Die Prädikatenlogik erster Stufe: Syntax und Semantik

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1 Die Prädikatenlogik erster Stufe: Syntax und Semantik 1 Mathematische Strukturen und deren Typen Definition 1.1 Eine Struktur A ist ein 4-Tupel A = (A; (R A i i I); (f A j j J); (c A k k K)) wobei I, J, K beliebige (möglicherweise leere oder unendliche) Mengen sind und folgendes gilt: A ist eine nichtleere Menge. A wird als das Universum oder der Träger oder der Individuenbereich der Struktur A bezeichnet. Die Elemente von A sind die Individuen von A. Statt A schreibt man auch A. Für jedes i I ist Ri A eine n i -stellige Relation auf A (für n i 1 geeignet), d.h. Ri A A ni. Die Relationen Ri A sind die Grundrelationen oder ausgezeichneten Relationenen von A. Für jedes j J ist fj A eine m j -stellige Funktion auf A (für m j 1 geeignet), d.h. fj A : A mj A. Die Funktionen fj A sind die Grundfunktionen oder ausgezeichneten Funktionen von A. Für jedes k K ist c A k ein Element von A. Die Individuen c A k sind die (Grund-)Konstanten oder ausgezeichneten Individuen von A. Die Anzahl der ausgezeichneten Relationen und Funktionen zusammen mit deren Stelligkeiten sowie die Anzahl der Konstanten bestimmen den Typ einer Struktur: Definition 1.2 Die Struktur A = (A; (Ri A i I); (f j A j J); (ca k k K)) ist vom Typ (oder der Signatur) falls R A i n i -stellig und f A j m j -stellig ist. σ(a) = ((n i i I); (m j j J); K), 1

2 2 Die Prädikatenlogik 1. Stufe: Grundzeichen der Sprachen Um über Strukturen eines gegebenen Typs σ Aussagen machen zu können, führen wir nun die zugehörige Sprache L(σ) ein. Definition 2.1 Sei σ = ((n i i I); (m j j J); K) ein Typ. Das Alphabet (d.h. die Menge der Grundzeichen) der Sprache L(σ) der Prädikatenlogik vom Typ (von der Signatur) σ besteht aus den folgenden logischen Zeichen (die nicht von σ abhängen) und nichtlogischen Zeichen (die von σ abhängen): Logische Zeichen von L(σ): Abzählbar unendlich viele Individuenvariablen (kurz: Variablen): v 0, v 1, v 2,... (Wir bezeichnen Variablen im Folgenden mit x, y, z, x i,....) Die Junktoren und. Der Existenzquantor. Das Gleichheitszeichen =. Die Klammern ( und ). Nichtlogische Zeichen von L(σ): Für jedes i I das n i -stellige Relationszeichen R i. Für jedes j J das m j -stellige Funktionszeichen f j. Für jedes k K die Konstante c k. Den Typ einer Sprache L der Prädikatenlogik bezeichnen wir mit σ(l). Gilt σ(a) = σ(l), so heißt L die Sprache von A und A eine L-Struktur. 3 Die Prädikatenlogik 1. Stufe: Terme Im Folgenden sei L = L(σ) die Sprache der Prädikatenlogik der Signatur σ = ((n i i I); (m j j J); K) und A = (A; (Ri A i I); (f j A j J); (ca k k K)) eine L-Struktur. 3.1 Syntax der Terme Definition 3.1 (Terme) Die Menge der (L-)Terme ist induktiv definiert durch: (T1) Jede Variable v i und jede Konstante c k ist ein Term. (T2) Sind t 1,..., t mj Terme, so ist auch f j (t 1,..., t mj ) ein Term (j J). Wir bezeichnen mit V (t) die Menge der im Term t vorkommenden Variablen. Ist V (t) leer, so ist t ein konstanter Term. Gilt V (t) {x 1,..., x n }, so schreiben wir statt t auch t(x 1,..., x n ). 2

3 3.2 Semantik der Terme Konstante L-Terme werden in der L-Struktur A als Individuen interpretiert: Definition 3.2 (Interpretation konstanter Terme) Für einen konstanten L- Term t ist t A A wie folgt durch Ind(t) definiert: 1. (c k ) A := c A k 2. (f j (t 1,..., t mj )) A := f A j (ta 1,..., t A m j ) Für beliebige L-Terme hängt deren Wert in einer L-Struktur A i.a. von der Interpretation (Belegung) der vorkommenden Variablen durch Individuen von A ab: Definition 3.3 (Variablenbelegungen) Sei V = {x 1,..., x n } eine Menge von Variablen. Eine (Variablen-)Belegung B von V in A ist eine Abbildung B : V A. Definition 3.4 (Interpretation beliebiger Terme) Sei t t( x) ( x = (x 1,..., x n )) ein L-Term, in dem höchstens die Variablen x 1,..., x n vorkommen, und sei B : {x 1,..., x n } A eine Belegung dieser Variablen in der L-Struktur A. Der Wert t A B A von t in A bzgl. der Belegung B ist durch Ind(t) wie folgt definiert: 1. (x i ) A B := B(x i) und (c k ) A B := ca k 2. (f j (t 1,..., t mj )) A B := f A j ((t 1) A B,..., (t m j ) A B ) Lemma 3.5 (Koinzidenzlemma für Terme) Sei A eine L-Struktur, t ein L- Term, V = {x 1,..., x m } und V = {x 1,..., x n} Variablenmengen mit V (t) V, V und B und B Belegungen von V bzw. V in A, sodass B V (t) = B V (t). Dann gilt t A B = ta B. Bemerkung 3.6 (Von Termen definierte Funktionen) Ein Term t(x 1,..., x n ) definiert folgende n-stellige Funktion f A t(x 1,...,x n) : An A in der L-Struktur A: f A t(x 1,...,x n) (a 1,..., a n ) := t A [a 1,..., a n ] (a 1,..., a n A) wobei t A [a 1,..., a n ] := t A B (i = 1,..., n). für die Belegung B von {x 1,..., x n } mit B(x i ) = a i 4 Die Prädikatenlogik 1. Stufe: Formeln und Sätze Im Folgenden sei weiterhin L = L(σ) die Sprache der Prädikatenlogik der Signatur σ = ((n i i I); (m j j J); K) und A = (A; (Ri A i I); (f j A j J); (ca k k K)) eine L-Struktur. 4.1 Formeln und Sätze: Syntax Definition 4.1 (Formeln) Die Menge der (L-)Formeln ist induktiv definiert durch: (F1) (a) Sind t 1, t 2 Terme, so ist t 1 = t 2 eine Formel. (b) Sind t 1,..., t ni Terme, so ist R i (t 1,..., t ni ) eine Formel (i I). 3

4 (F2) Ist ϕ eine Formel, so ist auch ϕ eine Formel. (F3) Sind ϕ 1 und ϕ 2 Formeln, so ist auch (ϕ 1 ϕ 2 ) eine Formel. (F4) Ist ϕ eine Formel und x eine Variable, so ist auch xϕ eine Formel. Im Folgenden bezeichnen ϕ, ψ, γ, δ, ϕ i,... (L-)Formeln. Die gemäß (F1) definierten Formeln heißen Primformeln oder atomare Formeln. Eine in einer Formel ϕ vorkommende Variable x kann frei oder (durch einen Existenzquantor ) gebunden auftreten (wobei x in einer Formel ϕ an einer Stelle frei und an einer anderen Stelle gebunden auftreten kann). Formal definiert man das Vorkommen einer Variablen x und die freien und gebundenen Vorkommen von x in einer Formel ϕ durch Ind(ϕ): 1. Die Variable x kommt in der Primformel t 1 = t 2 bzw. R i(t 1,..., t ni ) vor, falls x in einem der Terme t 1, t 2 bzw. t 1,..., t ni vorkommt. Alle Vorkommen von x sind frei. 2. Die Variable x kommt in ϕ vor, wenn sie in der Formel ϕ vorkommt. Ein Vorkommen von x in ϕ ist frei (gebunden), wenn das entsprechende Vorkommen von x in ϕ frei (gebunden) ist. 3. Die Variable x kommt in der Formel (ϕ 1 ϕ 2) vor, wenn sie in der Formel ϕ 1 oder in der Formel ϕ 2 vorkommt. Ein Vorkommen von x in (ϕ 1 ϕ 2) ist frei (gebunden), wenn das entsprechende Vorkommen von x in ϕ 1 bzw. ϕ 2 frei (gebunden) ist. 4. Die Variable x kommt in der Formel yϕ vor, wenn x = y oder x in der Formel ϕ vorkommt. Ist x = y, so sind alle Vorkommen von x in yϕ gebunden. Sonst ist ein Vorkommen von x in yϕ frei (gebunden), wenn das entsprechende Vorkommen von x in ϕ frei (gebunden) ist. Wir bezeichnen mit V (ϕ), F V (ϕ) und GV (ϕ) die Mengen der in ϕ vorkommenden bzw. frei vorkommenden bzw. gebunden vorkommenden Variablen. Gilt F V (ϕ) {x 1,..., x n }, so schreiben wir auch ϕ(x 1,..., x n ) statt ϕ. Definition 4.2 Kommt in ϕ keine Variable frei vor (d.h. gilt F V (ϕ) = ), so ist ϕ ein (L-)Satz. Im Folgenden bezeichnen σ, τ, σ n etc. Sätze. Bemerkung 4.3 (Uneigentliche Formeln) Zur Verbesserung der Lesbarkeit der Formeln benutzen wir die schon im Teil über die Aussagenlogik eingeführten Regeln zur Klammerersparnis. Zusätzlich erlauben wir für ϕ und xϕ auch die Schreibweise (ϕ) bzw. x(ϕ). Weiter definieren wir die Junktoren, und wie früher und führen den Allquantor durch xϕ : x ϕ ein. Statt t 1 = t 2 schreiben wir auch t 1 t 2. Wo üblich benutzen wir für Funktionszeichen (wie + und ) und Relationszeichen (wie ) auch die Infixschreibweise. 1 1 NB: Die derart verallgemeinerten Formeln sind keine eigentlichen Formeln und sind daher bei formaler Sichtweise (z.b. in Beweisen durch Ind(ϕ)) immer durch die eigentlichen Formeln zu ersetzen, die sie abkürzend beschreiben. 4

5 4.2 Formeln und Sätze: Semantik Ein (L-)Satz σ lässt sich als eine Aussage über die (L-)Struktur A interpretieren. Allgemeiner kann eine Formel ϕ ϕ(x 1,..., x n ) (in der höchstens die Variablen x 1,..., x n frei vorkommen) als Aussagenform betrachtet werden, die für jede gewählte Belegung B der Variablen x 1,..., x n in A zu einer Aussage über A wird. Wir legen zunächst den Wahrheitswert WB A (ϕ) dieser von B abhängenden von ϕ über A gemachten Aussage fest. Definition 4.4 (Wahrheit einer Formel in einer Struktur bzgl. einer Belegung) Sei ϕ ϕ(x 1,..., x n ) eine L-Formel mit F V (ϕ) {x 1,..., x n } und B eine Belegung von {x 1,..., x n } in A. Dann ist der Wahrheitswert W A B (ϕ) {0, 1} von ϕ in A bzgl. der Variablenbelegung B durch Ind(ϕ) wie folgt definiert: gemäß Defini- 1. ϕ t 1 = t 2 : WB A(t 1 = t 2 ) = 1, g.d.w. (t 1 ) A B = (t 2) A B (wobei ta B tion?? definiert ist). 2. ϕ R i (t 1,..., t ni ): W A B (R i(t 1,..., t ni )) = 1, g.d.w. ((t 1 ) A B,..., (t n i ) A B ) RA i. 3. ϕ ψ: WB A( ψ) = 1, g.d.w. W B A (ψ) = ϕ ϕ 1 ϕ 2 : W A B (ϕ 1 ϕ 2 ) = 1, g.d.w. W A B (ϕ 1) = 1 oder W A B (ϕ 2) = 1 (oder beides). 5. ϕ xψ: W A B ( xψ) = 1, g.d.w. es eine Belegung B von {x 1,..., x n } {x} gibt, die mit B auf {x 1,..., x n } \ {x} übereinstimmt und für die W A B (ψ) = 1 gilt. Man beachte, dass sich aus der Definition der oben eingeführten abkürzenden Schreibweisen die folgenden Wahrheitswerte für uneigentliche Formeln ϕ ϕ(x 1,..., x n ) und Belegungen B : {x 1,..., x n } A ergeben (Übung): W A B (ϕ 1 ϕ 2 ) = 1, g.d.w. W A B (ϕ 1) = 1 und W A B (ϕ 2) = 1. W A B (ϕ 1 ϕ 2 ) = 1, g.d.w. W A B (ϕ 1) = 0 oder W A B (ϕ 2) = 1 (oder beides). W A B (ϕ 1 ϕ 2 ) = 1, g.d.w. W A B (ϕ 1) = W A B (ϕ 2). WB A( xψ) = 1, g.d.w. für alle Belegungen B von {x 1,..., x n } {x}, die mit B auf {x 1,..., x n } \ {x} übereinstimmen, WB A (ψ) = 1 gilt. Ordnet die Belegung B den Variablen x = (x 1,..., x n ) die Individuen a = (a 1,..., a n ) zu, so schreibt man statt WB A (ϕ) = 1 auch A ϕ[ a] und sagt, dass A die Formel ϕ ϕ(x 1,..., x n ) bzgl. der Belegung a wahr macht (oder ϕ in A bzgl. a gilt). Entsprechend schreibt man dann A ϕ[ a], falls WB A(ϕ) = 0 gilt. (Diese Schreibweise wird im Skript verwendet! Im Folgenden werden wir die Schreibweise A ϕ[ a] neben der ursprünglichen Schreibweise WB A (ϕ) ebenfalls verwenden.) 5

6 Lemma 4.5 (Koinzidenzlemma) Sei A eine L-Struktur, ϕ eine L-Formel, V = {x 1,..., x m } und V = {x 1,..., x n} Variablenmengen mit V (ϕ) V, V und B und B Belegungen von V bzw. V in A, sodass B F V (ϕ) = B F V (ϕ). Dann gilt W A B (ϕ) = W A B (ϕ). Beweis. Induktion nach dem Aufbau von ϕ (wobei man für Primformeln ϕ natürlich das Koinzidenzlemma für Terme verwendet). Übung! Definition 4.6 (Wahrheit eines Satzes in einer Struktur) Ein L-Satz σ ist in einer L-Struktur A wahr, wenn WB A (σ) = 1 für die leere Variablenbelegung gilt (d.h. für die eindeutig bestimmte Belegung B der leeren Menge ). Ist σ in A wahr, so sagen wir auch, dass A ein Modell von σ ist, und schreiben A σ. NB: Nach dem Koinzidenzlemma hängt der Wahrheitswert eines Satzes σ in einer Struktur A nicht von der gewählten Variablenbelegung ab: Da σ keine freien Variablen enthält (d.h. F V (σ) = ), gilt für alle Variablenbelegungen B und B beliebiger Variablenmengen V und V in A: W A B (σ) = W A B (σ). Bei einer Formel ϕ mit freien Variablen x 1,..., x n geht man manchmal davon aus, dass die freien Variablen implizit allquantifiziert sind. Man verallgemeinert daher Definition?? auch auf Formeln wie folgt. Definition 4.7 (Wahrheit einer Formel in einer Struktur) Eine L-Formel ϕ ist in einer L-Struktur A wahr, wenn WB A (ϕ) = 1 für alle Variablenbelegungen B von F V (ϕ) in A gilt. Lemma 4.8 Es gilt A ϕ A ϕ wobei ϕ der durch ϕ : x 1... x n ϕ definierte Allabschluss von ϕ ist, wobei x 1,..., x n die in ϕ frei vorkommenden Variablen in der kanonischen Reihenfolge bzgl. der Aufzählung aller Variablen sind. Wir beenden die Diskussion der semantischen Grundbegriffe der Prädikatenlogik mit der Beobachtung, dass L-Formeln Relationen auf den L-Strukturen A definieren: Definition 4.9 (Von einer Formel definierte Relationen) Sei ϕ ϕ(x 1,..., x n ) eine L-Formel mit F V (ϕ) {x 1,..., x n }. Die von ϕ auf der L-Struktur A definierte n-stellige Relation Rϕ A ist durch bestimmt. (a 1,..., a n ) R A ϕ A ϕ[a 1,..., a n ] 5 Zentrale semantische Begriffe Im letzten Abschnitt haben wir definiert, wann eine Formel oder ein Satz in einer Struktur wahr ist. Hieraus lassen sich die zentralen logischen Grundbegriffe wie Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit von Formeln, sowie der logische Folgerungs- und 6

7 Äquivalenzbegriff ableiten. (Hierzu geht man wie in der Aussagenlogik vor, wobei nun Wahrheit in einer Struktur an die Stelle der Wahrheit bzgl. einer Belegung der Aussagenvariablen tritt.) Im Folgenden sei wiederum L = L(σ) die Sprache der Prädikatenlogik der Signatur σ = ((n i i I); (m j j J); K). Definition 5.1 (Allgemeingültigkeit) Eine (L-)Formel ϕ ist (logisch) wahr oder allgemeingültig, wenn alle L-Strukturen Modell von ϕ sind, d.h. wenn gilt. Für alle L-Strukturen A: A ϕ Definition 5.2 (Erfüllbarkeit) Eine (L-)Formel ϕ ist erfüllbar, wenn ϕ ein Modell besitzt, d.h. wenn gilt. Andernfalls ist ϕ unerfüllbar. Es gibt eine L-Struktur A mit A ϕ Offensichtlich ist jede allgemeingültige Formel auch erfüllbar (aber i.a. nicht umgekehrt). Für Sätze lässt sich folgender weiterer Zusammenhang zwischen Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit beobachten: Lemma 5.3 Ein L-Satz σ ( σ) ist genau dann allgemeingültig, wenn σ (σ) unerfüllbar ist. Definition 5.4 (Folgerung und Äquivalenz) Eine (L-)Formel ϕ folgt aus einer (L-)Formel ψ (ψ ϕ), wenn jedes Modell von ψ auch ein Modell von ϕ ist, d.h. wenn Für alle L-Strukturen A: A ψ A ϕ gilt. ϕ und ψ sind äquivalent (ϕ äq ψ), falls ϕ aus ψ und ψ aus ϕ folgt (also ϕ und ψ dieselben Modelle besitzen). Erfüllbarkeitsbegriff und Folgerungsbegriff lassen sich wie in der Aussagenlogik auf Formelmengen fortsetzen: Definition 5.5 (Erfüllbarkeit von Formelmengen) Eine Menge Φ von L-Formeln ist erfüllbar, wenn es eine L-Struktur A gibt, die Modell aller Formeln in Φ ist, d.h. für die A Φ gilt. Man beachte, dass die leere Menge von Formeln erfüllbar ist und dass für eine nichtleere erfüllbare Formelmenge Φ jede Formel in Φ erfüllbar ist, da A Φ ϕ Φ : A ϕ gilt. Die Umkehrung gilt jedoch i.a. nicht: Eine Menge erfüllbarer Formeln muss nicht notwendigerweise erfüllbar sein. 7

8 Definition 5.6 (Folgerungen aus Formelmengen) Eine (L-)Formel ϕ folgt aus einer Menge Φ von (L-)Formeln (Φ ϕ), wenn jedes Modell von Φ auch ein Modell von ϕ ist, d.h. wenn gilt. Für alle L-Strukturen A: A Φ A ϕ Ist Φ endlich, etwa Φ = {ψ 1,..., ψ n }, so schreiben wir ψ 1,..., ψ n ϕ statt {ψ 1,..., ψ n } ϕ. Entsprechend schreiben wir für leeres Φ kurz ϕ statt Φ ϕ. (Dies ist konsistent mit der in Definition?? eingeführten Notation, da jede L- Struktur A ein Modell der leeren Formelmenge ist, weshalb ϕ genau dann aus der leeren Formelmenge folgt, wenn ϕ allgemeingültig ist.) Unmittelbar aus den Definitionen ergibt sich folgende Monotonieeigenschaft des Folgerungsbegriffs. Lemma 5.7 (Monotonie des Folgerungsbegriffs) Φ Ψ & Φ ϕ Ψ ϕ Weiter lassen sich folgende Zusammenhänge zwischen Erfüllbarkeit, Folgerungsbegriff und Allgemeingültigkeit feststellen. Lemma 5.8 Eine L-Formelmenge Φ ist genau dann erfüllbar, wenn es keinen L- Satz σ mit Φ σ und Φ σ gibt. Lemma 5.9 (Zusammenhang zwischen Folgerungs- und Erfüllbarkeitsbegriff) Für jede L-Formelmenge Φ und jeden L-Satz σ gilt: Φ σ Φ { σ} unerfüllbar Lemma 5.10 (Verträglichkeit von und ) Seien ϕ 1,..., ϕ n L-Formeln und σ ein L-Satz. Dann gilt: ϕ 1,..., ϕ n σ (ϕ 1 ϕ n ) σ 8

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