerlichen Gründen Ihre Aktien nicht vor Ablauf der Spekulationsfrist in 3 Monaten veräußern. Sie erinnern sich, dass Sie während Ihres Studiums die Absicherung von Portfolios mittels eines Delta- Hedges gelernt haben. Deshalb beschließen Sie, für Ihr Portfolio mit der Call-Option aus Teilaufgabe a) ein Delta-Hedging durchzuführen. Wieviel von diesen Call-Optionen müssen Sie verkaufen, wenn sie von den in der Aufgabenstellung angegebenen Bewertungsparametern ausgehen? Begründen Sie Ihre Antwort! d) Kurz nach Kauf der notwendigen Optionen fahren Sie für 3 Monate in den Urlaub nach Mexiko. Nach Ihrer Rückkehr stellen Sie fest, dass der Kurs der Siemens-Aktie auf 45 gefallen ist. Um welchen Wert hat sich der Wert Ihres Depots trotz des durchgeführten Hedges verändert? Wie hätte der Hedge durchgeführt werden müssen, um Wertschwankungen des Depots zu verhindern? (7 Punkte) e) Sie haben jetzt einen Steuersatz von 40 %. Die oben errechneten Werte ändern sich dadurch nicht. Auf welchen Wert hätte die Siemens-Aktie maximal fallen dürfen, damit sich Ihre Absicherungsstrategie gegenüber einem sofortigen Verkauf der Aktien vor 3 Monaten doch noch ausgezahlt hätte? Vernachlässigen Sie bei Ihrer Berechnung Transaktionskosten und gehen Sie davon aus, dass Steuerzahlungen sofort nach der Gewinnrealisierung fällig werden. Hinweis: Für die Besteuerung der Gewinne aus Termingeschäften gilt das Halbeinkünfteverfahren nicht! (14 Punkte) f) Welche Möglichkeiten sehen Sie, Ihr Depot vor einem 3-monatigen Urlaub abzusichern, ohne auf ein Delta-Hedge zurückzugreifen? Welche Vor- und Nachteile können sich daraus ergeben? Aufgabe 4: Optionsbewertung nach dem Binomialmodell Für alle Teile dieser Aufgabe gilt folgendes: Am friktionslosen Kapitalmarkt herrsche vollständige Konkurrenz und Arbitragefreiheit. Investoren verhalten sich rational. Leerverkäufe von Aktien sind zulässig und die Aktien sind beliebig teilbar. Transaktionskosten und Steuern sind zu vernachlässigen. Eine Verkaufsoption berechtigt zum Verkauf von fünf Aktien.

6 6 Der Kurs der Aktie folge einem multiplikativen binomialen diskreten Prozeß. Während einer Periode steige der Kurs der Aktie mit der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit q = 0,7 auf das u- fache bzw. sinke mit der Wahrscheinlichkeit (1 - q) auf das d-fache, wobei u = und d = 0,5 gelte. Aufeinander folgende Kursbewegungen sind statistisch unabhängig. Im Zeitpunkt t = 0 existieren Verkaufsoptionen auf diese Aktie mit dem Basiskurs K = 50 und einer Restlaufzeit von n = 4 Perioden. In t = 0 betrage der Kurs der Aktie S = 150. Der Kapitalmarktzins für risikolose Anlagemöglichkeiten und für Kreditaufnahme betrage einheitliche 10 % pro Periode. a) Wie hoch ist der Erwartungswert des Kurses der Aktie nach 4 Perioden? b) Welcher Erwartungswert des Kurses der Aktie nach 4 Perioden wird in der Optionsbewertung unterstellt? c) Warum wird bei der Optionsbewertung nicht mit den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten gerechnet? Worauf ist der Unterschied zu den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten zurückzuführen. (4 Punkte) d) Stellen Sie die Entwicklung des Aktienkurses und die Entwicklung des Optionswertes graphisch dar und berechnen Sie dann für jeden Knotenpunkt in Ihrer graphischen Darstellung die entsprechenden Aktienkurs- bzw. Optionswerte! Gehen Sie dabei davon aus, daß während der gesamten Laufzeit keine Dividenden aus der Aktie bezahlt werden. Wie hoch ist der Wert der Verkaufsoption heute, wenn es sich um eine 1) amerikanische ) europäische Option handelt? Welche Aussage läßt sich über den Wert des Rechtes auf vorzeitige Ausübung machen? (0 Punkte) e) Berechnen Sie die Zusammensetzung des äquivalenten Portfolios der europäischen Option für diejenigen Knoten, in denen der Aktienkurs die Werte (1) 1.00 () 300 annimmt! f) Wie verändert sich ceteris paribus der Wert der europäischen Verkaufoption aus d), wenn (1) die Differenz zwischen u und d zunimmt? () eine Dividende während der Laufzeit gezahlt wird? (3) der risikolose Zinssatz steigt? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung! g) r n sei der Aufzinsungsfaktor pro Schritt. Gegen welchen Wert strebt (u 1)/(r n 1), wenn die Schrittzahl n gegen unendlich strebt? Gegen welchen Wert strebt die im Optionsbewertungsmodell unterstellte Wahrscheinlichkeit, daß der Aktienkurs im Zuge eines Binomialschritts um den Faktor u steigt?

7 Aufgabe 5: Rentenmarkt, Finanzmathematik und Steuern Am Rentenmarkt sind drei repräsentative Anleihen mit folgenden Kenndaten im Umlauf: 7 T c K 0 1 3% 99,65% 7% 106,41% 3 5% 103,49% Dabei bezeichnet T die Restlaufzeit in Jahren, c den Kupon und K 0 den heutigen (t=0) Kurs der jeweiligen Anleihe. Im übrigen ist zu beachten, daß die Anleihen bei Fälligkeit zu 100% getilgt werden, daß sie nicht vorzeitig gekündigt werden können und daß der Kupon nachschüssig einmal im Jahr gezahlt wird. Beachten Sie im übrigen, daß bei allen Aufgaben die jeweiligen Zwischenschritte nachvollziehbar darzustellen sind! a) Leiten Sie aus den gegebenen Marktdaten die Nullkuponzinsstrukturkurve und die gleichgewichtigen Forward Rates in t=0 für Anlagen, die in t=1 bzw. t= getätigt werden und jeweils nach einem Jahr fällig sind, her. Welchen Kurs hätten Nullkuponanleihen des Bundes in t=0, wenn diese jeweils mit einer Restlaufzeit von 1,, oder 3 Jahren begeben würden? (Hinweis: Gehen Sie in dieser Teilaufgabe davon aus, daß es keine Steuern gibt!) (14 Punkte) b) Gemäß der derzeit gültigen steuerlichen Regelungen müssen die Inhaber von Anleihen den ihnen zufließenden Kupon voll versteuern. Dieser Steuersatz s betrage einheitlich 45 %. Anfallende Kursgewinne oder -verluste werden nur dann der Steuer unterworfen, wenn die Laufzeit ein Jahr nicht übersteigt (Spekulationssteuer). Ermitteln Sie unter Berücksichtigung dieser steuerlichen Regelungen die effektive Nachsteuerrendite der drei Kuponanleihen aus Teilaufgabe a)! Gehen Sie dabei davon aus, daß die Anleger die Anleihen in t=0 erwerben und bis zur jeweiligen Endfälligkeit halten.. (Hinweis: Berücksichtigen Sie bei der Ermittlung der Effektivrendite der zweijährigen Anleihe die Tatsache, daß eine quadratische Gleichung der Form x + ax + b = 0 a 1 folgende Lösungen hat: x = ± a 4b. Bei der dreijährigen Anleihe ist die 1, Effektivrendite mittels eines Interpolationsschrittes durchzuführen. Verwenden Sie dabei folgende Interpolationsgrenzen: i u = 1,4% p.a. bzw. i o = 1,6%) (1 Punkte) c) Gehen Sie nunmehr davon aus, daß der Kapitalmarkt die zukünftigen Zinsen vollkommen korrekt antizipiert. Unterstellen Sie, daß keine Nullkuponanleihen am Markt existieren. Sämtliche anderen Anlageformen aus a) stehen Ihnen jedoch zur Verfügung. Neben den direkt handelbaren Kuponanleihen werden Ihnen die Forward-Rates durch ein Kreditinstitut zur Verfügung gestellt. Sie möchten sich am Ende von t=3 eine Existenz in der Karibik aufbauen und benötigten als Startkapital hierzu Welchen Geldbetrag müßten Sie heute mindestens aufbringen, um inklusive der Wiederanlagen den gewünschten Betrag in t=3 zu erhalten? Es gelten hierbei die gleichen steuerlichen Regelungen wie in Teilaufgabe b). Begründen Sie die von Ihnen gewählte Anlagestrategie.

8 8 Neben den am Kapitalmarkt verfügbaren Anlagen bietet Ihnen die in Deutschland ansässige Cayman Bank folgende Anlagemöglichkeit: Sie können einen beliebigen Betrag fest über drei Perioden in t = 0 anlegen. Die verdienten Zinsen werden Ihnen am Ende der dritten Periode zusammen mit Ihrem Anlagebetrag ausgezahlt. Die Besteuerung erfolgt in diesem Fall erst im Zeitpunkt des Zuflusses der Zinsen, also in t = 3. Der Steuersatz beträgt nach wie vor 45% wie in Teilaufgabe b). Wie hoch muß der effektive Jahreszins vor Steuern sein damit Sie indifferent zwischen der Finanzierung am Kapitalmarkt und dem Angebot der Cayman Bank sind? (14 Punkte) d) Nehmen Sie nun im Gegensatz zur den bisherigen Teilaufgaben an, daß eine inverse Zinsstruktur vorläge. Liegt die Nullkuponzinsstruktur höher oder niedriger als die Kuponzinsstruktur bei Existenz einer inversen Zinsstruktur? Begründung! Aus welchen Gründen kann es zu einer inversen Zinsstruktur kommen. Aufgabe 6: Verständnisfragen Teil 1: 1. In einer CAPM-Welt gebe es einen risikoneutralen Investor. Welche Konsequenzen ergeben sich daraus für die Aktienkurse und die Verteilung der Aktien auf die einzelnen Anleger, wenn eine Insolvenz des risikoneutralen Anlegers - ausgeschlossen - möglich ist?. Unter welchen Bedingungen kann das Wegwerfen von Geld in der CAPM-Welt eine vorteilhafte Vorgehensweise sein und warum? (4 Punkte) 3. nach Ihrem Studium sind Sie Anlageberater in Wolfsburg geworden. Welche Ratschläge in bezug auf eine Anlage in VW-Aktien erteilen Sie - einem Arbeitnehmer von VW - einem ortsansässigem Metzgermeister - einem ortsansässigem Gymnasiallehrer, der in Wolfsburg zur Miete wohnt? Begründen Sie Ihre Antwort! 4. Beschreiben Sie die Vorgehensweise einer Ereignis-Studie (event-study) anhand eines von Ihnen selbst gewählten Beispiels! Wie wird dabei die abnormale Performance als Reaktion auf das von Ihnen ausgewählte Ereignis gemessen? Wann muss die Reaktion eintreten, wenn der Kapitalmarkt halbstreng informationseffizient ist? Was ist unter diesen Effizienzkonzept zu verstehen und worin unterscheidet es sich von alternativen Effizienzkonzepten?

9 9 Teil : 1. Was versteht man unter einer plain vanilla option? Was spricht dagegen, die plain vanilla option als Leistungsanreiz für Manager einzusetzen?. Warum wird sie in der Praxis trotzdem eingesetzt? 3. Welche Gefahr besteht, wenn alljährlich neue Optionen am Geld ausgegeben werden? 4. Warum wird diese Gefahr verringert, wenn indexierte Optionen ausgegeben werden? Wie würde Sie eine indexierte Option ausgestalten, wenn die zugrunde liegende Aktie während der Optionslaufzeit Dividenden abwirft? Gehen Sie insbesondere auf die Festlegung des Basispreises und der beziehbaren Stückzahl ein! 5. Was spricht im Falle einer indexierten Option für bzw. gegen - die Verwendung eines Aktienindex für den Gesamtmarkt - die Verwendung eines Branchenindex? (4 Punkte) 6. Von welchen Parametern hängt es maßgeblich ab, ob eine indexierte Option mehr oder weniger wert ist als eine plain vanilla option? Gehen Sie davon aus, dass die Optionen am Geld ausgegeben werden!